Gravitacija

Gravitacija yra kūno masės m kritimas žemyn iš auksčio h. Pasiekęs žemę kūnas turi greitį v. Gravitacijos pagreitis g visose planetose skirtingas. Planetoje Žemė laisvojo kritimo pagreitis $g=9.8(m/s^{2})$. Užrašas g=10 (m/s)/s reiškia, kad kūnas per vieną sekundę išsibegėja iki greičio $v=10$ m/s. Per dvi sekundes kūnas išsibegėja iki greičio $v=a\cdot t=10\cdot 2=20\;(m/s).$ Pagreitis gali būti ir automobilio, tik skirtumas tas, kad horizantalia plokštuma judančių objektų pagreitis žymimas raide a. O horizonataliu paviršiumi nukaktas kelias žymimas S raide.

Gravitacijos formulės

Greičio formulės:

$v=g\cdot t=a\cdot t;$

$v={\frac {2\cdot h}{t}}={\frac {2\cdot S}{t}};$

$v={\sqrt {2gh}}.$

Kelio arba, kitaip sakant, atstumo, kuri nukris daiktas, formulės:

$h={\frac {v}{2}}\cdot t,$

čia v yra galutinis greitis, pasiektas prisilietus prie žemės, t yra laikas (po kurio prilietė žemę);

$h={\frac {g\cdot t^{2}}{2}},$

$S={\frac {a\cdot t^{2}}{2}},$

čia a ir g yra tas pats pagreitis. Raide h žymimas aukštis iš kurio buvo mestas kūnas, o raide S žymimas nukaktas kelias.

Laiko po kurio nukris kūnas formulės:

$t={\sqrt {\frac {2\cdot h}{g}}}={\sqrt {\frac {2\cdot S}{a}}};$

$t=v/g=v/a.$

Pagreičio formulės:

$g={\frac {2h}{t^{2}}},$

$a={\frac {2S}{t^{2}}};$

$g=a={\frac {v}{t}}.$

Kitos formulės:

$gh={\frac {v^{2}}{2}},$

$gh={\frac {(gt)^{2}}{2}},$

$h={\frac {gt^{2}}{2}}.$

Pavyzdžiai

• Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=10 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 10 sekundžių. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

$h={\frac {g\cdot t^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 10^{2}}{2}}=500\;(m).$

$v=g\cdot t=10\cdot 10=100\;(m/s).$

• Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=5 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 5 sekundžių. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

$h={\frac {g\cdot t^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 5^{2}}{2}}={\frac {250}{2}}=125\;(m).$

$v=g\cdot t=10\cdot 5=50\;(m/s).$

• Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=3 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 3 sekundžių. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

$h={\frac {g\cdot t^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 3^{2}}{2}}={\frac {90}{2}}=45\;(m).$

$v=g\cdot t=10\cdot 3=30\;(m/s).$

• Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=2 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 2 sekundžių. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

$h={\frac {g\cdot t^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 2^{2}}{2}}={\frac {40}{2}}=20\;(m).$

$v=g\cdot t=10\cdot 2=20\;(m/s).$

• Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=1 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

$h={\frac {g\cdot t^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 1^{2}}{2}}={\frac {10}{2}}=5\;(m).$

$v=g\cdot t=10\cdot 2=20\;(m/s).$

• Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=76 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 76 sekundes. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

$h={\frac {g\cdot t^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 76^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 5776}{2}}=28880\;(m).$

$v=g\cdot t=10\cdot 76=760\;(m/s).$

• Kokį atstumą nukris 1 kg kūnas ir kokį galutinį greitį pasieks po laiko t, kai

a) $t=5\;(s),\;a=20\;(m/s^{2});$

b) $t=10\;(s),\;a=10\;(m/s^{2});$

c) $t=20\;(s),\;a=5\;(m/s^{2})$?

Oro pasipriešinimo nepaisyti.

Sprendimas.

a) $v=at=20\cdot 5=100\;({\text{m/s}});$

$S={\frac {at^{2}}{2}}={\frac {20\cdot 5^{2}}{2}}={\frac {20\cdot 25}{2}}={\frac {500}{2}}=250\;({\text{m}});$

b) $v=at=10\cdot 10=100\;({\text{m/s}});$

$S={\frac {at^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 10^{2}}{2}}={\frac {100}{2}}=500\;({\text{m}});$

c) $v=at=20\cdot 5=100\;({\text{m/s}});$

$S={\frac {at^{2}}{2}}={\frac {5\cdot 20^{2}}{2}}={\frac {5\cdot 400}{2}}=1000\;({\text{m}}).$

Sunkesni pavyzdžiai

• Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Aukštis iš kurio paleistas akmuo yra h=100 metrų. Rasime akmens galutinį greitį ir laiką, per kurį akmuo pasieks žemę. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

$t={\sqrt {\frac {2\cdot h}{g}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 100}{10}}}={\sqrt {20}}=4.472135955.$

$v=a\cdot t=10\cdot 4.472135955=44.72135955.$

arba

$v={\frac {2\cdot h}{t}}={\frac {2\cdot 100}{\sqrt {20}}}={\frac {200}{2{\sqrt {5}}}}={\frac {100}{\sqrt {5}}}=44.72135955.$

• Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Aukštis iš kurio paleistas akmuo yra h=50 metrų. Rasime akmens galutinį greitį ir laiką, per kurį akmuo pasieks žemę. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

$t={\sqrt {\frac {2\cdot h}{g}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 50}{10}}}={\sqrt {10}}=3,16227766$ sekundės.

$v=a\cdot t=10\cdot 3,16227766=31.6227766$ (m/s).

• Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Aukštis iš kurio paleistas akmuo yra h=500 metrų. Rasime akmens galutinį greitį ir laiką, per kurį akmuo pasieks žemę. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

$t={\sqrt {\frac {2\cdot h}{g}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 500}{10}}}={\sqrt {100}}=10$ sekundžių.

$v=a\cdot t=10\cdot 10=100$ (m/s).

• Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Aukštis iš kurio paleistas akmuo yra h=1 metras. Rasime akmens galutinį greitį ir laiką, per kurį akmuo pasieks žemę. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

$t={\sqrt {\frac {2\cdot h}{g}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 1}{10}}}={\sqrt {0.2}}=0,447213595$ sekundės.

$v=a\cdot t=10\cdot 0,447213595=4,447213595$ (m/s).

• Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Aukštis iš kurio paleistas akmuo yra h=1/2 metro. Rasime akmens galutinį greitį ir laiką, per kurį akmuo pasieks žemę. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

$t={\sqrt {\frac {2\cdot h}{g}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 0,5}{10}}}={\sqrt {0.1}}=0,316227766$ sekundės.

$v=a\cdot t=10\cdot 0,316227766=3.16227766$ (m/s).

• Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas, kada krito akmuo yra t=6 s. Rasime krentančio akmens vidutinį greitį per kiekvieną atskirą sekundę. Ir rasime atstumą kurį nukris akmuo per 6 sekundes.

Sprendimas. Per pirmą sekundę vidutinis greitis yra lygus $v_{vid1}={\frac {v_{0}+v_{1}}{2}}={\frac {0+10}{2}}=5\;(m/s).$ Vadinasi nukris 5 metrus per pirmą sekundę. Čia $v_{0}$ yra greitis laiko momentu t=0 s. O $v_{1}$ yra greitis laiko momentu t=1 s. Analogiškai, $v_{2}$ yra greitis, laiko momentu t=2 s. O $v_{3}$ yra greitis, laiko momentu t=3 sekundės ir taip toliau.

$v_{vid2}={\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}={\frac {10+20}{2}}=15\;(m/s).$

$v_{vid3}={\frac {v_{2}+v_{3}}{2}}={\frac {20+30}{2}}=25\;(m/s).$

$v_{vid4}={\frac {v_{3}+v_{4}}{2}}={\frac {30+40}{2}}=35\;(m/s).$

$v_{vid5}={\frac {v_{4}+v_{5}}{2}}={\frac {40+50}{2}}=45\;(m/s).$

$v_{vid6}={\frac {v_{5}+v_{6}}{2}}={\frac {50+60}{2}}={\frac {110}{2}}=55\;(m/s).$

Atstumas, kurį nukris akmuo per 6 sekundes yra:

$h=5+15+25+35+45+55=180$ metrų.

$h={\frac {g\cdot t^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 6^{2}}{2}}={\frac {360}{2}}=180\;(m).$

• Akmuo mestas vertikaliai į dangų nuo pat žemės (iš griovio) greičiu v=17 m/s. Pagreitis g=9,8 (m/s)/s. Rasime didžiausią aukštį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

Sprendimas. Reikia surasti iš kokio aukščio akmuo nukristų ant žemės, kai butų pasiektas greitis 17 m/s. Tokiame aukštyje akmuo ir sustos ir tai bus jo maksimalus pakilimo aukštis.

$t=v/g=17/9.8=1.734693878$ s.

$h={\frac {v}{2}}\cdot t={\frac {17}{2}}\cdot 1.734693878=14.74489796$ m, arba

$h={\frac {g\cdot t^{2}}{2}}={\frac {9.8\cdot 1.734693878^{2}}{2}}={\frac {9.8\cdot 3.009162849}{2}}={\frac {29.48979592}{2}}=14.74489796\;(m).$

Vadinasi akmuo pasieks didžiausią pakilimo tašką virš žemės 14,74489796 metrų aukštyje.

• Akmuo mestas $\alpha =45$ laipsnių kampu v=17 m/s greičiu iš aukščio 0 metrų. Laisvojo kritimo pagreitis yra 9,8 $m/s^{2}$. Rasime atstumą (tiesės ilgį), kuris buvo numestas nuo metimo taško iki akmens nukritimo taško. Oro pasipriešinimas netaikomas.

Sprendimas. Iš pradžiu reikia rasti akmens šešėlio greitį (akmens greitį judant vien horizontaliai arba kitaip sakant horizontalios projekcijos greitį) iki to kai akmuo pakils į aukščiausią tašką. Horizontalios projekcijos greitis yra randamas pagal formulę:

$v_{horiz}=v\cdot \cos(\alpha )=17\cdot \cos(45)=17\cdot \cos {\frac {\pi }{4}}=12.02081528\;(m/s).$

Akmuo kils į viršu pradiniu greičiu (vertikali greičio projekcija):

$v_{vert.prad.}=v\cdot \sin \alpha =17\cdot \sin {\frac {\pi }{4}}=12.02081528\;(m/s).$

Akmens vidutinis kilimo greitis yra:

$v_{vert.vid.}={\frac {v_{vert.prad.}}{2}}={\frac {12.02081528}{2}}=6.01040764\;(m/s).$

Akmuo pasieks maksimalų aukštį per laiką:

$t_{kilimo}={v_{vert.prad.} \over g}={\frac {12.02081528}{9.8}}=1.226613804\;(s).$

Akmuo prasilaikys ore du kartus tiek (akmuo nukris po tokio pat laiko kaip ir pakilo), tai iš viso akmuo prabus ore laiko:

$t=t_{kilimo}+t_{kritimo}=1.226613804+1.226613804=2.453227608\;(s).$

Kadangi mes žinome skridimo horizontaliai greitį $v_{horiz}=12.02081528\;(m/s),$ tai galime rasti kelią, kurį nuskris akmuo (kelią kurį nuskris akmens šešėlis, patikslinimui):

$S=v_{horiz}\cdot t=12.02081528\cdot 2.453227608=29.48979592\;(m).$

Maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:

$h=v_{vert.vid.}\cdot t_{kilimo}=6.01040764\cdot 1.226613804=7.37244898\;(m).$

• Akmuo mestas $\alpha =45$ laipsnių kampu v=34 m/s greičiu iš aukščio 0 metrų. Laisvojo kritimo pagreitis yra 9,8 $m/s^{2}$. Rasime atstumą (tiesės ilgį), kuris buvo numestas nuo metimo taško iki akmens nukritimo taško. Oro pasipriešinimas netaikomas.

Sprendimas. Iš pradžiu reikia rasti akmens šešėlio greitį (akmens greitį judant vien horizontaliai arba kitaip sakant horizontalios projekcijos greitį) iki to kai akmuo pakils į aukščiausią tašką. Horizontalios projekcijos greitis yra randamas pagal formulę:

$v_{horiz}=v\cdot \cos \alpha =34\cdot \cos {\frac {\pi }{4}}=24.04163056\;(m/s).$

Akmens pradinis kilimo į viršų greitis:

$v_{vert.prad.}=v\cdot \sin \alpha =34\cdot \sin {\frac {\pi }{4}}=24.04163056\;(m/s).$

Akmens vidutinis kilimo į viršų greitis:

$v_{vert.vid.}={\frac {v_{vert.prad.}}{2}}=24.04163056/2=12.02081528\;(m/s).$

Akmuo pasieks maksimalų aukštį per laiką:

$t_{kilimo}={v_{vert.prad.} \over g}={\frac {24.04163056}{9.8}}=2.453227608\;(s).$

Akmuo prasilaikys ore du kartus tiek (akmuo nukris po tokio pat laiko kaip ir pakilo), tai iš viso akmuo prabus ore laiko:

$t=t_{kilimo}+t_{kritimo}=2.453227608+2.453227608=4.906455216\;(s).$

Kadangi mes žinome skridimo horizontaliai greitį $v_{horiz}=24.04163056\;(m/s),$ tai galime rasti kelią, kurį nuskris akmuo (kelią kurį nuskris akmens šešėlis, patikslinimui):

$S=v_{horiz}\cdot t=24.04163056\cdot 4.906455216=117.9591837\;(m).$

Maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:

$h=v_{vert.vid.}\cdot t_{kilimo}=12.02081528\cdot 2.453227608=29.4897959\;(m).$

• Akmuo mestas $\alpha =30$ laipsnių kampu v=34 m/s greičiu iš aukščio 0 metrų. Laisvojo kritimo pagreitis yra 9,8 $m/s^{2}$. Rasime atstumą (tiesės ilgį), kuris buvo numestas nuo metimo taško iki akmens nukritimo taško. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

Sprendimas. Iš pradžiu reikia rasti akmens šešėlio greitį (akmens greitį judant vien horizontaliai arba kitaip sakant horizontalios projekcijos greitį) iki to kai akmuo pakils į aukščiausią tašką. Horizontalios projekcijos greitis yra randamas pagal formulę:

$v_{horiz}=v\cdot \cos \alpha =34\cdot \cos {\frac {\pi }{6}}=34\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}=17{\sqrt {3}}=29.44486373\;(m/s).$

Akmuo kils į viršu pradiniu greičiu (vertikali greičio projekcija):

$v_{vert.prad.}=v\cdot \sin \alpha =34\cdot \sin {\frac {\pi }{6}}=34\cdot {\frac {1}{2}}=17\;(m/s).$

Akmens vidutinis kilimo greitis:

$v_{vert.vid.}={\frac {v_{vert.prad.}}{2}}=17/2=8.5\;(m/s).$

Akmuo pasieks maksimalų aukštį per laiką:

$t_{kilimo}={v_{vert.prad.} \over g}={\frac {17}{9.8}}=1.734693878\;(s).$

Akmuo prasilaikys ore du kartus tiek (akmuo nukris po tokio pat laiko kaip ir pakilo), tai iš viso akmuo prabus ore laiko:

$t=t_{kilimo}+t_{kritimo}=1.734693878+1.734693878=3.469387755\;(s).$

Kadangi mes žinome skridimo horizontaliai greitį $v_{horiz}=29.44486373\;(m/s),$ tai galime rasti kelią, kurį nuskris akmuo (kelią kurį nuskris akmens šešėlis, patikslinimui):

$S=v_{horiz}\cdot t=29.44486373\cdot 3.469387755=102.1556497\;(m).$

Maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:

$h=v_{vert.vid.}\cdot t_{kilimo}=8.5\cdot 1.734693878=14.744898\;(m).$

• Akmuo mestas $\alpha =60$ laipsnių kampu v=34 m/s greičiu iš aukščio 0 metrų. Laisvojo kritimo pagreitis yra 9,8 $m/s^{2}$. Rasime atstumą (tiesės ilgį), kuris buvo numestas nuo metimo taško iki akmens nukritimo taško. Oro pasipriešinimas nepaisomas.

Sprendimas. Iš pradžiu reikia rasti akmens šešėlio greitį (akmens greitį judant vien horizontaliai arba kitaip sakant horizontalios projekcijos greitį) iki to kai akmuo pakils į aukščiausią tašką. Horizontalios projekcijos greitis yra randamas pagal formulę:

$v_{horiz}=v\cdot \cos \alpha =34\cdot \cos {\frac {\pi }{3}}=34\cdot {\frac {1}{2}}=17\;(m/s).$

Akmens pradinis kilimo į viršų greitis:

$v_{vert.prad.}=v\cdot \sin \alpha =34\cdot \sin {\frac {\pi }{3}}=34\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}=17{\sqrt {3}}=29.44486373\;(m/s).$

Akmens vidutinis kilimo į viršų greitis:

$v_{vert.vid.}={\frac {v_{vert.prad.}}{2}}=29.44486373/2=14.72243186\;(m/s).$

Akmuo pasieks maksimalų aukštį per laiką:

$t_{kilimo}={v_{vert.prad.} \over g}={\frac {29.44486373}{9.8}}=3.004577932\;(s).$

Akmuo prasilaikys ore du kartus tiek (akmuo nukris po tokio pat laiko kaip ir pakilo), tai iš viso akmuo prabus ore laiko:

$t=t_{kilimo}+t_{kritimo}=3.004577932+3.004577932=6.009155863\;(s).$

Kadangi mes žinome skridimo horizontaliai greitį $v_{horiz}=17\;(m/s),$ tai galime rasti kelią, kurį nuskris akmuo (kelią kurį nuskris akmens šešėlis, patikslinimui):

$S=v_{horiz}\cdot t=17\cdot 6.009155863=102.1556497\;(m).$

Maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:

$h=v_{vert.vid.}\cdot t_{kilimo}=14.72243186\cdot 3.004577932=44.23469388\;(m).$

Formulė numestam atstumui nustatyti, metus bet kokiu kampu su horizontu

Atstumas R numesto akmens iš 0 metrų aukščio su pradiniu metimo greičiu $v_{0}$ ir kampu $\phi$ su horizontu, kai oro pasipriešinimas nepaisomas, randamas pagal formulę

$R={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\phi }{g}}$

(g - laisvojo kritimo pagreitis).

Pavyzdžiai

• Akmuo metamas pradiniu greičiu $v_{0}=17$ m/s, kampu $\phi =20^{o}$ su horizontu. Rasime atstumą R kurį nuskris akmuo (rasime trumpiausią atstuma nuo metimo taško iki nukritimo taško):

$R={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\phi }{g}}={\frac {17^{2}\sin(2\cdot 20)}{9.8}}={\frac {289\sin(40)}{9.8}}=18.95567543\;(m).$

Patikrinsime šį atsakymą, naudodamiesi metodu iš "Sunkesni pavyzdžiai".

Horizontalios projekcijos greitis yra randamas pagal formulę:

$v_{horiz}=v_{0}\cdot \cos \phi =17\cdot \cos(20)=15.97477455\;(m/s).$

Akmuo kils į viršu pradiniu greičiu (vertikali greičio projekcija):

$v_{vert.prad.}=v_{0}\cdot \sin \phi =17\cdot \sin(20)=5.8143424365\;(m/s).$

Akmens vidutinis kilimo greitis yra:

$v_{vert.vid.}={\frac {v_{vert.prad.}}{2}}={\frac {5.8143424365}{2}}=2.907171218\;(m/s).$

Akmuo pasieks maksimalų aukštį per laiką:

$t_{kilimo}={v_{vert.prad.} \over g}={\frac {5.8143424365}{9.8}}=0.5933002486\;(s).$

Akmuo prasilaikys ore du kartus tiek (akmuo nukris po tokio pat laiko kaip ir pakilo), tai iš viso akmuo prabus ore laiko:

$t=t_{kilimo}+t_{kritimo}=0.5933002486+0.5933002486=1.18660049725\;(s).$

Kadangi mes žinome skridimo horizontaliai greitį $v_{horiz}=15.97477455\;(m/s),$ tai galime rasti kelią, kurį nuskris akmuo (kelią kurį nuskris akmens šešėlis, patikslinimui):

$R=v_{horiz}\cdot t=15.97477455\cdot 2.453227608=18.9556754245\;(m).$

Maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:

$h=v_{vert.vid.}\cdot t_{kilimo}=2.907171218\cdot 0.5933002486=1.7248254065\;(m).$

Naudodamiesi trigonometrine formule $\sin(2\phi )=2\sin(\phi )\cos(\phi )$ ir numesto atstumo apskaičiavimo metodu iš skyriaus "Sunkesni pavyzdžiai", išvesime formulę $R={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\phi }{g}}$.

Numestas atstumas lygus:

$R=v_{horiz}\cdot t=v_{horiz}\cdot 2t_{kilimo}=v_{0}\cdot \cos \phi \cdot 2\cdot t_{kilimo}.$

Kilimo laikas lygus:

$t_{kilimo}={v_{vert.prad.} \over g}={v_{0}\cdot \sin \phi \over g}.$

Įstatę $t_{kilimo}$ į pirmą formulę, turime:

$R=v_{horiz}\cdot 2t_{kilimo}=v_{0}\cdot \cos \phi \cdot 2\cdot {v_{0}\cdot \sin \phi \over g}={\frac {2v_{0}^{2}\sin \phi \cos \phi }{g}}={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\phi )}{g}}.$

Formulė įrodyta.

Išvesime trumpą formulę nustatymui maksimalaus aukščio h į kuri pakils akmuo, mestas bet kokiu kampu $\phi$ su horizontu.

$h=v_{vert.vid.}\cdot t_{kilimo}={\frac {v_{vert.prad.}}{2}}\cdot {v_{vert.prad.} \over g}={\frac {v_{0}\cdot \sin \phi }{2}}\cdot {v_{0}\cdot \sin \phi \over g}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\phi }{2g}}.$

• Akmuo mestas $\phi =40$ laipsniu kampu su horizontu, pradiniu greičiu $v_{0}=17$ m/s. Rasti atstumą R, kuri nuskris akmuo ir maksimalų aukšti h, į kurį pakils akmuo. Oro pasipriešinimo nepaisyti.

Sprendimas.

$R={\frac {2v_{0}^{2}\sin \phi \cos \phi }{g}}={\frac {2\cdot 17^{2}\sin(40)\cos(40)}{9.8}}={\frac {578\sin(40)\cos(40)}{9.8}}=29.041779655\;(m).$

Arba

$R={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\phi )}{g}}={\frac {17^{2}\sin(2\cdot 40)}{9.8}}={\frac {289\sin(80)}{9.8}}=29.041779655\;(m).$

$h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\phi }{2g}}={\frac {17^{2}\sin ^{2}(40)}{2\cdot 9.8}}={\frac {289\sin ^{2}(40)}{19.6}}={\frac {289\cdot 0.6427876^{2}}{19.6}}=6.092236649\;(m).$

• Virgilijus Alekna, kurio ūgis 2,02 metro, numeta 2 kilogramų metalinį diską 70 metrų mesdamas diską 45 laispnių kampu su horizontu (nes tokiu kampu diskas nuskrieja toliausiai, jei nepaisyti oro pasipriešinimo).

Rasti pradinį metimo greitį $v_{0}$, kuriuo skrieja diskas. Rasti didžiausią aukštį H=h+2,02 į kurį pakyla diskas.

Sprendimas. Manysime, kad oro pasipriešinimą kompensuoja tai, kad diskas metamas iš apytiksliai 2 metrų aukščio (nors tokiam sunkiam ir tankiam diskui oro pasipriešinimas beveik nieko nereiškia, bet Virgilijus Alekna vieną kartą Lietuvoje buvo numetęs 73,88 metro; kita vertus metus iš dviems metrams aukštesnio taško diskas nuskris tik gal vienu metru toliau).

$R={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\phi }{g}},$

$70={\frac {v_{0}^{2}\sin(2\cdot 45)}{9.8}},$

$70={\frac {v_{0}^{2}\cdot 1}{9.8}},$

$70\cdot 9.8=v_{0}^{2},$

${\sqrt {686}}=v_{0},$

$v_{0}=26.191601707\;$ (m/s).

Rasime į kokį aukštį pakils diskas (jei būtų mestas iš 0 metrų aukščio):

$h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\phi }{2g}}={\frac {({\sqrt {686}})^{2}\sin ^{2}(45)}{2\cdot 9.8}}={\frac {686\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}}{19.6}}={\frac {686\cdot {\frac {1}{2}}}{19.6}}={\frac {343}{19.6}}=17.50000000\;(m).$

Dėl to, kad diskas metamas iš apytiksliai 2 metrų aukščio, diskas pakyls apytiksliai 2 metrais aukščiaus, bet dėl oro pasipriešinimo pakils 0,5 metro žemiau, todėl realus aukštis į kurį pakils diskas yra

$H=h+2-0.5=17.5+2-0.5=19$ (metrų).

Pastebėsime, kad jeigu metimo kampas $\phi$ su horizontu lygus 45 laipsniams, tai

$R=4h=4\cdot 17.5=70\;(m).$

Virgilijaus Aleknos nusviestas 70 metrų diskas ore prasilaikė

$t=2t_{kilimo}=2\cdot {v_{vert.prad.} \over g}=2\cdot {v_{0}\cdot \sin \phi \over g}={2{\sqrt {686}}\cdot \sin(45) \over 9.8}={2{\sqrt {686}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}} \over 9.8}={{\sqrt {686}}\cdot {\sqrt {2}} \over 9.8}={{\sqrt {1372}} \over 9.8}=3.77964473\;(s).$

• Metalinis 2 kg diskas metamas tuštumoje (kai nėra oro pasipriešinimo) iš $h_{1}=2$ metrų aukščio, $\phi =45$ laipsnių kampu su horiznotu, $v_{0}={\sqrt {686}}=26.191601707$ (m/s) greičiu. Žinoma, kad diskas pakyla į $h_{0}=h+h_{1}=17.5+2=19.5$ metrų aukštį ir nuo metimo aukščio $h_{1}$ iki nusileidimo iki aukščio $h_{1}=2$ metrų nuskrieja $R=70$ metrų.

Rasti laiką $t_{0}$, kurį diskas iš viso prabuvo ore ir rasti atstumą $R_{0}$, kurį diskas nuskriejo nuo metimo taško iš 2 metrų aukščio iki nukritimo ant žemės taško.

Sprendimas. Iš ankstesnio pavyzdžio randame disko kilimo laiką:

$t_{kilimo}={v_{vert.prad.} \over g}={v_{0}\cdot \sin \phi \over g}={{\sqrt {686}}\cdot \sin(45) \over 9.8}={{\sqrt {686}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}} \over 9.8}={{\sqrt {1372}} \over 19.6}=1.889822365\;(s);$

arba

$t_{kilimo}={\sqrt {\frac {2h}{g}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 17.5}{9.8}}}={\sqrt {\frac {35}{9.8}}}=1.889822365\;(s).$

Toliau randame disko kritimo laiką:

$t_{kritimo}={\sqrt {\frac {2h_{0}}{g}}}={\sqrt {\frac {2\cdot 19.5}{9.8}}}={\sqrt {\frac {39}{9.8}}}=1.994891435\;(s).$

Visas laikas, kurį diskas prabus ore yra:

$t_{0}=t_{kilimo}+t_{kritimo}=1.889822365+1.994891435=3.8847138\;(s).$

Disko horizontalus skrydimo greitis yra:

$v_{horiz}=v_{0}\cdot \cos \phi ={\sqrt {686}}\cdot \cos(45)={\sqrt {686}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\sqrt {1372}}{2}}=18.520259177\;(m/s).$

Atstumas, kuri nuskris diskas (iki tol kol pasieks žemę), metamas iš 2 metrų aukščio, yra:

$R_{0}=v_{horiz}\cdot t_{0}=18.520259177\cdot 3.8847138=71.9459064\;(m).$

Diskas metamas iš 2 metru aukščio tuo pačiu greičiu $v_{0}=26.191601707\;$ (m/s), kaip ir iš 0 metrų aukščio nuskris

$R_{1}=R_{0}-R=71.9459064-70=1.9459064\;$ metro toliau. Nuskris beveik 2 metrais toliau.

Sprendimas kitu budu. Pirmiausia randame vertikalų greitį $v_{h},$ iki kurio diskas įsibegėja krisdamas iš 19.5 metro aukščio iki 2 metrų aukščio:

$v_{h}=v_{vert.prad.}=v_{0}\cdot \sin \phi ={\sqrt {686}}\cdot \sin(45)={\sqrt {686}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}=18.520259177\;(m/s),$ arba

$v_{h}={\sqrt {2gh}}={\sqrt {2\cdot 9.8\cdot 17.5}}={\sqrt {343}}=18.520259177\;(m/s),$ arba

$v_{h}=gt_{kilimo}=9.8\cdot 1.889822365=18.520259177\;(m/s).$

Toliau surandame kokį vertikalų greitį diskas pasiektų, jei kristų iš 2 metrų aukščio:

$v_{1}={\sqrt {2gh_{1}}}={\sqrt {2\cdot 9.8\cdot 2}}={\sqrt {39.2}}=6.260990337\;(m/s).$

Randame vertikalų greitį $v_{0vert},$ kurį diskas pasieks prilietęs žemę, krisdamas iš $h_{0}=19.5$ metrų aukščio:

$v_{0vert}=v_{h}+v_{1}=18.520259177+6.260990337=24.781249514\;(m/s),$ arba

$v_{0vert}={\sqrt {2gh_{0}}}={\sqrt {2\cdot 9.8\cdot 19.5}}={\sqrt {382.2}}=19.54993606\;(m/s).$

Atsakymas 24.781249514 (m/s) yra neteisingas. Tebunie tai pamoka kaip skaičiuoti negalima.

Toliau randame vidutinį greitį $v_{2},$ kuriuo diskas vertikaliai krenta 2 metrų atstumą:

$v_{2}={\frac {v_{h}+v_{0vert}}{2}}={\frac {18.520259177+19.54993606}{2}}=19.0350976\;(m/s).$

Padalinę $h_{1}$ iš disko vertikalaus vidutinio kritimo greičio $v_{2},$ gausime kritimo laiką $t_{1},$ per kurį diskas nukrenta paskutinius 2 metrus iš 19.5 metrų:

$t_{1}={\frac {h_{1}}{v_{2}}}={\frac {2}{19.0350976}}=0.10506906988\;(s).$

Atstumas, kurį nuskris diskas (mestas 45 laipsniu kampu, pradiniu greičiu $v_{0}=26.191601707\;(m/s)$ ir įgijęs horizontalų greitį $v_{horiz}=18.520259177\;(m/s)$) per laiką $t_{1}$ yra:

$R_{1}=t_{1}\cdot v_{horiz}=0.10506906988\cdot 18.520259177=1.9459064058\;(m).$

Skaičiuojant abiais būdais atsakymai sutampa ($R_{1}=1.9459064\;(m)$).

Mesto akmens trajektorija

Mesto akmens M, pradiniu greičiu $v_{0}$, kampu $\alpha$ su teigiama Ox ašimi, padėtis bet kuriuo laiko momentu t nusakoma lygybėmis

$x=v_{0}t\cos \alpha ,$

$y=v_{0}t\sin \alpha -{\frac {gt^{2}}{2}}.$

Tai - parametrinės trajektorijos lygtys (parametras yra laikas t).

Gravitacijos ir parabolės ryšis

Jei duota funkcija $y=x^{2},$ tai pažymėję $x=t$, $y=S=h$, galime surasti momentinį greitį laiko momentu t. Tada

$v=y'=(x^{2})'=2x.$

Parinkę $t=5$ sekunės, gausime greitį $v=2t=2\cdot 5=10$ (m/s).

Randame pagreitį:

$a=g=y''=(x^{2})''=(2x)'=2.$

Kad gauti bet kokį pagreitį reikia imti lygtį $y=cx^{2}.$

• Pavyzdis. Surasti laisvojo kritimo pagreitį planetoje, kurioje po 10 s, kūnas nukrenta 100 metrų. Surasti koks bus greitis po 10 s. Oro pasipriešinimo nepaisyti.

Sprendimas. S=100 (m), t=10 (s). Nesunku matyti, kad $S=t^{2}$, $v=2t=2\cdot 10=20$ (m/s), a=g=(2t)'=2.

Patikriname, kad $a={\frac {2S}{t^{2}}}={\frac {2\cdot 100}{10^{2}}}=2.$

• Pavyzdis. Nukristo atstumo lygtis yra $h=5\cdot t^{2}$. Čia t yra laikas, o h yra aukštis iš kurio mestas kūnas. Rasti kūno greitį po 10 sekundžių ir kokį atstumą nukris kūnas ir koks bus to kūno galutinis greitis ir koks yra laisvojo kritimo pagreitis. Oro pasipriešinimo nepaisyti.

Sprendimas. Duota: t=10 (s). Rasti: v, h, g.

$h=5\cdot t^{2}=5\cdot 10^{2}=5\cdot 100=500\;(m).$

$v=h'=(5\cdot t^{2})'=5\cdot 2t=10t=10\cdot 10=100\;(m/s).$

$g=h''=(5\cdot t^{2})''=(10t)'=10\;(m/s^{2}).$

• Pavyzdis. Nukristo atstumo lygtis yra $h=5\cdot t^{2}$. Čia t yra laikas, o h yra aukštis iš kurio mestas kūnas. Rasti kūno greitį po 5 sekundžių ir kokį atstumą nukris kūnas ir koks bus to kūno galutinis greitis ir koks yra laisvojo kritimo pagreitis. Oro pasipriešinimo nepaisyti.

Sprendimas. Duota: t=5 (s). Rasti: v, h, g.

$h=5\cdot t^{2}=5\cdot 5^{2}=5\cdot 25=125\;(m).$

$v=h'=(5\cdot t^{2})'=5\cdot 2t=10t=10\cdot 5=50\;(m/s).$

$g=h''=(5\cdot t^{2})''=(10t)'=10\;(m/s^{2}).$

• Pavyzdis. Nukristo atstumo lygtis yra $h=5\cdot t^{2}$. Čia t yra laikas, o h yra aukštis iš kurio mestas kūnas. Rasti kūno greitį po 3 sekundžių ir kokį atstumą nukris kūnas ir koks bus to kūno galutinis greitis ir koks yra laisvojo kritimo pagreitis. Oro pasipriešinimo nepaisyti.

Sprendimas. Duota: t=3 (s). Rasti: v, h, g.

$h=5\cdot t^{2}=5\cdot 3^{2}=5\cdot 9=45\;(m).$

$v=h'=(5\cdot t^{2})'=5\cdot 2t=10t=10\cdot 3=30\;(m/s).$

$g=h''=(5\cdot t^{2})''=(10t)'=10\;(m/s^{2}).$

Papildomos formulės geresniam pagreičio ir gravitacijos supratimui

$\sum _{1}^{t}b_{t}=1+2+3+...+t=\int _{0}^{t}t\;\mathbf {d} t+{\frac {t}{2}}={\frac {t^{2}}{2}}+{\frac {t}{2}}.$

$\sum _{1}^{t}b_{t}=1+2+3+...+t=\int _{\frac {1}{2}}^{t+{\frac {1}{2}}}t\;\mathbf {d} t={\frac {t^{2}}{2}}|_{\frac {1}{2}}^{t+{\frac {1}{2}}}={\frac {(t+{\frac {1}{2}})^{2}}{2}}-{\frac {({\frac {1}{2}})^{2}}{2}}=$

$={\frac {t^{2}+2\cdot t\cdot {\frac {1}{2}}+({\frac {1}{2}})^{2}}{2}}-{\frac {\frac {1}{4}}{2}}={\frac {t^{2}+t+{\frac {1}{4}}}{2}}-{\frac {\frac {1}{4}}{2}}={\frac {t^{2}+t+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}}{2}}={\frac {t^{2}+t}{2}}.$

$S=a\int _{0}^{t}t\;\mathbf {d} t=a{\frac {t^{2}}{2}}=a\left({\frac {1}{2}}+\sum _{1}^{n}\left(b_{n}+{\frac {1}{2}}\right)\right)=a(0.5+1.5+2.5+3.5+...+[n+0.5]);$

čia S - kelias arba aukštis; a - pagreitis; t - laikas; $n=t-1$.

Pavyzdžiai

• Kai $t=3,$ tada:

$\sum _{1}^{3}b_{t}=1+2+3=6;$

$\int _{0}^{3}t\;\mathbf {d} t+{\frac {3}{2}}={\frac {3^{2}}{2}}+{\frac {3}{2}}=4.5+1.5=6.$

• Kai $t=4,$ tada:

$\sum _{1}^{4}b_{t}=1+2+3+4=10;$

$\int _{0}^{4}t\;\mathbf {d} t+{\frac {4}{2}}={\frac {4^{2}}{2}}+{\frac {4}{2}}=8+2=10.$

• Kai $t=5,$ tada:

$\sum _{1}^{5}b_{t}=1+2+3+4+5=15;$

$\int _{0}^{5}t\;\mathbf {d} t+{\frac {5}{2}}={\frac {5^{2}}{2}}+{\frac {5}{2}}={\frac {25}{2}}+{\frac {5}{2}}={\frac {30}{2}}=15.$

• Duota: $a=10\;(m/s^{2});\;t=3\;(s).$

Rasti: kelią S.

Sprendimas.

$S=a\int _{0}^{t}t\;\mathbf {d} t=a{\frac {t^{2}}{2}}=10\cdot {\frac {3^{2}}{2}}=10\cdot 4.5=45\;(m);$

$S=a\left({\frac {1}{2}}+\sum _{1}^{n}\left(b_{n}+{\frac {1}{2}}\right)\right)=a(0.5+1.5+2.5+3.5+...+[n+0.5])=10(0.5+1.5+2.5)=45\;(m).$

• Duota: $a=10\;(m/s^{2});\;t=4\;(s).$

Rasti: kelią S.

Sprendimas.

$S=10\int _{0}^{4}t\;\mathbf {d} t=10\cdot {\frac {4^{2}}{2}}=10\cdot 8=80\;(m);$

$S=a\left({\frac {1}{2}}+\sum _{1}^{t-1}\left(b_{n}+{\frac {1}{2}}\right)\right)=a(0.5+1.5+2.5+3.5+...+[t-1+0.5])=10(0.5+1.5+2.5+[4-1+0.5])=$

$=10(0.5+1.5+2.5+3.5)=10\cdot 8=80\;(m).$

• Duota: $a=10\;(m/s^{2});\;t=5\;(s).$

Rasti: kelią S.

Sprendimas.

$S=10\int _{0}^{5}t\;\mathbf {d} t=10\cdot {\frac {5^{2}}{2}}=10\cdot 12.5=125\;(m);$

$S=10\left({\frac {1}{2}}+\sum _{1}^{5-1}\left(b_{n}+{\frac {1}{2}}\right)\right)=10\left({\frac {1}{2}}+\sum _{1}^{4}\left[b_{n}+{\frac {1}{2}}\right]\right)=10(0.5+[1+0.5]+[2+0.5]+[3+0.5]+[4+0.5])=$

$=10(0.5+1.5+2.5+3.5+4.5)=10\cdot 12.5=125\;(m).$

Įrodymas, kad gravitacijos formulė yra teisinga

Įrodysime, kad formulė $h={\frac {gt^{2}}{2}}$ yra teisinga.

• Pavyzdžiui, kokį atstumą h nukris akmuo per 4 sekundes, kai laisvojo kritimo pagreitis $g=10\;({\frac {m}{s^{2}}})$?

Pirmą sekundę akmes greitis bus $v_{1}=gt=10\cdot 1=10\;(m/s).$

Antrą sekundę akmes greitis bus $v_{2}=gt=10\cdot 2=20\;(m/s).$

Trečią sekundę akmes greitis bus $v_{3}=gt=10\cdot 3=30\;(m/s).$

Ketvirtą sekundę akmes greitis bus $v_{4}=gt=10\cdot 4=40\;(m/s).$

Per pirmą sekundę akmes vidutinis greitis bus $v_{vid.1}={\frac {v_{0}+v_{1}}{2}}={\frac {0+10}{2}}=5\;(m/s).$

Per antrą sekundę akmes vidutinis greitis bus $v_{vid.2}={\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}={\frac {10+20}{2}}=15\;(m/s).$

Per trečią sekundę akmes vidutinis greitis bus $v_{vid.3}={\frac {v_{2}+v_{3}}{2}}={\frac {20+30}{2}}=25\;(m/s).$

Per ketvirtą sekundę akmes vidutinis greitis bus $v_{vid.4}={\frac {v_{3}+v_{4}}{2}}={\frac {30+40}{2}}=35\;(m/s).$

Atstumas, kurį akmuo nukris per 4 sekundes yra

$h=v_{vid.1}+v_{vid.2}+v_{vid.3}+v_{vid.4}=5+15+25+35=80\;(m).$

(Per pirmą sekundę akmuo nukrenta 5 metrus; per antrą sekundę akmuo nukrenta 15 metrų; per trečią sekundę akmuo nukrenta 25 metrus; per ketvirtą sekundę akmuo nukrenta 35 metrus.)

Dabar įstatome $t=4\;(s)$ ir $g=10\;({\frac {m}{s^{2}}})$ į formulę $h={\frac {gt^{2}}{2}}$ ir gauname:

$h={\frac {gt^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 4^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 16}{2}}=80\;(m).$

Galima vidutinį akmens kritimo greitį paskaičiuoti taip:

$v_{vid.}={\frac {v_{0}+v_{4}}{2}}={\frac {0+40}{2}}=20\;(m/s).$

Akmuo krito 4 sekundes, todėl akmens nukristas kelias yra akmens kritimo laikas padaugintas iš akmens kritimo vidutinio greičio:

$h=v_{vid.}\cdot t=20\cdot 4=80\;(m).$

Žinant, kad $v_{vid.}={\frac {v_{4}}{2}}={\frac {g\cdot t_{4}}{2}},$ kur $t_{4}=4\;(s),$ galime išvesti $h={\frac {gt^{2}}{2}}$ formulę:

$h=v_{vid.}\cdot t_{4}={\frac {gt_{4}}{2}}\cdot t_{4}={\frac {gt_{4}^{2}}{2}}.$

• Akmuo krenta 6 sekundes. Kokį atsumą nukris akmuo nuo trečios sekundės iki šeštos sekundės? Laisvojo kritimo pagreitis $g=10\;(m/s^{2}).$ Oro pasipriešinimo nepaisyti.

Sprendimas pirmu būdu. Turime $t_{6}=6\;(s),\;t_{3}=3\;(s).$ Randame akmens greitį po 6 sekundžių ir po 3 sekundžių:

$v_{1}=gt_{3}=10\cdot 3=30\;(m/s),$

$v_{2}=gt_{6}=10\cdot 6=60\;(m/s).$

Toliau randame kokius atstumus akmuo nukris po 3 ir po 6 sekundžių padauginę vidutinį greitį iš kritimo laiko:

$h_{1}={\frac {v_{1}}{2}}\cdot t_{3}={\frac {30}{2}}\cdot 3=45\;(m),$

$h_{2}={\frac {v_{2}}{2}}\cdot t_{6}={\frac {60}{2}}\cdot 6=180\;(m);$

arba

$h_{1}={\frac {gt_{3}^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 3^{2}}{2}}=45\;(m),$

$h_{2}={\frac {gt_{6}^{2}}{2}}={\frac {10\cdot 6^{2}}{2}}=180\;(m).$

Dabar tereikia atimti atstumą, kurį akmuo krito pirmas 3 sekundes iš atstumo, kurį akmuo krito visas 6 sekundes:

$h=h_{2}-h_{1}=180-45=135\;(m).$

Sprendimas antru būdu. Pirma reikia surasti koks buvo akmens kritimo vidutinis greitis tarp trečios sekundės ir šeštos sekundės.

$v_{vid.}={\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}={\frac {30+60}{2}}=45\;(m/s).$

Toliau, akmens kritimo vidutinį greitį (tarp $t_{3}$ ir $t_{6}$) padauginame iš akmens kritimo laiko (kuris yra 3 sekundės).

$h=v_{vid.}(t_{6}-t_{3})=45(6-3)=45\cdot 3=135\;(m).$