Matematika/Kūgis

Kūgis – geometrinis paviršius, paprasčiausiai gaunamas statųjį trikampį sukant aplink vieną iš jo statinių, kuris yra kūgio ašis. Kito statinio nubrėžtas diskas vadinamas pagrindu. Kūgis priskiriamas prie sukinių, kuris gaunamas sukant geometrinę figūrą plokštumoje apie ašį.

Kūgis, kurio viršūnė yra nupjauta plokštuma, lygiagrečia bazei (pagrindui (skrituliui)), vadinamas nupjautiniu kūgiu.

Nupjautinio kūgio tūrio radimo formulė: , čia  – pagrindų plotai,  – aukštinės ilgis.

Nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus ploto radimo formulė: , čia  – pagrindų spinduliai,  – sudaromosios ilgis.

Kūgio šoninio paviršiaus plotas: .

Kūgio paviršiaus plotas: .

Kūgio tūris: .


Kūgio tūrio formulės įrodymasKeisti

Kūgio aukštinė lygi H, o pagrindo spindulys yra R. Įrodykime, kad to kūgio tūris lygus  
Nubrėžkime Ox ašį per kūgio viršūnę O statmenai jo pagrindui. Bet kuri statmena Ox ašiai plokštuma, kertanti tos ašies atkarpą [0; H] (čia H yra kūgio pagrindo (skritulio) centras) taške x, iš kūgio išpjauna skritulį, kurio spindulys lygus  
(  čia h=Ox; r yra spindulys mažojo kūgio pagrindo su aukšine h).
To skritulio plotas yra
 
Kūgio tūrį skaičiuojame pagal   formulę:
 

Nupjautinio kūgio tūrio formulės įrodymasKeisti

Nupjautinio kūgio, kurio aukštinė lygi h, o pagrindų plotai S ir  , tūrio formulė yra:
 
Įrodysme nupjautinio kūgio tūrio formulę.
Nupjautinino kūgio tūris yra  ; nupjautinio kūgio aukštinė yra h; nupjautinio kūgio dydžiojo pagrindo spindulys yra r, o mažojo pagrindo spindulys yra  . Viso kūgio su pagrindu, kurio spindulys r, tūris yra   čia   yra viso kūgio aukštinė, kurio pagrindo spindulys yra r; x yra aukštinė viso kūgio, kurio pagrindo spindulys yra  ,
Turime santykį:
 
 
 
 
 
Randame nupjautinio kūgio tūrį:
 
 
 

Kūgio šoninio paviršiaus ploto formulės įrodymasKeisti

Įrodysime, kad kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus:
 
kur R - kūgio pagrindo spindulys; l - kūgio sudaromoji (trumpiausias atstumas nuo kūgio viršūnės iki kūgio pagrindo apskritimo).
Įrodymas. Įbrėžkime į kūgio pagrindo apskritimą n kraštinių (n kampų) turintį taisiklingąjį daugiakampį (taisiklingojo daugiakampio visos kraštinės vienodo ilgio). Pažymėkime to n-kampio kraštines   Kai šio daugiakampio kraštinių skaičius artėja į begalybę ( ), tai daugiakampio perimetras p artėja prie kūgio pagrindo apskritimo ilgio ( ).
Sujungus šio, įbrėžto į kugio pagrindą, daugiakampio kampus su kūgio viršūne, gausime n lygiašonių trikampių, kurių aukštinė beveik lygi l (kai n labai didelis). Kiekvieno tokio trikampio plotas lygus   čia   Kai n labai didelis, šių trikampių plotų suma beveik lygi kūgio šoninio paviršiaus plotui:
 
Tačiau, kai   tada   todėl
 

Nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus ploto formulės įrodymasKeisti

Įrodysime, kad nupjautinio kūgio šoninio paviršiaus plotas lygus:
 
kur R - didžiojo nupjautinio kūgio pagrindo spindulys; r - mažojo nupjautinio kūgio pagrindo spindulys; l - sudaromosios ilgis.
Įrodymas. Įbrėžkime į kūgio didžiojo ir mažojo pagrindų apskritimus n kraštinių turintčius taisiklinguosius daugiakampius taip, kad sudaromoji l jungtų mažojo ir didžiojo daugiakampio viršūnes.
Didžiojo taisiklingojo daugiakampio kraštinė lygi   o perimetras lygus   (čia n yra daugiakampio kraštinių skaičius).
Mažojojo taisiklingojo daugiakampio kraštinė lygi   o perimetras lygus   (čia n yra daugiakampio kraštinių skaičius).
Sujungus didžiojo daugiakampio kampus su mažojo daugiakampio kampais, gauname n lygiašonių trapecijų, kurių pagrindai yra   ir   o šoninių kraštinių ilgiai lygūs nupjautinio kūgio sudaromajai l.
Kai didžiojo ir mažojo daugiakmpių kraštinių skaičius artėja į begalybę ( ), tai didžiojo daugiakampio perimetras artėja prie kūgio didžiojo pagrindo apskritimo ilgio ( ), o mažojo daugiakampio perimetras artėja prie kūgio mažojo pagrindo apskritimo ilgio ( ). Be kita ko, šių lygiašonių trapecijų aukštinė h artėja prie sudaromosios l ilgio ( ), kai daugiakampių kraštinių skaičius artėja prie begalybės ( ).
Vienos trapecijos plotas (su pagrindais   ir  ) yra
  kai  .
Visų trapecijų (su pagrindais   ir  ) plotų suma lygi:
 
Kai daugiakampių kraštinių skaičius artėja į begalybę ( ), tai
 


PavyzdžiaiKeisti

  • Kiek kartų liekno žmogaus, kurio ūgis 170 cm, o svoris 50 kg, koja nuo kelio iki dubens turi daugiau raumenų už ranką nuo alkunės iki peties?
Ištiestos rankos apimtis yra   cm, o rankos ilgis nuo alkūnės iki peties yra   cm.
Kojos apimtis, truputi aukščiau kelio (ploniausios vietos - kai jau prasideda raumenys), yra   cm. Kojos apimtis storiausioje vietoje (šlaunies apimtis) yra   cm. Kojos ilgis nuo kelio (kur prasideda raumenys) iki dubens sąnario yra   cm.
Sprendimas.
Rankos spindulys   yra:
 
 
Kojos virš kelio ploniausios vietos spindulys   yra:
 
 
Kojos virš kelio storiausios vietos spindulys   yra:
 
 
Rankos nuo alkūnės iki peties skerspjūvio plotas lygus:
 
Kojos ploniausios vietos (truputi aukščiau kelio) skerspjūvio plotas lygus:
 
Kojos storiausios vietos skerspjūvio plotas lygus:
 
Rankos nuo alkūnės iki peties tūris lygus ritinio tūriui, kurio pagrindo plotas yra   o aukštinė yra  :
 
Tai lygu 1.375 kubiniams decimetrams arba 1.375 litro. Žinanat, kad raumenų 1 litras sveria apytiksliai 1 kilogramą, galima pasakyti, kad ranka nuo alkūnės iki peties sveria apie 1.375 kg.
Kojos nuo kelio iki klubo tūris lygus nupjautinio kūgio tūriui, kurio pagrindų plotai   ir  , o aukštinė yra  :
 
 
Tai lygu 4.868 kubiniams decimetrams arba 4.868 litro. Taigi, koja nuo kelio iki klubo sanario sveria apytiksliai 4.868 kg (raumenų tankis maždaug toks pat kaip vandens, o kaulo tankis, jei teisingai suprasta, yra apie 2 kartus didesnis už vandens tankį, bet kaulai yra tuščiaviduriai).
Padalinus kojos tūrį iš rankos tūrio, gausime kiek kartų koja turi daugiau raumenų už ranką:
  (kartų).
Nereikia galvoti, kad su kojomis galima pakelti 3.54 karto didesnį svorį nei su rankomis. Keliant svorį su kojomis (darant pritupimą), daugiausia apsikrauna raumenys esantys šiek tiek aukščiau kelių. Todėl kojų sugebėjimas pakelti didelį svorį priklauso nuo silpniausios kojų vietos, o ne nuo stipriausios. Padarius 30 pritupimų, labiausiai (praktiškai, vien tik) pavargsta ir "skauda" kojų vietos šiek tiek aukščiau kelių. Tos kojos vietos truputi aukščiau kelio, kur yra pagrindiniai kelimo (darant pritupimą) raumenys, vidutinė apimtis yra apie 36 cm. Todėl tą kojos vieta yra   karto stipresnė už ranką.