Matematika/Natūrinių skaičių daugyba

Daugyba

Daugyba - tai aritmetinis veiksmas, atitinkantis kartotinę sudėtį. Pavyzdžiui, žinome, kad 2 + 2 + 2 = 6, tad galime rašyti:

$2\cdot 3=6.\$

Tai skaitoma: „du kart trys lygu šeši“ arba „du padauginę iš trijų gauname šešis“. Čia „·“ yra daugybos ženklas. Gali būti naudojami ir kitokie daugybos ženklai. Pavyzdžiui,

$2\times 3=6\$

reiškia tą patį, ką ir anksčiau pateiktas užrašas.

Dauginami skaičiai yra vadinami dauginamaisiais, o daugybos rezultatas - sandauga:

$\underbrace {2} _{\stackrel {pirmasis}{dauginamasis}}\cdot \underbrace {3} _{\stackrel {antrasis}{dauginamasis}}=\underbrace {6} _{sandauga}.$

Daugyba atitinka kartotinę sudėtį. Kitaip tariant, sudauginti du dauginamuosius yra tas pat, kas paimti vieną dauginamąjį tiek kartų, kiek nusako kitas dauginamasis, ir sudėti. Pavyzdžiui:

$3\cdot 4=\underbrace {3+3+3+3} _{4\ kartus}=12.\$

Tačiau taip dauginti patogu tik mažus skaičius. Didesni skaičiai dauginami stulpeliu, pasinaudojant daugybos lentele.

Daugybos lentelė

Vienaženklių skaičių ir dešimties sandaugas patogu pateikti lentele, kurios stulpelių ir eilučių antraštėse yra dauginamieji, o jų sankirtose - sandaugos:

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

Lentelė yra simetriška, tad galima spėti, jog sukeitę dauginamuosius vietomis, sandaugos nepakeisime. Taip ir yra.

Kaip matome, bet kurį natūrinį skaičių padauginę iš nulio, gauname nulį, o jei skaičių dauginame iš dešimties, jo pabaigoje prirašome nulį. Kitų vienaženklių skaičių sandaugas verta įsidėmėti atskirai, tad jas pateiksime kita lentele:

$1\cdot 1=1$	$2\cdot 1=2$	$3\cdot 1=3$
$1\cdot 2=2$	$2\cdot 2=4$	$3\cdot 2=6$
$1\cdot 3=3$	$2\cdot 3=6$	$3\cdot 3=9$
$1\cdot 4=4$	$2\cdot 4=8$	$3\cdot 4=12$
$1\cdot 5=5$	$2\cdot 5=10$	$3\cdot 5=15$
$1\cdot 6=6$	$2\cdot 6=12$	$3\cdot 6=18$
$1\cdot 7=7$	$2\cdot 7=14$	$3\cdot 7=21$
$1\cdot 8=8$	$2\cdot 8=16$	$3\cdot 8=24$
$1\cdot 9=9$	$2\cdot 9=18$	$3\cdot 9=27$
$4\cdot 1=4$	$5\cdot 1=5$	$6\cdot 1=6$
$4\cdot 2=8$	$5\cdot 2=10$	$6\cdot 2=12$
$4\cdot 3=12$	$5\cdot 3=15$	$6\cdot 3=18$
$4\cdot 4=16$	$5\cdot 4=20$	$6\cdot 4=24$
$4\cdot 5=20$	$5\cdot 5=25$	$6\cdot 5=30$
$4\cdot 6=24$	$5\cdot 6=30$	$6\cdot 6=36$
$4\cdot 7=28$	$5\cdot 7=35$	$6\cdot 7=42$
$4\cdot 8=32$	$5\cdot 8=40$	$6\cdot 8=48$
$4\cdot 9=36$	$5\cdot 9=45$	$6\cdot 9=54$
$7\cdot 1=7$	$8\cdot 1=8$	$9\cdot 1=9$
$7\cdot 2=14$	$8\cdot 2=16$	$9\cdot 2=18$
$7\cdot 3=21$	$8\cdot 3=24$	$9\cdot 3=27$
$7\cdot 4=28$	$8\cdot 4=32$	$9\cdot 4=36$
$7\cdot 5=35$	$8\cdot 5=40$	$9\cdot 5=45$
$7\cdot 6=42$	$8\cdot 6=48$	$9\cdot 6=54$
$7\cdot 7=49$	$8\cdot 7=56$	$9\cdot 7=63$
$7\cdot 8=56$	$8\cdot 8=64$	$9\cdot 8=72$
$7\cdot 9=63$	$8\cdot 9=72$	$9\cdot 9=81$

Peržiūrėjus šią lentelę, galima pastebėti dar keletą dėsningumų, padedančių ją įsiminti. Pavyzdžiui, matome, kad vienaženklį skaičių (nuo vieno iki devynių) padauginę iš devynių, gauname skaičių, kurio skaitmenų suma yra devyni. Taip pat matome, kad vienaženklio skaičiaus ir penketo sandauga baigiasi arba nuliu, arba penketu. O padauginę bet kurį skaičių iš vieneto, gauname jį patį.

Daugyba stulpeliu iš vienaženklio skaičiaus

Stulpeliu padauginkime 2313 iš 3. Iš pradžių, kaip ir sudėties bei atimties atveju, surašykime dauginamuosius vieną po kitu, kairėje padėkime daugybos ženklą, o po jais užbraukime brūkšnį:

×	2	3	1	3
				3

Tada dauginkime pirmojo dauginamojo vienetų skiltį iš antrojo dauginamojo: 3 · 3 = 9. Rezultatą rašome į sandaugos vienetų skiltį:

×	2	3	1	3
				3
				9

Po to iš antrojo dauginamojo dauginkime pirmojo dauginamojo dešimčių skiltį: 1 · 3 = 3. Rezultatą rašome į sandaugos dešimčių skiltį:

×	2	3	1	3
				3
			3	9

Po to iš antrojo dauginamojo dauginame pirmojo dauginamojo šimtų skiltį ir rezultatą rašome į sandaugos šimtų skiltį:

×	2	3	1	3
				3
		9	3	9

Tą patį darome ir su tūkstančių skiltimi:

×	2	3	1	3
				3
	6	9	3	9

Vadinasi, 2313 · 3 = 6939.

Tačiau čia visus keturis kartus gavome vienaženkles sandaugas. O kas jei gausime dviženklę? Pavyzdžiui, padauginkime 3514 iš 4. Iš pradžių, kaip ir anksčiau, parašykime dauginamuosius vieną po kitu, po jais užbraukime brūkšnį, o kairėje padėkime daugybos ženklą:

×	3	5	1	4
				4

Tada dauginame iš keturių pirmojo dauginamojo vienetų skiltį: 4 · 4 = 16. Skaičius dviženklis, tad darome kaip ir sudėties atveju: 6 rašome į sandaugos vienetų skiltį, o 1 lieka „minty“:

×	3	5	1	4
				4
				6

Tada dauginame iš keturių dešimčių skiltį: 1 · 4 = 4. Tada pridedame „minty“ esantį vienetą: 4 + 1 = 5. Rezultatas vienaženklis, tad jį rašome į sandaugos dešimčių skiltį:

×	3	5	1	4
				4
			5	6

Dauginame iš keturių šimtų skiltį: 5 · 4 = 20. Nulį rašome į sandaugos šimtų skiltį ir lieka „du minty“:

×	3	5	1	4
				4
		0	5	6

Galiausiai iš keturių dauginame tūkstančių skiltį: 3 · 4 = 12. Pridedame „du minty“: 12 + 2 = 14. Ketvertą rašome į sandaugos tūkstančių skiltį, o vienetą - į dešimčių tūkstančių:

×	3	5	1	4
				4
1	4	0	5	6

Vadinasi, 3514 · 4 = 14056.

Daugyba stulpeliu iš daugiaženklio skaičiaus

Kaip dauginti skaičius, kai antrasis dauginamasis nėra vienženklis? Pavyzdžiui, sudauginkime 2314 ir 23. Iš pradžių, kaip ir daugindami iš vienženklio skaičiaus, dauginamuosius užrašykime vieną po kitu, po jais braukime brūkšnį, o šalia padėkime daugybos ženklą:

	×	2	3	1	4
				2	3

Tada dauginkime stulpeliu pirmąjį dauginamąjį iš antrojo dauginamojo vienetų skilties ir rezultatą rašykime po brūkšniu - taip, kaip darytume daugindami pirmąjį dauginamąjį stulpeliu iš vienženklio skaičiaus:

	×	2	3	1	4
				2	3
		6	9	4	2

Po to pirmąjį dauginamąjį padauginsime iš antrojo dauginamojo dešimčių skilties. Tačiau rezultatą (dalinę sandaugą) rašysime po jau užrašytu daugybos iš vienetų skilties rezultatu. Taip pat jį paslinksime taip, kad rezultato vienetų skiltis būtų po antrojo dauginamojo dešimčių skiltimi (ta, iš kurios dauginome):

	×	2	3	1	4
				2	3
		6	9	4	2
	4	6	2	8

Antrasis dauginamasis nebeturi daugiau skilčių, tad po dalinėmis sandaugomis brauksime brūkšnį, šalia jų rašysime pliusą ir sudėsime jas stulpeliu (galime laikyti, kad neužpildytose dalinių sandaugų skiltyse yra nuliai):

	×	2	3	1	4
				2	3
+		6	9	4	2
	4	6	2	8
	5	3	2	2	2

Vadinasi, 2314 · 23 = 53222.

Pratimai

1. Sudauginkite vienženklius skaičius: a) 2 · 4, b) 3 · 6, c) 5 · 4, d) 7 · 5, e) 9 · 8, f) 9 · 9, g) 5 · 5, h) 7 · 6, i) 8 · 3, j) 1 · 4.

Ats.: a) 8, b) 18, c) 20, d) 35, e) 72, f) 81, g) 25, h) 42, i) 24, j) 4.

2. Sudauginkite daugiaženklį skaičių ir vienaženklį skaičius: a) 23 · 3, b) 14 · 4, c) 105 · 7, d) 791 · 6.

Ats.: a) 69, b) 56, c) 735, d) 4746.

3. Sudauginkite du daugiaženklius skaičius: a) 73 · 25, b) 47 · 98.

Ats.: a) 1825, b) 4606.

4. 1787 m. sudaryta JAV konstitucija nustatė, kad į Senatą kiekviena valstija turi rinkti po du senatorius. Kelis senatorius reikėjo išrinkti į JAV Senatą jai įsigaliojus, jei tuo metu JAV sudarė trylika valstijų?

Ats.: 26.