Atverti pagrindinį meniu

Trigonometrinė eilutė ir jos pagrindinės savybėsKeisti

Eilutė pavidalo
 
 
vadinasi trigonometrine eilute, o skaičiai   koeficientais trigonometrinės eilutės.
Skirtumas nuo laipsninės eilutės yra, kad trigonometrinėje eilutėje vietoje paprasčiausių funkcijų 1, x,  , ...,  , ... paimtos trigonometrinės funkcijos
 
kurios taip pat gerai išnagrinėtos.
Visų pirma pažymėsime, kad visos funkcijios sistemos (2) yra periodinės su periodu  . Iš tiesų, konstanta   turi bet kokį periodą, o periodas funkcijų   ir   ( ) lygus   (iš tiesų,  ) ir, pasekoje, skaičius     taipogi jų periodas. Akivaizdu, kad kiekvienas narys trigonometrinės eilutės (1) yra periodinė funkcija su eriodu  . Todėl ir betkuri dalinė suma eilutės (1)  -periodinė (jeigu visi nariai eilutės nesikeičia nuo pakaitalo x iki  , tai ir suma jos nesikeičia nuo šito pakaitalo). Iš čia seka, kad jeigu eilutė (1) konverguoja atkarpoje  , tai ji konverguoja visoje skaičių tiesėje ir jos suma, esanti riba pasekmės periodinių dalinių sumų, yra periodinė funkcija su periodu  . Todėl trigonometrinės eilutės ypač patogios nagrinėjant periodines funkcijas, aprašančias įvairius periodinius procesus, kurie yra gamtoje ir technikoje. Pavyzdžiai periodinių procesų yra supamieji ir sukamieji judesiai įvairių detalių mašinų ir prietaisų, akustiniai ir elektromagnetiniai virpesiai ir kita.
Kita svarbia savybe funkcijos (2) yra jų statmenumas atkarpoje   integralas atkarpa   iš sandaugos dviejų skirtingų funkcijų šitos sistemos lygus nuliui, o integralas atkarpa   iš kvadrato bet kurios funkcijos šitos sistemos nelygus nuliui.
Iš tiesų,
 
 
čia  
Toliau,
 
 
 
čia   ir   bei pasinaudojome trigonometrine formule  
Analogiškai randame
 
 
 
čia   ir   bei pasinaudojome trigonometrine formule  
Pagaliau,
 
 
 
ką ir reikėjo parodyti.

Furjė eilutėKeisti

Analogiškai laipsninei eilutei, trigonometrinė eilutė turi tokią teoremą.
Teorema 1. Jeigu funkcija   apibrėžta ir integruojama ant atkrapos   išsiskaido į trigonometrinę eilutę
 
kurią galima integruoti panariui, tai šitas išskaidymas vienintelis.
Įrodymas. Integruodami (7), gauname
 
Iš kur, atsižvelgę į (3), randame
 
 
 
 
 
Kad nustatyti koeficientą   prie   (k   naturalus skaičius) padauginsime lygybę (7) iš   ir praintegruosime per x nuo   iki   (eilučių teorijoje įrodoma, kad eilutę (7) galima integruoti panariui po padauginimo jos iš ribotos funkcijos). Tada pagal formules (3)   (6) gauname
 

 

 
 

       

iš kur
 
Analogiškaim padauginę lygybę (7) iš   ir integruodami ribose nuo   iki  , pagrindu tų pačių formulių gausime
 
 
iš kur randame
 
Tokiu budu, koeficientai   ir   eilutės (7) nustatomi vieninteliu budu formulėmis (8)   (10), kas ir įrodo teoremą.
Šita teorema duoda pagrindą įvesti tokį apibrežimą.
Apibrėžimas. Tegu   funkcija, apibrėžta ir integruojama atkarpoje  . Tada skaičiai   rasti pagal formules (8)   (10), vadinasi koeficientais Furje, o eilutė
 
su šitais koeficientais vadinasi eilute Furje funkcijos f(x).

Konvergencija Furje eilutėsKeisti

Įvesime sąvoka periodinio pratesimo funkcijos   apibrėžtos atkarpoje  
Sakysime, kad funkcija  , apibrėžta visoje skaičių tiesėje ir periodinė su periodu  , yra periodinis tesinys funkcijos   jeigu atkarpoje  
Akivaizdu, kad jeigu atkarpoje   Furje eilutė konverguoja į funkcija   tai eilutė konverguoja visoje skaičių tiesėje į jos periodinį tesinį.
Nustatysime kokiomis sąlygomis Furje eilutė funkcijos   konverguoja į šitą funkciją.
Teorema 2. Tegu funkcija   ir jos išvestinė   netrūkios funkcijos atkarpoje   arba turi atkarpoje   baigtinį skaičių trūkių 1-ojo tipo. Tada Furje eilutė funkcijos  

konverguoja visoje skaičių tiesėje, be kita ko kiekviename taške   kuriame   netruki, suma eilutės lygi   o kiekviename trūkio taške   funkcijos suma eilutės lygi

 
kur   ir   Ant kraštų atkapros   suma eilutės lygi
 
Bet kuriame taške   suma Furje eilutės lygi   jeigu     netrūkio taškas   ir lygi   jeigu     trūkio taškas   kur   periodinis tesinys  

Furje eilutė lyginėms ir nelyginėms funkcijomsKeisti

Tegu funkcija   apibrėžta atkarpoje   ir yra lyginė, t. y.   Tada jos koeficientai Furje   lygūs nuliui. Tikrai,
 
Pirmame integrale kvadratiniuose skliaustuose padarysime pakeitimą kintamojo. Tarsime   Tada   jeigu  , tai  ; jeigu  , tai   Atkreipdami dėmesį, kad funkcija   lyginė, o funkcija   nelyginė, gauname
 
Todėl,
 
(priminsime, kad apibrėžtinis integralas nepriklauso nuo pažymėjimo kintamojo integravimo).
Kitoks paaiškinimas. Kadangi   yra nelyginė funkcija (tam tikromis sąlygomis, t. y., kai x kinta nuo   iki  ), nes, pavyzdžiui,   ir   tai sukombinavus su funkcija   kai funkcija   yra nelyginė, gaunasi, kad minusas panaikinta minusą ir todėl   Kai funkcija   yra lyginė, tai   Kai funkcija   yra nelyginė ( ), tai sudauginus ją su funkcija   visada gausime atsakymą tokį patį, nepriklausomai ar   ar   ( ,  ). O kai funkcija   yra lyginė ( ), tai sudauginus ją su funkcija   gausime atsakymą su skirtingu ženklu, priklausomai ar   ar   ( ,  ). Tada, kai funkcija   lyginė gauname:
 
Palyginimui, kai funkcija   yra nelyginė gauname:
 
Todėl, kai funkcija   yra lyginė gauname:
 
 
Pažynėsime, kad reikia sudėti daug dalių funkcijos kai reikšmė x padalinta į daug mažų intervalų. Pavyzdžiui, jei funkcija lyginė  , tai integruojant gauname   ir   (gavome tą patį atsakymą). Tačiau, jeigu funkcija nelyginė  , tuomet integraujant gausime skirtingus atsakymus   ir   Tačiau esmė yra iškelti minusą prieš integralą. Akivaizdu, kad
 
 
 
 
bei
 
 
 
 
Taigi, mes iš karto matome, kad galime iškelti minuso ženklą nelyginės (kuri yra  , kai  ) funkcijos ir integruoti   nuo 0 iki  , tarsi f(x) būtų lyginė funkcija.
Analogiškai, atsižvelgiant, kad funkcijos   ir   yra lyginės (  yra lyginė, kai   nes, pavyzdžiui,  ), galima gauti sekančią išraišką koeficientų  :
 
Kai abi funkcijos   ir   lyginės, tai:
 
Nes integruojant lyginę funkciją (pvz.,  ) arba lyginių funkcijų sandaugą (pvz.,  ) atsakymas yra toks pat, nepriklausomai ar x kinta nuo   iki 0, ar x kinta nuo 0 iki  , todėl
 
 
 
Tegu, dabar funkcija   apibrėžtą atkarpoje   nelyginė, t. y.   Tada, panaudodami samprotavimus, analogiškus pateiktiems aukščiau, galima parodyti, kad Furje koeficientai   lygūs nuliui, o koeficientai   nustatomi išraiškomis pavidalu
 
Nes tuomet, kai abi funkcijos nelyginės   ir todėl:
 
 
Tas pats kas integruojant   gausime tokias išraiškas:
 
 
 
Tokiu budu, jeigu funkcija   lyginė, tai Furjė eilutę sudaro tik kosinusai ir tik sinusai, jeigu funkcija   nelyginė. Formulės (11) ir (12) leidžia suprastinti skaičiavimus koeficientų Furje, kada tam tikra funkcija yra lyginė arba nelyginė.

PavyzdžiaiKeisti

 
a).
  • Panagrinėkime funkcija   Šita funkcija tenkina teoremą 2 ir todėl gali būti išdeliota į eilutę Furjė. Kadangi jinai nelyginė, tai jos koeficientai Furjė   o   randami pagal formulę (12). Turime
 
 
 
 
Tokiu budu, gauname eilutę Furjė duotos funkcijos
 
Šita lygybė teisinga betkuriam   Taškuose   suma eilutės Furjė pagal teoremą 2 nesutampa su reikšmėmis funkcijos   o lygi   Ne atkarpoje   suma eilutės yra periodinis teisinys funkcijos  ; jos grafikas parodytas pav. a.
 
b).
  • Panagrinėkime funkciją   Šita funkcija tenkina sąlygas teoremos 2 ir todėl gali būti išdeliota į eilutę Furjė. Kadangi ji lyginė, tai jos koeficientai Furjė   o   randami pagal formulę (11). Turime
 
 
 
 
 
čia pasinaudojome integravimu dalimis  
Reiškia, eilutė Furjė duotos funkcijos turi pavidalą
 
Šita lygybė teisinga betkuriam   kadangi taškuose   suma eilutės šiuo atveju sutampa su reikšmėmis funkcijos   nes   Grafikas funkcijos   ir sumos duotosios eilutės Furjė pavaizduoti pav. b.


  • Panagrinėkime funkcija   Šita funkcija tenkina teoremą 2 ir todėl gali būti išdeliota į eilutę Furjė. Kadangi jinai nelyginė, tai jos koeficientai Furjė   o   randami pagal formulę (12). Turime
 
 
Tokiu budu, gauname eilutę Furjė duotos funkcijos
 


Furjė eilutė su periodu 2lKeisti

Tegu funkcija   apibrėžta apkarpoje   (  betkoks teigiamas skaičius) ir tenkina šitoje atkarpoje sąlygas teoremos 2. Išdeliosimę ją į Furjė eilutę.
Įvesime naują kintamajį   pagal formulę
 
ir panagrinėsime funkciją  
Akivaizdu, funkcija   apibrėžta atkarpoje   ir tenkina joje sąlygas teoremos 2.
Išdeliosime funkciją   atkarpoje   į Furjė eilutę
 
kur  
Grįšime dabar prie senojo kintamojo x:

  Tada formulė (13) įgauna pavidalą

 
kur
 
 
 
Formulė (14) ir yra Furjė eilutė su periodu  

PavyzdžiaiKeisti

 
Pav. 2.
  • Išdelioti į Furjė eilutę su periodu   funkciją   kuri atkarpoje   užrašoma formule  
Sprendimas. Kadangi funkcija   lyginė, tai
 
 
 
 
 
Furjė eilutė funkcijos   yra tokia
 
Funkcija   tenkina sąlygas teoremos 2 ir gauta lygybė teisinga bet kokiam   o tai reiškia, kad eilutė konverguoja visoje skaičių tiesėje ir jos suma yra funkcija, grafikas kurios parodytas pav. 2.
Pažymėsime, kad Furjė eilutės plačiai taikomos tiek teoriniuose tyrimuose, tiek ir praktiniuose uždaviniuose.


  • Išdelioti į Furjė eilutę su periodu   funkciją   kuri atkarpoje   užrašoma formule  
Sprendimas. Įvedame keitinį   Funkcija   apibrėžta atkarpoje   Kadangi funkcija   lyginė, tai
 
 
 
 
 
 
čia pasinaudojome integravimu dalimis   du kartus.
Furjė eilutė funkcijos   yra tokia
 
 

NuorodosKeisti