Matematika/Lagranžo formulė

Kad įrodyti Lagranžo formulę, pirmiausia reikia žinoti Rolio teoremą. Toliau segmentas reiškia uždarą intervalą.


Išvestinės Nulio teorema

keisti
 
8.10 pav. Paveikslėlyje   o taške   funkcija f(x) įgauną maksimumą (ekstremumą), todėl  
Rolio teorema. Sakykime, funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei   tai segmento [a; b] viduje yra taškas   kuriame išvestinės reikšmė lygi nuliui:  
Trumpai galima sakyti, kad tarp dviejų skiringų argumento reikšmių, kurias atitinka vienodos diferencijuojamos funkcijos reikšmės, būtinai tos funkcijos išvestinė lygi nuliui.
Įrodymas. Kadangi funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai ta funkcija pasiekia šiame segmente savo maksimaliąją reikšmę M ir minimaliąją reikšmę m. Galimi du atvejai: 1)   2)   Kadangi 1 atveju   tai išvestinė f'(x) lygi nuliui bet kuriame segmento [a; b] taške. Atveju, kai   atsižvelgę į sąlygą   galime tvirtinti, kad bent vieną iš dviejų reikšmių M ir m funkcija pasiekia kokiame nors vidiniame segmento [a; b] taške   Todėl funkcija f(x) tame taške   turi lokalinį ekstremumą. Kadangi funkcija f(x) diferencijuojama taške   tai   Teorema visiškai įrodyta.
Rolio teorema turi paprastą geometrinę prasmę: jei kreivės y = f(x) kraštinės ordinatės vienodos, tai kreivėje y = f(x) yra bent vienas taškas, per kurį nubrėžta kreivės liestinė yra lygiagreti ašiai Ox (8.10 pav.).
Rolio teorema pagrįsta daugelis matematinės analizės formulių ir teoremų.

Baigtinių pokyčių formulė (Lagranžo formulė)

keisti
 
8.11 pav.
Labai svarbi analizei ir jos pritaikymams yra tolesnė teorema, priskiriama Lagranžui (Ž. L. Lagranžas (1736-1813) - žymus prancūzų matematikas ir mechanikas).
Lagranžo teorema. Jei funkcija f(x) tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose jo taškuose, tai segmento [a; b] viduje yra toks taškas   kad
 
(8.7) formulė vadinama Lagranžo, arba baigtinių pokyčių, formule.
Įrodymas. Sudarykime segmente [a; b] pagalbinę funkciją
 
Įsitikinsime, kad funkcija F(x) tenkina visas Rolio teoremos sąlygas. Iš tikrųjų F(x) yra tolydi segmente [a; b] (kaip funkcijos f(x) ir tiesinės funkcijos skirtumas) ir visuose jo taškuose turi išvestinę:
 
Be to, iš (8.8) formulės aišku, kad  
Pagal Rolio teoremą segmento [a; b] viduje yra toks taškas   kad
 
Iš šios lygybės ir gaunama Lagranžo formulė. Pabrėžiame, kad (8.7) formulėje visiškai nebūtina tarti, kad b > a.
Pastaba. Lagranžo teoremą įrodėme kaip Rolio teoremos išvadą. Tačiau, kita vertus, Rolio teorema yra tik atskiras Lagranžo teoremos atvejis (kai   tada  ).
Aiškindamiesi Lagranžo teoremos geometrinę prasmę, atkreipsime dėmesį, kad santykis   yra kirstinės, einančios per kreivės   taškus A(a; f(a)) ir B(b; f(b)), krypties koeficientas, o   yra tos kreivės liestinės, nubrėžtos per tašką   krypties koeficientas. Lagranžo formulė reiškia, kad kreivėje   tarp taškų A ir B yra taškas C, per kurį nubrėžta liestinė yra lygiagreti kirstinei AB (8.11 pav.).
Dažnai būna patogi Lagranžo formulė, užrašyta kitu pavidalu. Fiksuokime bet kurį segmento [a; b] tašką   ir suteikime jam tokį laisvą pokytį   kad skaičius   irgi priklausytų segmentui [a; b]. Tada, pritaikę Lagranžo formulę segmentui   gausime:
 
čia   - koks nors taškas tarp   ir   Galima tvirtinti, kad yra toks (priklausantis nuo  ) skaičius   kad
 
Vadinasi, (8.10) formulę dar galima užrašyti šitaip:
 
jei   - atitinkamas intervalo   skaičius. Taip užrašyta Lagranžo formulė tiksliai išreiškia funkcijos pokytį atitinkamu laisvu argumento pokyčiu   Toks Lagranžo formulės pavidalas pateisina terminą "baigtinių pokyčių formulė".


Ferma teoremos analogas

keisti
Kad suprasti Rolio teoremą gali prireikti žinojimas Ferma teoremos. Arba kodėl lokaliniame maksimume arba minimume funkcijos išvestinė tame taške lygi nuliui. Tai mes ir paaiškinsime duodami kažką panašaus į Ferma teoremą.
Teorema. Jei taške   išvestinė tolydžios funkcijos f(x) lygi nuliui, t. y.   tai tolydi funkcija f(x) turi taške c lokalinį maksimumą arba minimumą (ekstremumą).
Įrodymas. Tarkime, kad tiriame tolydžią funkciją f(x) intervale (a; b). O taške c funkciją f(x) turi maksimumą (funkcija f(x) taške c įgyja maksimalią reikšmę iš intevalo (a; b)).
Paimkime iš intervalo (a; c) bet kokį tašką   Toliau paimkime ant Ox ašies tašką   iš intervalo (a; c). Tarsime, kad   Kadangi funkcija f(x) intervale (a; c) didėja, o intervale (c; b) mažėja, tai
 
nes skaitiklyje ir vardiklyje yra teigiamos reikšmės. O tuo atveju, kai   gauname išvestinę, kurios reikšmė taške   daugiau už nulį:
 
 
Toliau paimkime iš intervalo (c; b) bet kurį tašką   Ir tarkime, kad   Funkcija f(x) intervale (c; b) mažėja ir todėl   Kai   gauname:
  (nes skaitiklis neigiamas, o vardiklis teigiamas),
 
 
Matome, kad intervale (a; c) funkcijos f(x) išvestinė teigiama, o intervale (c; b) funkcijos f(x) išvestinė neigiama. Kadangi funkcija f(x) yra tolydi, tai taške c funckijos f(x) išvestinė turi būti lygi nuliui, t. y.  
Analogiškai, jei tolydi funkcija f(x) intervale (a; c) mažėja (tada šiame intervale išvestinė neigiama), o intervale (c; b) didėja (tada intervale (c; b) funkcijos f(x) išvestinė teigiama), tai funkcija f(x) taške c turi lokalinį minimumą ir  
Teorema įrodyta.