Angliškai liestinės projekcija vadinasi subtangent , o liestinės normalės projekcija vadinasi subnormal . Rusiškai liestinės projekcija vadinasi подкасательная , o liestinės normalės projekcija vadinasi поднормаль .
keisti
Pav. 87. Panagrinėkime kreivę, lygtis kurios yra
y
=
f
(
x
)
.
{\displaystyle y=f(x).\;}
Paimsime ant šitos kreivės tašką
M
(
x
1
;
y
1
)
{\displaystyle M(x_{1};y_{1})\;}
M , tarę, kad šita liestinė ne lygiagreti ordinačių ašiai.
Lygtis tiesės su krypties koeficientų k , praeinančios per tašką M , turi pavidalą
y
−
y
1
=
k
(
x
−
x
1
)
.
{\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1}).}
Liestinei
k
=
f
′
(
x
1
)
,
{\displaystyle k=f'(x_{1}),\;}
todėl lygtis liestinės turi pavidalą
y
−
y
1
=
f
′
(
x
1
)
(
x
−
x
1
)
.
{\displaystyle y-y_{1}=f'(x_{1})(x-x_{1}).\;}
Drauge su liestine kreivės duotame taške dažnai tenka nagrinėti normalę.
Apibrėžimas . Kreivės normale duotame taške vadinama tiesė, praeinanti per duotą tašką, statmenai liestinei duotame taške.Iš normalės apibrėžimo seka, kad jos krypties koficientas
k
n
{\displaystyle k_{n}}
k
t
{\displaystyle k_{t}}
k
n
=
−
1
k
t
,
{\displaystyle k_{n}=-{\frac {1}{k_{t}}},}
t. y.
k
n
=
−
1
f
′
(
x
1
)
.
{\displaystyle k_{n}=-{\frac {1}{f'(x_{1})}}.}
Iš to seka, kad lygtis normalės kreivės
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)\;}
M
(
x
1
;
y
1
)
{\displaystyle M(x_{1};y_{1})}
y
−
y
1
=
−
1
f
′
(
x
1
)
(
x
−
x
1
)
.
{\displaystyle y-y_{1}=-{\frac {1}{f'(x_{1})}}(x-x_{1}).}
Ilgis T atkarpos QM (pav. 87) liestinės, esančios tarp susilietimo taško ir ašies Ox , vadinamas liestinės ilgiu . Projekcija šitos atkarpos ant ašies Ox , t. y. atkarpa QP , vadinasi subtangentė ; ilgis subtangentės žymimas
S
T
.
{\displaystyle S_{T}.\;}
N atkarpos MR vadinasi normalės ilgiu , o projekcija RP atkarpos RM ant ašies Ox vadinasi subnormale ; ilgis subnormalės žymimas
S
N
.
{\displaystyle S_{N}.\;}
Rasime dydžius
T
{\displaystyle T}
S
T
{\displaystyle S_{T}}
N
,
{\displaystyle N,}
S
N
{\displaystyle S_{N}}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)\;}
M
(
x
1
;
y
1
)
.
{\displaystyle M(x_{1};\;y_{1}).}
Iš paveikslėlio 87 matyti, kad
Q
P
=
T
⋅
cos
α
=
y
1
⋅
T
cos
α
y
1
=
y
1
⋅
T
cos
α
T
sin
α
=
y
1
⋅
cos
α
sin
α
=
y
1
cot
α
=
y
1
tan
α
=
y
1
y
1
′
,
{\displaystyle QP=T\cdot \cos \alpha =y_{1}\cdot {\frac {T\cos \alpha }{y_{1}}}=y_{1}\cdot {\frac {T\cos \alpha }{T\sin \alpha }}=y_{1}\cdot {\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}=y_{1}\cot \alpha ={\frac {y_{1}}{\tan \alpha }}={\frac {y_{1}}{y_{1}'}},}
todėl
S
T
=
|
y
1
y
1
′
|
,
{\displaystyle S_{T}=\left|{\frac {y_{1}}{y_{1}'}}\right|,}
T
=
y
1
2
+
y
1
2
(
y
1
′
)
2
=
|
y
1
y
1
′
y
1
′
2
+
1
|
.
{\displaystyle T={\sqrt {y_{1}^{2}+{\frac {y_{1}^{2}}{(y_{1}')^{2}}}}}=|{\frac {y_{1}}{y_{1}'}}{\sqrt {y_{1}'^{2}+1}}|.}
Toliau iš šito pačio paveikslėlio aišku, kad kampas PMR lygus
α
{\displaystyle \alpha }
P
R
P
M
=
P
R
y
1
=
tan
α
,
{\displaystyle {\frac {PR}{PM}}={\frac {PR}{y_{1}}}=\tan \alpha ,}
P
R
=
y
1
tan
α
=
y
1
y
1
′
,
{\displaystyle PR=y_{1}\tan \alpha =y_{1}y_{1}',\;}
todėl
S
N
=
|
y
1
y
1
′
|
,
{\displaystyle S_{N}=|y_{1}y_{1}'|,\;}
N
=
y
1
2
+
(
y
1
y
1
′
)
2
=
|
y
1
1
+
y
1
′
2
|
.
{\displaystyle N={\sqrt {y_{1}^{2}+(y_{1}y_{1}')^{2}}}=|y_{1}{\sqrt {1+y_{1}'^{2}}}|.}
Šitos formulės išvestos tariant, kad
y
1
>
0
,
y
1
′
>
0.
{\displaystyle y_{1}>0,\;\;y_{1}'>0.}
Pav. 88. Parašyti lygtį liestinės ir normalės kreivės
y
=
x
3
{\displaystyle y=x^{3}}
M (1; 1). Sprendimas . Kadangi
y
′
=
3
x
2
,
{\displaystyle y'=3x^{2},}
k
=
(
y
′
)
x
=
1
=
3
⋅
1
2
=
3.
{\displaystyle k=(y')_{x=1}=3\cdot 1^{2}=3.}
Iš to seka lygtis liestinės:
y
−
y
1
=
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1});}
y
−
1
=
3
(
x
−
1
)
{\displaystyle y-1=3(x-1)}
y
=
3
x
−
2.
{\displaystyle y=3x-2.}
Lygtis normalės:
y
−
y
1
=
−
1
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=-{\frac {1}{k}}(x-x_{1});}
y
−
1
=
−
1
3
(
x
−
1
)
{\displaystyle y-1=-{\frac {1}{3}}(x-1)}
arba
y
=
−
1
3
x
+
4
3
{\displaystyle y=-{\frac {1}{3}}x+{\frac {4}{3}}}
(žr. pav. 88) Pav. 89. Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės elipsei:
x
=
a
cos
t
,
y
=
b
sin
t
(
1
)
{\displaystyle x=a\cos t,\quad y=b\sin t\quad (1)}
taške
M
(
x
1
;
y
1
)
,
{\displaystyle M(x_{1};\;y_{1}),}
t
=
π
4
{\displaystyle t={\frac {\pi }{4}}}
Sprendimas . Iš lygčių (1) randame:
d
x
d
t
=
−
a
sin
t
;
d
y
d
t
=
b
cos
t
;
d
y
d
x
=
b
cos
t
−
a
sin
t
=
−
b
a
cot
t
;
k
=
(
d
y
d
x
)
t
=
π
4
=
−
b
a
cot
π
4
=
−
b
a
.
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-a\sin t;\;\;{\frac {dy}{dt}}=b\cos t;\;\;{\frac {dy}{dx}}={\frac {b\cos t}{-a\sin t}}=-{\frac {b}{a}}\cot t;\;\;k=\left({\frac {dy}{dx}}\right)_{t={\frac {\pi }{4}}}=-{\frac {b}{a}}\cot {\frac {\pi }{4}}=-{\frac {b}{a}}.}
Randame koordinates susilietimo taško M :
x
1
=
(
x
)
t
=
π
4
=
a
cos
π
4
=
a
2
,
y
1
=
(
y
)
t
=
π
4
=
b
sin
π
4
=
a
2
.
{\displaystyle x_{1}=(x)_{t={\frac {\pi }{4}}}=a\cos {\frac {\pi }{4}}={\frac {a}{\sqrt {2}}},\quad y_{1}=(y)_{t={\frac {\pi }{4}}}=b\sin {\frac {\pi }{4}}={\frac {a}{\sqrt {2}}}.}
Liestinės lygtis:
y
−
y
1
=
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1});}
y
−
b
2
=
−
b
a
(
x
−
a
2
)
,
{\displaystyle y-{\frac {b}{\sqrt {2}}}=-{\frac {b}{a}}\left(x-{\frac {a}{\sqrt {2}}}\right),}
b
x
+
a
y
−
a
b
2
=
0.
{\displaystyle bx+ay-ab{\sqrt {2}}=0.}
Normalės lygtis:
y
−
y
1
=
−
1
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=-{\frac {1}{k}}(x-x_{1});}
y
−
b
2
=
a
b
(
x
−
a
2
)
,
{\displaystyle y-{\frac {b}{\sqrt {2}}}={\frac {a}{b}}\left(x-{\frac {a}{\sqrt {2}}}\right),}
(
a
x
−
b
y
)
2
−
a
2
+
b
2
=
0.
{\displaystyle (ax-by){\sqrt {2}}-a^{2}+b^{2}=0.}
Ilgis subtangentės:
S
T
=
|
y
1
k
|
=
|
b
2
−
b
a
|
=
a
2
.
{\displaystyle S_{T}=\left|{\frac {y_{1}}{k}}\right|=\left|{\frac {\frac {b}{\sqrt {2}}}{-{\frac {b}{a}}}}\right|={\frac {a}{\sqrt {2}}}.}
Ilgis subnormalės:
S
N
=
y
1
k
=
|
b
2
(
−
b
a
)
|
=
b
2
a
2
.
{\displaystyle S_{N}=y_{1}k=\left|{\frac {b}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {b}{a}}\right)\right|={\frac {b^{2}}{a{\sqrt {2}}}}.}
Ilgiai liestinės ir normalės:
T
=
|
y
1
k
k
2
+
1
|
=
|
b
2
−
b
a
(
−
b
a
)
2
+
1
|
=
a
2
(
−
b
a
)
2
+
1
=
1
2
a
2
+
b
2
;
{\displaystyle T=|{\frac {y_{1}}{k}}{\sqrt {k^{2}+1}}|=\left|{\frac {\frac {b}{\sqrt {2}}}{-{\frac {b}{a}}}}{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}+1}}\right|={\frac {a}{\sqrt {2}}}{\sqrt {\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}+1}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}};}
N
=
|
y
1
1
+
k
2
|
=
|
b
2
1
+
(
−
b
a
)
2
|
=
b
a
2
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle N=|y_{1}{\sqrt {1+k^{2}}}|=\left|{\frac {b}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {b}{a}}\right)^{2}}}\right|={\frac {b}{a{\sqrt {2}}}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}
Rasti lygtį liestinės ir normalės, ilgius liestinės ir subtangentės, ilgius normalės ir subnormalės parabolei
y
=
x
2
{\displaystyle y=x^{2}\;}
M
(
3
;
9
)
{\displaystyle M(3;9)}
Sprendimas . Randame:
d
y
d
x
=
(
x
2
)
′
=
2
x
;
k
=
(
d
y
d
x
)
x
=
3
=
2
⋅
3
=
6.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=(x^{2})'=2x;\;\;k=\left({\frac {dy}{dx}}\right)_{x=3}=2\cdot 3=6.}
Liestinės lygtis:
y
−
y
1
=
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1});}
y
−
9
=
6
(
x
−
3
)
,
{\displaystyle y-9=6(x-3),}
6
x
−
y
−
9
=
0.
{\displaystyle 6x-y-9=0.}
Normalės lygtis:
y
−
y
1
=
−
1
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=-{\frac {1}{k}}(x-x_{1});}
y
−
9
=
−
1
6
(
x
−
3
)
,
{\displaystyle y-9=-{\frac {1}{6}}(x-3),}
6
(
y
−
9
)
=
−
(
x
−
3
)
,
{\displaystyle 6(y-9)=-(x-3),}
6
y
−
54
=
−
x
+
3
,
{\displaystyle 6y-54=-x+3,}
x
+
6
y
−
57
=
0.
{\displaystyle x+6y-57=0.}
Ilgis subtangentės:
S
T
=
|
y
1
k
|
=
|
9
6
|
=
3
2
=
1
,
5.
{\displaystyle S_{T}=\left|{\frac {y_{1}}{k}}\right|=\left|{\frac {9}{6}}\right|={\frac {3}{2}}=1,5.}
Ilgis subnormalės:
S
N
=
y
1
k
=
|
9
⋅
6
|
=
54.
{\displaystyle S_{N}=y_{1}k=|9\cdot 6|=54.}
Ilgiai liestinės ir normalės:
T
=
|
y
1
k
k
2
+
1
|
=
|
9
6
6
2
+
1
|
=
3
2
37
=
9
,
124143795
;
{\displaystyle T=|{\frac {y_{1}}{k}}{\sqrt {k^{2}+1}}|=\left|{\frac {9}{6}}{\sqrt {6^{2}+1}}\right|={\frac {3}{2}}{\sqrt {37}}=9,124143795;}
N
=
|
y
1
1
+
k
2
|
=
|
9
1
+
6
2
|
=
9
37
=
54
,
74486277.
{\displaystyle N=|y_{1}{\sqrt {1+k^{2}}}|=\left|9{\sqrt {1+6^{2}}}\right|=9{\sqrt {37}}=54,74486277.}
Sprendimas 2 (kitoks sprendimo būdas) . Randame:
d
y
d
x
=
(
x
2
)
′
=
2
x
;
k
=
(
d
y
d
x
)
x
=
3
=
2
⋅
3
=
6.
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=(x^{2})'=2x;\;\;k=\left({\frac {dy}{dx}}\right)_{x=3}=2\cdot 3=6.}
Liestinės lygtis:
y
−
y
1
=
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=k(x-x_{1});}
y
−
9
=
6
(
x
−
3
)
,
{\displaystyle y-9=6(x-3),}
6
x
−
y
−
9
=
0.
{\displaystyle 6x-y-9=0.}
Normalės lygtis:
y
−
y
1
=
−
1
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=-{\frac {1}{k}}(x-x_{1});}
y
−
9
=
−
1
6
(
x
−
3
)
,
{\displaystyle y-9=-{\frac {1}{6}}(x-3),}
x
+
6
y
−
57
=
0.
{\displaystyle x+6y-57=0.}
Toliau randame liestinės ir ašies Ox susikirtimo tašką įstatę į liestinės lygtį
y
=
0
{\displaystyle y=0}
y
−
9
=
6
(
x
−
3
)
,
{\displaystyle y-9=6(x-3),}
y
=
6
x
−
18
+
9
,
{\displaystyle y=6x-18+9,}
y
=
6
x
−
9
,
{\displaystyle y=6x-9,}
6
x
−
9
=
0
,
{\displaystyle 6x-9=0,}
x
=
9
6
=
3
2
=
1
,
5.
{\displaystyle x={\frac {9}{6}}={\frac {3}{2}}=1,5.}
Vadinasi, liestinės ir ašies Ox susikirtimo taškas yra A (1,5; 0).
Liestinės projekcijos ilgis yra:
S
T
=
x
1
−
3
2
=
3
2
=
1
,
5.
{\displaystyle S_{T}=x_{1}-{\frac {3}{2}}={\frac {3}{2}}=1,5.}
Liestinės atkarpos AM ilgis yra lygus:
T
=
S
T
2
+
y
1
2
=
(
3
2
)
2
+
9
2
=
9
4
+
81
=
9
+
81
⋅
4
4
=
9
+
324
4
=
333
4
=
3
37
2
=
9
,
124143795.
{\displaystyle T={\sqrt {S_{T}^{2}+y_{1}^{2}}}={\sqrt {\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}+9^{2}}}={\sqrt {{\frac {9}{4}}+81}}={\sqrt {\frac {9+81\cdot 4}{4}}}={\sqrt {\frac {9+324}{4}}}={\sqrt {\frac {333}{4}}}={\frac {3{\sqrt {37}}}{2}}=9,124143795.}
Randame liestinės normalės ir ašies Ox susikirtimo tašką įstatę į normalės lygtį
y
=
0
{\displaystyle y=0}
y
−
y
1
=
−
1
k
(
x
−
x
1
)
;
{\displaystyle y-y_{1}=-{\frac {1}{k}}(x-x_{1});}
y
−
9
=
−
1
6
(
x
−
3
)
,
{\displaystyle y-9=-{\frac {1}{6}}(x-3),}
x
+
6
y
−
57
=
0
,
{\displaystyle x+6y-57=0,}
x
+
6
⋅
0
−
57
=
0
,
{\displaystyle x+6\cdot 0-57=0,}
x
−
57
=
0
,
{\displaystyle x-57=0,}
x
=
57.
{\displaystyle x=57.}
Vadinasi, normalės ir ašies Ox susikirtimo taškas yra B (57; 0).
Normalės projekcijos ilgis yra:
N
T
=
57
−
x
1
=
57
−
3
=
54.
{\displaystyle N_{T}=57-x_{1}=57-3=54.}
Normalės atkarpos BM ilgis yra lygus:
N
=
N
T
2
+
y
1
2
=
54
2
+
9
2
=
2916
+
81
=
2997
=
54
,
74486277.
{\displaystyle N={\sqrt {N_{T}^{2}+y_{1}^{2}}}={\sqrt {54^{2}+9^{2}}}={\sqrt {2916+81}}={\sqrt {2997}}=54,74486277.}
