Matematika/Rutulys

Sferos plotasKeisti

Sferos plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

 

kur

S - sferos plotas,
r - sferos spindulys.

Rutulio tūrisKeisti

Sferos ribojamas tūris

 

Rutulio nuopjovos tūrisKeisti

Jei rutulio spindulys R, o nuopjovos aukštinė h, tai rutulio nuopjovos tūrio formulė yra
 
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
Įrodysime. Išveskime ašį Ox, statmeną plokštumai  . Tada rutulio nuopjovos pjūvio, gauto perkirtus ją ašiai Ox statmena plokštuma, plotas   išreiškiamas formule   o   Pritaikę tūrių apskaičiavimo pagrindinę formulę, kai  ,  , gauname:
 
 
 
 
Rutulio nuopjova yra ta dalis, kuri nupjaunama nuo rutulio (kaip nupjaunama dalis obuolio).

Rutulio sluoksnio tūrisKeisti

Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis, esanti tarp dviejų lygiagrečių plokštumų. Skrituliai, susidarę lygiagrečiomis plokštumomis perkirtus rutulį, vadinami rutulio sluoksnio pagrindais, o atstumas tarp tų plokštumų - rutulio sluoksnio aukštine.

Rutulio sluoksnio tūrį galima apskaičiuoti kaip dviejų ruulio nuopjovų tūrių skirtumą.
Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h tūris yra:
 
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.
Jei   - tūris, kūgio sluoksnio, įdėto į rutulio sluoksnį, ir l - jo apotema, tai  

Rutulio išpjovos tūrisKeisti

Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos tūrio formulė yra

 
Išvesime šią formulę. Rutulio spindulys yra R. Rutulio nuopjovos aukštinė yra h; kūgio aukštinė yra  ; kūgio apotema lygi rutulio spinduliui R. Nuopjovos ir kūgio pagrindo spindulys yra r. Turime:
 
Randame kūgio tūrį:
 
Sudedame nuopjovos ir kūgio tūrius, kad gauti išpjovos tūrį:
 

Rutulio nuopjovos paviršiaus plotasKeisti

Rutulio nuopjovos visas paviršiaus plotas (pridėjus pagrindo plotą) randamas pagal formulę:

 
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
Nuopjovos be pagrindo plotas yra:
 
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys;
 
  • Apskaičiuosime rutulio nuopjovos plotą S, atsiradusi dėl sukimo pusiauapskritimio,   aplink ašį Ox. Pagal formulę   gauname:
 
 
Reikia pastebėti, kad nuopjovos plotas visada toks pat nepriklausomai, kurioje rutulio dalyje yra rutulio aukštinė h. Rutulio nuopjovos plotas priklauso tik nuo nuopjovos aukštinės h ilgio ir rutulio spindulio R.

Rutulio išpjovos paviršiaus plotasKeisti

Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos ploto formulė yra:

 
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.

Rutulio sluoksnio paviršiaus plotasKeisti

Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h plotas yra:
 
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.
Rutulio sluoksnio plotas, neįskaitant pagrindų plotų, yra:
 
Rutulio spindulį R ir rutulio sluoksnio pagrindų spindulius, bei sluoksnio aukštinę h, jungia toks sąryšis:
 
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.