Parodysime, kad 2 ≤ e ≤ 3. {\displaystyle 2\leq e\leq 3.}
Kad įrodyti, kad 2 ≤ e {\displaystyle 2\leq e} Niutono binomo formulę . O įrodymui, kad e ≤ 3 , {\displaystyle e\leq 3,}
Niutono binomo formulę daugiau ar mažiau žino kiekvienas (besidomintis matematika). Todėl pateiksime tik geometrinės progresijos formulę ir jos išvedimą. Geometrinė progresija
keisti
Kai r ≠ 1 {\displaystyle r\neq 1} n +1 geometrinės eilutės narių yra
S n = a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n = ∑ k = 0 n a r k = a ( 1 − r n + 1 1 − r ) . {\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right).} Čia a yra bet koks realusis skaičius, r - realusis skaičius, n - natūrinis skaičius.
Kai − 1 < r < 1 , {\displaystyle -1<r<1,} S n {\displaystyle S_{n}} r ≥ 1 , {\displaystyle r\geq 1,} S n {\displaystyle S_{n}} S n = ∞ , {\displaystyle S_{n}=\infty ,} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } r ≤ − 1 , {\displaystyle r\leq -1,} S n {\displaystyle S_{n}}
Dalinės sumos S n {\displaystyle S_{n}} n +1 narių sumą iš r ir paskui atimti gautą sumą iš pradinės S n {\displaystyle S_{n}}
s = a + a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n , r s = a r + a r 2 + a r 3 + ⋯ + a r n + a r n + 1 , s − r s = a − a r n + 1 , s ( 1 − r ) = a ( 1 − r n + 1 ) , s = a ( 1 − r n + 1 1 − r ) (jeigu r ≠ 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}s=a\ +\ &ar\ +\ ar^{2}\ +\ ar^{3}\ +\ \cdots \ +\ ar^{n},\\rs=\ &ar\ +\ ar^{2}\ +\ ar^{3}\ +\ \cdots \ +\ ar^{n}\ +\ ar^{n+1},\\s-rs=\ &a\ -\ ar^{n+1},\\s(1-r)=\ &a(1-r^{n+1}),\\s=\ &a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right)\quad {\text{(jeigu }}r\neq 1{\text{)}}.\end{aligned}}} Kai n artėja prie begalybės, absoliuti reikšmė r turi būti mažesnė už vienetą, kad eilutė konverguotų. Suma tada tampa tokia
a + a r + a r 2 + a r 3 + a r 4 + ⋯ = ∑ k = 0 ∞ a r k = a 1 − r , kai | r | < 1. {\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}},{\text{ kai }}|r|<1.} Kai a = 1 , {\displaystyle a=1,} − 1 < r < 1 , n → ∞ {\displaystyle -1<r<1,\;\;n\to \infty }
1 + r + r 2 + r 3 + ⋯ = 1 1 − r . {\displaystyle 1\,+\,r\,+\,r^{2}\,+\,r^{3}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1-r}}.}
Apie geometrinę eilutę (ir kaip ji išvedama) anglų kalba galima paskaityti čia https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series
Apie geometrinę progresiją anglų kalba galima paskaityti čia https://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression
Nagrinėkime seką { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}} x n = ( 1 + 1 n ) n {\displaystyle x_{n}={\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n}}
( 1 + 1 1 ) 1 , ( 1 + 1 2 ) 2 , ( 1 + 1 3 ) 3 , . . . , ( 1 + 1 n ) n , . . . {\displaystyle {\Big (}1+{\frac {1}{1}}{\Big )}^{1},\;\;{\Big (}1+{\frac {1}{2}}{\Big )}^{2},\;\;{\Big (}1+{\frac {1}{3}}{\Big )}^{3},\;...,\;{\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n},\;...} Įrodysime, kad jinai konverguoja. Tam pakanka įrodyti, kad seka { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}}
x n = ( 1 + 1 n ) n = 1 + n ⋅ 1 n + n ( n − 1 ) 2 ! 1 n 2 + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) 3 ! 1 n 3 + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) 4 ! 1 n 4 + . . . {\displaystyle x_{n}={\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n}=1+n\cdot {\frac {1}{n}}+{\frac {n(n-1)}{2!}}{\frac {1}{n^{2}}}+{\frac {n(n-1)(n-2)}{3!}}{\frac {1}{n^{3}}}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}}{\frac {1}{n^{4}}}+...} . . . + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ( n − 3 ) . . . [ n − ( n − 1 ) ] n ! 1 n n . {\displaystyle ...+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)...[n-(n-1)]}{n!}}{\frac {1}{n^{n}}}.} Pateiksime šitą išraišką tokioje formoje:
x n = 2 + 1 2 ! ( 1 − 1 n ) + 1 3 ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) + 1 4 ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ( 1 − 3 n ) + . . . {\displaystyle x_{n}=2+{\frac {1}{2!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n}}{\Big )}+{\frac {1}{3!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n}}{\Big )}+{\frac {1}{4!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {3}{n}}{\Big )}+...} . . . + 1 n ! ( 1 − 1 n ) ( 1 − 2 n ) ( 1 − 3 n ) . . . ( 1 − n − 1 n ) . ( 1 ) {\displaystyle ...+{\frac {1}{n!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {3}{n}}{\Big )}...{\Big (}1-{\frac {n-1}{n}}{\Big )}.\quad (1)} Analogiškai pateiksime x n + 1 {\displaystyle x_{n+1}}
x n + 1 = 2 + 1 2 ! ( 1 − 1 n + 1 ) + 1 3 ! ( 1 − 1 n + 1 ) ( 1 − 2 n + 1 ) + 1 4 ! ( 1 − 1 n + 1 ) ( 1 − 2 n + 1 ) ( 1 − 3 n + 1 ) + . . . {\displaystyle x_{n+1}=2+{\frac {1}{2!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}+{\frac {1}{3!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n+1}}{\Big )}+{\frac {1}{4!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n+1}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {3}{n+1}}{\Big )}+...} . . . + 1 ( n + 1 ) ! ( 1 − 1 n + 1 ) ( 1 − 2 n + 1 ) ( 1 − 3 n + 1 ) . . . ( 1 − n n + 1 ) . {\displaystyle ...+{\frac {1}{(n+1)!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {2}{n+1}}{\Big )}{\Big (}1-{\frac {3}{n+1}}{\Big )}...{\Big (}1-{\frac {n}{n+1}}{\Big )}.} Pastebėsime dabar, kad ( 1 − k n ) < ( 1 − k n + 1 ) , {\displaystyle {\Big (}1-{\frac {k}{n}}{\Big )}<{\Big (}1-{\frac {k}{n+1}}{\Big )},} 0 < k < n . {\displaystyle 0<k<n.} x n + 1 {\displaystyle x_{n+1}} x n {\displaystyle x_{n}} x n + 1 {\displaystyle x_{n+1}} x n {\displaystyle x_{n}} x n < x n + 1 , {\displaystyle x_{n}<x_{n+1},} { x n } {\displaystyle \{x_{n}\}}
Įrodymui, kad duotoji seka aprėžta iš viršaus, pastebėsime, kad kiekviena išraiška apvaliuose skliaustuose atitikmens (1) mažesnė už vienetą. Atsižvelgę į tai, kad 1 n ! < 1 2 n − 1 , {\displaystyle {\frac {1}{n!}}<{\frac {1}{2^{n-1}}},\;} n > 2 , {\displaystyle \;n>2,\;}
x n < 2 + 1 2 ! + 1 3 ! + 1 4 ! + . . . + 1 n ! < 1 + 1 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + . . . + 1 2 n − 1 . {\displaystyle x_{n}<2+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+...+{\frac {1}{n!}}<1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+...+{\frac {1}{2^{n-1}}}.} Panaudoję geometrinės progresijos sumos formulę
1 + 1 + 1 2 + 1 2 2 + 1 2 3 + . . . + 1 2 n − 1 = 1 + 1 − 1 / 2 n 1 − 1 / 2 , {\displaystyle 1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+...+{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+{\frac {1-1/2^{n}}{1-1/2}},} ateisime prie nelygybės
x n < 1 + 1 − 1 / 2 n 1 − 1 / 2 = 1 + 1 − 1 / 2 n 1 / 2 = 1 + 2 ( 1 − 1 / 2 n ) = 1 + 2 − 1 / 2 n − 1 = 3 − 1 2 n − 1 < 3. {\displaystyle x_{n}<1+{\frac {1-1/2^{n}}{1-1/2}}=1+{\frac {1-1/2^{n}}{1/2}}=1+2(1-1/2^{n})=1+2-1/2^{n-1}=3-{\frac {1}{2^{n-1}}}<3.} Tokiu budu, įrodyta, kad seka { ( 1 + 1 / n ) n } {\displaystyle \{(1+1/n)^{n}\}}
e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n . {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\Big (}1+{\frac {1}{n}}{\Big )}^{n}.} Pažymėsime, kad skaičius e vaidina svarbų vaidmenį matematikoje. Jis yra natūrinio logaritmo pagrindas. Dabar tik apibrėžėme skaičių e . Čia pateiktas skaičiaus e apskaičiavimo budas bet kokiu tikslumu.
Čia tik pažymėsime, kadangi x n < 3 {\displaystyle x_{n}<3} 2 < x n , {\displaystyle 2<x_{n},} e yra ribose 2 ≤ e ≤ 3. {\displaystyle 2\leq e\leq 3.} Nors matematikos knygose 2 ≤ e ≤ 3 , {\displaystyle 2\leq e\leq 3,} e daugiau už 2, nes, kai n artėja į begalybę x n > 2 + 1 2 ! ( 1 − 1 n ) = 2 + 1 / 2 = 2.5. {\displaystyle x_{n}>2+{\frac {1}{2!}}{\Big (}1-{\frac {1}{n}}{\Big )}=2+1/2=2.5.}
![{\displaystyle ...+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)...[n-(n-1)]}{n!}}{\frac {1}{n^{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c0c4b93042f49338d841f54aa4a6a4e1d334fe)
