Matematika/Linijiniai elementai paviršiaus

Paviršiaus užrašymo būdaiKeisti

Paviršiaus lygtis. Paviršius gali būti užrašytas lygtimis vienoje iš sekančių formų:
a) forma:
 
b) forma:
 
c) parametrine forma:
 
d) vektorine forma:
  arba  
Keisdami visais įmanomais būdais parametrus u ir v, gauname spindulį-vektorių ir koordinates paviršiaus taškų; išimdami iš (3) u ir v, gauname forma (1). Forma (2) yra dalinis atvejis formos (3), kuriame  
Pavyzdis: Sferos lygtis:
 
arba
 
 

Linijiniai elementai paviršiausKeisti

Lanko diferencijalas. Jeigu paviršius užrašytas formoje (3) arba (3a),   - duotas ir   - artimas jam taškas paviršiaus, tai ilgis lanko MN ant paviršiaus apytiksliai išreiškiamas diferencialu lanko arba linijiniu elementu paviršiaus pagal formulę

 
kur
 
 
 
Dešinė dalis formulės (1) vadinasi taip pat pirma kvadratine forma paviršiaus, užrašytos formoje (2); jos koeficientai E, F, G priklauso nuo taško paviršiaus.
Pavyzdis: Sferai:  
 
pirma kvadratinė forma:  
Paviršiui, užrašytam formoje (2):
  kur  

Matavimai ant paviršiaus. Lanko ilgis kreivės linijos   ant paviršiaus kai   apskaičiuojamas pagal formule

 
Kampas   tarp dviejų kreivių (t. y. tarp jų liestinių), susikretančių taške M ir turinčių šitame taške kryptis vektorių   ir  , apskaičiuojamas pagal formulę:
 
 
(koeficientai E, F, G apskaičiuojami taškui M). Tada linijos statmenos, jeigu skaitiklis ( ) lygus nuliui;   - sąlyga statmenumo koordinatinių linijų   ir  
Plotas paviršiaus S apriboto tam tikra kreive ant paviršiaus, apskaičiuojamas kaip dvilypis integralas:
 
kur
 
Tokiu budu, žinodami koeficientus pirmos kvadratinės formos E, F, G, mes galime daryti matavimus ilgių, kampų ir plotų ant paviršiaus pagal formules (*), (**), (***), t. y. pirma kvadratinė forma visai nustato metriką paviršiaus.
Uždėjimas paviršių esant išlenkimams. Jeigu paviršių išlenknėti be ištempimų ir plyšimų, tai jos lygtis pasikeis, bet metrika liks ta pati, t. y. pirma kvadratinė forma nepasikeis. Du skirtingi paviršiai, turintys vieną ir tą pačią pirmą kvadratinę formą, gali būti išlenkimo budu uždeti vienas ant kito.

NuorodosKeisti

  • www.math.uga.edu/~shifrin/ShifrinDiffGeo.pdf 107 psl. arba 109 psl. Acrobat Reader'yje apie linijos ilgį ant paviršiaus