Matematika/Paviršių liečianti plokštuma

Liečianti plokštuma ir normalė paviršiui, apibūdintam lygtimi Geometrinė prasmė pilno diferencialo funkcijoms dviejų kintamųjų.


Egzistuoja keletas ekvivalenčių tarpusavyje apibūdinimų paviršiaus liečiamosios plokštumos. Siūlomas žemiau apibūdinimas yra naturalus apibendrinimas liestinės (tiesės) kreivei.
Tegu - taškas duoto paviršiaus. Parinkime ant paviršiaus kitą, kintantį, tašką N ir pravesime kertančią tiesę
Plokštuma, praeinanti per tašką , vadinasi liečiamaja plokštuma paviršiaus taške , jeigu kampas tarp kirstinės ir šitos plokštumos artėja į nulį, kai atstumas artėja į nulį, nepriklausant kokiu budu taškas N ant paviršiaus artės prie taško (žiūrėti pav. 303).
Normalė paviršiaus taške vadinama tiesė, praeinanti per tašką statmenai liečiančios plokštumos paviršiaus šitame taške.
Iš apibūdinimo seka, kad arba paviršius duotame taške turi tiktai vieną liečiančią plokštumą, arba jos neturi visai.
Pavyzdžiui, paviršius, apibūdinamas lygtimi (kūginis paviršius), taške O(0; 0; 0) liečiamosios plokštumos neturi.
Parodysime, kad pas paviršių užduotą lygtimį , kur - funkcija, diferencijuojama taške , liečiamoji plokštuma taške egzistuoja ir turi lygtį
Tegu - dabartinis taškas paviršiaus. Pažymėsime per kampą tarp kirstinės ir plokštumos (1). Parodysime, kad artėjant taškui N į tašką kampas , arba, kas tapatu, artėja prie nulio. Šituo ir bus įrodyta, kad plokštuma (1) yra liečiamoji plokštuma duotajam paviršiui taške .
Nuleisime iš taško N statmenį NK į plokštumą (1) ir statmenį NM į plokštumą xOy. - taškas susikirtimo statmens NM su plokštuma (1) (pav. 304). Tada Priedo
304 pav. suprantamiau pavaizduota.
Jeigu taškas N artėja prie taško , tada ir artėja prie nulio ir reiškia artėja prie nulio.
Kadangi funkcija f(x; y) diferencijuojama taške , dydis bus begalo mažas didesnės eilės, negu , t. y. santykis kai artės prie nulio. Iš čia seka, kad ir pats kampas artėja prie nulio, kai
Tokiu budu, mes įrodėme, kad jeigu funkcija taške diferencijuojama, tai vaizduojantis ją paviršius taške turi nevertikalią liečiamąją plokštumą.
Galima įrodyti ir atvirkštinį teiginį: jeigu taške paviršius, vaizduojantis netrūkią funkciją turi nevertikalią liečiamąją plokštumą, tai funkcija taške (x; y) diferencijuojama.
Pagal išvaizda lygties (1) liečiamosios plokštumos prie paviršiaus, užrašyto lygtimi , taške , lengva parašyti lygtį normalės:
Išsiaiškinsime dabar geometrinę prasmę pilnojo diferencialo funkcijos dviejų kintamųjų.
Tegu funkcija diferencijuojama taške . Tai reiškia, kad paviršius, apibūdintas lygtimi , turi taške liečiamąją plokštumą. Jos lygtį galima užrašytį pavidale:
arba, pažymėję , , pavidale:
Šioje lygybėje kairėje stovi skirtumas aplikačių taškų liečiamosios plokštumos, atitinkančių taškams ir o iš dešinės - pilnas diferencialas funkcijos taške .
Tokiu budu, pilnas diferencialas funkcijos taške geometriškai reiškia priaugimą aplikatės liečiamosios plokštumos paviršiaus, vaizduojančio funkciją, taške pereinant iš taško į tašką (priminsime, kad funkcijai nuo vieno kintamojo diferencialas taške yra priaugimas ordinatės liestinės prie kreivės, vaizduojančios funkciją, taške pereinant iš taško į tašką
Funkcijai pavaizduotai pav 305, diferencialas dz taške neigiamas.


Apibendrinimas. Paviršiaus liečiamosios plokštumos
taške normalės vektorius yra Taškas jungiasi su bet kuriuo paviršiaus tašku N ir gaunamas vektorius Žinome, kad dviejų vienas kitam statmenų vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui. Todėl ir turime tokią liečiamosios plokštumos lygtį, kai sudauginame du vektorius:
Kai taškas tai kampas tarp liečiamosios plokštumos normalės ir vektoriaus artėja prie Tolygus kampo didėjimas (iki ) tarp vektorių ir , kai ir įrodo, kad paviršius turi tik vieną tašką (), kuriame liečiasi su [liečiamaja] plokštuma.
Gaunasi, kad
kai Tada tarp ir Vadinasi, kai kampas tarp atkarpos ir liečiamosios plokštumos normalės artėja prie


Paviršių liečiančios plokštumos įrodymasKeisti

Analogiškai tam, kaip diferencialas funkcijos vieno kintamojo geometriškai reiškia priaugimą "ordinatės liestinės", diferencialas funkcijos dviejų kintamųjų yra priaugimas aplikatės liečiamosios plokštumos. Įvesime apibrėžimą liečiamosios plokštumos paviršiaus taške  .

 
Paviršiaus liečiamoji plokštuma taške  ;  ;  ;  
Plokštuma, praeinanti pro tašką   paviršiaus, vadinasi liečiamaja plokštuma paviršiaus šitame taške, jeigu kampas tarp kirstinės (tiesės), praeinančios per tašką   ir betkurį tašką N paviršiaus, ir plokštuma (плоскостью) artėja prie nulio, kai taškas N artėją į tašką  .
Tegu paviršius apibūdintas lygtimi   ir funkcija   diferencijuojama taške  
Įrodysime, kad paviršiaus liečiamoji plokštuma taške   kur   apibūdinama lygtimi
 
Iš tikro, iš analytinės geometrijos žinoma, kad lygtis (4) apibūdina plokštumą, praeinančią per tašką   ir turinčią normalės vektorių   Kad nustatyti, kad šita plokštuma yra liečiamoji, užtenka įrodyti, kad kampas   tarp vektoriaus   ir vektoriaus   betkokios kirstinės   artėja į   kai taškas N artėja prie taško  . Koordinates taško N pažymėsime (x; y; z), kur   Kadangi koordinatės vektoriaus   lygios  ,  , -1, o koordinatės vektoriaus   lygios  ,  ,  , tai
 
Bet, kaip seka iš apibrėžimo  ,   kur   Todėl
 
kai   Iš čia seka, kad   ką ir reikėjo įrodyti.
Normalės vektorių   liečiamosios plokštumos vadina normale paviršiaus   taške  . Tegu  ,  ,  ; tada iš lygybės (4) gauname, kad priaugimas   "aplikatės liečiamosios plokštumos" nustatomas formule
 
t. y. iš tikro sutampa su diferencialu   funkcijos  


Įrodymo apibendrinimas. Kadangi   kai   tai iš to daroma išvada, kad   kai   ir   kai   Vadinasi, su visomis taško N koordinatėmis (x; y; z), tarp visų vektorių, kokie gali gautis iš vektoriaus   įstačius konkrečias koordinates į kintamo taško N(x; y; z) koordinates, kampas tarp [betkokio] vektoriaus   ir vektoriaus   artėja į   kai   artėja į nulį.

Vektoriaus   ilgis irgi artėja į nulį, kai   bet kas yra svarbiausia apie vektorius, kad jie turi kryptį nepriklausomai nuo ilgio, todėl, jei proporcingai padinti taško N koordinates ir taško   koordinates tiek pat kartų, gausime, kad tiesiog vektoriaus   koordinates padauginsime iš bet kokios konstantos c ir gausime vektorių   Vadinasi vektorinės rodiklės keliauja iki begalybės (arba tiesiog iki labai didelės reikšmės) ir [liečiamoji] plokštuma vis tiek yra begalinė (labai didelė), jei konstanta c yra labai didelė.
Tuomet iškyla naturali išvada, kad jeigu visi statūs plokštumos normalei vektoriai sudaryti iš vektoriaus   egzistuoja ir yra žinoma skaliarinė sandauga tarp bet kurio vektoriaus, kuris gali atsirasti iš vektoriaus   ir tarp normalės vektoriaus ir ta skaliarinė sandauga lygi nuliui:
 
 
tai vadinasi, belieka tik vienas variantas, kad [visi vektoriai gauti iš   yra statūs normalei ir] pati normalė yra   arba  


PavyzdžiaiKeisti

  • Sudarysime liečiamosios plokštumos ir normalės paviršiaus apibūdinto lygtimi   taške  
Kadangi dalinės išvestinės
  ir  
netrukios taške   ir jo srityje, tai funkcija z diferencijuojama taške  , t. y. duotas paviršius turi taške   liečiamąją plokštumą ir normalę.
Lygtis liečiamosios plokštumos:
 
 
 
lygtis normalės:
 
t. y.
 


  • Parašyti lygtį liečiamosios plokštumos ir lygtį normalės rutulio paviršiaus   taške P(1; 2; 3).
Sprendimas.
 
kai  ,  ,   turime:
 
Iš to seka, kad lygtis liečiamosios plokštumos bus:
 
 
 
 
Lygtis normalės:
 
arba
 
Rutulio paviršiaus liečiamosios plokštumos normalės vektorius   yra gradientas rutulio paviršiaus funkcijos taške P(1; 2; 3):
 


  • Parašyti lygtį liečiamosios plokštumos ir lygtį normalės rutulio paviršiaus   taške P(1; 2; 3). Uždavinį išspręsti pasinaudojant sekančiomis trignometrinėmis tapatybėmis. Sferai
 
liečiamosios plokštumos formulė:
 
normalės formulė:
 
Sprendimas. Kadangi perėjome į sferines koordinates, tai reikia rasti kampą u ir kampą v. Kampas u yra sukimas ant xOy plokštumos (prieš laikrodžio rodykle), o kampas v yra sukamas nuo viršaus į apačia ant zOx plokštumos arba ant zOy plokštumos. Randame:
 
 
Žinoma,  
Žinome, kad bet kokia tiesė einanti per tašką O(0; 0; 0) ir bet kuri kitą sferos tašką M yra sferos liečiamoisios plokštumos normalė. Todėl vektorius   Tokiu budu galėtume ir surasti liečiamosios plokštumos lygtį. Bet surasime liečiamosios plokšutmos ir normalės lygtis pasinaudodami uždavinio sąlygoje pateiktomis formulėmis.
Tiesės atkarpos OP projekcijos ilgis plokštumoje xOy yra lygus:
 
tuomet:
 
 
Dabar galime rasti kam lygus kampas u. Taigi, randame:
 
  radiano arba  
 
  radiano arba  
Toliau ieškome kampo v, taigi:
 
 
 
 
  radiano arba  
 
 
Taigi, sferos liečiamosios plokštumos taške P(1; 2; 3) lygtis yra:
 
 
 
 
 
 
 
Sferos liečiamosios plokštumos normalės lygtis taške P(1; 2; 3) yra:
 
 
 
 
 

NuorodosKeisti