Atverti pagrindinį meniu

Pagrindinė algebros teoremaKeisti

 -tojo laipsnio polinomas (taigi, ir lygtis) turi lygiai n kompleksinių šaknų (sprendinių).

Tiesinė lygtisKeisti

Bendra forma:

 

Sprendinys:

 

Nepilnoji kvadratinė lygtisKeisti

Bendasdzcra forma:

 

Sprendimas:

 

Pilnoji kvadratinė lygtisKeisti

Bendra forma:

 

Sprendimas:

randame pagalbini skaičių – diskriminantą D:

 

Tada jei  , tai realiųjų skaičių aibėje sprendinių nėra. Priešingu atveju realiuosius sprendinius rasime taip:

 

  • Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.
 
 
 
Patikriname:
 
 

Tuo atveju, kai lygties šaknys kompleksiniai skaičiaiKeisti

Lygties   sprendiniai
 
 
kurie yra kompleksiniai skaičia randami taip:
 
 
 


Lygties   sprendiniai
 
 
kurie yra kompleksiniai skaičia randami taip:
 
 


  • Pavyzdis. Rasti sprendinius lygties
 
Sprendimas.
 
 
 
Patikriname, kad
 
 
 
 
ir
 
 
 
 

Kvadratinė lygtis, kurios Keisti

Bendra forma:

 

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

 

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

 

Kvadratinė lygtis, kurios Keisti

Duota kvadratinė lygtis:

 

kurią perrašome taip:

 
Čia  
Todėl:
 
 
 
 
 
 
 
 

Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koksKeisti

Duota kvadratinė lygtis:

 
 

kurią perrašome taip:

 
Čia  
Todėl:
 
 
 
 
 
 
 
 

Bikvadratinė lygtisKeisti

Bendra forma:

 

Sprendimas:

pažymime  , tada  .

 ,

o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra   ir  .

Grįžtame prie pažymėjimo:

 ,

o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius  .

Vijeto teoremaKeisti

Jei yra lygtis

 
Tai
 
 
 
ir taip toliau, kur
 

Kvadratinė lygtisKeisti

Jei yra lygtis

 
tai lygties sprendiniai:
 
 

Kubinė lygtisKeisti

Jei yra lygtis

 
tai lygties sprendiniai:
 
 
 

Ketvirto laispnio lygtisKeisti

Jei yra lygtis

 
tai lygties sprendiniai:
 
 
 
 

Pilnoji kubinė lygtisKeisti

Bendra forma:

 

Sprendimas:

Lygtį padalijame iš a ir keitiniu  , pertvarkome lygtį į paprastesnį pavidalą

 .

Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:

 

Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:

1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.

2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.

3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.

Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis

 

Kai D > 0, ši šaknis vienintelė

Kai D ≤ 0, tai lygtį   padaliję iš reiškinio  , gausime kvadratinę lygtį, kurios sprendimas nurodytas aukščiau.

Kubinė lygtis, kurios Keisti

Bet kokia kūbinė lygtis, kurios   yra išsprendžiama be jokių sunkumu.


  • Pavyzdis Turime kūbinę lygtį   be skaičiaus d. Tuomet ją sprendžiame taip:
 
 
Vadinasi arba x=0 arba  

Išsprendžiame kvadratinę lygtį ir gauname tris realiasias šaknis arba dvi, arba vieną x=0, kai diskriminantas neigiamas.

Kubinės lygties sprendimas Kordano metoduKeisti

Yra kubinė lygtis:

 
Pakeičiame   gauname:
 
 
 
 
 
 
 
 
Pažymime   ir pakeitę gauname:
 
Tegu   yra sprendinis lygties   (pagal teorema lygtis   turi 3 kompleksines šaknis). Įvedame pagalbinį u ir tikimes, kad polinomas
 
padės surasti   [jei lygtis   bus teisingai išspresta].
Polinomo koeficientai - kompleksiniai skaičiai, ir todėl jis turi dvi kompleksines šaknis   ir  , be to, pagal Vijeto formulę,
 
 
Įstatę   į lygtį   gauname:
 
 
 
 
Iš lygties   turime, kad:
 
 
Todėl gauname:
 
 
 
Dabar turime nauja gabaliuką iš Vijeto teoremos, tai yra lygtis   Mes žinome, kad koeficientas q priklauso lygčiai  . Todėl taip pat turime padaryti ir su kitu gabaliuku, kad sudėtos ir sudaugintos dalys duotų koeficientus (b ir c Vijeto teoremoje žymimi kvadratinėje lygtyje), taigi pakeliame kubu lygtyje   narius  ,   ir kitą pusę. Ir gauname:
 
Šios dalys     yra g ir s koeficientai kvadratinės lygties   kuri turi sprendinius   ir   (iš Vijeto teoremos). Taigi, užtenka paaiškinimų, o dabar įstatome koeficientus į kvadratinę lygtį ir gauname:
 
Randame diskriminantą:
 
Randame sprendinius:
 
 
Toliau   ir   įsistatome į lygtį   kad surasti lygties   sprendinį (šaknį)  . Taigi, gauname:
 
 
Kalbant apie kompleksinius sprendinius, negalima imti tokių sprendinių, kurie netenkina salygos  
 
Na, o visi sprendiniai yra šie:
 
 
 
Jei sudėti ant apskritimo, kurio spindulys r=1, taškus   ir  , tai   laipsnių, o   laipsnių. Na o  , todėl   laipsnių (arba 0 laipsnių).
 
 


  • Pavyzdis. Išspresti lygtį  
Keitinys   (čia a yra koeficientas esantis prie  ) suprastina šitą lygtį į tokią lygtį:
 
 
 
 
 
Čia  ,  , todėl
 
t. y. lygtis   turi vieną tikrąjį ir du kompleksinius sprendinius.
Pagal formulę:
 
 
Todėl     t. y.  . Du kitus sprendinius rasime pagal formules:
 
 
Iš čia gauname, kad sprendiniai užduotos lygties yra skaičiai:
 
 
 
Patikriname, kai  , tai:

 

Patikriname, kai  , tai:
 
  • Pavyzdis. Išspręsti lygtį

 

Čia  ,  , todėl
 
 
 
Iš čia seka:   t. y.   Todėl
 
 
 
Patikriname įstatę   ir gauname:
 
Patikriname įstatę   ir gauname:
 
Pasinaudodami šiuo pavyzdžiu patvirtinsime šias formules:
 
 
 
 
čia  ,  ,  ,  ,  . Atitinkamai turime:
 
 
 
 
Kai   tai
 
 
 
Taip pat ir su q, kai   tai
 
 
 


  • Pavyzdis. Išspręsti lygtį

 

Čia  ,  , todėl
 
Tokiu atveju, jeigu pasilikti srityje realiųjų skaičių, Kardano formulė šiai lygybei netinka, nors šios lygybė sprendiniai ir yra 2, 3 ir  .

Kubinė lygtisKeisti

Kanoninė forma:

 
Padaliname iš a ir įvedame vietoje x naują kintamjį  
kur   ir  
Kardano sprendiniai  

kur  

o   ir   yra sprendiniai lygties   t. y.  
Tuo atveju, kai   tris tikrieji sprendiniai išreiškiami kompleksiniais dydžiais, ir protinga naudotis lentelės skaičiavimo budu.
  • Pavyzdis.   Čia p=2, q=1;  
 
 
Tikrasis sprendinis yra  
Kompleksiniai sprendiniai:

 

Patikriname:

 


  • Pavyzdis.   Čia p=1/3, q=1/2;  
 
 
Tikrasis sprendinis yra  
Patikriname:
 


  • Pavyzdis.   Čia p=7/3=2.3(3), q=18/2=9;  
 
 
Tikrasis sprendinis yra  
Patikriname:
 

Kūbinės lygties sprendiniaiKeisti

Jei duota lygtis

 
tai jos 3 sprendiniai yra šie:

 

   

   


  • Pavyzdis. Rasime lygties   realųjį sprendinį. Gauname:

       

 
 
 
 
Patikriname:
 
 
Galbūt nebuvo gautas 0, nes šis   skaičius neturėtų būti neigiamas.


  • Pavyzdis. Rasime lygties   realųjį sprendinį. Gauname:

       

 
 
Patikriname:
 


  • Pavyzdis. Rasime lygties   realųjį sprendinį. Gauname:

       

 
 
Patikriname:
 

NuorodosKeisti