Parodysime, kad
2
≤
e
≤
3.
{\displaystyle 2\leq e\leq 3.}
Kad įrodyti, kad
2
≤
e
{\displaystyle 2\leq e}
Niutono binomo formulę . O įrodymui, kad
e
≤
3
,
{\displaystyle e\leq 3,}
Niutono binomo formulę daugiau ar mažiau žino kiekvienas (besidomintis matematika). Todėl pateiksime tik geometrinės progresijos formulę ir jos išvedimą.
Kai
r
≠
1
{\displaystyle r\neq 1}
n +1 geometrinės eilutės narių yra
S
n
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
=
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
(
1
−
r
n
+
1
1
−
r
)
.
{\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right).}
Čia a yra bet koks realusis skaičius, r - realusis skaičius, n - natūrinis skaičius.
Kai
−
1
<
r
<
1
,
{\displaystyle -1<r<1,}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
r
≥
1
,
{\displaystyle r\geq 1,}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
S
n
=
∞
,
{\displaystyle S_{n}=\infty ,}
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
r
≤
−
1
,
{\displaystyle r\leq -1,}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
Dalinės sumos
S
n
{\displaystyle S_{n}}
n +1 narių sumą iš r ir paskui atimti gautą sumą iš pradinės
S
n
{\displaystyle S_{n}}
s
=
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
,
r
s
=
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
⋯
+
a
r
n
+
a
r
n
+
1
,
s
−
r
s
=
a
−
a
r
n
+
1
,
s
(
1
−
r
)
=
a
(
1
−
r
n
+
1
)
,
s
=
a
(
1
−
r
n
+
1
1
−
r
)
(jeigu
r
≠
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}s=a\ +\ &ar\ +\ ar^{2}\ +\ ar^{3}\ +\ \cdots \ +\ ar^{n},\\rs=\ &ar\ +\ ar^{2}\ +\ ar^{3}\ +\ \cdots \ +\ ar^{n}\ +\ ar^{n+1},\\s-rs=\ &a\ -\ ar^{n+1},\\s(1-r)=\ &a(1-r^{n+1}),\\s=\ &a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right)\quad {\text{(jeigu }}r\neq 1{\text{)}}.\end{aligned}}}
Kai n artėja prie begalybės, absoliuti reikšmė r turi būti mažesnė už vienetą, kad eilutė konverguotų. Suma tada tampa tokia
a
+
a
r
+
a
r
2
+
a
r
3
+
a
r
4
+
⋯
=
∑
k
=
0
∞
a
r
k
=
a
1
−
r
,
kai
|
r
|
<
1.
{\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}},{\text{ kai }}|r|<1.}
Kai
a
=
1
,
{\displaystyle a=1,}
−
1
<
r
<
1
,
n
→
∞
{\displaystyle -1<r<1,\;\;n\to \infty }
1
+
r
+
r
2
+
r
3
+
⋯
=
1
1
−
r
.
{\displaystyle 1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1-r}}.}
Apie geometrinę eilutę (ir kaip ji išvedama) anglų kalba galima paskaityti čia https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series
Apie geometrinę progresiją anglų kalba galima paskaityti čia https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression
Nagrinėkime seką
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}}
x
n
=
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle x_{n}={\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n}}
(
1
+
1
1
)
1
,
(
1
+
1
2
)
2
,
(
1
+
1
3
)
3
,
.
.
.
,
(
1
+
1
n
)
n
,
.
.
.
{\displaystyle {\Big (}1+{\frac {1}{1}}{\Big )}^{1},\;\;{\Big (}1+{\frac {1}{2}}{\Big )}^{2},\;\;{\Big (}1+{\frac {1}{3}}{\Big )}^{3},\;...,\;{\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n},\;...}
Įrodysime, kad jinai konverguoja. Tam pakanka įrodyti, kad seka
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}}
x
n
=
(
1
+
1
n
)
n
=
1
+
n
⋅
1
n
+
n
(
n
−
1
)
2
!
1
n
2
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
3
!
1
n
3
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
4
!
1
n
4
+
.
.
.
{\displaystyle x_{n}={\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n}=1+n\cdot {\frac {1}{n}}+{\frac {n(n-1)}{2!}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}{\frac {1}{n^{3}}}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}}{\frac {1}{n^{4}}}+...}
.
.
.
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
.
.
.
[
n
−
(
n
−
1
)
]
n
!
1
n
n
.
{\displaystyle ...+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)...[n-(n-1)]}{n!}}{\frac {1}{n^{n}}}.}
Pateiksime šitą išraišką tokioje formoje:
x
n
=
2
+
1
2
!
(
1
−
1
n
)
+
1
3
!
(
1
−
1
n
)
(
1
−
2
n
)
+
1
4
!
(
1
−
1
n
)
(
1
−
2
n
)
(
1
−
3
n
)
+
.
.
.
{\displaystyle x_{n}=2+{\frac {1}{2!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n}}{\Big )}+{\frac {1}{3!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n}}{\Big )}+{\frac {1}{4!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {3}{n}}{\Big )}+...}
.
.
.
+
1
n
!
(
1
−
1
n
)
(
1
−
2
n
)
(
1
−
3
n
)
.
.
.
(
1
−
n
−
1
n
)
.
(
1
)
{\displaystyle ...+{\frac {1}{n!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {3}{n}}{\Big )}...{\Big (}1-{\frac {n-1}{n}}{\Big )}.\quad (1)}
Analogiškai pateiksime
x
n
+
1
{\displaystyle x_{n+1}}
x
n
+
1
=
2
+
1
2
!
(
1
−
1
n
+
1
)
+
1
3
!
(
1
−
1
n
+
1
)
(
1
−
2
n
+
1
)
+
1
4
!
(
1
−
1
n
+
1
)
(
1
−
2
n
+
1
)
(
1
−
3
n
+
1
)
+
.
.
.
{\displaystyle x_{n+1}=2+{\frac {1}{2!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}+{\frac {1}{3!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n+1}}{\Big )}+{\frac {1}{4!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n+1}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {3}{n+1}}{\Big )}+...}
.
.
.
+
1
(
n
+
1
)
!
(
1
−
1
n
+
1
)
(
1
−
2
n
+
1
)
(
1
−
3
n
+
1
)
.
.
.
(
1
−
n
n
+
1
)
.
{\displaystyle ...+{\frac {1}{(n+1)!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n+1}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {3}{n+1}}{\Big )}...{\Big (}1-{\frac {n}{n+1}}{\Big )}.}
Pastebėsime dabar, kad
(
1
−
k
n
)
<
(
1
−
k
n
+
1
)
,
{\displaystyle {\Big (}1-{\frac {k}{n}}{\Big )}<{\Big (}1-{\frac {k}{n+1}}{\Big )},}
0
<
k
<
n
.
{\displaystyle 0<k<n.}
x
n
+
1
{\displaystyle x_{n+1}}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
x
n
+
1
{\displaystyle x_{n+1}}
x
n
{\displaystyle x_{n}}
x
n
<
x
n
+
1
,
{\displaystyle x_{n}<x_{n+1},}
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}}
Įrodymui, kad duotoji seka aprėžta iš viršaus, pastebėsime, kad kiekviena išraiška apvaliuose skliaustuose atitikmens (1) mažesnė už vienetą. Atsižvelgę į tai, kad
1
n
!
<
1
2
n
−
1
,
{\displaystyle {\frac {1}{n!}}<{\frac {1}{2^{n-1}}},\;}
n
>
2
,
{\displaystyle \;n>2,\;}
x
n
<
2
+
1
2
!
+
1
3
!
+
1
4
!
+
.
.
.
+
1
n
!
<
1
+
1
+
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
+
.
.
.
+
1
2
n
−
1
.
{\displaystyle x_{n}<2+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+...+{\frac {1}{n!}}<1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+...+{\frac {1}{2^{n-1}}}.}
Panaudoję geometrinės progresijos sumos formulę
1
+
1
+
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
+
.
.
.
+
1
2
n
−
1
=
1
+
1
−
1
/
2
n
1
−
1
/
2
,
{\displaystyle 1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+...+{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+{\frac {1-1/2^{n}}{1-1/2}},}
ateisime prie nelygybės
x
n
<
1
+
1
−
1
/
2
n
1
−
1
/
2
=
1
+
1
−
1
/
2
n
1
/
2
=
1
+
2
(
1
−
1
/
2
n
)
=
1
+
2
−
1
/
2
n
−
1
=
3
−
1
2
n
−
1
<
3.
{\displaystyle x_{n}<1+{\frac {1-1/2^{n}}{1-1/2}}=1+{\frac {1-1/2^{n}}{1/2}}=1+2(1-1/2^{n})=1+2-1/2^{n-1}=3-{\frac {1}{2^{n-1}}}<3.}
Tokiu budu, įrodyta, kad seka
{
(
1
+
1
/
n
)
n
}
{\displaystyle \{(1+1/n)^{n}\}}
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
.
{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n}.}
Pažymėsime, kad skaičius e vaidina svarbų vaidmenį matematikoje. Jis yra natūrinio logaritmo pagrindas. Dabar tik apibrėžėme skaičių e . Čia pateiktas skaičiaus e apskaičiavimo budas bet kokiu tikslumu.
Čia tik pažymėsime, kadangi
x
n
<
3
{\displaystyle x_{n}<3}
2
<
x
n
,
{\displaystyle 2<x_{n},}
e yra ribose
2
≤
e
≤
3.
{\displaystyle 2\leq e\leq 3.}
Nors matematikos knygose
2
≤
e
≤
3
,
{\displaystyle 2\leq e\leq 3,}
e daugiau už 2, nes, kai n artėja į begalybę
x
n
>
2
+
1
2
!
(
1
−
1
n
)
=
2
+
1
/
2
=
2.5.
{\displaystyle x_{n}>2+{\frac {1}{2!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n}}{\Big )}=2+1/2=2.5.}
![{\displaystyle ...+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)...[n-(n-1)]}{n!}}{\frac {1}{n^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c0c4b93042f49338d841f54aa4a6a4e1d334fe)
