Atverti pagrindinį meniu

Kelių svarbių Makloreno eilučių išpletimai išvardinti.

Eksponentinė funkcija:

Natūrinis logaritmas:

  • Pavyzdžiui, kai x=0.1:

  • Pavyzdžiui, kai x=50:
Tuo tarpu skaičiuotuvo reikšmė yra


Ne begalinės geometrinės eilutės:

Begalinės geometrinės eilutės:

Variantai begalinių geometrinių eilučių:

Šaknis:

Binomo eilutė (įskaitant šaknį alfai α = 1/2 ir begalinės geometrinės eilutės alfai α = −1):

su apibendrintais binominiais koeficientais

Trigonometrinės funkcijos:

where the Bs are Bernoulli numbers.

Hiperbolinės funkcijos:

Lamberto W funkcija:

Skaičiai Bk esantis sudeties išpletime tan(x) ir tanh(x) yra Bernulio skaičiai. Ek išpletime sec(x) yra Eulerio skaičiai.

Įrodymas per Pitagoro teoremąKeisti

Bus per Pitagoro teoremą įrodyta, kad sinuso, kosinuso eilutės ir skaičiuotuvo reikšmės yra teisingos.

Iš pradžiu, paliginsime kalkuliatoriaus reikšme, tam tikram kampui k su   Tailoro eilutės rezultatu. Tarkim, kampas k=60 laipsnių arba   radianų. Tuomet kalkuliatoriaus reikšmė:

 
 
 
 

Net po salyginai trumpos eilutės atsakymo tikslumas gavosi =>9 skaičiai po kablelio.

Kai kampas k=1 radianas, tada  .
 
 
 
 

  Kalkuliatoriaus reikšmė:  .

Tariam, kad  , o  . Kampas k šioje užduotyje yra lygus 1 radianui (k=1). Tiesės a reikšmės gali būti nuo 0 iki 1. Tiesės b reikšmės gali būti nuo 0 iki 1.

Dabar toliau labai svarbu apčiupti bet kuriuos taškus ant apskritimo, kurio spindulys r=1, bet, kad tie taškai sujungtų daug trumpų tiesių taip, kad tos sujungtos tiesės labai primintų apskritimo lanko formą ir kad kiekviena tiesė nebūtų ilgesnė 3 kartus už betkurią kitą tiesę, kuri jungia bet kuriuos 2 taškus. Taigi, pradedame rinkti taškus ant Ox ašies:  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ;  ; koordinatės   gali ir neprireikti, nes   negali būti labai maža reikšmė. Kiekvieno taško koordinatės ant apskritimo lanko bus užrašytos šitaip:  ,  ,           Dalį koordinačių jau galima užrašyti dabar:            ,  . Likusią dalį koordinačių gausime pasinaudoję Pitagoro teorema:

 
 
 
 
 
 
 

Dabar žinome visų reikiamų taškų, esančių ant apskritimo lanko, koordinates:            ,  .

Jeigu kalkuliatorius suranda teisingai   ir   reikšmes, tai sudėję visus tiesių ilgius (šių tiesių ilgiai bus surasti), kuriuos sudaro taškai turėtume gauti kampą k .

Yra žinoma, kad atstumas h nuo vieno taško   iki kito taško   yra randamas pagal formulę:

 
Todėl:
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 

Matome, kad  , bet sudėjus 5 dalis gaunama   arba sudėjus 6 dalis gaunama   (todėl tikslingiau būtų skirstyti po 0,05 tiesę a, kad gautusi 0,55). Bet  , todėl arba 1-0,5=0.5 arba 1-0.6=0.4. Su sinusu reikalai yra tokie  .

 
 
 
 
 
 
 
 

Matome, kad sudejus tik penkias dalis, gaunami atsakymai artimesni skaičiuotuvu gautai reikšmei nei sudėjus 6 dalis.

 
 
Štai dar kalkuliatoriumi gautos reikšmės palygintos su per Pitagoro teoremą gautomis reikšmėmis:
  prieš 0,5.
  prieš 0,866025401.
  prieš 0,4.
  prieš 0,916515136.

NuorodosKeisti