Matematika/Diferencialas

Diferencialas - funkcijos pokyčio tiesinė pagrindinė dalis. Funkcija y = f(x), apibrėžta intervale (a, b), vadinama diferencijuojamąja taške x (a, b), jei jos pokytį Δy = f(x + Δx) - f(x) galima išreikšti dviejų dėmenų suma: Δy = AΔx + o(Δx); čia A - skaičius, nepriklausantis nuo Δx.

Funkcija (žalia kreivė) ir jos liestinė taške P (mėlyna tiesė). Funkcijos diferencialas yra dy.

Pavyzdžiui, yra funkcija f(x)=x2. Tos funkcijos išvestinė yra

Įstatykime vietoje x kokią nors reikšmę, pavyzdžiui, x=3.

Δy = AΔx + o(Δx) = 2xΔx + (Δx)2=6Δx + (Δx)2,

čia A = 2x = 6 = f'(x); o(Δx) = (Δx)2.

Taigi funkcijos pokytis yra Δy = f(x + Δx) - f(x) = AΔx + o(Δx), o diferencialas dy = AΔx = y'Δx = y'dx = f'(x)dx; Δx = dx.


Kitaip tariant
Pavyzdžiui, jei tai
arba


  • Rasime funkcijos išvestinę.


išvestinės reikšmė fizikoje

keisti
  • Tarkime, turime funkciją   Čia S yra nueitas taško kelias, o t yra laikas. Funkcija   parodo kokį kelią nukeliauja taškas po laiko   Išvestinė   parodo momentinį taško judėjimo greitį laiko momentu t. Taigi  
  • Pavyzdžiui, jei laikas skaičiuojamas sekundėmis, surasime iš funkcijos   kokį atstumą (metrais) taškas nukeliaus po 10 sekundžių (kai t=10 (s)).
 
Surandame taško momentinį greitį po 10 sekundžių:
 
Gilesniam suvokimui apie gravitacija galima paskaityti čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Gravitacija
  • O štai pavyzdis, kuris patvirtina, kad momentinis greitis paskaičiuotas teisingai.
Pagreitis g=1 (m/s)/s. Laikas t=10 s. Rasime atstumą, kurį nukris akmuo per 10 sekundžių. Ir rasime greitį, kurį pasieks akmuo. Oro pasipriešinimas nepaisomas.
 
 
Kaip matome, atstumas pasiektas 2 kartus mažesnis ir greitis 2 kartus mažesnis. Ar tai įrodo, kad formulės teisingos? Tikriausiai taip. Pavyzdžiui, jei g=2 (m/s)/s, tai gauname:
 
 
Ne veltui sakoma, kad antra funkcijos   išvestinė yra pagreitis  


  • Trumpai, jeigu S(t) yra atstumas nueitas per laiką t, kai pagreitis yra a, o atstumo priklausomybė nuo laiko užrašoma formule
 
tai momentinio greičio formulė yra tokia:
 
o pagreitis randamas šitaip:
 

Sumos, skirtumo, sandaugos ir dalmens diferencijavimo taisyklės

keisti

Sumos diferencijavimas.

 
 

Sandaugos diferencijavimas.

 

Dalmens diferencijavimas.

 


Sudetinės funkcijos diferencijavimas

keisti
 
  • Pavyzdžiui,
 ,

kur  ;  .

 .


  • Pavyzdys iš trigonometrijos,
 
 
 
 .
Patikriname gautą atsakymą integruodami keičiant kintamajį:
 
čia    

Sudetinės laipsninės funkcijos diferencijavimas

keisti
 
 
 

Pavyzdžiai

  •  
  •  

 

  •  
  •  
  •  


Apytiksliai skaičiavimai taikant diferencialą

keisti
Iš diferencialo apibrėžimo seka, kad jis priklauso linijiniai nuo   ir yra pagrindinė funkcijos priaugimo   dalis. Pats pokytis   priklauso nuo   sudetingiau. Pavyzdžiui, jeigu   tai
  kai tuo metu
 
Daugelyje uždavinių funkcijos priaugimą duotajame taške apytiksliai pakeičia diferencialu šitame taške:
 
Absoliuti paklaida, padarius tokį pakeitimą, lygi   ir, kai   yra begalo mažas dydis aukštesnės eilės nei  
Pavyzdys. Parodysime, kad jeigu   mažas dydis, tai galima naudoti apytikslią formulę
 
Sprendimas. Nagrinėkime funkciją   Kai   mažas, turime
  arba
 
 
 
Taigi,
 
Iš kur parinkę     gausime
 
 
 
Pavyzdžiui, jei   tai   Tikroji reikšmė (iš kalkuliatoriaus) yra  
Pavyzdžiui, jei   tai   Tikroji reikšmė (iš kalkuliatoriaus) yra  

Diferencialinių lygčių sprendimas

keisti
  •  
 
 
 
 
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
 
 
 
 
  •  
 
 
 
  •  
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
 
 
  •  
 
 
 
  •   kai  
 
 
 
 
 
 
 
Aiškiau, tai reikia pasinaudoti šita formule  . Tada
 
 
 


  •    
 
 
 
 
 
 
 
  •  
 
 
 
 
 


Uždavinys apie radiaktyvųjį skilimą

keisti
  • Uždavinys apie radiaktyvųjį skilimą. Bandymais nustatyta, kad radioaktyviosios medžiagos skilimo greitis proporcingas nesuskilusios medžiagos kiekiui. Nustatykime nesuskilusios medžiagos kiekio m priklausomybę nuo laiko t, kai pradinis medžiagos kiekis lygus  
Sprendimas. Radioaktyvios medžiagos skilimo greitis lygus  

Pagal sąlyga,

 

čia   - proporcingumo koeficientas. Kadangi radioaktyviosios medžiagos kiekis ilgainiui mažėja, tai   todėl (1) lygties dešinėje pusėje rašome minuso ženklą.

 
 
 

(Norėdami supaprastinti bendrojo sprendimo išraišką, vietoje C rašome  ).

 
 
 
Uždavinio sąlygoje nurodyta, kad laiko momentu   pradinis medžiagos kiekis lygus   Šios sąlygos yra pradinės ir trumpai užrašomos taip:
 

Į (3) reiškinį įrašę vietoje m dydį  , o vietoje t - nulį, gauname:   Taigi iš bendrojo sprendinio išplaukia toks sprendinys

  (4)

atitinkantis duotąsias pradines sąlygas.

Radiaktyvios medžiagos skilimo greitį apibūdina pusamžio, arba pusėjimo trukmės, sąvoka. Taip vadinamas laikas T, per kurį suskyla pusė pradinio radiaktyvios medžiagos kiekio. Į (4) lygybę įrašę   ir   gauname sąryšį
 
 
 
 
 

Taigi koeficientą k su skilimo pusamžiu T sieja sąlyga

 

Tuomet atskirasis diferencialinės lygties sprendinys, iš lygties (4), užrašomas taip:

 
Puamžio T reikšmės nustatomos eksperimentais. Įvairių radioaktyviųjų medžiagų skilimo pusamžio reikšmės yra labai skirtingos (žr. lentelę).
Radiaktyvioji medžiaga Anglis - 14 Plutonis - 244 Radis - 226 Stroncis - 90 Uranas - 235 Uranas - 238
Skilimo pusamžis 5730 metų   metų 1575 metų 28.1 metų   metų   metų

Iš lygties (4), koeficientas k nustatomas iš stebėjimų. Tegu per laiką   skyla a % radiaktyviosios medžiagos nuo pradinės masės   Tenkinama sąlyga

 
 
 
 

Tokiu budu buvo nustatyta, kad Radžiui   (laiko matavimo vienetas - metas).

Įstatę šią reikšmę į formulę (4), gauname:
 
Rasime periodą pusės suskilimo radžio, t. y. laiko tarpą, per kurį suskyla pusė pirminės masės radžio. Įstatę (4) formulę vietoje m reikšmę   gausime lygtį pusamžio T nustatymui:
 
 
  metų.
Pavyzdžiui, viename sename vadovėlyje radžio skilimo pusamžis yra   metų. Todėl (matuojant laiką metais)
 
Iš pradinės radžio masės   po milijono metų (t=1000000) liks tik
 
Tą patį rezultatą galima gauti   pakėlus tiek kartų, kiek kartų masė sumažės per puse po milijono metų
  (kartų).
Taigi,
 
Tiksliai skaičiuojant su   gaunamas rezultatas:
 
Dar tiksliau skaičiuojant, reikia tikslesnio
 
 
Dar protingiau mąstant, galima pastebėti, kad   Todėl
 
Atomo skersmuo yra apie   metro. Į vieną kubinį metrą telpą apytiksliai   radžio atomų. Todėl parenkame   atomų. Nustatysime kiek liks radžio po 100000 metų:
  (atomai).
Rasime kiek liks radžio nuo pradinės masės   po t=1000 metų, kai radžio skilimo pusamžis T=1550 metų. Randame:
 
Dabar tarkime, kad mes žinome kiek liko radžio nuo pradinės masės   po 1000 metų. Taigi, mes žinome, kad po 1000 metų radžio sumažėjo iki masės   Naudodami vien logaritmus ir logiką (nenaudodami jokių diferencijavimų ir diferencialinių lygčių) surasime radžio skilimo pusamžį T. Tereikia išspręsti per logaritmus lygtį:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  (metų).
Žinoma, vietoje dešimtainio logaritmo ( ) galima buvo naudoti ir naturinį logaritmą ( ) arba logaritmą bet kokiu pagrindu. Tačiau moksliniuose skaičiuotuvuose yra tik dešimtainių ir naturinių logaritmų funkcijos.

Raketos uždavinys

keisti
  • Raketos uždavinys. Raketa su pradine mase   juda tiesiaeigiai dėl nenutrukstamo dujų išmetimo išmetamų iš raketos. Greitis   išmetamų dujų (raketos atžvilgiu) pastovus ir nukreiptas į priešingą raketos judėjimo kryptį su pradiniu greičiu  . Rasime dėsnį raketos judėjimo nepaisydami gravitacijos ir oro pasipriešinimo.
 
Čia   - išnaudojama masė degalų per sekundę, esant nekintamam degalų degimui  , M - kintanti masė raketos.
 
 
Konstantą C randame iš sąlygos  ,   kai  ,   ir todėl
 
Pavyzdžiui, jeigu norima akseleruoti raketą iki šviesos greičio, kai raketos masė su kuru lygi   o raketos masė be kuro lygi   tai kuras sveria pusė raketos masės. Viso išmesto raketos kuro energija, sakykim, anihiliacijos metu yra   Energija reikalinga   masės kūnui pasiektį šviesos greitį yra   o energija reikalinga pasiekti šviesos greitį   kg masės kunui yra   Kai visas kuras bus išmestas (panaudotas), raketos masė pasidarys perpus mažesnė   Todėl, kad kuro išmetimui pasiekti šviesos greitį reikia   energijos, o kuras turi dvigubai daugiau energijos, todėl kuro greitis yra  , o raketos greitis:

   

Todėl, jei nepaisyti reliatyvumo teorijos, raketa pasiektų greitį 0,98c, išnaudojus visą kuro energiją anihiliacijos metu (tarkim kuro stumos naudingumas 100%), kuri sudaro pusę pradinės raketos masės.
Mastant paprastai, reikia pusė objekto masės m energijos  , kad (tam objektui) pasiekti šviesos greitį c. O su visa objekto masės energija galima įgreitinti kuną iki greičio v, kuris randamas, taip:
 
 ,
 
Jeigu raketos masę sudaro 99% kuras tada kuro energija apytiksliai lygi   o energija reikalinga pasiekti raketai šviesos greitį yra   J. Todėl apytiksliai su visa kuro energija bus pasiektas greitis   Pagal formulę:

 

Matyt, ši formulė skirta tik skaičiuoti, kai kuras sudaro visą raketos masę, todėl prieš tai reikėjo taikyti formulę:
 
 
 
Ir istačius:
 

Labai artima maksimaliai įmanomai reikšmei 424264068.7 m/s.

Susiję straipsniai

keisti