Matematika/Rutulys

Sferos plotasKeisti

Sferos plotas apskaičiuojamas pagal formulę:

 

kur

S - sferos plotas,
R - sferos spindulys.
Sferos ploto apskaičiavimo formulės įrodymas. Reikia rutulį padalinti į daugybę keturkampių piramidžių, kurių pagrindas kvadratas, o aukštinė visų piramidžžių eina iš rutulio (ar sferos) centro ir lygi sferos spinduliui R. Visų tų piramidžių pagrindų skaičius bus tuo labiau lygus sferos plotui, kuo tų piramidžių bus daugiau ir mažesnio pagrindo ploto. Kai piramidžių skaičius (su bendra viršune O, kas yra sferos centras) artėja prie begalybės, visų piramidžių pagrindų plotų suma artėja prie sferos ploto.
Taigi, reikia iškelti   prieš skliaustus (skliaustuose lieka visų piramidžių pagrindų plotų suma) iš piramidės tūrio formulės
 
čia   - piramidės pagrindas, o h yra piramidės aukštinė, kuri lygi R.
Padalinę visą sferos tūrį iš  , gausime sferos plotą
 

Rutulio tūrisKeisti

Sferos ribojamas tūris

 
Įrodymas. Nagrinėkime rutulį, kurio spindulys R, centras O. Ašimi Ox pasirinkime bet kurią tiesę, einančia per tašką O. Rutulį perkirtę plokštuma, statmena ašiai Ox ir einančia per tos ašies tašką M, gausime skritulį, kurio centras M. To skritulio spindulį pažymėkime raide r, o jo plotą -  ; čia x - taško M abscisė. Plotą   išreikšime abscise x ir spinduliu R. Iš stačiojo trikampio OMC (čia C yra bet kuris taškas apskritimo, kurio centras yra taškas M; C yra skritulio, gauto perkirtus rutlį plokštuma statmena ašiai Ox, ir rutulį ribojančios sferos susikirtimo bet kuris taškas) gauname:
 
Kadangi  , tai
 
Kad ir kur būtų taško M vieta skersmenyje AB (čia atkarpa AB yra Ox ašyje; taškas A yra teigiamos Ox ašies ir rutulį ribojančios sferos susikirtimo taškas, o taškas B yra neigiamoje Ox ašyje;  ), ši formulė teisinga, t. y. ji galioja su visais x, tenkinančiais sąlygą  
Pritaikę kūnų tūrių apskaičiavimo pagrindinę formulę, kai   gauname:
 
 
 

Rutulio nuopjovos tūrisKeisti

Jei rutulio spindulys R, o nuopjovos aukštinė h, tai rutulio nuopjovos tūrio formulė yra
 
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
Įrodysime. Išveskime ašį Ox, statmeną plokštumai  . Tada rutulio nuopjovos pjūvio, gauto perkirtus ją ašiai Ox statmena plokštuma, plotas   išreiškiamas (1) formule, o   Pritaikę tūrių apskaičiavimo pagrindinę formulę, kai  ,  , gauname:
 
 
 
 
Rutulio nuopjova yra ta dalis, kuri nupjaunama nuo rutulio (kaip nupjaunama dalis obuolio).

Rutulio sluoksnio tūrisKeisti

Rutulio sluoksniu vadinama rutulio dalis, esanti tarp dviejų lygiagrečių plokštumų. Skrituliai, susidarę lygiagrečiomis plokštumomis perkirtus rutulį, vadinami rutulio sluoksnio pagrindais, o atstumas tarp tų plokštumų - rutulio sluoksnio aukštine.

Rutulio sluoksnio tūrį galima apskaičiuoti kaip dviejų rutulio nuopjovų tūrių skirtumą.
Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h tūris yra:
 
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.

Rutulio išpjovos tūrisKeisti

Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos tūrio formulė yra

 
Išvesime šią formulę. Rutulio spindulys yra R. Rutulio nuopjovos aukštinė yra h; kūgio aukštinė yra  ; kūgio apotema lygi rutulio spinduliui R. Nuopjovos ir kūgio pagrindo spindulys yra r. Turime:
 
Randame kūgio tūrį:
 
Sudedame nuopjovos ir kūgio tūrius, kad gauti išpjovos tūrį:
 

Rutulio nuopjovos paviršiaus plotasKeisti

Rutulio nuopjovos visas paviršiaus plotas (pridėjus pagrindo plotą) randamas pagal formulę:

 
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.
Nuopjovos be pagrindo plotas yra:
 
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys;
 
  • Apskaičiuosime rutulio nuopjovos plotą S, atsiradusi dėl sukimo pusiauapskritimio,   aplink ašį Ox. Pagal formulę   gauname:
 
 
Reikia pastebėti, kad nuopjovos plotas visada toks pat nepriklausomai, kurioje rutulio dalyje yra rutulio aukštinė h. Rutulio nuopjovos plotas priklauso tik nuo nuopjovos aukštinės h ilgio ir rutulio spindulio R.


  • Rutulio nuopjovos paviršiaus plotą be pagrindo (kuris yra skritulys) galima rasti analogiškai tam, kaip randamas rutulio paviršiaus plotas padalinant rutulio tūrį iš  . Vadovaujantis ta pačia logika, reikia rutulio išpjovos tūrį   padalinti iš   Tokiu budu gauname:
 
čia R yra rutulio spindulys, h - nuopjovos aukštinė.

Rutulio išpjovos paviršiaus plotasKeisti

Rutulio išpjovą sudaro rutulio nuopjova ir kūgis. Kai rutulio spindulys yra R, o rutulio nuopjovos aukštinė lygi h, rutulio išpjovos ploto formulė yra:

 
čia a yra rutulio nuopjovos pagrindo spindulys.

Rutulio sluoksnio paviršiaus plotasKeisti

Rutulio, kurio spindulys R, sluoksnio su aukštine h plotas yra:
 
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.
Rutulio sluoksnio plotas, neįskaitant pagrindų plotų, yra:
 
Rutulio spindulį R ir rutulio sluoksnio pagrindų spindulius, bei sluoksnio aukštinę h, jungia toks sąryšis:
 
čia a ir b rutulio sluoksnio pagrindų spinduliai, a>b.