Matematika/Skaičius e

Parodysime, kad
Kad įrodyti, kad reikia žinoti Niutono binomo formulę. O įrodymui, kad reikia žinoti geometrinę progresiją.
Niutono binomo formulę daugiau ar mažiau žino kiekvienas (besidomintis matematika). Todėl pateiksime tik geometrinės progresijos formulę ir jos išvedimą.

Geometrinė progresija

keisti
Kai  , suma pirmų n+1 geometrinės eilutės narių yra
 
Čia a yra bet koks realusis skaičius, r - realusis skaičius, n - natūrinis skaičius.
Kai   tada eilutė   konverguoja. Kai   tada eilutė   diverguoja (suma   kai  ). Kai   tada eilutė   diverguoja.
Dalinės sumos   formulę galima išvesti padauginus n+1 narių sumą iš r ir paskui atimti gautą sumą iš pradinės   sumos:
 
Kai n artėja prie begalybės, absoliuti reikšmė r turi būti mažesnė už vienetą, kad eilutė konverguotų. Suma tada tampa tokia
 
Kai   gauname tokią paprastesnę eilutę ( ):
 


Apie geometrinę eilutę (ir kaip ji išvedama) anglų kalba galima paskaityti čia https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series
Apie geometrinę progresiją anglų kalba galima paskaityti čia https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression

Skaičius e

keisti
Nagrinėkime seką   su bendru nariu  :
 
Įrodysime, kad jinai konverguoja. Tam pakanka įrodyti, kad seka   - didėjanti ir aprėžta iš viršaus. Pritaikę Niutono binomo formulę gausime
 
 
Pateiksime šitą išraišką tokioje formoje:
 
 
Analogiškai pateiksime  :
 
 
Pastebėsime dabar, kad   kai   Todėl kiekvienas dėmuo esantys   išraiškoje didesnis už atitinkamą dėmenį esantį   išraiškoje ir, be to, pas  , palyginus su  , prisideda dar vienas teigiamas dėmuo. Todėl   t. y. seka   didėjanti.
Įrodymui, kad duotoji seka aprėžta iš viršaus, pastebėsime, kad kiekviena išraiška apvaliuose skliaustuose atitikmens (1) mažesnė už vienetą. Atsižvelgę į tai, kad   kai   gauname
 
Panaudoję geometrinės progresijos sumos formulę
 
ateisime prie nelygybės
 
Tokiu budu, įrodyta, kad seka   - didėjanti ir aprėžta iš viršaus. Todėl ji turi ribą. Šita riba žymima raide e. Taigi, pagal apibrėžimą,
 
Pažymėsime, kad skaičius e vaidina svarbų vaidmenį matematikoje. Jis yra natūrinio logaritmo pagrindas. Dabar tik apibrėžėme skaičių e. Čia pateiktas skaičiaus e apskaičiavimo budas bet kokiu tikslumu.
Čia tik pažymėsime, kadangi   ir iš (1) akivaizdu, kad   tai skaičius e yra ribose   Įrodyta, kad skaičius e iracionalus.
Nors matematikos knygose   bet iš (1) formulės akivaizdu, kad e daugiau už 2, nes, kai n artėja į begalybę  


Nuorodos

keisti