Aptarimas:Pagrindinė algebros teorema

Nuklydymas, bet gal truputi yra tiesos

[Paraboloido pastebėjimas. Jeigu $c_{k}=c_{n},$ tai ${\frac {c_{k+1}}{c_{k}}}h+...+{\frac {c_{n}}{c_{k}}}h^{n-k}={\frac {c_{n}}{c_{n}}}h^{n-n}=1\cdot h^{0}=1.$ Ir, kaip patikrinau, toliau nieko įrodinėti nepavyks. Tada reikia pasirinkti kitą $x_{0},$ kuriam $k<n.$ Bet, kaip sakyta apie Dalamberio lemą, neaišku ar toks $x_{0},$ kuriam $k<n$ egzistuoja. Telieka tikėtis, kad toks $x_{0}$ egzistuoja, kuriam $f(x_{0})\neq 0$ ir $f^{(k)}(x_{0})\neq 0$ ir k<n. Bet toks aklas pasitikėjimas pakerta pagrindės algebros teoremos įrodymą. Bet turbūt vis tiek geriau nei nieko, be to, iš matematinės analizės ir polinomų bei jų išvestinių pavyzdžių nesunku rasti tokius polinomus tenkinančius šias sąlygas ($f(x_{0})\neq 0,\;$  $f^{(k)}(x_{0})\neq 0$ ir $k<n$). Bet iš tokių pavyzdžių tada neaišku ar visi polinomai turi šaknį. Na, bet gal Gausas ir moksliukai matematikai geriau žino, be to, kaip sakiau, tai vis tiek geriau nei nieko...]

Duotas nuklydymas, kuriame gal yra truputi tiesos ir kaip nereikia daryt. Iš tikro

$c_{k}h^{k}{\Big (}{\frac {c_{k+1}}{c_{k}}}h+...+{\frac {c_{n}}{c_{k}}}h^{n-k}{\Big )}=0,$ kai $k=n.$

Tada

${\frac {f(x_{0}+h)}{f(x_{0})}}=(1+c_{k}h^{k})+c_{k}h^{k}{\Big (}{\frac {c_{k+1}}{c_{k}}}h+...+{\frac {c_{n}}{c_{k}}}h^{n-k}{\Big )}=(1+c_{n}h^{n})+0.$

Paraboloid (aptarimas) 06:27, 9 kovo 2024 (UTC)

Paaiškinimas kodėl Teiloro formulė atrodo truputi kitaip

Puslapyje gauta Teiloro formulė atrodo taip:

$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(x)+{\frac {h^{3}}{3!}}f'''(x)+...+{\frac {h^{n}}{n!}}f^{(n)}(x).$

O originalus Teiloro formulės pavidalas yra toks:

$f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+...+{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.\quad (1)$

Įstatykime į (1) formulę vietoje x, reikšmę x+h, o vietoje a, įstatykime reikšmę x. Be to, liekamąjį narį prilyginkim nuliui. Tada (1) formulė bus tokia:

$f(x+h)=f(x)+{\frac {f'(x)}{1!}}([x+h]-x)+{\frac {f''(x)}{2!}}([x+h]-x)^{2}+{\frac {f'''(x)}{3!}}([x+h]-x)^{3}+...+{\frac {f^{(n)}(x)}{n!}}([x+h]-x)^{n}=$

$=f(x)+hf'(x)+{\frac {h^{2}}{2!}}f''(x)+{\frac {h^{3}}{3!}}f'''(x)+...+{\frac {h^{n}}{n!}}f^{(n)}(x).$

Tokiu budu ir gavome [pagrindinės algebros teoremos] puslapio kitaip atrodančią Teiloro formulę.

Ką reiškia "mažėjanti seka nebutinai artėja prie nulio"?

Po Dalamberio lemos parašyta:

"Remiantis tik Dalamberio lema, negalima įrodyti tokių taškų egzistavimą. Iš tiesų, naudojantis šita lema, galima tik rasti tokią begalinę seką taškų $x_{0},\;x_{1},\;x_{2},\;...,$ kad

$|f(x_{0})|>|f(x_{1})|>|f(x_{2})|>...\quad (11)$

Iš čia neseka egzistavimas tokio taško ${\overline {x}},$ kad $f({\overline {x}})=0,$ tuo labiau, kad mažėjanti seka teigiamų realiųjų skaičių (11) visai nebūtinai artėja prie nulio."

Nagrinėkime tokią didėjančią seką:

2, 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999, 2.99999, ...

Ši seka yra didėjanti, bet ji artėja prie 3, t. y. jos riba yra 3. Šią seką galima užrašyti taip:

$x_{1}=2,\;\;x_{n+1}=x_{n}+9\cdot 10^{-n},\;\;n=1,\;2,\;3,\;...$

Toliau nagrinėkime tokią mažėjančią seką:

3, 2.9, 2.89, 2.889, 2.8889, 2.88889, ...

Ši seka yra mažėjanti, bet ji artėja maždaug prie skaičiaus 2.(8)=2.8888888888... Šią seką galima užrašyti taip:

$x_{1}=3,\;\;x_{n+1}=x_{n}-10^{-n},\;\;n=1,\;2,\;3,\;...$

Ši seka gaunama iš 3 atėmus 0.1, paskui iš 2.9 atėmus 0.01 (tada gauname 2.89), paskui iš 2.89 atėmus 0.001, gauname 2.889 ir taip toliau.

Taigi, parodėme, kad mažėjanti seka teigiamų realiųjų skaičių nebūtinai artėja prie 0.