Atverti pagrindinį meniu
Funkcija (žalia kreivė) ir jos diferencialas taške P (mėlyna tiesė)

Diferencialas - funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Funkcija y = f(x), apibrėžta intervale (a, b), vadinama diferencijuojamąja taške x (a, b), jei jos pokytį Δy = f(x + Δx) - f(x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma: Δy = AΔx + o(Δx); čia A - skaičius, nepriklausantis nuo Δx.

Pavyzdžiui, yra funkcija f(x)=x2. Tos funkcijos išvestinė yra

Įstatykime vietoje x kokią nors reikšmę, pavyzdžiui, x=3.

Δy = AΔx + o(Δx) = 2xΔx + (Δx)2=6Δx + (Δx)2,

čia A = 2x = 6 = f'(x); o(Δx) = (Δx)2.

Taigi funkcijos pokytis yra Δy = f(x + Δx) - f(x) = AΔx + o(Δx), o diferencialas dy = AΔx = y'Δx = y'dx = f'(x)dx; Δx = dx.


Kitaip tariant
Pavyzdžiui, jei tai
arba


  • Rasime funkcijos išvestinę.


išvestinės reikšmė fizikojeKeisti

  • Tarkime, turime funkciją   Čia S yra nueitas taško kelias, o t yra laikas. Funkcija   parodo kokį kelią nukeliauja taškas po laiko   Išvestinė   parodo momentinį taško judėjimo greitį laiko momentu t. Taigi  
  • Pavyzdžiui, jei laikas skaičiuojamas sekundėmis, surasime iš funkcijos   kokį atstumą (metrais) taškas nukeliaus po 10 sekundžių (kai t=10 (s)).
 
Surandame taško momentinį greitį po 10 sekundžių:
 
Gilesniam suvokimui apie gravitacija galima paskaityti čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Gravitacija
  • O štai pavyzdis, kuris patvirtina, kad momentinis greitis paskaičiuotas teisingai.
Pagreitis g=1 (m/s)/s. Laikas t=10 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 10 sekundžių. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
 
 
Kaip matome, atstumas pasiektas 2 kartus mažesnis ir greitis 2 kartus mažesnis. Ar tai įrodo, kad formulės teisingos? Tikriausiai taip. Pavyzdžiui, jei g=2 (m/s)/s, tai gauname:
 
 
Ne veltui sakoma, kad antra funkcijos   išvestinė yra pagreitis  

Sumos, skirtumo, sandaugos ir dalmens diferencijavimo taisyklėsKeisti

Sumos diferencijavimas.

 
 

Sandaugos diferencijavimas.

 

Dalmens diferencijavimas.

 


Sudetinės funkcijos diferencijavimasKeisti

 
  • Pavyzdžiui,
 ,

kur  ;  .

 .


  • Pavyzdys iš trigonometrijos,
 
 
 
 .
Patikriname gautą atsakymą integruodami keičiant kintamajį:
 
čia    

Sudetinės laipsninės funkcijos diferencijavimasKeisti

 
 
 

Pavyzdžiai

  •  
  •  

 

  •  
  •  
  •  


Diferencialinių lygčių sprendimasKeisti

  •  
 
 
 
 
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
 
 
 
 
  •  
 
 
 
  •  
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
 
 
  •  
 
 
 
  •   kai  
 
 
 
 
 
 
 
  •    
 
 
 
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
 
  • Uždavinys apie radiaktyvųjį skilimą. Bandymais nustatyta, kad radioaktyviosios medžiagos skilimo greitis proporcingas nesuskilusios medžiagos kiekiui. Nustatykime nesuskilusios medžiagos kiekio m priklausomybę nuo laiko t, kai pradinis medžiagos kiekis lygus  
Sprendimas. Radioaktyvios medžiagos skilimo greitis lygus  

Pagal sąlyga,

 

čia   - proporcingumo koeficientas. Kadangi radioaktyviosios medžiagos kiekis ilgainiui mažėja, tai   todėl (1) lygties dešinėje pusėje rašome minuso ženklą.

 
 
 

(Norėdami supaprastinti bendrojo sprendimo išraišką, vietoje C rašome  ).

 
 
 
Uždavinio sąlygoje nurodyta, kad laiko momentu   pradinis medžiagos kiekis lygus   Šios sąlygos yra pradinės ir trumpai užrašomos taip:
 

Į (3) reiškinį įrašę vietoje m dydį  , o vietoje t - nulį, gauname:   Taigi iš bendrojo sprendinio išplaukia toks sprendinys

  (4)

atitinkantis duotąsias pradines sąlygas.

Radiaktyvios medžiagos skilimo greitį apibūdina pusamžio, arba pusėjimo trukmės, sąvoka. Taip vadinamas laikas T, per kurį suskyla pusė pradinio radiaktyvios medžiagos kiekio. Į (4) lygybę įrašę   ir   gauname sąryšį
 
 
 
 
 

Taigi koeficientą k su skilimo pusamžiu T sieja sąlyga

 

Tuomet atskirasis diferencialinės lygties sprendinys, iš lygties (4), užrašomas taip:

 
Puamžio T reikšmės nustatomos eksperimentais. Įvairių radioaktyviųjų medžiagų skilimo pusamžio reikšmės yra labai skirtingos (žr. lentelę).
Radiaktyvioji medžiaga Anglis - 14 Plutonis - 244 Radis - 226 Stroncis - 90 Uranas - 235 Uranas - 238
Skilimo pusamžis 5730 metų   metų 1575 metų 28.1 metų   metų   metų

Iš lygties (4), koeficientas k nustatomas iš stebėjimų. Tegu per laiką   skyla a% radiaktyviosios medžiagos nuo pradinės masės   Tenkinama sąlyga

 
 
 
 

Tokiu budu buvo nustatyta, kad Radžiui   (laiko matavimo vienetas - metas).

Įstatę šią reikšmę į formulę (4), gauname:
 
Rasime periodą pusės suskilimo radžio, t. y. laiko tarpą, per kurį suskyla pusė pirminės masės radžio. Įstatę (4) formulę vietoje m reikšmę   gausime lygtį pusamžio T nustatymui:
 
 
  metų.
  • Raketos uždavinys. Raketa su pradine mase   juda tiesiaeigiai dėl nenutrukstamo dujų išmetimo išmetamų iš raketos. Greitis   išmetamų dujų (raketos atžvilgiu) pastovus ir nukeiptas į priešingą raketos judėjimo kryptį su pradiniu greičiu  . Rasime dėsnį raketos judėjimo nepaisydami gravitacijos ir oro pasipriešinimo.
 
Čia   - išnaudojama masė degalų per sekundę, esant nekintamam degalų degimui  , M - kintanti masė raketos.
 
 
Konstantą C randame iš sąlygos  ,   kai  ,   ir todėl
 
Pavyzdžiui, jeigu norima akseleruoti raketą iki šviesos greičio, kai raketos masė su kuru lygi   o raketos masė be kuro lygi   tai kuras sveria pusė raketos masės. Viso išmesto raketos kuro energija, sakykim, anihiliacijos metu yra   Energija reikalinga   masės kūnui pasiektį šviesos greitį yra   o energija reikalinga pasiekti šviesos greitį   kg masės kunui yra   Kai visas kuras bus išmestas (panaudotas), raketos masė pasidarys perpus mažesnė   Todėl, kad kuro išmetimui pasiekti šviesos greitį reikia   energijos, o kuras turi dvigubai daugiau energijos, todėl kuro greitis yra  , o raketos greitis:

   

Todėl, jei nepaisyti reliatyvumo teorijos, raketa pasiektų greitį 0,98c, išnaudojus visą kuro energiją anihiliacijos metu (tarkim kuro stumos naudingumas 100%), kuri sudaro pusę pradinės raketos masės.
Mastant paprastai, reikia pusė objekto masės m energijos  , kad (tam objektui) pasiekti šviesos greitį c. O su visa objekto masės energija galima įgreitinti kuną iki greičio v, kuris randamas, taip:
 
 ,
 
Jeigu raketos masę sudaro 99% kuras tada kuro energija apytiksliai lygi   o energija reikalinga pasiekti raketai šviesos greitį yra   J. Todėl apytiksliai su visa kuro energija bus pasiektas greitis   Pagal formulę:

 

Matyt, ši formulė skirta tik skaičiuoti, kai kuras sudaro visą raketos masę, todėl prieš tai reikėjo taikyti formulę:
 
 
 
Ir istačius:
 

Labai artima maksimaliai įmanomai reikšmei 424264068.7 m/s.

Susiję straipsniaiKeisti