Matematika/Atvirkštinė matrica

Atvirkštinė matrica yra tokia matricos
matrica, kad
čia E yra vienetinė matrica (EA = AE = A).
Atvirkštinė matrica gaunama taip:
|A| yra matricos A determinantas:

Matricos A adjunktas (čia i simbolizuoja adjunkto eilutę, o j simbolizuoja adjunkto stulpelį) į atvirkštinę matricą dedamas tokiu budu, kad j reiškia eilutę atvirkštinėje matricoje, o i reiškia stulpelį.


  • Pavyzdys. Rasti matricos

atvirkštinę matricą.

Pirmiausia rasime matricos A determinantą.
Determinantą galima surasti ir kitu budu, pridėjus antrą determinanto stulpelį, padaugintą iš 3, prie pirmo stulpelio:

Randame matricos A visus adjunktus:

Toliau sudarome ir apskaičiuojame atvirkštinę A matricą:

Sudauginę A matricą su jos atvirkštine matrica , gauname vienetinę matricą:

Antros eilės matricos atvirkštinė matrica

keisti
Tegu duota antros eilės (kvadratinė) matrica
 
Jos atvirkštinė matrica apskaičiuojama taip:
 
čia |A| yra matricos A determinantas:
 
Parodysime kaip ši antros eilės matricos atvirkštinės matricos formulė buvo gauta (ji gauta pagal tuos pačius dėsnius kaip ir trečios ir aukštesnės eilės atvirkštinės matricos).
Matricos
 
adjunktai yra tokie:
 
 
Toliau kaip ir trečios eilės matricai, sukeičiame adjunktų eilutes su stulpeliais (kolonom) ir sudedam į kvadratinę matricą padalintą iš matricos A determinanto:
 
Gavome atvirkštinę matricos A matricą  

Pavyzdžiai

keisti
  • Turime matricą
 
Jos determinantas yra lygus:
 
Matricos A atvirkštinė matrica yra tokia:
 
Sudaugtinę matricą A su jos atvirkštine matrica   gausime vienetinę matricą E:
 


  • Turime matricą
 
Jos determinantas yra lygus:
 
Matricos A atvirkštinė matrica yra tokia:
 
Sudaugtinę matricą A su jos atvirkštine matrica   gausime vienetinę matricą E:
 


  • Turime matricą
 
Šią matricą transponavus ir jos kompleksinius skaičius pakeitus sujungtiniais, gaunama ta pati matrica. Tai yra, matrica   yra hermitinė, nes  
Rasime jos atvirkštinę matricą  
Jos determinantas yra lygus:
 
Matricos   atvirkštinė matrica yra tokia:
 
Sudaugtinę matricą   su jos atvirkštine matrica   gauname:
 
Matrica   nėra unitarinė matrica (unitarinėms matricoms galioja tokia lygybė:  ), nes   Bet Aukštosios Algebros vadovėlyje teigiama, kad matrica   yra unitarinė (būna klaidų ir vadovėliuose).


  • Turime matricą
 
Matrica   nėra hermitinė nes  
Rasime matricos   atvirkštinę matricą  
Matricos   determinantas yra lygus:
 
Matricos   atvirkštinė matrica yra tokia:
 
Matome, kad   bet   nes
 
Vadovėlyje sakoma, kad kadangi determinantas   unitarinės matricos dažnai yra kompleksinis skaičius, tai tik jo modulis yra lygus 1 (kompleksinio skaičiaus   modulis yra  ). Ir dar sakoma, kad unitarinėms ir ortogonalinėms matricoms   Bet ir padauginus matricą
 
ne iš -1, o iš   vis tiek negaunama, kad   yra lygu  
Sudaugtinę matricą   su jos atvirkštine matrica   gauname:
 
Kur ten mato unitarines matricas Aukštosios Algebros vadovėlio pavyzdyje? Nes matricos   ir   nėra unitarinės.


  • Surasime matricų   ir   sandaugos atvirkštinę matricą.
 
Surandame matricos   determinantą:
 
Matricos   atvirkštinė matrica yra tokia:
 
Matome, kad   Jei matrica   yra unitarinė, tai pritaikius jai žvaigždutinę operaciją (*), turėtume gauti atvirkštinę matricą   Žiūrim:
 
(žvaigždutinė operacija sukeičia elementų eilutes su stulpeliais (transponuoja) ir kompleksinius skaičius pakeičia jiems jungtiniais kompleksiniais skaičiais). Gavome, kad matrica   nėra unitarinė (nes  ) ir nėra ermitinė (nes  ). Vadovėlyje teigiama, kad matrica   yra unitarinė (ir kad dviejų unitarinių matricų sandauga yra unitarinė matrica), bet taip nėra.
Sudauginę matricą   su jos atvirkštine matrica   gauname:
 
 


Unitariųjų matricų pavyzdžiai

keisti
Vokiškoj, berdos, Vikipedijoje yra teisingų unitariųjų matricų pavyzdžių: https://de.wikipedia.org/wiki/Unitäre_Matrix


  • Turime unitarinę matricą
 
Jos atvirkštinė matrica yra tokia (matricos U determinantas lygus 1):
 
Sudauginę matricą   su U gauname:
 


  • Turime unitarinę matricą
 
Jos determinantas yra (skaičiuojant determinantą iš kiekvienos matricos eilutės (arba stulpelio) reikia iškelti dauginamąjį, todėl 1/4, o ne 1/2 prieš determinantą):
 
Pritaikę žvaigždutinę operaciją gauname tokią matricą:
 
O sudauginę ką tik gautą matricą su matrica U gauname:
 
Matricos U atvirkštinė matrica yra tokia:
 
 
Visiškai teisingai. Gavome, kad   Matrica U be jokių abejonių yra unitarioji (unitarinė ~1960 metų vadovėlyje).