Matematika/Ketvirto laipsnio lygtis

Ketvirto laipsnio lygtis

redukuojama keitiniu ir gaunama lygtis:


Surasime kam lygūs koeficientai p, q ir r.
Iš Niutono Binomo formulės žinome, kad
Į lygtį vietoje įstatome keitinį ir gauname:
Surandame kam lygus išskleidus:
Surandame kam lygus išskleidus:
Surandame kam lygus išskleidus:


Iš čia turime, kad


Ketvirto laipsnio lygties sprendimas pirmu buduKeisti

Imame redukuotą lygtį

 
Įvedame, pagalbinį nežinomąjį z, kurio reikšmę vėliau surasime ir užrašome taip:
 
Čia  
Kad polinmas  , esantis laužtiniuose skliaustuose, būtų pilnas kvadratas, reikia, kad jo abi šaknys (sprendiniai) sutaptų, t. y. kad jo diskriminantas
 
būtų lygus 0. Tada galėsime pasinaudoti formule   nes polinomas   turės vienodas šaknis (  o   todėl  ) ir bus  , o kitas polinomas bus  
Taigi,
 
 
 
 
 
Lygtis   yra vadinama ketvirto laipsnio lygties rezolvente (išsprendėja). Vieną iš jos trijų šaknų (realiają) gausime  . Tada įstate   į diskrimanto   lygtį vietoje z, galėsime apskaičiuoti   O tada ir surasti lygties   sprendinius   (abu sprendiniai vienodi).
Taigi, turime:
 
 
pakeičiame  
Lygčiai   pakeitimas yra   kad gauti  
Lygties
 
viena šaknis yra:
 
Tada
 
Dabar galime surasti lygties   sprendinį:
 
Toliau, žinodami, kad   gauname:
 
Įstatę į lygtį gauname:
 
 
 
 
 
 
 
Iš čia nesunku matyti, kad arba   arba   Išsprendę šias lygtis ir gausime visas keturias lygties   šaknis.
Taigi,
 
 

Pagalbinės kubinės lygties sutvarkymasKeisti

Pagalbinę kubinę lygtį (ketvirto laipsnio lygties rezolventę)

 
 
sutvarkysime padarę keitinį
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gavome redukuotą kubinę lygtį
 
kur
 
 

Ketvirto laipsnio lygties sprendimas antru buduKeisti

Imame redukuota lygtį:

 
Į lygtį   vietoje x įvedame tris nežinomuosius, kuriuos vėliau susiesime dviem lygtim. Imame
 
Išskaičiuojame:
 
 
 
 
 
 
Įstatę šias reikšmes į lygtį  , padaugintą iš 16, gauname:
 
 
 
 
Dabar reikalaujame, kad
 
 
Įvedę šias sąlygas turėsime lygtį:
 
 
 
 
 
 
Pagaliau, vietoje lygties   gauname trijų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą
 
 
 
Šią sistemą spręsime panašiai, kaip sprendžiama trečio laipsnio lygčių sistema. Pakėlę lygtį   kvadratu, gauname
 
Pagal Vijeto teoremą, iš sistemos lygčių nesunku pastebėti, kad  ,  ,   turi būti trečio laipsnio lygties
 
šaknys. Ši lygtis taip pat vadinama ketvirto laipsnio lygties   rezolvente. Suradę visas tris jos šaknis  ,  ,  , tuo pačiu rasime  ,   ir  . Kadangi visos trys lygtys     ir   yra simetrinės u, v ir w atžvilgiu, tai kurią lygčių   šaknį pažymėsime  , kurią   ar   nesudaro jokios reikšmės nei mūsų sistemos, nei lygties   sprendiniui. Toliau jau nesunku rasti u, v ir w, nes reikia tik ištraukti kvadratines šaknis iš  ,   ir  , atseit,
 
Pagaliau įstatę u, v ir w reikšmes į lygybę  , rasime lygties   šaknis. Paėmę kurią nors   reikšmę ir pažymėję ją  , o     reikšmes pažymėje atitinkamai   ir   taip, kad   gausime arba
 
 
 
 
arba, pavyzdžiui,
 
 
 
 
Abi šios sistemos yra lygiavertės (tapatingos), nes jos gaunamos viena iš kitos, pakeitus visų u, v ir w ženklus priešingais. Tai nepakeičia jų reikšmių, bet tik pačius u, v ir w pažymėjimus.

PavyzdžiaiKeisti

  • Rasime lygties   realiąją šaknį.
Turime, kad  ,    ,  .
Turime
 
ir lygčių sistemą
 
pakeliame trečią eilutę kvadratu, kad atitiktų Vijeto teoremą:
 
Tada įstatę į lygčių sistemą p, q ir r reikšmes, gauname:
 
 
 
Sudarome kubinę pagalbinę lygtį, pritaikę Vijeto teoremą:
 
 
 
Iš kubinės lygties kalkuliatoriaus http://easycalculation.com/algebra/cubic-equation.php internete, randame, kad
 
 
 
Tada:
 
Kad ištrauktume šaknį iš kompleksinio skaičiaus pasinaudosime formulėmis:
 
 
Taigi, gauname:
 
 

     

 
 
Toliau gauname lygties   sprendinius:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pusė iš šių sprendinių neteisingi. Iš realiųjų sprendinių neteisingi sprendiniai yra   ir  .