Atverti pagrindinį meniu

Matematika/Išvestinė polinėje koordinačių sistemoje


Geometrinė reikšmė išvestinės spindulio-vektoriaus poliniu kampuKeisti

 
Pav. 90.
Tegu turime lygtį tiesės polinėse koordinatėse:
 
Parašysime formules pereimo iš polinių koordinačių į stačiakampes dekartines:
 
Įstatę čia vietoje   jo išraišką per   iš lygties (1), turėsime:
 
Lygtis (2) yra parametrinė lygtis duotos kreivės, be kita ko parametras yra polinis kampas   (pav. 90).
Jeigu per   pažymėti kampą, sudarytą liestinės kreivės tam tikram taške   su teigiama kryptimi abscisių ašies, tai turėsime:
  arba  
Pažymėsime per   kampą tarp krypties spinulio-vektoriaus ir liestinės. Akivaizdu, kad  
 
Įstatę čia vietoje   jo išraišką (3) gausime:
 
 
 
arba
 
 
Tokiu budu, išvestinė spindulio-vektoriaus poliniu kampu lygi ilgiui spindulio-vektoriaus, padaugintam iš kotangento kampo tarp spindulio-vektoriaus ir liestinės kreivės duotame taške.


PavyzdžiaiKeisti

  • Parodyti, kad liestinė logoritminės spiralės   kertasi su spinduliu-vektoriu pastoviu kampu (parodyti, kad kampas   nesikeičia visuose spiralės taškuose).
Sprendimas. Iš spiralės lygties randame:   Pagal formulę (4) gauname:
 
t. y.
 
  • Rasti kampą  , kurį sudaro susikertanti liestinė su spinduliu-vektoriu  , taške   apskritimo
 
Apskritimo   spindulys  . Apskritimo centro koordinatės yra (4; 0).
 
Dydžiojo apskritimo lygtis  
Sprendimas. Randame
 
 
Dabar apskritimo lygtis perrašyta į polines koordinates atrodo taip:
 
 
 
Randame   išvestinę:
 
Randame liestinės lygtį:
 
 
 
 
 
 
 
Randame kampą   tarp apskritimo liestinės ir Ox ašies:
 
  arba   Reiškia, kad kampas   arba   radiano.
Vektorius   yra spindulio-vektoriaus   krypties vektorius taške  
Kai yra žinomi du tiesės taškai   ir O(0; 0), tada tiesės lygtis yra
  arba   arba  
Taigi, randame spindulio-vektoriaus   tiesės krypties koeficientą   taške M:
 
 
 
 
 
Randame kampą   tarp spindulio-vektoriaus   einančio per tašką M ir ašies Ox:
  radiano arba 30 laipsnių.
Toliau randame kampą  , kurį sudaro apskritimo liestinė taške M su spinduliu-vektoriu  :
 
 
Patikriname tapatumus:
 
 
 
Negalime patikrinti, todėl, kad   neegzistuoja. Nebent, jei parinkti   Tada:
 
Ne tai ko tikėtasi tikrinant.