Geriausiai plokštuma įsivaizduojama, kaip funkcija

Bendroji plokštumos lygtis yra:

Parinkime bet kokį tašką ant plokštumos. Tuomet vektorinė plokšumos lygtis yra Tuomet turime, kad
Tarkime, kad plokštuma koordinačių ašyse Ox, Oy ir Oz atkerta atitinkamai atkarpas a, b ir c. Tai reiškia, kad plokštuma eina per taškus (a; 0; 0), (0; b; 0) ir (0; 0; c). Šių taškų koordinatės tinka lygčiai , todėl teisingos lygybės
Iš čia
Įrašę šias A, B ir C išraiškas į lygtį , gauname
Ši lygtis vadinama ašine plokštumos lygtimi.
  • Pavyzdžiui, lygties ašinė lygtis yra:
  • Pavyzdys. Kokią plokštumos ir erdvės taškų aibę apibūdina lygtis ?
Sprendimas. Erdvėje lygtis apibūdina plokštumą, lygiagrečią su ašimi Oy. Šios plokštumos normalės vektorius Plokštumoje xOz ši lygtis nusako tiesę, kuri kerta koordinačių ašis taškuose ir .

Plokštumos normalė

keisti

Plokštumos   normalė yra vektorius   Plokštumos normalė yra tiesė praeinanti pro tą plokštumą ir susikirtimo taške sudaranti 90 laipsnių kampą. Plokštumos normalė visada išeina iš taško O(0; 0; 0). Todėl plokštumos normalė yra paprasčiausia tiesė jungianti du taškus O(0; 0; 0) ir N(A; B; C) ir ta tiesė yra statmena plokštumai  .

Kampas tarp dviejų plokštumų

keisti

Tarkime, duotos dvi plokštumos   ir  , kurių lygtys   ir   Kampas tarp plokštumų   ir   lygus kampui tarp jų normalės vektorių   ir  

Kadangi   tai, remdamiesi vektorių formule, gauname sąryšį
 
kuris apibūdina kampą   tarp plokštumų   ir  .
Jei Plokštumų   ir   normalės   ir   yra statmenos, tada   ir tada plokštumos   ir   yra statmenos.
Plokštumų   ir   lygiagretumo sąlyga išplaukia iš jų normalės vektorių   ir   kolinerumo ir yra tokia:
 

Taško atstumas iki plokštumos

keisti
Tarkime, kad šalia plokštumos  , kurios lygtis  , duotas taškas  . Rasime jo atstumą d iki plokštumos  . Iš taško   nuleiskime statmenį   į plokštumą   ir to statmens pagrindą pažymėkime   Tada   Kadangi vektorius   ir plokštumos   normalės vektorius   yra kolinearūs, tai jų sudaromas kampas   lygus nuliui arba 180 laipsnių. Todėl  
 
Čia   ir   Ir  , nes   priklauso plokštumai  .


  • Pavyzdys. Duota plokštuma   ir taškas  .

Rasti atstumą d nuo taško   iki duotos plokštumos.

Sprendimas.
 
Toliau padaliname plokštumos lygtį iš   ir gauname:
 
 
Į lygtį   įstatome taško   koordinates ir gauname taško   atstumą iki plokštumos  , taigi:
 
Plokštumos   normalė yra tiesė ON, kuri statmena plokštumai  . Taškų koordinatės yra O(0; 0; 0) ir N(1; 2; 2). Tokiu budu, tiesė ON kerta plokštumą (arba pratesta kerta), sudarydama statų kampą su plokštuma  .
  • Pavyzdys. Dvi kubo sienos yra plokštumose   ir  . Apskaičiuokime to kubo tūrį.
Sprendimas. Kadangi nurodytų plokštumų normalės vektorių   ir   koordinatės yra proporcingos, tai tos plokštumos yra lygiagrečios. Todėl kubo briaunos ilgis lygus atstumui tarp šių plokštumų. Antra vertus, šis atstumas lygus atstumui d nuo bet kurio plokštumos   taško iki plokštumos  .
Parainkime kurį nors plokštumos   tašką, pavyzdžiui, tašką, kurio     Tada           Apskaičiuokime atstumą d nuo taško   iki plokštumos  , taigi:
 
 
Vadinasi kubo tūris
 

Liečiamoji plokštuma paviršiaus

keisti

Liečiamoji plokštuma ir normalė tos plokštumos, kuri liečia paviršių, kurio lygtis   Tegu paviršius nusakomas lygtimi

 
Tokia lygtis gali būti, pavyzdžiui, paraboloido lygtis  
 
Paimkime ant to paviršiaus tašką  
Jei apibrėžime šito taško funkcija   netruki ir jos dalinės išvestinės netrukios, priedo   tai šalia taško   paviršių galima įsivaizduoti kaip lygtį   kur funkcija vienareikšmė, netrūki ir turi netrūkias dalines išvestines. Iš čia, iš dalies, seka, kad taške   funkcija   diferencijuojama, t. y. duotas paviršius turi nevertikalią liečiančią plokštumą.
Lygtis šios plokštumos, kaip mes žinome, turi pavidalą:
 
Įstatę į jį reikšmes   ir  
 
po elementarių pertvarkymų gausime lygtį liečiamosios plokštumos paviršiaus   taške   pavidale:
 
Lygtys normalės tam pačiam paviršiui taške   turės pavidalą:

 

Taškas   kuriame   vadinamas ypatingu tašku paviršiaus. Šiame taške paviršius gali neturėti liečiamosios plokštumos.

Pavyzdžiai

keisti
  • Rasti lygtį liečiamosios plokštumos ir normalę paviršiui   taške  
Čia  
 
 
 
Randame dalinių išvestinių reikšmes taške  
 
 
 
Gauname liečiamosios plokštumos lygtį:
 
arba,
 
Liečiamosios plokštumos normalinis vektorius yra   kuris dar vadinamas normale taške  
Gauname normalės taške   lygtis: