Matematika/Rutulys

Sferos plotas

Sferos plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

$\mathbf {S} =\mathbf {4\pi R^{2}} ,$

kur

S - sferos plotas,

R - sferos spindulys.

Sferos ploto apskaičiavimo formulės įrodymas. Reikia rutulį padalinti į daugybę keturkampių piramidžių, kurių pagrindas kvadratas, o aukštinė visų piramidžių eina iš rutulio (ar sferos) centro ir lygi sferos spinduliui R. Visų tų piramidžių pagrindų skaičius bus tuo labiau lygus sferos plotui, kuo tų piramidžių bus daugiau ir mažesnio pagrindo ploto. Kai piramidžių skaičius (su bendra viršune O, kas yra sferos centras) artėja prie begalybės, visų piramidžių pagrindų plotų suma artėja prie sferos ploto.

Taigi, reikia iškelti ${\frac {1}{3}}h$ prieš skliaustus (skliaustuose lieka visų piramidžių pagrindų plotų suma) iš piramidės tūrio formulės

$V_{pir.}={\frac {1}{3}}hS_{pagr.};$

čia $S_{pagr.}$ - piramidės pagrindas, o h yra piramidės aukštinė, kuri lygi R.

Padalinę visą sferos tūrį iš ${\frac {1}{3}}R$, gausime sferos plotą

$S={\frac {V}{{\frac {1}{3}}R}}={4 \over 3}\pi R^{3}\cdot {\frac {3}{R}}=4\pi R^{2}.$

Rutulio tūris

Sferos ribojamas tūris

$\mathbf {V} =\mathbf {{4 \over 3}\pi R^{3}} ,$

Įrodymas. Nagrinėkime rutulį, kurio spindulys R, centras O. Ašimi Ox pasirinkime bet kurią tiesę, einančia per tašką O. Rutulį perkirtę plokštuma, statmena ašiai Ox ir einančia per tos ašies tašką M, gausime skritulį, kurio centras M. To skritulio spindulį pažymėkime raide r, o jo plotą - $S(x)$; čia x - taško M abscisė. Plotą $S(x)$ išreikšime abscise x ir spinduliu R. Iš stačiojo trikampio OMC (čia C yra bet kuris taškas apskritimo, kurio centras yra taškas M; C yra skritulio, gauto perkirtus rutlį plokštuma statmena ašiai Ox, ir rutulį ribojančios sferos susikirtimo bet kuris taškas) gauname:

$r={\sqrt {OC^{2}-OM^{2}}}={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}.$

Kadangi $S(x)=\pi r^{2}$, tai

$S(x)=\pi (R^{2}-x^{2}).\quad (1)$

Kad ir kur būtų taško M vieta skersmenyje AB (čia atkarpa AB yra Ox ašyje; taškas A yra teigiamos Ox ašies ir rutulį ribojančios sferos susikirtimo taškas, o taškas B yra neigiamoje Ox ašyje; $AB=2R$), ši formulė teisinga, t. y. ji galioja su visais x, tenkinančiais sąlygą $-R\leq x\leq R.$

Pritaikę kūnų tūrių apskaičiavimo pagrindinę formulę, kai $a=-R,\;b=R,$ gauname:

$V=\int _{-R}^{R}\pi (R^{2}-x^{2})dx=\pi R^{2}\int _{-R}^{R}dx-\pi \int _{-R}^{R}x^{2}dx=$

$=\pi R^{2}x|_{-R}^{R}-{\frac {\pi x^{3}}{3}}|_{-R}^{R}=\pi R^{2}(R-(-R))-({\frac {\pi R^{3}}{3}}-{\frac {\pi (-R)^{3}}{3}})=\pi R^{2}\cdot 2R-({\frac {\pi R^{3}}{3}}+{\frac {\pi R^{3}}{3}})=$

$=2\pi R^{3}-{\frac {2\pi R^{3}}{3}}={\frac {6\pi R^{3}-2\pi R^{3}}{3}}={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.$

Pavyzdžiai

• Apskaičiuoti pusė rutulio tūrio, kurio spindulys R=5.

$V_{puse}={\frac {2}{3}}\pi R^{3}={\frac {2}{3}}\pi \cdot 5^{3}={\frac {2}{3}}\pi \cdot 125={\frac {250\pi }{3}}=261.79938779914943653855.$

Pasinaudodami Free Pascal programa apskaičiuosime pusę rutulio tūrio, kurio spindulys R=5. Free Pascal kodas yra toks (pusė rutulio padaliname į milijardą diskų, kurių kiekvieno storis yra 0.000000005):

  var a:longint; c,b:real;
  begin
  for a:=1 to 1000000000  do
  c:=c+0.000000005*(25-sqr(a*0.000000005));
  b:=c*3.14159265358979323846264;
  writeln(b);
  readln;
  end.

kuris duoda atsakymą "2.6179938760293498E+002" po 9 sekundžių su 4.16 GHz dažniu veikiančiu procesoriumi (kai juodame ekrane (lange) gaunamas FP atsakymas, kad išeiti reikia 2 kartus paspausti "Enter").

• Apskaičiuosime pusė rutulio tūrio su spinduliu $R=6.$

$V_{puse}={\frac {2}{3}}\pi R^{3}={\frac {2}{3}}\pi \cdot 6^{3}={\frac {2}{3}}\pi \cdot 216=144\pi =452.3893421169302263386.$

Free Pascal kodas, kuris apskaičiuoja pusę rutulio tūrio su spinduliu $R=6,$ yra toks:

  var a:longint; c,b:real;
  begin
  for a:=0 to 999999999  do
  c:=c+36-sqr(a*0.000000006);
  b:=c*0.000000006*3.14159265358979323846264;
  writeln(b);
  readln;
  end.

Atsakymas "4.5238934245646249E+002" gaunamas po 8 sekundžių su 4.16 GHz dažniu veikiančiu procesoriumi.

Rutulio nuopjovos tūris

Jei rutulio spindulys R, o nuopjovos aukštinė h, tai rutulio nuopjovos tūrio formulė yra

$V=\pi h^{2}\left(R-{\frac {1}{3}}h\right)={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+h^{2}),$

čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.

Įrodysime. Išveskime ašį Ox, statmeną plokštumai $\alpha$. Tada rutulio nuopjovos pjūvio, gauto perkirtus ją ašiai Ox statmena plokštuma, plotas $S(x)$ išreiškiamas (1) formule, o $R-h\leq x\leq R.$ Pritaikę tūrių apskaičiavimo pagrindinę formulę, kai $a=R-h$, $b=R$, gauname:

$V=\pi \int _{R-h}^{R}(R^{2}-x^{2})dx=\pi \left(R^{2}x-{\frac {x^{3}}{3}}\right){\bigg |}_{R-h}^{R}=\pi \left[R^{2}\cdot R-{\frac {R^{3}}{3}}-\left(R^{2}(R-h)-{\frac {(R-h)^{3}}{3}}\right)\right]=$

$=\pi \left[R^{3}-{\frac {R^{3}}{3}}-\left(R^{3}-R^{2}h-{\frac {R^{3}-3R^{2}h+3Rh^{2}-h^{3}}{3}}\right)\right]=\pi \left[R^{3}-{\frac {R^{3}}{3}}-R^{3}+R^{2}h+{\frac {R^{3}-3R^{2}h+3Rh^{2}-h^{3}}{3}}\right]=$

$=\pi \left[-{\frac {R^{3}}{3}}+R^{2}h+{\frac {R^{3}-3R^{2}h+3Rh^{2}-h^{3}}{3}}\right]=\pi \cdot {\frac {-R^{3}+3R^{2}h+R^{3}-3R^{2}h+3Rh^{2}-h^{3}}{3}}=$

$=\pi \cdot {\frac {3Rh^{2}-h^{3}}{3}}=\pi h^{2}\left(R-{\frac {1}{3}}h\right).$

Rutulio nuopjova yra ta dalis, kuri nupjaunama nuo rutulio (kaip nupjaunama dalis obuolio).

Rutulio sluoksnio tūris

Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis, esanti tarp dviejų lygiagrečių plokštumų. Skrituliai, susidarę lygiagrečiomis plokštumomis perkirtus rutulį, vadinami rutulio sluoksnio pagrindais, o atstumas tarp tų plokštumų - rutulio sluoksnio aukštine.

Rutulio sluoksnio tūrį galima apskaičiuoti kaip dviejų rutulio nuopjovų tūrių skirtumą.

Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h tūris yra:

$V={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+3b^{2}+h^{2}),$

čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.

Jei $V_{1}$ - tūris nupjautinio kūgio, įbrėžto į rutulio sluoksnį, ir l - jo (nupjautinio kūgio) sudaromoji, tai

$V-V_{1}={\frac {1}{6}}\pi h(3a^{2}+3b^{2}+h^{2})-{\frac {\pi h}{3}}(a^{2}+b^{2}+ab)=$

$={\frac {3}{6}}\pi ha^{2}+{\frac {3}{6}}\pi hb^{2}+{\frac {1}{6}}\pi h^{3}-{\frac {2}{6}}\pi ha^{2}-{\frac {2}{6}}\pi hb^{2}-{\frac {2}{6}}\pi hab=$

$={\frac {1}{6}}\pi ha^{2}+{\frac {1}{6}}\pi hb^{2}+{\frac {1}{6}}\pi h^{3}-{\frac {2}{6}}\pi hab={\frac {1}{6}}\pi h(a^{2}+b^{2}+h^{2}-2ab)=$

$={\frac {1}{6}}\pi h((a-b)^{2}+h^{2})={\frac {1}{6}}\pi hl^{2}.$

Čia a ir b nupjautinio kūgio [ir taip pat rutulio sluoksnio] pagrindų spinduliai. Rastas tūris $V_{zhieve}=V-V_{1}$ yra panašus į nuo obuolio sluoksnio peiliu nuluptos žievės tūrį.

Rutulio išpjovos tūris

Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos tūrio formulė yra

$V={\frac {2}{3}}\pi R^{2}h.$

Išvesime šią formulę. Rutulio spindulys yra R. Rutulio nuopjovos aukštinė yra h; kūgio aukštinė yra $x=R-h$; kūgio sudaromoji lygi rutulio spinduliui R. Nuopjovos ir kūgio pagrindo spindulys yra r. Turime:

$r^{2}=R^{2}-x^{2}=R^{2}-(R-h)^{2}=R^{2}-(R^{2}-2Rh+h^{2})=2Rh-h^{2}.$

Randame kūgio tūrį:

$V_{k}={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot x\cdot r^{2}={\frac {1}{3}}\pi (R-h)(2Rh-h^{2})={\frac {\pi }{3}}(2R^{2}h-Rh^{2}-2Rh^{2}+h^{3})={\frac {\pi }{3}}(2R^{2}h-3Rh^{2}+h^{3}).$

Sudedame nuopjovos ir kūgio tūrius, kad gauti išpjovos tūrį:

$V_{isp}=V_{nuop}+V_{k}=\pi \cdot {\frac {3Rh^{2}-h^{3}}{3}}+{\frac {\pi }{3}}(2R^{2}h-3Rh^{2}+h^{3})={\frac {\pi }{3}}(3Rh^{2}-h^{3}+2R^{2}h-3Rh^{2}+h^{3})={\frac {\pi }{3}}\cdot 2R^{2}h={\frac {2}{3}}\pi R^{2}h.$

Rutulio nuopjovos paviršiaus plotas

Rutulio nuopjovos visas paviršiaus plotas (pridėjus pagrindo plotą) randamas pagal formulę:

$S=2\pi Rh+\pi a^{2}=\pi (h^{2}+2a^{2}),$

čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys; h - rutulio nuopjovos aukštinė (aukštinė h yra statmena nuopjovos pagrindui ir einanti per to pagrindo [kuris yra skritulys] centrą).

Nuopjovos be pagrindo plotas yra:

$M=2\pi Rh=\pi (a^{2}+h^{2}),$

čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys;

$a^{2}=h(2R-h).$

• Apskaičiuosime rutulio nuopjovos [o taip pat sluoksnio] plotą S, atsiradusi dėl sukimo pusiauapskritimio, $f(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}},\;-R\leq a\leq x\leq b\leq R,$ aplink ašį Ox. Pagal formulę $S=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx$ gauname:

${\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}={\sqrt {1+\left({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {-2x}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}\right)^{2}}}={\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{R^{2}-x^{2}}}}};$

$S=2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\sqrt {1+{x^{2} \over R^{2}-x^{2}}}}dx=2\pi \int _{a}^{b}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}}{\sqrt {R^{2} \over R^{2}-x^{2}}}dx=2\pi \int _{a}^{b}Rdx=2\pi Rx|_{a}^{b}=2\pi R(b-a)=2\pi Rh.$

Reikia pastebėti, kad nuopjovos plotas (be pagrindo) lygus rutulio sluoksnio plotui (be pagrindų), kai nuopjovos ir sluoksnio aukštinės h yra vienodos [ir kai rutulio spindulys R vienodas]. Rutulio sluoksnio plotas priklauso tik nuo sluoksnio aukštinės h ilgio ir rutulio spindulio R.

• Rutulio nuopjovos paviršiaus plotą be pagrindo (kuris yra skritulys) galima rasti analogiškai tam, kaip randamas rutulio paviršiaus plotas padalinant rutulio tūrį iš ${\frac {1}{3}}R$. Vadovaujantis ta pačia logika, reikia rutulio išpjovos tūrį $V={\frac {2}{3}}\pi R^{2}h$ padalinti iš ${\frac {1}{3}}R.$ Tokiu budu gauname:

$S={\frac {V}{{\frac {1}{3}}R}}={\frac {{\frac {2}{3}}\pi R^{2}h}{{\frac {1}{3}}R}}=2\pi Rh;$

čia R yra rutulio spindulys, h - nuopjovos aukštinė.

Rutulio išpjovos paviršiaus plotas

Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos ploto formulė yra:

$S=\pi R(2h+a),$

čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.

Rutulio sluoksnio paviršiaus plotas

Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h plotas yra:

$S=\pi (2Rh+a^{2}+b^{2}),$

čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.

Rutulio sluoksnio plotas, neįskaitant pagrindų plotų, yra:

$M=2\pi Rh.$

Rutulio spindulį R ir rutulio sluoksnio pagrindų spindulius, bei sluoksnio aukštinę h, jungia toks sąryšis:

$R^{2}=a^{2}+\left({\frac {a^{2}-b^{2}-h^{2}}{2h}}\right)^{2},$

čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.