Matematika/Kubinė lygtis

Kubinės lygties sprendimas Kordano metoduKeisti

Duota kubinė lygtis:

 
Pakeičiame   gauname:
 
 
 
 
 
 
 
 
Pažymime   ir pakeitę gauname:
 
Toliau, tariame, kad lygties   sprendinys   yra koeficientas kvadratinės lygties, o kubinės lygties koeficientas p yra tos pačios pagalbinės kvadratinės lygties laisvasis narys (konstanta) padalintas iš 3. Ir tokiu budu sudarome naują pagalbinę kvadratinę funkciją ir lygtį:
 
 
Šios kvadatinės lygties šaknys (sprendiniai) yra   ir  . Iš Vijeto teoremos žinome, kad   ir  .
Į kubinę lygtį   įstatome koeficientą p išreikštą per   ir   ir įstatome kubinės lygties sprendinį   išreikštą per   ir  . Tokiu budu mes rasime kam lygus q. Taigi:
 
 
 
 
 
 
Vadinasi,   ir   yra sprendiniai kitos kvadratinės lygties   nes   (ir taip pat iš Vijeto teoremos  ).
Išsprendžiame šią (antrą) kvadratinę lygtį:
 
 
 
 
 
Vadinasi lygties   šaknys yra:
 
 
Na, o [pirmos] kvadratinės lygties   šaknys yra šios (nes   o   arba  ):
 
 
Prisimindami, kad lygties   šaknis yra  , gauname:
 
Kitos dvi kompleksinės šaknys, tenkina lygybę   arba   Čia  
nes
 
 
Vadinasi, kitos dvi lygties   šaknys yra:
 
 
Jei sprendžiant lygtį   (beieškant kubinės lygties sprendinių),  , tai turime, kad  
Nes tada  

PavyzdžiaiKeisti

  • Raskime lygties   sprendinius. Iš formulių turime:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Įstatę į lygtį   sprendinį  , gauname:
 
Įstatę į lygtį   sprendinį   arba  , gauname:
 

Kitoks kubinės lygties sprendimo būdasKeisti

Duota pilna kubinė lygtis:

 
Eliminuojame  , padarę keitinį   Tai pakeičia lygtį į tokią:
 
 
 
 
 
 
Pažymime:
 
 
Turime kubinę lygtį:
 
Parenkame, kad  ,  . Tuomet turime:
 
 
 
 
 
 
Iš lygybės  , turime   Įstatę, gauname:
 
 
 
 
 
Sprendžiame kaip kvadratinę lygtį, radę diskriminantą:
 
 
 
 
 
Prisimename, kad:
 
 
 
 
 
 
 
Prisimename, kad  , todėl gauname:
 
Tai   ir tai   yra tas pats, taigi  
Randame lygties   sprendinį:
 
čia
 
 

Kitoks kubinės lygties sprendimo būdas (2)Keisti

Duota pilna kubinė lygtis:

 
Eliminuojame  , padarę keitinį   Tai pakeičia lygtį į tokią:
 
 
 
 
 
 
Pažymime:
 
 
Turime kubinę lygtį:
 
Parenkame, kad  ,  . Tuomet turime:
 
 
 
 
 
 
Iš lygybės  , turime   Įstatę, gauname:
 
 
 
 
 
Sprendžiame kaip kvadratinę lygtį, radę diskriminantą:
 
 
 
 
 
Prisimename, kad:
 
 
 
 
 
 
Prisimename, kad  , todėl gauname:
 
Tai   ir tai   yra tas pats, taigi  
Randame lygties   sprendinį:
 
čia
 
 
Lygties sprendimo tikslas yra rasti išreikštą   per s ir t (ar V). Nes jau turime išreikštą V per s ir t ( ). Tuomet, gerai žinant Binomo formulę (Niutono Binomo formulę) kubiniam laipsniui, nesunku nuspėti, kad gausime išreikštą P, kai pakelsime   trečiuoju laipsniu ir atimsime   Tuomet ir gausime   Va taip:
 
 
 
Tada toliau gana nesunku rasti s ir t iš sistemos
 
o tada ir y, žinant, kad  

NuorodosKeisti