Matematika/Paviršinis integralas

Paviršiaus ploto apskaičiavimasKeisti

Tarkime, kad srityje D paviršių nusako lygtis z=z(x, y), funkcijos išvestinės   ir   yra tolydžios srityje D. Paviršiaus dalies, kurios projekcija plokštumoje xOy yra sritis D, plotas apskaičiuojamas pagal formulę  

PavyzdžiaiKeisti

 
1.
  • Apskaičiuosime   dalyje piltuvėlio paviršiaus   plotą. Paviršius S projektuojasi į plokštumą XOY srityje D, kuri yra žiedas   Šitame žiede funkcijos   - netrūkios. Todėl
 
 
Patikriname. Kūgio paviršiaus ploto formulė be pagrindo yra   kur R yra pagrindo spindulys, o l yra apotema ir didžiojo kūgio yra lygi   O mažojo kūgio apotema yra lygi   Dabar galime rasti piltuvėlio formos figuros tikrąjį plotą:

 

 
2.
  • Rasime plotą dalies kanoninio paviršiaus   iškerpamo plokštumomis         ir gulinčios pirmame oktante. Taip kaip funkcija   ir srtitis D, esanti projekcija šios dalies į plokšumą XOY, tenkina tolydumo sąlyga, apskaičiuojame paviršių pagal formulę. Be to     t. y.

  Sritį D randame kaip trikampių skirtumą:  

  • Paraboliniai cilindrai   bei plokštuma   išpjauna iš plokštumos   kreivinį trikampį (13.15 pav.). Apskaičiuokime jo plotą.

Plokštumos lygtį parašykime taip:   Kreivinį trikampį projektuokime į plokštumą xOy. Randame:   Tuomet    


  • Raskime plotą tos ritinio   paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys  

Iš paviršiaus lygties   išplaukia, kad   Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą yOx. Vadinasi:    

 

Tuomet   čia integravimo sritis D yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo   Taigi  

Palyginimui, kvadrato plotas yra   Paviršiaus plotas kurį suradome turi projekciją į xOy ašį, o tos projekcijos plotas yra  
  • Raskime plotą tos ritinio   paviršiaus ploto dalies, kurią išpjauna ritinys  

Iš paviršiaus lygties   išplaukia, kad   Šią paviršiaus dalį projektuojame į plokštumą yOz. Vadinasi:       Tuomet   čia integravimo sritis D yra ketvirtis skritulio, apriboto apskritimo   Taigi  

Palyginimui, kvadrato plotas yra   o visuose oktantuose esantis plotas lygus  
Paaiškinimui, ritinio spindulys r=a, o aukštinė h=a, jei skaičiuoti tik teigiamas reikšmes (viename oktante) arba h=2a su ritinio puse(mis) esančia(-iomis) kituose oktantuose, kai z, x reikšmės neigiamos. Pirmo ritinio pagrindas yra plokštumoje xOy, o centras yra (0; 0; 0), o antro ritinio pagrindas yra plokštumoje zOy, o centras (0; 0; 0) (jei neigiamos z ir x reikšmės "nepratesiamos").
 
3.
  • Apskaičiuosime plotą tos dalies plokštumos   kuri yra pirmame oktante.

Taip kaip funkcija   ir sritis D, esanti projekcija šios dalies paviršiaus į plokštumą Oxy, tenkina suformuluotas auksčiau salygas, tai ieškomą plotą galima apskaičiuoti pagal formule. Turime       Sritis D yra trikampis, apribotas ašimis Ox, Oy ir tiese 6x+3y=12, gaunamos iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname  

 
Šį plotą galima surasti ir klasikiniu budu. Ieškomas plotas yra trikampis ABC, kurio taškai yra A(2; 0; 0), B(0; 4; 0) ir C(0; 0; 6). Pavadiname atkarpas AB=a, BC=b, CA=c; OA=d=2, OB=e=4, OC=f=6. Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0). Randame trikampio ABC kraštinių ilgius:
 
 
 
Toliau randame trikampio ABC pusperimetrį   ir plotą:
 
 
  • Apskaičiuoti plotą plokštumos   esančios pirmame oktante (pav. 427).
Randame:
 
 
 
 
Sritis   yra trikampis, apribotas ašimis Ox, Oy ir tiese 2x+3y=6, y=(6-2x)/3 gaunama iš lygties duotos plokštumos kai z=0. Išdėstę integravimo ribas dvilypiam integrale, gauname
 
 
Šį plotą galima surasti ir klasikiniu budu. Ieškomas plotas yra trikampis ABC, kurio taškai yra A(3; 0; 0), B(0; 2; 0) ir C(0; 0; 6). Pavadiname atkarpas AB=a, BC=b, CA=c; OA=d=3, OB=e=2, OC=f=6. Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0). Randame trikampio ABC kraštinių ilgius:
 
 
 
Toliau randame trikampio ABC pusperimetrį   ir plotą: