Matematika/Trilypis integralas

Trilypis integralas naudojamas tūriui apskaičiuoti ir mechanikoje – tose vietose, kur dvilypio integralo savybių neužtenka greitesniam apskaičiavimui.

Trilypio integralo apskaičiavimasKeisti

 

PavyzdžiaiKeisti

  • Apskaičiuosime tūrį V tetraedro, apriboto plokštumų        

Integravimo sritis D projektuojama į plokštumą xOy. Tūrį V iš apačios riboja plokštuma   iš viršaus - plokštuma   Trilypį integralą pakeičiame kartotiniu:      

Šį atsakymą galima buvo gauti naudojantis mišriąja vektorių sandauga.

 

Gretasienio tūris yra 8. Rasime piramidės (t. y. netaisyklingo tetraedro) su 4 viršūnėmis, kurios pagrindas yra trikampis, tūrį:

 

  Šį tūrį galima buvo gauti nustačius kiekvienos kraštinės ilgį palei koordinačių ašis. M(1-(-1); 1-0; 2-0)=M(2; 1; 2). Sudauginus kraštinių ilgius gauname stačiakampio gretasienio tūrį   Arba per vektorius

 


  • Apskaičiuosime tetraedro tūrį V, apriboto plokštumomis x+y+z=2, z=1, x=0, y=0. tetraedro trys kraštinės a=b=c=1 ir lygiagrečios atitinkamai x, y ir z ašims, o kitos trys kraštinės  

        Tą patį atsakymą galėjome gauti pasinaudodami piramidės tūrio skaičiavimu per vektorius M(1-0; 1-0; 2-1)=M(1; 1; 1):

 
  • Pirmajame oktante esantį kūną riboja paviršiai           (pav. 13.21). Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kūno tūrį apskaičiuosime pagal formulę

  Integravimo sritits D yra kūno projekcija plokštumoje xOy. Parinkus vienokią integravimo tvarką, dvilypis integralas šioje srityje išreiškiamas vienu kartotiniu integralu, o pakeitus tą tvarką dviem kartotiniais integralais:   arba   Todėl trilypį integralą keisdami kartotiniu, remkimės trumpesne formule:    


  • Apskaičiuosime tūrį kūno apriboto šiais paviršiais:     ir   Iš lygties   kai z lygi nuliui   Kai   parabolės įgija reikšmes   ir   Todėl tūris lygus

   

  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais   (parabolė ant plokštumos xOy),     (plokštuma ant plokštumos xOy),   (paraboloidas) (pav. 379).
 
 
 
 

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.

Autoriaus manymu, tikrasis tūris gali buti apskaičiuotas (o kad geriau suprasti kaip apskaičiuoti, reikėtų įsigilinti į sukimo tūrio radimą) taip:  

arba galbūt net taip:   arba taip:   Bent jau elipsinio paraboloido, tokio kaip   (x turi būti 100, kai y=0, kad z būtų lygus 1), pakeitimu, šiame uždavinyje, tūris turėtų būti  


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais  ,    ,   (pav. 379).
 
 
 
 

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais   (parabolė ant plokštumos xOy),     (plokštuma ant plokštumos xOy),   (paraboloidas).
 
 
 
 
 

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.

  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais  ,    ,  .
 
 
 
 
 

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia padauginti iš 2.


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, išpjaunamą iš begalinės prizmės su kraštais   paraboloidais     (pav. 380).
    Kai reikšmės x ir y yra 0, tai  ,   šie taškai ir yra aukčiausias ir žemiausias taškai.

 

 
 
 

Kad gauti tūrį visuose 8-iuose oktantuose, reikia   padauginti iš 4.

Palyginimui, stačiakampio gretasienio tūris, kurio kraštinės a=1, b=1, c=6 yra lygus  


 
Paraboloidas.
  • Pavyzdis. Kūną riboja plokštuma xOy, cilindrinis paviršius   ir paraboloidas   Praboloidas su cilindriniu paviršiumi susikerta, kai   Apskaičiuosime to kūno tūrį.
Sprendimas. Kadangi kūnas yra simetriškas koordinačių plokštumų xOz ir yOz atžvilgiu, tai apskaičiuosime tik jo ketvirtadalio, esančio pirmajame oktante tūrį. Taigi
 
 
 
 
 
 
 
 
kur   kai  , tada   ir kai  , tada      
Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:
 
Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš 4.


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, išpjaunamą iš begalinės prizmės su kraštais   paraboloidu  
 
 
Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus  
Tūris esanti virš tūrio, kurį radome ir apribotas plokštuma   yra

 

  • Rasime kūno tūrį V, esantį po paraboloidu   ir apribotą begalinės prizmės (stačiakampio gretasienio kurio aukšis begalinis) su kraštinėmis  .
 
 
Kad gauti tūrį keturiuose oktantuose, reikia padauginti iš keturių, tuomet tūris bus lygus  

Trilypis integralas cilindrinėje koordinačių sistemojeKeisti

Su stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis cilindrines koordinates sieja formulės     Kadangi kūno tūris   tai cilindrinėje koordinačių sistemoje jis išreiškiamas formule  

PavyzdžiaiKeisti

  • Kūną V riboja paviršiai       z=0. Apskaičiuokime to kūno tūrį.

Kūnas V iš šonų apribotas dviejų cilindrų, kurių sudaromosios lygiagrečios ašiai Oz, o vedamosios - apskritimai   ir   Iš apačios kūną riboja plokštuma z=0, iš viršaus - kūgis   kurio viršūnė yra taške (0; 0; 4) o sudaromosios nukreiptos žemyn. Kadangi kūnas yra simetriškas plokštumos xOy atžvilgiu, tai apskaičiuosime   to kūno tūrio. Integravimo sritis D, t. y. kūno prjokecija plokštumoje xOy. Cilindrinėje koordinačių sistemoje apskritimų lygtys yra   ir   o kūgio lygtis yra   Figūra D gaunama, kai kampas   kinta nuo 0 iki   o dydis   - nuo   iki   Todėl, pritaikę formulę, gauname     Kur du šauktukai dvigubas faktorialas.


  • Kūną V riboja viršutinė sferos   dalis ir paraboloidas   Apskaičiuokime kūno tūrį.

Kadangi kūnas yra simteriškas plokštumų xOz ir yOz atžvilgiu, tai apskaičiuosime   jo tūrio. Norėdami rasti sritį D, turime suprojektuoti į plokštumą xOy sferos paraboloido susikirtimo kreivę, kurios lygtį gausime išsprendę jų lygčių sistemą. Į lygtį   vietoje z įrašome reiškinį   Gauname lygtį

 
 
 
 

 

Iš čia   Šiuo atveju r yra susikirtimo parabaloido ir pusapskritimo koordinate z, o kadangi parabolės projekcija į plokštumą xOz yra nusakoma formule   tai, kai   (arba  ), tada   kaip parodyta paveiksliuke.

Taigi viso kūno tūris      

Integralas integruojamas taip:

    nes   todėl  


  • Apskaičiuosime tūrį kūno V, apriboto paviršiais   z=1, cilindrinėse koordinatėse. Tai yra paraboloidas iš viršaus apribotas plokštuma z=1. Pažymėsime per T erdvės sritį   apribota paviršiais         Todėl

   

  • Apskaičiuosime tūrį kūno V, apriboto paviršiais   z=100, cilindrinėse koordinatėse. Tai yra paraboloidas iš viršaus apribotas plokštuma z=100. Pažymėsime per T erdvės sritį   apribota paviršiais         Maksimalus spindulys  . Todėl

     


  • Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą   paplitusi per tūrį, apribotą plokštumomis xOy ir xOz, cilindru   ir sfera   Kadangi  , integralas skaičiavimu lygus tūriui duoto kūno. Trumpiau tariant, rasime tūrį kūno apriboto išvardintų paviršių.
Sprendimas. Pereidami į cilindrinę koordinačių sistemą, gauname  ,       nes   o       Randame kūno tūrį:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
čia  
Kai  , tada  
Kad įsivaizduoti kaip atrodo kūnas, galima pasakyti, kad sferos centras yra (0; 0; 0), o sferos sindulys  . Na, o cilindro pagrindas yra padalintas per pusę ašimi Ox. Cilindro [pagrindo] spindulys  , o cilindro skersmuo  . Cilindro pagrindas yra tik ant ašies Ox ir vienas jo pagrindo kraštas liečiasi su koordinačiu pradžios tašku O, o kitas liečiasi su tašku a ant Ox ašies. Sfera, kurios lygtis, priminimui, yra   gaubia iš viršaus, o iš apčios apriboja kūną cilindras.
Žinodami cilindro tūrio formulę   palyginsime ar gautas atsakymas neprasilenkia su elementaria logika. Mes surasime pusė cilindro tūrio, nes integravimas vyko pirmame oktante (oktantas yra 1/8 rutulio tūrio). Cilindro spindulys yra r=a/2=3/2=1.5, o cilindro aukštinė h=a=3. Randame palyginąmąjį tūrį:
 

Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:

 
 
Pasinaudodami analitiniu mąstymu, pabandysime parodyti, kad tūris rastas teisingai. Apskritimo spindulys R=3, todėl ketvirtadalis skritulio ploto yra

  O kvadrato, kurio kraštinė a=3, plotas yra  

Dabar randame kvadrato ir 1/4 skritulio santykį:
 
Akivaizdu, kad padalinus visą cilindro tūrį iš tūrio, kurį riboja cilindras ir sfera, turėtume gautį santykį didesnį nei kvadrato ir ketvirtadalio skritulio, o santykis yra:
 
Taip ir yra, tolstant nuo Ox ašies, z reikšmės mažėja, kas ir užtikrina didesnį santykį.
  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais   (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 0.5), o spindulys r=1/2),   (plokštuma ant plokštumos xOy),   (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį     Paraboloido lygtis tampa tokia:   Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl   kinta nuo 0 iki  
 
 
 
 
 
 
kur  
Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:
 

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį   padauginti iš 2.

  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais   (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0.5; 0), o spindulys r=1/2),   (plokštuma ant plokštumos xOy),   (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį     Paraboloido lygtis tampa tokia:   Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl   kinta nuo 0 iki  
 
 
 
 
 
 
kur  
Pasinaudojant dvigubu faktorialu gauname tą patį atsakymą:
 

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį   padauginti iš 2.


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais   (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 1), o spindulys r=1),   (plokštuma ant plokštumos xOy),   (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį     Paraboloido lygtis tampa tokia:   Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl   kinta nuo 0 iki  
 
 
 
 
 
 
kur  

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį   padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=1, aukštis   yra lygus

 


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais   (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 4), o spindulys r=4),   (plokštuma ant plokštumos xOy),   (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį     Paraboloido lygtis tampa tokia:   Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl   kinta nuo 0 iki  
 
 
 
 
 
 
kur  

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį   padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=4, aukštis   yra lygus

 


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais   (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 4.5), o spindulys r=9/2),   (plokštuma ant plokštumos xOy),   (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį     Paraboloido lygtis tampa tokia:   Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl   kinta nuo 0 iki  
 
 
 
 
 
 
kur  

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį   padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=9/2, aukštis   yra lygus

 


  • Pavyzdis. Rasti kūno tūrį V, apriboto paviršiais   (apskritimas ant plokštumos xOy, kurio centro koordinatės (0; 5), o spindulys r=5),   (plokštuma ant plokštumos xOy),   (paraboloidas).
Sprendimas. Pereidami į polinę koordinačių sistemą, turime apskritimo lytį     Paraboloido lygtis tampa tokia:   Apskaičiuosime kūno tūrį tik viename oktante, todėl   kinta nuo 0 iki  
 
 
 
 
 
 
kur  

Kad gauti tūrį dviejuose oktantuose, reikia gautą turį   padauginti iš 2.

Palyginimui, cilindro tūris viename oktante, kurio spindulys r=5, aukštis   yra lygus

 

Galime pabandyti suprasti ar integravimo budu gautas atsakymas yra teisingas. Kai   ir  , tuomet paraboloido z reikšmė lygi   O kai  ,  , tuomet paraboloido z reikšmė yra   Vadinasi šonuose kažkaip negali būti daugiau, o tiktai didėjant y reikšmei, z reikšmė apskritimo srityje didėja kvadratu. O kai apskritimo srityje y reikšmė mažesnė už 10, tada ir z reikšmė visoje apskritimo ( ) srityje yra mažesnės už 100. Taip pat reikia nepamiršti, kad aukščiausiame taške (z=100, y=10, x=0), kur susikerta cilindras su praboloidu, tai nukirtus plokšuma z=100, paraboloido viršų, paraboloido spindulys yra r=10, o centro koordinatės (0; 0), tuo tarpu, apskritimo r=5, o centro koordinatės yra (0; 5). Todėl didesniame apskritime yra mažesnis apskritimas ir todėl to mažesnio apskritimo reikšmės x ir y niekada neduos didesnės z, reikšmės už tą atvejį, kai R=y=10. Cilindru iš praboloido iškerpamas tūris yra tik 2,66667 karto mažesnis už viso cilindro tūrį. Kitaip tariant, jei viso cilindro tūris yra 1, tai tūris, kurį gauname integravimo budu dviejuose oktantuose yra 0.375 visais atvejais. Dar palyginimui, plotas po parabolės   šaka visada lygus 1/3 ploto stačiakampio gretasienio   O tūris po paraboloidu   visada lygus 1/2 viso cilindro tūrio.

Dar pastebėjimas, kad z reikšmė yra didesnė, kai  ,  , tada  , negu, kai  ,   ir tada  . Todėl ant kraštų apskritimo, kurį dalina pusiau Oy ašis, dominuoja didesnės z reikšmės, negu centre, tačiau didžiausia z reikšmė vis tiek, kai y=10, x=0.


  • Pereidami į polinę koordinačių sistemą rasime tūrį po paraboloidu   kurį riboja cilindrinis paviršius  
 
 

Šis tūris keturiuose oktantuose yra lygus  

Trilypio integralo taikymas mechanikojeKeisti

Kūno masės centro koordinatėsKeisti

Kai tam tikros masės tankis lygus   tai to kūno masės centro koordinatės apskaičiuojamos pagal formules  

Pavyzdžiai

  • Kūną riboja paviršiai  ir   Apskaičiuokime to kūno masės centro koordinates, kai  

Kadangi kūnas simteriškas plokštumų xOy ir yOz atžvilgiu, tai   Rasime   koordinatę. Pagal sąlygą,   todėl iš formulių išplaukia, kad   Integralus apskaičiuosime pakeisdami juos kartotiniais cilindrinėje koordinačių sistemoje.    

Kūno inercijos momentaiKeisti

Taško M(x; y; z), kurio masė m, inercijos momentai koordinačių plokštumų xOy, xOz ir yOz atžvilgiu išreiškiami formulėmis

     
ašių Ox, Oy, Oz atžvilgiu - formulėmis
     
koordinačių pradžios atžvilgiu - formule
 
Kūno inercijos momentai išreiškiami atitinkamais trilypiais integralais. Pavyzdžiui, tam tikros masės kūno, kurio tankis   inercijos momentas plokštumos xOy atžvilgiu apskaičiuojamas pagal formulę

 

ašies Oz atžvilgiu - pagal formulę   ir t. t.


Pavyzdžiai


  • Apskaičiuokime kūno, kurį riboja paraboloidas   ir plokštuma   (žr. auksčiau pateiktą pavyzdį apie paraboloido masės centro skaičiavimą), inercijos momentą ašies, einančios per jo masės centrą statmenai to paraboloido sukimosi ašiai, atžvilgiu ( ).
Koordinačių ašis parinkime taip, kad jų pradžios taškas sutaptų su paraboloido masės centru, o ašis Ox būtų statmena paraboloido sukimosi ašiai. Tuomet turėsime rasti   (arba  ).

Paraboloido lygtis tokioje koordinačių sistemoje yra   o jo projekcija plokštumoje xOy - sritis, apribota apskritimo   Taikome formulę