Atverti pagrindinį meniu

Gravitacija yra kūno masės m kritimas žemyn iš auksčio h. Pasiekęs žemę kūnas turi greitį v. Gravitacijos pagreitis g visose planetose skirtingas. Planetoje Žemė laisvojo kritimo pagreitis . Užrašas g=10 (m/s)/s reiškia, kad kūnas per vieną sekundę išsibegėja iki greičio m/s. Per dvi sekundes kūnas išsibegėja iki greičio Pagreitis gali būti ir automobilio, tik skirtumas tas, kad horizantalia plokštuma judančių objektų pagreitis žymimas raide a. O horizonataliu paviršiumi nukaktas kelias žymimas S raide.

Gravitacijos formulėsKeisti

Greičio formulės:
 
 
Kelio arba, kitaip sakant, atstumo, kuri nukris daiktas, formulės:
 
čia v yra galutinis greitis, pasiektas prisilietus prie žemės, t yra laikas;
 
 
čia a ir g yra tas pats pagreitis. Raide h žymimas aukštis iš kurio buvo mestas kūnas, o raide S žymimas nukaktas kelias.
Laiko po kurio nukris kūnas formulės:
 
 
Pagreičio formulės:
 
 
 

PavyzdžiaiKeisti

  • Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=10 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 10 sekundžių. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
 
 
  • Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=5 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 5 sekundžių. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
 
 
  • Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=3 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 3 sekundžių. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
 
 
  • Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=2 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 2 sekundžių. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
 
 
  • Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=1 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
 
 
  • Pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas t=76 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 76 sekundes. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
 
 


  • Kokį atstumą nukris 1 kg kūnas ir kokį galutinį greitį pasieks po laiko t, kai
a)  
b)  
c)  ?
Oro pasipriešinimo nepaisyti.
Sprendimas.
a)  
 
b)  
 
c)  
 

Sunkesni pavyzdžiaiKeisti

  • Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Aukštis iš kurio paleistas akmuo yra h=100 metrų. Rasime akmens galutinį greitį ir laiką, per kurį akmuo pasieks žemę. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
 
 
arba
 
  • Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Aukštis iš kurio paleistas akmuo yra h=50 metrų. Rasime akmens galutinį greitį ir laiką, per kurį akmuo pasieks žemę. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
  sekundės.
  (m/s).
  • Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Aukštis iš kurio paleistas akmuo yra h=500 metrų. Rasime akmens galutinį greitį ir laiką, per kurį akmuo pasieks žemę. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
  sekundžių.
  (m/s).
  • Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Aukštis iš kurio paleistas akmuo yra h=1 metras. Rasime akmens galutinį greitį ir laiką, per kurį akmuo pasieks žemę. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
  sekundės.
  (m/s).
  • Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Aukštis iš kurio paleistas akmuo yra h=1/2 metro. Rasime akmens galutinį greitį ir laiką, per kurį akmuo pasieks žemę. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
  sekundės.
  (m/s).
  • Laisvojo kritimo pagreitis g=10 (m/s)/s. Laikas, kada krito akmuo yra t=6 s. Rasime krentančio akmens vidutinį greitį per kiekvieną atskirą sekundę. Ir rasime atstumą kurį nukris akmuo per 6 sekundes.
Sprendimas. Per pirmą sekundę vidutinis greitis yra lygus   Vadinasi nukris 5 metrus per pirmą sekundę. Čia   yra greitis laiko momentu t=0 s. O   yra greitis laiko momentu t=1 s. Analogiškai,   yra greitis, laiko momentu t=2 s. O   yra greitis, laiko momentu t=3 sekundės ir taip toliau.
 
 
 
 
 
Atstumas, kurį nukris akmuo per 6 sekundes yra:
  metrų.
 
  • Akmuo mestas vertikaliai į dangų nuo pat žemės (iš griovio) greičiu v=17 m/s. Pagreitis g=9,8 (m/s)/s. Rasime didžiausią aukštį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
Sprendimas. Reikia surasti iš kokio aukščio akmuo nukristų ant žemės, kai butų pasiektas greitis 17 m/s. Tokiame aukštyje akmuo ir sustos ir tai bus jo maksimalus pakilimo aukštis.
  s.
  m, arba
 
Vadinasi akmuo pasieks didžiausią pakilimo tašką virš žemės 14,74489796 metrų aukštyje.
  • Akmuo mestas   laipsnių kampu v=17 m/s greičiu iš aukščio 0 metrų. Laisvojo kritimo pagreitis yra 9,8  . Rasime atstumą (tiesės ilgį), kuris buvo numestas nuo metimo taško iki akmens nukritimo taško. Oro pasipriešinimas netaikomas.
Sprendimas. Iš pradžiu reikia rasti akmens šešėlio greitį (akmens greitį judant vien horizontaliai arba kitaip sakant horizontalios projekcijos greitį) iki to kai akmuo pakils į aukščiausią tašką. Horizontalios projekcijos greitis yra randamas pagal formulę:
 
Akmuo kils į viršu greičiu (vertikali greičio projekcija):
 
Akmuo pasieks maksimalų aukštį per laiką:
 
Akmuo prasilaikys ore du kartus tiek (akmuo nukris po tokio pat laiko kaip ir pakilo), tai iš viso akmuo prabus ore laiko:
 
Kadangi mes žinome skridimo horizontaliai greitį   tai galime rasti kelią, kurį nuskris akmuo (kelią kurį nuskris akmens šešėlis, patikslinimui):
 
Maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:
 


  • Akmuo mestas   laipsnių kampu v=34 m/s greičiu iš aukščio 0 metrų. Laisvojo kritimo pagreitis yra 9,8  . Rasime atstumą (tiesės ilgį), kuris buvo numestas nuo metimo taško iki akmens nukritimo taško. Oro pasipriešinimas netaikomas.
Sprendimas. Iš pradžiu reikia rasti akmens šešėlio greitį (akmens greitį judant vien horizontaliai arba kitaip sakant horizontalios projekcijos greitį) iki to kai akmuo pakils į aukščiausią tašką. Horizontalios projekcijos greitis yra randamas pagal formulę:
 
Akmuo kils į viršu greičiu (vertikali greičio projekcija):
 
Akmuo pasieks maksimalų aukštį per laiką:
 
Akmuo prasilaikys ore du kartus tiek (akmuo nukris po tokio pat laiko kaip ir pakilo), tai iš viso akmuo prabus ore laiko:
 
Kadangi mes žinome skridimo horizontaliai greitį   tai galime rasti kelią, kurį nuskris akmuo (kelią kurį nuskris akmens šešėlis, patikslinimui):
 
Maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:
 


  • Akmuo mestas   laipsnių kampu v=34 m/s greičiu iš aukščio 0 metrų. Laisvojo kritimo pagreitis yra 9,8  . Rasime atstumą (tiesės ilgį), kuris buvo numestas nuo metimo taško iki akmens nukritimo taško. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
Sprendimas. Iš pradžiu reikia rasti akmens šešėlio greitį (akmens greitį judant vien horizontaliai arba kitaip sakant horizontalios projekcijos greitį) iki to kai akmuo pakils į aukščiausią tašką. Horizontalios projekcijos greitis yra randamas pagal formulę:
 
Akmuo kils į viršu greičiu (vertikali greičio projekcija):
 
Akmuo pasieks maksimalų aukštį per laiką:
 
Akmuo prasilaikys ore du kartus tiek (akmuo nukris po tokio pat laiko kaip ir pakilo), tai iš viso akmuo prabus ore laiko:
 
Kadangi mes žinome skridimo horizontaliai greitį   tai galime rasti kelią, kurį nuskris akmuo (kelią kurį nuskris akmens šešėlis, patikslinimui):
 
Maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:
 


  • Akmuo mestas   laipsnių kampu v=34 m/s greičiu iš aukščio 0 metrų. Laisvojo kritimo pagreitis yra 9,8  . Rasime atstumą (tiesės ilgį), kuris buvo numestas nuo metimo taško iki akmens nukritimo taško. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
Sprendimas. Iš pradžiu reikia rasti akmens šešėlio greitį (akmens greitį judant vien horizontaliai arba kitaip sakant horizontalios projekcijos greitį) iki to kai akmuo pakils į aukščiausią tašką. Horizontalios projekcijos greitis yra randamas pagal formulę:
 
Akmuo kils į viršu greičiu (vertikali greičio projekcija):
 
Akmuo pasieks maksimalų aukštį per laiką:
 
Akmuo prasilaikys ore du kartus tiek (akmuo nukris po tokio pat laiko kaip ir pakilo), tai iš viso akmuo prabus ore laiko:
 
Kadangi mes žinome skridimo horizontaliai greitį   tai galime rasti kelią, kurį nuskris akmuo (kelią kurį nuskris akmens šešėlis, patikslinimui):
 
Maksimalus aukštis į kurį pakils akmuo yra:
 

Gravitacijos ir parabolės ryšisKeisti

Jei duota funkcija   tai pažymėję  ,  , galime surasti momentinį greitį laiko momentu t. Tada

 
Parinkę   sekunės, gausime greitį   (m/s).
Randame pagreitį:
 
Kad gauti bet kokį pagreitį reikia imti lygtį  


  • Pavyzdis. Surasti laisvojo kritimo pagreitį planetoje, kurioje po 10 s, kūnas nukrenta 100 metrų. Surasti koks bus greitis po 10 s. Oro pasipriešinimo nepaisyti.
Sprendimas. S=100 (m), t=10 (s). Nesunku matyti, kad  ,   (m/s), a=g=(2t)'=2.
Patikriname, kad  


  • Pavyzdis. Nukristo atstumo lygtis yra  . Čia t yra laikas, o h yra aukštis iš kurio mestas kūnas. Rasti kūno greitį po 10 sekundžių ir kokį atstumą nukris kūnas ir koks bus to kūno galutinis greitis ir koks yra laisvojo kritimo pagreitis. Oro pasipriešinimo nepaisyti.
Sprendimas. Duota: t=10 (s). Rasti: v, h, g.
 
 
 


  • Pavyzdis. Nukristo atstumo lygtis yra  . Čia t yra laikas, o h yra aukštis iš kurio mestas kūnas. Rasti kūno greitį po 5 sekundžių ir kokį atstumą nukris kūnas ir koks bus to kūno galutinis greitis ir koks yra laisvojo kritimo pagreitis. Oro pasipriešinimo nepaisyti.
Sprendimas. Duota: t=5 (s). Rasti: v, h, g.
 
 
 


  • Pavyzdis. Nukristo atstumo lygtis yra  . Čia t yra laikas, o h yra aukštis iš kurio mestas kūnas. Rasti kūno greitį po 3 sekundžių ir kokį atstumą nukris kūnas ir koks bus to kūno galutinis greitis ir koks yra laisvojo kritimo pagreitis. Oro pasipriešinimo nepaisyti.
Sprendimas. Duota: t=3 (s). Rasti: v, h, g.
 
 
 

Papildomos formulės geresniam pagreičio ir gravitacijos supratimuiKeisti

 
 
 
 
čia S - kelias arba aukštis; a - pagreitis; t - laikas;  .

PavyzdžiaiKeisti

  • Kai   tada:
 
 


  • Kai   tada:
 
 


  • Kai   tada:
 
 


  • Duota:  
Rasti: kelią S.
Sprendimas.
 
 


  • Duota:  
Rasti: kelią S.
Sprendimas.
 
 
 


  • Duota:  
Rasti: kelią S.
Sprendimas.
 
 
 


Įrodymas, kad gravitacijos formulė yra teisingaKeisti

Įrodysime, kad formulė   yra teisinga.


  • Pavyzdžiui, kokį atstumą h nukris akmuo per 4 sekundes, kai laisvojo kritimo pagreitis  ?
Pirmą sekundę akmes greitis bus  
Antrą sekundę akmes greitis bus  
Trečią sekundę akmes greitis bus  
Ketvirtą sekundę akmes greitis bus  
Per pirmą sekundę akmes vidutinis greitis bus  
Per antrą sekundę akmes vidutinis greitis bus  
Per trečią sekundę akmes vidutinis greitis bus  
Per ketvirtą sekundę akmes vidutinis greitis bus  
Atstumas, kurį akmuo nukris per 4 sekundes yra
 
(Per pirmą sekundę akmuo nukrenta 5 metrus; per antrą sekundę akmuo nukrenta 15 metrų; per trečią sekundę akmuo nukrenta 25 metrus; per ketvirtą sekundę akmuo nukrenta 35 metrus.)
Dabar įstatome   ir   į formulę   ir gauname:
 
Galima vidutinį akmens kritimo greitį paskaičiuoti taip:
 
Akmuo krito 4 sekundes, todėl akmens nukristas kelias yra akmens kritimo laikas padaugintas iš akmens kritimo vidutinio greičio:
 
Žinant, kad   kur   galime išvesti   formulę:
 


  • Akmuo krenta 6 sekundes. Kokį atsumą nukris akmuo nuo trečios sekundės iki šeštos sekundės? Laisvojo kritimo pagreitis   Oro pasipriešinimo nepaisyti.
Sprendimas pirmu būdu. Turime   Randame akmens greitį po 6 sekundžių ir po 3 sekundžių:
 
 
Toliau randame kokius atstumus akmuo nukris po 3 ir po 6 sekundžių padauginę vidutinį greitį iš kritimo laiko:
 
 
arba
 
 
Dabar tereikia atimti atstumą, kurį akmuo krito pirmas 3 sekundes iš atstumo, kurį akmuo krito visas 6 sekundes:
 
Sprendimas antru būdu. Pirma reikia surasti koks buvo akmens kritimo vidutinis greitis tarp trečios sekundės ir šeštos sekundės.
 
Toliau, akmens kritimo vidutinį greitį (tarp   ir  ) padauginame iš akmens kritimo laiko (kuris yra 3 sekundės).