Aptarimas:Matematika/Trilypis integralas

Pridėti diskusiją
Aktyvios diskusijos

Per daug tokių pačių pavyzdžiųKeisti

  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais   (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 9), o spindulys r=9),   (plokštuma ant plokštumos xOy),   (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį     Paraboloido lygtis tampa tokia:   Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl   kinta nuo 0 iki  
 
 
 
 
 
 
kur  

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį   padauginti iš 2.

Palyginimui cilindro viename oktante tūris yra  
  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais   (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 7), o spindulys r=7),   (plokštuma ant plokštumos xOy),   (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį     Paraboloido lygtis tampa tokia:   Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl   kinta nuo 0 iki  
 
 
 
 
 
 
kur  

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį   padauginti iš 2.

Palyginimui cilindro viename oktante tūris yra  

Iššaukiantys pavyzdžiaiKeisti

  • Rasime kūno tūrį V, kurį išpjauna praboloidas   Reikšmė z lygi 1, kai reikšmės x ir y lygios 0. Iš šonų kūna riboja begalinė prizmė (stačiakampis gretasienis) su kraštinėmis x=1, y=1.
 
 
Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus  
Tūris, kurį gausime atėmę šį tūrį is cilindro tūrio, kurio aukštis h=1 ir spindulys r=1, yra tūris po paraboloidu  
Rodos šis skaičiavimo būdas neteisingas, nors ir naudojamas matematikos knygoje(-se).


  • Rasime kūno tūrį V, esantį po paraboloidu  , o iš šonų apribotu begalinio aukščio stačiakampiu gretasieniu, kurio kraštinės x arba y lygios  .
 
 
 
 
Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus  


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, išpjaunamą iš begalinės prizmės su kraštais   paraboloidais    .
    Kai reikšmės x ir y yra 0, tai  ,   šie taškai ir yra aukčiausias ir žemiausias taškai. Kai, pavyzdžiui,  ,  , tada    

 

 
 
 

Kad gauti tūrį visuose 8-iuose oktantuose, reikia   padauginti iš 4.

Palyginimui, stačiakampio gretasienio tūris, kurio kraštinės a=2, b=2, c=6 yra lygus  
Grįžti į "Matematika/Trilypis integralas" puslapį.