Atverti pagrindinį meniu

Matematika/Antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviaisiais koeficientais

Antrosios eilės tiesine homogenine diferencialine lygtimi su pastoviaisiais koeficientais vadinama lygtis

Tokia lygtis išsprendžiama parinkus
Toliau gauname,
Kadangi nėra tokio k, kad būtų lygi nuliui, tai
Išsprendžiant šią lygtį ir bus gautas diferencialinės lygties sprendinys (arba du sprendiniai). Yra trys atvejai, kai kai ir kai sprendiniai yra kompleksiniai skaičiai.

Vronskio determinantasKeisti

Vronskio determinantas pavadintas Juzefo Vronskio (J. Wronski, 1776-1853) vardu. Oficialiai laikoma, kad Vronskio determinantas padeda spręsti Antrosios eilės tiesines homogenines diferencialines lygtis su pastoviaisiais koeficientais, tačiau teisybė yra, kad jis neturi su jomis nieko bendro (senovėje šito nesuprato arba ir dabar ne visi supranta, todėl neišima jo iš vadovelių). Dėl šios priežasties Vronskio determinantas čia nebus nagrinėjamas. Bent jau Vronskio determinantas tikrai nereikalingas kai  
Vronskio determinanto radimas:
 
Kai   ir   yra atskirieji lygties sprendiniai.

Charakteringosios lygties šaknys ir yra realios ir skirtingosKeisti

Jeigu lygties
 
sprendiniai   ir   yra realieji skaičiai ir skirtingi, tuomet diferencialinės lygties sprendiniai yra
 
Bendrasis lygties
 
sprendinys yra
 


Įrodymas. Turime lygtį
 
Tokia lygtis išsprendžiama parinkus  
Toliau gauname,
 
 
 
Kadangi nėra tokio k, kad   būtų lygi nuliui, tai
 
Gavome, kad   Tuomet yra du elementariausi diferencialinės lygties sprendiniai:
  ir  
Bet mes tikimes, kad gali būti ir sudetingesni sprendiniai, todėl parenkame tokią funkciją z, kuri gali buti arba funkcija nuo x (kaip pavyzdžiui  ), arba konstanta ( ). Šią funkciją z padauginame su diferencialinės lygties sprendiniais ir gauname:
  ir  
Randame   ir   pirmos ir antros eilės išvestines:
 
 
 
 
 
Įstatome   reikšmes į lygtį   ir gauname:
 
 
 
Mums reikia, kad   būtų lygi nuliui ir   (tada reiškinys   su reikšme  ). Suprantame, kad z turi būti konstanta, nes tik tada   ir  . Suradus, kad  , gauname:
 
 
Šis paskutinis reiškinys tikrai lygus nuliui su bet kokiu skaičiumi   ir su reikšme  .
Analogiškai randame, kad
 
Vadinasi,
 
 
Suprantame, kad tiek su   reikšme išraiška   lygi nuliui, tiek su   reikšme išraiška   lygi nuliui. Iš diferenciavimo taisyklės žinome, kad   todėl įstačius į lygtį   reikšmę   diferencialinės lygties ( ) lygybė bus patenkinta (abiejose pusėse bus nulis). Todėl bendrasis diferencialinės lygties   sprendinys yra
 


PavyzdžiaiKeisti

  • Išspręskime lygtį  
Sprendimas. Įstatome vietoje y reikšmę   ir gauname
 
 
padalinus abi puses iš   gauname
 
 
 
 
Charakteringoji lygtis   turi dvi skirtingas realiąsias šaknis   ir   Todėl bendrasis sprendinys yra
 
Patikriname, kad   tikrai yra lygties   sprendinys:
 
 
 
 
 

Charakteringosios lygties šaknys ir yra vienodosKeisti

Kadangi šiuo atveju   tai turime vieną atskirąjį sprendinį   Kad rasti bendrąjį sprendinį užrašykime
 
Tuomet
 
 
 
Įrašę     ir   išraiškas į lygtį   gauname
 
 
 
Pagal Vieto teoremą   todėl   ir   Todėl gauta forma supaprastėja:
 
 
Kad gauti nulį ir kaip nors išspręsti šitą lygtį mums reikia, kad reikšmė   būtų lygį nuliui, tuomet liks lygtis
 
kurią mes jau galime išspresti reikalaudami, kad  .
Matome, kad   kai   nes    
Todėl turime bendrąjį sprendinį
 
kurį galime užrašyti taip:
 

PavyzdžiaiKeisti

  • Išspręskime lygtį  
Sprendimas. Įstatę   į lygtį, gauname
 
 
Charakteringoji lygtis   turi dvi vienodas realiąsias šaknis   (pagal Vieto teorema   ir  ; diskriminantas  ), todėl bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
 
Patikriname:
 
 
 
Įstatome  ,   ir   reikšmes į lygtį   ir gauname:
 
 
 
 


Charakteringosios lygties šaknys ir yra kompleksinėsKeisti

 
 
čia   be to,  
Įrodyta, kad tokiu atveju bendrasis lygties   sprendinys užrašomas formule
 
Įrodymas. Į lygtį   įstatome   ir gauname:
 
 
 
 
 
 
Taigi, gauname du sprendinius   ir  
Nesunku suprasti, kad jeigu vieną sprendinį (pavyzdžiui,  ) įstatysime į reiškinį   tai gausime nulį. Taip pat nulį gausime jei įstatysime į reiškinį   kitą sprendinį ( ). Įstatant   į lygtį   gauname:
 
 
 
 
 
 
 
 
Abiejose lygybės pusėse gausime nulius, taip pat įstačius   į lygtį  
Be abejonės gausime abiejose lygties   pusėse nulius įstačius   nes tai tas pats kas padauginti visą lygtį iš konstantos:   Taipogi, gausime, kad reiškinys   lygus nuliui, jei įstatysime  
Nesunku suprasti, kad į reiškinį   įstačius   gausime nulį (0+0=0), nes   Dėl to, taip pat gausime nulį įstačius   į reiškinį  
Kad atsikratyti i užrašykime sprendinį taip:
 
Toliau iš trigonometrijos ir kompleksinių skaičių žinome, kad   ir   Todėl parenkame   ir   ir gauname:
 
Toliau parinkime   ir   (šįkart panaudojame kompleksinius skaičius konstantose, kad atsikratyti kompleksinių skaičių galutiniame sprendinyje) ir užrašykime:
 
Vėl žinome, kad jeigu sprendinys   tenkina lygtį   ir jeigu sprendinys   tenkina lygtį  , tai ir jų suma   turi tenkinti lygtį   nes   Be to, jei prirašysime konstantas tai sprendinys   taip pat tenkins lygtį, pagal anksčiau minėta logiką. Todėl galime užrašyti galutinį bendrąjį lygties   sprendinį (be kompleksinių skaičių):
 


PavyzdžiaiKeisti

  • Išspręskime lygtį
 
Sprendimas. Charakteringoji lygtis   turi dvi kompleksines šaknis:   Taigi   Todėl remiantis formule   bendrasis duotosios lygties sprendinys yra
 
Čia