Atverti pagrindinį meniu

Kiekviename taške srityje D, kurioje užduota funkcija u=u(x, y, z), nustatysime vektorių, kurio projekcijos į koordinačių ašis yra reikšmės dalinių išvestinių šitos funkcijos atitinkamame taške:

Šis vektorius vadinasi funkcijos u=u(x, y, z) gradientu. Sako, kad srityje D nustatytas vektorinis laukas gradientų. Įrodysime, toliau, sekančią teoremą, nustatančią ryšį tarp gradiento ir kriptinės išvestinės.
T e o r e m a. Tegu duotas skaliarinis laukas u=u(x, y, z) ir nustatyta šitame skaliariniame lauke laukas gradientų
Išvestinė kriptimi tam tikro vektoriaus S yra lygi projekcijai į vektorių S.
Į r o d y m a s. Pažiūrim vienetinį vektorių atitinkantį vektoriui S:
Apskaičiuosime skaliarinę sandaugą vektorių ir
Išraiška, stovinti dešinėje dalyje šito lygybės, yra išvestinė nuo funkcijos u(x, y, z) kryptimi vektoriaus S. Dėl to, mes galime parašyti:
Jeigu pažymėsime kampą tarp vektorių ir per (pav. 179), tai galime parašyti:
arba
Teorema įrodyta.
Remdamiesi įrodyta teorema nustatomas ryšis tarp gradiento ir išvestinės duotame taške betkuria kryptimi. Duotame taške M(x, y, z) statome vektorių (pav. 180).
Statome sferą, kuriai yra skersmuo. Iš taško M pravedame vektorių S. Pažymime susikirtimo tašką vektoriaus S su paviršiumi sferos per P. Tada akivaizdu, kad jeigu - kampas tarp krypčių gradiento ir atkarpos MP (be to ), t. y. Akivaizdu, kad kai keičiasi kryptis vektoriaus S į priešingą [kryptį], išvestinė keičia ženklą, o jos absoliutus dydis pasilieka koks buvo.
Nustatysime kai kurias gradiento savybes.
1) Išvestinė duotame taške kryptimi vektoriaus S turi didžiausią reikšmę, jeigu kryptis S sutampa su kryptimi gradiento; šita didžiausia reikšmė išvestinės lygi
2) Išvestinė vektoriaus kryptimi, liečiamo prie paviršiaus lygio, lygi nuliui.
Šis teiginis seka iš formulės Tikrai, šiuo atveju
P a s t a b a. Jeigu funkcija u=u(x, y) yra funkcija nuo dviejų kintamųjų, tai vektorius
guli plokštumoje Oxy. Įrodysime, kad nukreiptas statmenai į liniją lygties u(x, y)=c, gulinčios plokštumoje Oxy ir praeinančios per atitinkamą tašką. Tikrai, kampinis koeficientas liestinės prie linijos lygities u(x, y)=c bus lygus Kampinis koeficientas gradiento lygus Akivaizdu, kad Tai ir įrodo teisingumą mūsų teiginio (kad išeina iš to paties taško, kuriame yra liestinė, bet su liestine sudaro 90 laipsnių kampą; pav. 181). Analoginė savybė gradiento funkcijos nuo trijų kintamųjų reiškia, kad ten, kur susiliečia plokštuma su funkcijos paviršiumi (pavyzdžiui, su sferos paviršiumi viename taške), tai gradientas išeina iš to paties taško, kuriame liečiasi plokštuma su funkcija, bet gradientas funkcijos yra statmenas tai plokštumai.

Kai kurie ryšiaiKeisti

Jei turime funkcija u=u(x, y, z), tai

 
 
 
 
Gradiento ortas nusako, kuria kryptimi funkcijos   kitimo greitis yra didžiausias konkrečiame taške   Gradiento ortas gali būti užrašytas taip:
 
Nuvedus linija iš koordinačių pradžios O(0; 0) taško iki taško   ir gausis vektoriaus kryptis plokštumoje xOy. Taškas P yra gradiento orto koordinatės. Funkcijos kitimo greitis   yra didžiausias, kuriame nors taške  , kai gradiento orto kryptis sutampa su kryptimi vektoriaus, kurio kryptimi ieškoma kryptinės išvestinės reikšmė.
Na, o, pavyzdžiui, paraboloido   pats funkcijos kitimo greitis   yra didžiausias, kuriame nors taške  , kai funkcijos z(x; y) taškas   susijungdamas su koordinačių pradžios tašku O(0; 0), sudarydamas tiesę OM sudaro tokį patį kampą su ašimi Ox, kaip ir vektorius, kurio kryptimi ieškoma kryptinės išvestinės reikšmė. Kitaip tariant, jei tiesė OM su ašimi Ox sudaro tokį patį kampą, kaip ir vektorius  , kurio kryptimi ieškoma kryptinė išvestinė, tai tuomet kryptinės išvestinės gautas atsakymas ir yra didžiausias ir tuomet funkcijos z(x; y) kitimo greitis ir yra didžiausias.

PavyzdžiaiKeisti

  • Nustatyti gradientą funkcijos   (pav. 182) taške M(2, 4). Funkcija yra elipsinis paraboloidas.
Sprendimas. Čia
 
Todėl
 
Lygtis linijos lygio (pav. 183), praeinančios per duotą tašką, bus
 

nes įstačius taško M reikšmes gauname:

 
 


  • Nustatyti gradientą funkcijos   taške   Funkcija u yra paraboloidas.
Sprendimas. Čia
 
Todėl
 
Lygtis linijos lygio, praeinančios per duotą tašką, bus
 

nes įstačius taško M reikšmes gauname:

 
 


  • Pavyzdys. Duota funkcija  
a) Nustatyti gradientą taške M(1; 1; 1). Gradiento išraiška šitos funkcijos bet kokiame taške bus
 
Todėl,
 
 
b) Nustatyti išvestinę nuo funkcijos u taške M(1; 1; 1) kryptimi gradiento. Nukreipiantys kosinusai gradiento bus
 
 
 
Todėl,
 
t. y.
 


  • Pavyzdis. Parašyti lygtį besiliečiančios plokštumos ir lygtį normalės paviršiui rutulio   taške P(1; 2; 3).
Sprendimas.
 
 
kai       turime:
 
Todėl, lygtis liečiančios plokštumos bus:
  arba  
Lygtis normalės (normalė yra tiesė statmena besiliačiančiai plokštumai ir einanti per tą tašką, kuriame plokštuma liečiasi su funkcijos paviršiumi) yra:
 

arba

 


  • Apskaičiuokime gradientą funkcijos  , taške  . Įstatę taško   x ir y reikšmes, gauname   ir  ,   Randame dalines išvestines taške  , taigi:
 
 
Tuomet funkcijos   gradientas yra:
 
  • Apskaičiuokime gradientą funkcijos  , taške M(4,1; 8,1). Įstatę taško M(4,1; 8,1) x ir y reikšmes, gauname   ir  ,   Randame dalines išvestines taške M(4,1; 8,1), taigi:
 
 
Tuomet funkcijos   gradientas yra:
 
Pastebime, kad   ir   Palyginame kiek kartų funkcija   krytimi x kinta greičiau negu y kryptimi taške  , taigi   Tą patį atsakyma gauname ir taip:
 
  • Apskaičiuokime gradientą funkcijos  , taške M(4,01; 8,01). Įstatę taško M(4,01; 8,01) x ir y reikšmes, gauname   ir  ,   Randame dalines išvestines taške M(4,01; 8,01), taigi:
 
 
Tuomet funkcijos   gradientas yra:
 
Pastebime, kad   ir   Palyginame kiek kartų funkcija   krytimi x kinta greičiau negu y kryptimi taške  , taigi   Tą patį atsakyma gauname ir taip:
 
Taigi, gauname išvada, kad funkcija  , taške   didėja 3 kartus greičiau abscisės (Ox) kryptimi negu ordinatės (Oy) kryptimi.

NuorodosKeisti