Matematika/Liestinės ir normalės projekcijos

Angliškai liestinės projekcija vadinasi subtangent, o liestinės normalės projekcija vadinasi subnormal. Rusiškai liestinės projekcija vadinasi подкасательная, o liestinės normalės projekcija vadinasi поднормаль.

Lygtis liestinės ir normalės. Ilgiai subtangentės ir subnormalėsKeisti

 
Pav. 87.
Panagrinėkime kreivę, lygtis kurios yra
 
Paimsime ant šitos kreivės tašką   (pav. 87) ir parašysime lygtį lietinės šitai kreivei taške M, tarę, kad šita liestinė ne lygiagreti ordinačių ašiai.
Lygtis tiesės su krypties koeficientų k, praeinančios per tašką M, turi pavidalą
 
Liestinei
 
todėl lygtis liestinės turi pavidalą
 
Drauge su liestine kreivės duotame taške dažnai tenka nagrinėti normalę.
Apibrėžimas. Kreivės normale duotame taške vadinama tiesė, praeinanti per duotą tašką, statmenai liestinei duotame taške.
Iš normalės apibrėžimo seka, kad jos krypties koficientas   surištas su koeficientu   liestinės lygybe
 
t. y.
 
Iš to seka, kad lygtis normalės kreivės   taške   turi pavidalą
 
Ilgis T atkarpos QM (pav. 87) liestinės, esančios tarp susilietimo taško ir ašies Ox, vadinamas liestinės ilgiu. Projekcija šitos atkarpos ant ašies Ox, t. y. atkarpa QP, vadinasi subtangentė; ilgis subtangentės žymimas   Ilgis N atkarpos MR vadinasi normalės ilgiu, o projekcija RP atkarpos RM ant ašies Ox vadinasi subnormale; ilgis subnormalės žymimas  
Rasime dydžius  ,  ,     kreivei   ir taškui  
Iš paveikslėlio 87 matyti, kad
 
todėl
 
 
Toliau iš šito pačio paveikslėlio aišku, kad
 
todėl
 
 
Šitos formulės išvestos tariant, kad   Tačiau jos išsisaugo ir bendru atveju.

PavyzdžiaiKeisti

 
Pav. 88.
  • Parašyti lygtį liestinės ir normalės kreivės   taške M(1; 1).
Sprendimas. Kadangi   tai kampinis koeficientas liestinės lygūs  
Iš to seka lygtis liestinės:
 
  arba  
Lygtis normalės:
 
 
arba
 
(žr. pav. 88)
 
Pav. 89.
  • Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės elipsei:
 
taške   kuriai   (pav. 89).
Sprendimas. Iš lygčių (1) randame:
 
Randame koordinates susilietimo taško M:
 
Liestinės lygtis:
 
  arba  
Normalės lygtis:
 
  arba  
Ilgis subtangentės:
 
Ilgis subnormalės:
 
Ilgiai liestinės ir normalės:
 
 


  • Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės parabolei   taške  .
Sprendimas. Randame:
 
Liestinės lygtis:
 
  arba  
Normalės lygtis:
 
  arba
 
 
 
Ilgis subtangentės:
 
Ilgis subnormalės:
 
Ilgiai liestinės ir normalės:
 
 
Sprendimas 2 (kitoks sprendimo būdas). Randame:
 
Liestinės lygtis:
 
  arba  
Normalės lygtis:
 
  arba  
Toliau randame liestinės ir ašies Ox susikirtimo tašką įstatę į liestinės lygtį  :
 
 
 
 
 
Vadinasi, liestinės ir ašies Ox susikirtimo taškas yra A(1,5; 0).
Liestinės projekcijos ilgis yra:
 
Liestinės atkarpos AM ilgis yra lygus:
 
Randame liestinės normalės ir ašies Ox susikirtimo tašką įstatę į normalės lygtį  :
 
 
 
 
 
 
Vadinasi, normalės ir ašies Ox susikirtimo taškas yra B(57; 0).
Normalės projekcijos ilgis yra:
 
Normalės atkarpos BM ilgis yra lygus: