Erdvės tiesės kanoninė lygtis
keisti
Tiesės T padėtį erdvėje vienareikšmiškai nusako taškas M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) {\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})} , per kurį eina ta tiesė, ir lygiagretus su ja nenulinis vektorius s → = ( l ; m ; n ) {\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)} , vadinamas tiesės krypties vektoriumi . Kintamajį tiesės T tašką pažymėkime M ( x ; y ; z ) {\displaystyle M(x;y;z)} ir nubrėžkime vektorių M 0 M → . {\displaystyle {\vec {M_{0}M}}.} Kadangi vektoriai M 0 M → = r → − r 0 → = ( x − x 0 ; y − y 0 ; z − z 0 ) {\displaystyle {\vec {M_{0}M}}={\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}=(x-x_{0};y-y_{0};z-z_{0})} ir s → = ( l ; m ; n ) {\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)} yra kolinearūs (lygiagretūs), tai
r → − r 0 → = t ⋅ s → ; {\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}=t\cdot {\vec {s}};}
čia r → {\displaystyle {\vec {r}}} ir r 0 → {\displaystyle {\vec {r_{0}}}} - taškų M ir M 0 {\displaystyle M_{0}} spinduliai vektoriai, t - realusis skaičius.
Lygtis
r → − r 0 → = t ⋅ s → ; {\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}=t\cdot {\vec {s}};}
( x − x 0 ; y − y 0 ; z − z 0 ) = ( t l ; t m ; t n ) {\displaystyle (x-x_{0};y-y_{0};z-z_{0})=(tl;tm;tn)}
vadinama vektorine tiesės T lygtimi. Iš jos, sulyginę vektorių r → − r 0 → {\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}} ir t ⋅ s → {\displaystyle t\cdot {\vec {s}}} koordinates, gauname lygtis
{ x − x 0 = t l , y − y 0 = t m , z − z 0 = t n . {\displaystyle {\begin{cases}x-x_{0}=tl,&\\y-y_{0}=tm,&\\z-z_{0}=tn.&\end{cases}}}
arba
{ x = x 0 + t l , y = y 0 + t m , z = z 0 + t n . {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+tl,&\\y=y_{0}+tm,&\\z=z_{0}+tn.&\end{cases}}}
Paskutinios 3 lygtys vadinamos parametrinėmis tiesės T lygtimis.
Kadangi vektoriai r → − r 0 → {\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}} ir s → = ( l ; m ; n ) {\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)} yra kolinearūs, tai jų koordinatės proporcingos. Iš šios sąlygos išplaukia erdvės tiesės kanoninės lygtys
x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n . {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}}.}
Šias lygtis galėjome gauti iš parametrinių lygčių , tereikėjo eliminuoti parametrą t :
x − x 0 l = t , y − y 0 m = t , z − z 0 n = t ; {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}=t,\quad {\frac {y-y_{0}}{m}}=t,\quad {\frac {z-z_{0}}{n}}=t;}
Iš čia ir išplaukia erdvės tiesės kanoninės lygtys .
Tarkime, žinomi du tiesės T taškai M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) {\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})} ir M 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) . {\displaystyle M_{2}(x_{2};y_{2};z_{2}).} Tada vektorius M 1 M 2 → = ( x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1 ) {\displaystyle {\vec {M_{1}M_{2}}}=(x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1};z_{2}-z_{1})} gali būti tiesės T krypties vektorius s → = ( x 2 − x 1 ; y 2 − y 1 ; z 2 − z 1 ) . {\displaystyle {\vec {s}}=(x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1};z_{2}-z_{1}).} Į lygtį x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}}} vietoje taško M 0 {\displaystyle M_{0}} koordinačių įrašę taško M 1 {\displaystyle M_{1}} koordinates, vietoje l, m, n įrašę dydžius x 2 − x 1 {\displaystyle x_{2}-x_{1}} , y 2 − y 1 {\displaystyle y_{2}-y_{1}} , z 2 − z 1 {\displaystyle z_{2}-z_{1}} , gauname tiesės einančios per du taškus, lygtį
x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 = z − z 1 z 2 − z 1 . {\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}.}
Pavyzdys . Raskime taško P(3; 1; -5) projekciją plokštumoje π {\displaystyle \pi } , kurios lygtis 2 x − 4 y + 3 z − 16 = 0. {\displaystyle 2x-4y+3z-16=0.} Sprendimas . Iš taško P nuleiskime statmenį į plokštumą π ; {\displaystyle \pi ;} to statmens pagrindas Q ir bus taško P projekcija. Tašką Q galėsime rasti kaip tiesės T ir plokštumos π {\displaystyle \pi } sankirtos tašką. Kadangi plokštumos π {\displaystyle \pi } normalės vektorius n → = ( 2 ; − 4 ; 3 ) {\displaystyle {\vec {n}}=(2;-4;3)} yra lygiagretus su tiese T , tai jį galima laikyti šios tiesės krypties vektoriumi.Pritaikę formules x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n , {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}},} parašome kanonines tiesės T lygtis:
x − 3 2 = y − 1 − 4 = z + 5 3 . {\displaystyle {\frac {x-3}{2}}={\frac {y-1}{-4}}={\frac {z+5}{3}}.}
Norėdami rasti tiesės T ir plokštumos π {\displaystyle \pi } sakirtos tašką Q , turime išspręsti sistemą, sudarytą iš jų lygčių:
{ x − 3 2 = y − 1 − 4 = z + 5 3 , 2 x − 4 y + 3 z − 16 = 0. {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {x-3}{2}}={\frac {y-1}{-4}}={\frac {z+5}{3}},&\\2x-4y+3z-16=0.&\end{cases}}}
Tokią sistemą patogiausia spręsti, pakeitus kanonines tiesės lygtis parametrinėmis:
x − 3 2 = t , y − 1 − 4 = t , z + 5 3 = t , {\displaystyle {\frac {x-3}{2}}=t,\quad {\frac {y-1}{-4}}=t,\quad {\frac {z+5}{3}}=t,}
arba
x = 2 t + 3 , y = − 4 t + 1 , z = 3 t − 5. {\displaystyle x=2t+3,\quad y=-4t+1,\quad z=3t-5.}
Įrašę šias x , y , z išraiškas į antrąją sistemos lygtį 2 x − 4 y + 3 z − 16 = 0 , {\displaystyle 2x-4y+3z-16=0,} gauname
2 ( 2 t + 3 ) − 4 ( − 4 t + 1 ) + 3 ( 3 t − 5 ) − 16 = 0 , {\displaystyle 2(2t+3)-4(-4t+1)+3(3t-5)-16=0,}
4 t + 6 + 16 t − 4 + 9 t − 15 − 16 = 0 , {\displaystyle 4t+6+16t-4+9t-15-16=0,}
29 t − 29 = 0 , {\displaystyle 29t-29=0,}
t = 1. {\displaystyle t=1.}
Tada x = 2 ⋅ 1 + 3 = 5 , y = − 4 ⋅ 1 + 1 = − 3 , z = 3 ⋅ 1 − 5 = − 2. {\displaystyle x=2\cdot 1+3=5,\quad y=-4\cdot 1+1=-3,\quad z=3\cdot 1-5=-2.} Vadinasi, taško P projekcija plokštumoje π {\displaystyle \pi } yra taškas Q (5; -3; -2).
Pavyzdys . Plokštuma π {\displaystyle \pi } nubrėžta per dvi lygiagrečias tiesesx − 1 3 = y + 1 − 1 = z − 4 2 {\displaystyle {\frac {x-1}{3}}={\frac {y+1}{-1}}={\frac {z-4}{2}}} ir x 3 = y − 2 − 1 = z + 5 2 . {\displaystyle {\frac {x}{3}}={\frac {y-2}{-1}}={\frac {z+5}{2}}.}
Parašykime plokštumos π {\displaystyle \pi } lygtį.
Sprendimas . Kintamąjį plokštumos π {\displaystyle \pi } tašką pažymėkime M(x; y; z) ir nubrėžkime vektorius M 1 M → {\displaystyle {\vec {M_{1}M}}} bei M 1 M 2 → ; {\displaystyle {\vec {M_{1}M_{2}}};} čia per tašką M 1 ( 1 ; − 1 ; 4 ) {\displaystyle M_{1}(1;-1;4)} eina pirmoji tiesė x − 1 3 = y + 1 − 1 = z − 4 2 , {\displaystyle {\frac {x-1}{3}}={\frac {y+1}{-1}}={\frac {z-4}{2}},} o per tašką M 2 ( 0 ; 2 ; − 5 ) {\displaystyle M_{2}(0;2;-5)} eina antroji tiesė x 3 = y − 2 − 1 = z + 5 2 . {\displaystyle {\frac {x}{3}}={\frac {y-2}{-1}}={\frac {z+5}{2}}.}
Kai taškas M priklauso plokštumai π {\displaystyle \pi } , tai vektoriai M 1 M → = ( x − 1 ; y + 1 ; z − 4 ) , M 1 M 2 → = ( 0 − 1 ; 2 − ( − 1 ) ; − 5 − 4 ) = ( − 1 ; 3 ; − 9 ) {\displaystyle {\vec {M_{1}M}}=(x-1;y+1;z-4),\;{\vec {M_{1}M_{2}}}=(0-1;2-(-1);-5-4)=(-1;3;-9)} ir tiesių krypties vektorius s → = ( 3 ; − 1 ; 2 ) {\displaystyle {\vec {s}}=(3;-1;2)} yra vienoje plokštumoje, taigi šie vektoriai komplanarūs. Parašykime trijų vektorių komplanarumo sąlygą:
( M 1 M → × M 1 M 2 → ) ⋅ s → = | x − 1 y + 1 z − 4 − 1 3 − 9 3 − 1 2 | = 0 , {\displaystyle ({\vec {M_{1}M}}\times {\vec {M_{1}M_{2}}})\cdot {\vec {s}}={\begin{vmatrix}x-1&y+1&z-4\\-1&3&-9\\3&-1&2\end{vmatrix}}=0,}
( x − 1 ) ( 3 ⋅ 2 − ( − 1 ) ⋅ ( − 9 ) ) − ( y + 1 ) ( − 1 ⋅ 2 − ( − 9 ) ⋅ 3 ) + ( z − 4 ) ( ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) − 3 ⋅ 3 ) = 0 , {\displaystyle (x-1)(3\cdot 2-(-1)\cdot (-9))-(y+1)(-1\cdot 2-(-9)\cdot 3)+(z-4)((-1)\cdot (-1)-3\cdot 3)=0,}
( x − 1 ) ( 6 − 9 ) − ( y + 1 ) ( − 2 + 27 ) + ( z − 4 ) ( 1 − 9 ) = 0 , {\displaystyle (x-1)(6-9)-(y+1)(-2+27)+(z-4)(1-9)=0,}
− 3 ( x − 1 ) − 25 ( y + 1 ) − 8 ( z − 4 ) = 0 , {\displaystyle -3(x-1)-25(y+1)-8(z-4)=0,}
− 3 x + 3 − 25 y − 25 − 8 z + 32 = 0 , {\displaystyle -3x+3-25y-25-8z+32=0,}
− 3 x − 25 y − 8 z + 10 = 0 , {\displaystyle -3x-25y-8z+10=0,}
3 x + 25 y + 8 z − 10 = 0. {\displaystyle 3x+25y+8z-10=0.}
Gautoji lygtis ir yra plokštumos π {\displaystyle \pi } lygtis. Erdvės tiesės bendrosios lygtys
keisti
{ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. {\displaystyle {\begin{cases}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,&\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.&\end{cases}}}
Taigi, ši lygčių sistemą apibūdiną dvi susikertančias plokštumas A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0} ir A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. {\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.} O susikertančios plokšumos ir sudaro tiesę. Todėl dviejų plokštumų sistemą yra tiesės lygtys.
Tiesės krypties vektorius yra:
s → = n 1 → × n 2 → = | i j k A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 | . {\displaystyle {\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}.}
Pavyzdys . Bendrąsias tiesės lygtis{ 4 x − 5 y + z − 3 = 0 , x + 2 y − 3 z + 9 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}4x-5y+z-3=0,&\\x+2y-3z+9=0&\end{cases}}}
pakeiskime kanoninėmis.
Sprendimas . Pirmiausia raskime tiesės tašką M 0 {\displaystyle M_{0}} . Parinkę, pavyzdžiui, x = 1 {\displaystyle x=1} , gauname sistemą
{ − 5 y + z + 1 = 0 , 2 y − 3 z + 10 = 0 ; {\displaystyle {\begin{cases}-5y+z+1=0,&\\2y-3z+10=0;&\end{cases}}}
{ − 15 y + 3 z + 3 = 0 , 2 y − 3 z + 10 = 0 , {\displaystyle {\begin{cases}-15y+3z+3=0,&\\2y-3z+10=0,&\end{cases}}}
− 15 y + 2 y + 3 z − 3 z + 3 + 10 = − 13 y + 13 = 0 , {\displaystyle -15y+2y+3z-3z+3+10=-13y+13=0,}
− 13 y = − 13 , {\displaystyle -13y=-13,}
y = 1 ; {\displaystyle y=1;}
2 ⋅ 1 − 3 z + 10 = 0 , {\displaystyle 2\cdot 1-3z+10=0,}
− 3 z = − 12 , {\displaystyle -3z=-12,}
z = 4. {\displaystyle z=4.}
Sistema turi sprendinį y = 1 {\displaystyle y=1} , z = 4. {\displaystyle z=4.} Taigi M 0 ( 1 ; 1 ; 4 ) . {\displaystyle M_{0}(1;1;4).} Raskime s → = n 1 → × n 2 → . {\displaystyle {\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}}.} Kadangi n 1 → = ( 4 ; − 5 ; 1 ) , n 1 → = ( 1 ; 2 ; − 3 ) , {\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(4;-5;1),\;\;{\vec {n_{1}}}=(1;2;-3),} tai
s → = n 1 → × n 2 → = | i j k 4 − 5 1 1 2 − 3 | = ( − 5 ⋅ ( − 3 ) − 1 ⋅ 2 ) i − ( 4 ⋅ ( − 3 ) − 1 ⋅ 1 ) j + ( 4 ⋅ 2 − ( − 5 ) ⋅ 1 ) k = ( 15 − 2 ) i − ( − 12 − 1 ) j + ( 8 + 5 ) k = {\displaystyle {\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\4&-5&1\\1&2&-3\end{vmatrix}}=(-5\cdot (-3)-1\cdot 2)\mathbf {i} -(4\cdot (-3)-1\cdot 1)\mathbf {j} +(4\cdot 2-(-5)\cdot 1)\mathbf {k} =(15-2)\mathbf {i} -(-12-1)\mathbf {j} +(8+5)\mathbf {k} =}
= 13 i + 13 j + 13 k = ( 13 ; 13 ; 13 ) . {\displaystyle =13\mathbf {i} +13\mathbf {j} +13\mathbf {k} =(13;\;13;\;13).}
Vadinasi, kanoninės tiesės lygtys yra tokios:
x − 1 13 = y − 1 13 = z − 4 13 , {\displaystyle {\frac {x-1}{13}}={\frac {y-1}{13}}={\frac {z-4}{13}},}
arba
x − 1 1 = y − 1 1 = z − 4 1 . {\displaystyle {\frac {x-1}{1}}={\frac {y-1}{1}}={\frac {z-4}{1}}.}
Jas galima parašyti ir taip:
x − 1 = y − 1 = z − 4. {\displaystyle x-1=y-1=z-4.}
Pavyzdys . Rasti kanonines lygtis tiesės{ 3 x + 2 y + 4 z − 11 = 0 , 2 x + y − 3 z − 1 = 0. {\displaystyle {\begin{cases}3x+2y+4z-11=0,&\\2x+y-3z-1=0.&\end{cases}}}
Sprendimas . Įstatę, pavyzdžiui, x 0 = 1 {\displaystyle x_{0}=1} , iš sistemos
{ 3 + 2 y 0 + 4 z 0 − 11 = 0 , 2 + y 0 − 3 z 0 − 1 = 0 ; {\displaystyle {\begin{cases}3+2y_{0}+4z_{0}-11=0,&\\2+y_{0}-3z_{0}-1=0;&\end{cases}}}
− { 2 y 0 + 4 z 0 − 8 = 0 , y 0 − 3 z 0 + 1 = 0 | ⋅ 2 , {\displaystyle -{\begin{cases}2y_{0}+4z_{0}-8=0,&\\y_{0}-3z_{0}+1=0\;|\cdot 2,&\end{cases}}}
gauname
2 y 0 + 4 z 0 − 8 − 2 ( y 0 − 3 z 0 + 1 ) = 0 , {\displaystyle 2y_{0}+4z_{0}-8-2(y_{0}-3z_{0}+1)=0,}
10 z 0 − 10 = 0 , {\displaystyle 10z_{0}-10=0,}
10 z 0 = 10 , {\displaystyle 10z_{0}=10,}
z 0 = 1 ; {\displaystyle z_{0}=1;}
y 0 − 3 ⋅ 1 + 1 = 0 ; {\displaystyle y_{0}-3\cdot 1+1=0;}
y 0 − 2 = 0 , {\displaystyle y_{0}-2=0,}
y 0 = 2 , {\displaystyle y_{0}=2,}
kad y 0 = 2 {\displaystyle y_{0}=2} , z 0 = 1. {\displaystyle z_{0}=1.} Tokiu budu, taškas M 0 ( 1 ; 2 ; 1 ) {\displaystyle M_{0}(1;2;1)} tiesės rastas. Dabar nustatysime kryptį vektoriaus s → . {\displaystyle {\vec {s}}.} Turime: n 1 → = { 3 ; 2 ; 4 } , n 2 → = { 2 ; 1 ; − 3 } , {\displaystyle {\vec {n_{1}}}=\{3;2;4\},\;{\vec {n_{2}}}=\{2;1;-3\},} iš čia
s → = n 1 → × n 2 → = | i j k 3 2 4 2 1 − 3 | = ( − 6 − 4 ) i − ( − 9 − 8 ) j + ( 3 − 4 ) k = − 10 i + 17 j − k = { − 10 ; 17 ; − 1 } , {\displaystyle {\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\3&2&4\\2&1&-3\end{vmatrix}}=(-6-4)\mathbf {i} -(-9-8)\mathbf {j} +(3-4)\mathbf {k} =-10\mathbf {i} +17\mathbf {j} -\mathbf {k} =\{-10;\;17;\;-1\},}
t. y. l = − 10 {\displaystyle l=-10} , m = 17 {\displaystyle m=17} , n = − 1 {\displaystyle n=-1} . Įstatydami rastas reikšmes x 0 {\displaystyle x_{0}} , y 0 {\displaystyle y_{0}} , z 0 {\displaystyle z_{0}} ir l , m , n į lygybes x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n , {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}},} gauname kanonines lygtis duotos tiesės:
x − 1 − 10 = y − 2 17 = z − 1 − 1 . {\displaystyle {\frac {x-1}{-10}}={\frac {y-2}{17}}={\frac {z-1}{-1}}.} Kampas tarp tiesės ir plokštumos
keisti
Tarkime, tiesė T nusakoma kanoninėmis lygtimis
x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n , {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}},}
o plokštuma π {\displaystyle \pi } nusakoma lygtimi A x + B y + C z + D = 0. {\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.} Kampu ϕ {\displaystyle \phi } tarp tiesės T ir plokštumos π {\displaystyle \pi } vadiname kampą tarp tos tiesės ir jos projekcijos plokštumoje π {\displaystyle \pi } . Kadangi ϕ + α = π 2 , {\displaystyle \phi +\alpha ={\frac {\pi }{2}},} tai cos α = cos ( π 2 − ϕ ) = sin ϕ ; {\displaystyle \cos \alpha =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)=\sin \phi ;}
čia α {\displaystyle \alpha } yra kampas tarp tiesės T krypties vektoriaus s → = ( l ; m ; n ) {\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)} ir plokštumos π {\displaystyle \pi } normalės vektoriaus n → = ( A ; B ; C ) . {\displaystyle {\vec {n}}=(A;B;C).} Kitaip sakant, kampas α {\displaystyle \alpha } yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos normalės n → = ( A ; B ; C ) . {\displaystyle {\vec {n}}=(A;B;C).} Iš vektorių n → {\displaystyle {\vec {n}}} ir s → {\displaystyle {\vec {s}}} skaliarinės sandaugos išplaukia, kad
cos α = n → ⋅ s → ‖ n → ‖ ⋅ ‖ s → ‖ = A l + B m + C n A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2 . {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {s}}}{\|{\vec {n}}\|\cdot \|{\vec {s}}\|}}={\frac {Al+Bm+Cn}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}}.}
Tada sin ϕ = A l + B m + C n A 2 + B 2 + C 2 l 2 + m 2 + n 2 , {\displaystyle \sin \phi ={\frac {Al+Bm+Cn}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}},}
čia ϕ {\displaystyle \phi } yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos A x + B y + C z + D = 0. {\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.}
Kai tiesė T lygiagreti plokštumai π {\displaystyle \pi } , tai tiesės krypties vektorius s → = ( l ; m ; n ) {\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)} yra statmenas plokštumos normalės vektoriui n → = ( A ; B ; C ) , {\displaystyle {\vec {n}}=(A;B;C),} todėl n → ⋅ s → = 0. {\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {s}}=0.} Iš čia gauname tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygą :
A ⋅ l + B ⋅ m + C ⋅ n = 0. {\displaystyle A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n=0.}
Kai tiesė T statmena plokštumai π {\displaystyle \pi } , tai tiesės krypties vektorius s → = ( l ; m ; n ) {\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)} yra lygiagretus plokštumos normalės vektoriui n → = ( A ; B ; C ) , {\displaystyle {\vec {n}}=(A;B;C),} todėl jų koordinatės yra proporcingos. Iš čia išplaukia tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga :
A l = B m = C n . {\displaystyle {\frac {A}{l}}={\frac {B}{m}}={\frac {C}{n}}.}
Pavyzdys . Su kuria B reikšme tiesė T , nusakoma lygtimis{ 4 x − 5 y + z − 3 = 0 , x + 2 y − 3 z + 9 = 0 , {\displaystyle {\begin{cases}4x-5y+z-3=0,&\\x+2y-3z+9=0,&\end{cases}}} bus lygiagreti su plokštuma π {\displaystyle \pi } , kurios lygtis 2 x − B y − 2 z − 3 = 0 {\displaystyle 2x-By-2z-3=0} ?
Sprendimas . Kai tiesė T lygiagreti su plokštuma π {\displaystyle \pi } , tai tiesės krypties vektorius s → = ( l ; m ; n ) {\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)} yra statmenas plokštumos normalės vektoriui n → = ( 2 ; − B ; − 2 ) {\displaystyle {\vec {n}}=(2;-B;-2)} ir skaliarinė jų sandauga s → ⋅ n → = 0. {\displaystyle {\vec {s}}\cdot {\vec {n}}=0.}
Pažymėkime: n 1 → = ( 1 ; − 2 ; 3 ) , n 2 → = ( 4 ; − 3 ; 4 ) . {\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(1;-2;3),\;\;{\vec {n_{2}}}=(4;-3;4).} Kadangi s → = n 1 → × n 2 → , {\displaystyle {\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}},} tai iš sąlygos s → ⋅ n → = 0 {\displaystyle {\vec {s}}\cdot {\vec {n}}=0} išplaukia, kad ( n 1 → × n 2 → ) ⋅ n → = 0. {\displaystyle ({\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}})\cdot {\vec {n}}=0.} Vadinasi,
| 1 − 2 3 4 − 3 4 2 − B − 2 | = 0 ; {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-2&3\\4&-3&4\\2&-B&-2\end{vmatrix}}=0;}
| 1 − 2 3 4 − 3 4 2 − B − 2 | = 1 ( − 3 ⋅ ( − 2 ) − 4 ⋅ ( − B ) ) − ( − 2 ) ( 4 ⋅ ( − 2 ) − 4 ⋅ 2 ) + 3 ( 4 ⋅ ( − B ) − ( − 3 ) ⋅ 2 ) = 0 ; {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-2&3\\4&-3&4\\2&-B&-2\end{vmatrix}}=1(-3\cdot (-2)-4\cdot (-B))-(-2)(4\cdot (-2)-4\cdot 2)+3(4\cdot (-B)-(-3)\cdot 2)=0;}
| 1 − 2 3 4 − 3 4 2 − B − 2 | = ( 6 + 4 B ) + 2 ( − 8 − 8 ) + 3 ( − 4 B + 6 ) = 6 + 4 B − 32 − 12 B + 18 = − 8 B − 8 = 0 ; {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-2&3\\4&-3&4\\2&-B&-2\end{vmatrix}}=(6+4B)+2(-8-8)+3(-4B+6)=6+4B-32-12B+18=-8B-8=0;}
− 8 B − 8 = 0 ; {\displaystyle -8B-8=0;}
− 8 B = 8 ; {\displaystyle -8B=8;}
B = − 1. {\displaystyle B=-1.} Taško atstumas iki tiesės erdvėje
keisti
Tarkime, kad duota tiesė T , kurios lygtis
x − x 0 l = y − y 0 m = z − z 0 n , {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}},} ir taškas M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) , {\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1}),} esantis šalia tos tiesės. Pažymėkime bet kokį tiesės žinomą tašką M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) . {\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0}).} Atstumas nuo taško M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) {\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})} iki taško M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) {\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})} nėra trumpiausias atstumas nuo taško M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) {\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})} iki tiesės T . Tačiau jei atstumą nuo taško M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) {\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})} iki taško M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) {\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})} priligynti 1, tuomet proporcingai trumpiausias atstumas nuo taško M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) {\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})} iki tiesės T bus lygus sin ϕ . {\displaystyle \sin \phi .} čia kampas ϕ {\displaystyle \phi } yra smailus kampas tarp atkrapos M 0 M 1 {\displaystyle M_{0}M_{1}} ir tiesės T . Skaičiuojant kampą tarp vektorių a → = ( a x ; a y ; a z ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x};a_{y};a_{z})} ir b → = ( b x ; b y ; b z ) {\displaystyle {\vec {b}}=(b_{x};b_{y};b_{z})} žinome, kad
sin ϕ = ‖ a → × b → ‖ ‖ a → ‖ ⋅ ‖ b → ‖ = ‖ a → × b → ‖ a x 2 + a y 2 + a z 2 ⋅ b x 2 + b y 2 + b z 2 , {\displaystyle \sin \phi ={\frac {\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|}{{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}\cdot {\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}}},}
čia
a → × b → = | i j k a x a y a z b x b y b z | . {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.}
Kadangi mes sumažinome vektoriaus M 0 M 1 → {\displaystyle {\vec {M_{0}M_{1}}}} ilgį iki 1, tai proporcingai padidinus iki pradinio ilgio, trumpiausias atstumas nuo taško M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) {\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})} iki tiesės T bus lygus d = ‖ M 0 M 1 → ‖ sin ϕ . {\displaystyle d=\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\|\sin \phi .} Čia
sin ϕ = ‖ M 0 M 1 → × s → ‖ ‖ M 0 M 1 → ‖ ⋅ ‖ s → ‖ = ‖ M 0 M 1 → × s → ‖ ( x 1 − x 0 ) 2 + ( y 1 − y 0 ) 2 + ( z 1 − z 0 ) 2 ⋅ l 2 + m 2 + n 2 ; {\displaystyle \sin \phi ={\frac {\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|}{\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\|\cdot \|{\vec {s}}\|}}={\frac {\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|}{{\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}}}\cdot {\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}};}
M 0 M 1 → × s → = | i j k x 1 − x 0 y 1 − y 0 z 1 − z 0 l m n | . {\displaystyle {\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{1}-x_{0}&y_{1}-y_{0}&z_{1}-z_{0}\\l&m&n\end{vmatrix}}.}
Vadinasi, atstumas nuo taško M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) {\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})} iki tiesės T yra lygus:
d = ‖ M 0 M 1 → ‖ ⋅ sin ϕ = ‖ M 0 M 1 → ‖ ⋅ ‖ M 0 M 1 → × s → ‖ ‖ M 0 M 1 → ‖ ⋅ ‖ s → ‖ = ‖ M 0 M 1 → × s → ‖ ‖ s → ‖ . {\displaystyle d=\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\|\cdot \sin \phi =\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\|\cdot {\frac {\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|}{\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\|\cdot \|{\vec {s}}\|}}={\frac {\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|}{\|{\vec {s}}\|}}.}
Pavyzdys . Apskaičiuokime atstumą nuo taško M 1 ( 6 ; 1 ; − 6 ) {\displaystyle M_{1}(6;1;-6)} iki tiesės x + 2 − 1 = y + 3 2 = z 5 . {\displaystyle {\frac {x+2}{-1}}={\frac {y+3}{2}}={\frac {z}{5}}.} Sprendimas. Kadangi M 0 ( − 2 ; − 3 ; 0 ) {\displaystyle M_{0}(-2;-3;0)} , o M 1 ( 6 ; 1 ; − 6 ) {\displaystyle M_{1}(6;1;-6)} , tai M 0 M 1 → = ( 6 − ( − 2 ) ; 1 − ( − 3 ) ; 0 − 6 ) = ( 8 ; 4 ; − 6 ) {\displaystyle {\vec {M_{0}M_{1}}}=(6-(-2);1-(-3);0-6)=(8;4;-6)} ir
M 0 M 1 → × s → = | i j k 8 4 − 6 − 1 2 5 | = i ( 4 ⋅ 5 − ( − 6 ) ⋅ 2 ) − j ( 8 ⋅ 5 − ( − 6 ) ⋅ ( − 1 ) ) + k ( 8 ⋅ 2 − 4 ⋅ ( − 1 ) ) = i ( 20 + 12 ) − j ( 40 − 6 ) + k ( 16 + 4 ) = {\displaystyle {\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\8&4&-6\\-1&2&5\end{vmatrix}}=\mathbf {i} (4\cdot 5-(-6)\cdot 2)-\mathbf {j} (8\cdot 5-(-6)\cdot (-1))+\mathbf {k} (8\cdot 2-4\cdot (-1))=\mathbf {i} (20+12)-\mathbf {j} (40-6)+\mathbf {k} (16+4)=}
= 32 i − 34 j + 20 k = ( 32 ; − 34 ; 20 ) . {\displaystyle =32\mathbf {i} -34\mathbf {j} +20\mathbf {k} =(32;-34;20).}
Apskaičiuojame vektorių modulius:
‖ M 0 M 1 → × s → ‖ = 32 2 + ( − 34 ) 2 + 20 2 = 1024 + 1156 + 400 = 2580 = 50 , 7937004 ; {\displaystyle \|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|={\sqrt {32^{2}+(-34)^{2}+20^{2}}}={\sqrt {1024+1156+400}}={\sqrt {2580}}=50,7937004;}
‖ s → ‖ = ( − 1 ) 2 + 2 2 + 5 2 = 1 + 4 + 25 = 30 = 5 , 477225575. {\displaystyle \|{\vec {s}}\|={\sqrt {(-1)^{2}+2^{2}+5^{2}}}={\sqrt {1+4+25}}={\sqrt {30}}=5,477225575.}
Vadinasi,
d = ‖ M 0 M 1 → × s → ‖ ‖ s → ‖ = 2580 30 = 86 = 9 , 273618496. {\displaystyle d={\frac {\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|}{\|{\vec {s}}\|}}={\frac {\sqrt {2580}}{\sqrt {30}}}={\sqrt {86}}=9,273618496.}
Tiesės plokštumoje lygtys
keisti
Kai tiesės padėtį plokštumoje nusako jos taškas M 0 ( x 0 ; y 0 ) {\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0})} ir jos normalės vektorius n → = ( A ; B ) , {\displaystyle {\vec {n}}=(A;B),} statmenas tai tiesei, tai gauname bendrąją tiesės lygtį
A x + B y + C = 0 ; {\displaystyle Ax+By+C=0;}
čia C = − A x 0 − B y 0 . {\displaystyle C=-Ax_{0}-By_{0}.}
Kai tiesė ašyse Ox ir Oy iškerta atkarpas a ir b , tai ją galima nusakyti jos ašine lygtimi :
x a + y b = 1. {\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1.}
Kai žinomas vienas tiesės taškas M 0 ( x 0 ; y 0 ) {\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0})} ir su ja lygiagretus nenulinis vektorius s → = ( l ; m ) , {\displaystyle {\vec {s}}=(l;m),} tai tiesę galima apibūdinti jos kanonine lygtimi
x − x 0 l = y − y 0 m . {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}.}
Kai žinomi du tiesės T taškai M 1 ( x 1 ; y 1 ) {\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1})} ir M 2 ( x 2 ; y 2 ) {\displaystyle M_{2}(x_{2};y_{2})} , tai jos lygtis yra tokia:
x − x 1 x 2 − x 1 = y − y 1 y 2 − y 1 . {\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}.}
Išvesime tiesės lygtį, kai žinomas taškas, per kurį ji eina, ir tos tiesės su teigiamąja ašies Ox kryptimi sudaromas kampas.
Tarkime, kad tiesės T , einančios per tašką M 0 ( x 0 ; y 0 ) {\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0})} , krypties vektorius yra s → = ( l ; m ) {\displaystyle {\vec {s}}=(l;m)} arba jo ortas s → ∘ = ( cos α ; cos β ) ; {\displaystyle {\vec {s}}^{\;\circ }=(\cos \alpha ;\cos \beta );} čia α {\displaystyle \alpha } yra kampas tarp tiesės (tokio tipo tiesės kaip y = k x , {\displaystyle y=kx,} o ne y = − k x {\displaystyle y=-kx} ) ir Ox ašies, o kampas β {\displaystyle \beta } yra kampas tarp tiesės T ir ašies Oy arba vertikalios tiesės. Kadangi α + β = π 2 , {\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {\pi }{2}},} tai cos β = cos ( π 2 − α ) = sin α {\displaystyle \cos \beta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha } ir s → ∘ = ( cos α ; cos β ) . {\displaystyle {\vec {s}}^{\;\circ }=(\cos \alpha ;\cos \beta ).} Vadinasi, lygtį x − x 0 l = y − y 0 m {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}} galime užrašyti taip:
x − x 0 cos α = y − y 0 sin α ; {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{\cos \alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\sin \alpha }};}
iš čia y − y 0 = ( x − x 0 ) ⋅ tan α = k ( x − x 0 ) . {\displaystyle y-y_{0}=(x-x_{0})\cdot \tan \alpha =k(x-x_{0}).}
Dydis k = tan α {\displaystyle k=\tan \alpha } vadinamas tiesės T krypties koeficientu , o lygtis y − y 0 = k ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=k(x-x_{0})} vadinama tiesės, kurios krypties koeficientas žinomas ir kuri eina per tam tikrą tašką, lygtimi.
Pertvarkę lygtį y − y 0 = k ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=k(x-x_{0})} , gauname:
y = k ( x − x 0 ) + y 0 , {\displaystyle y=k(x-x_{0})+y_{0},}
y = k x − k x 0 + y 0 , {\displaystyle y=kx-kx_{0}+y_{0},}
y = k x + b ; {\displaystyle y=kx+b;}
čia b = y 0 − k x 0 {\displaystyle b=y_{0}-kx_{0}} . Kadangi y = b , {\displaystyle y=b,} kai x = 0 {\displaystyle x=0} , tai tiesė T eina per tašką N ( 0 ; b ) . {\displaystyle N(0;b).} Taigi | b | {\displaystyle |b|} yra ilgis atkarpos, kurią tiesė iškerta ašyje Oy .
Lygtis y = k x + b {\displaystyle y=kx+b} vadinama kryptine tiesės lygtimi .
Tiesės, einančios per koordinačiu pradžios tašką O (0; 0), lygtis yra y = k x . {\displaystyle y=kx.} Pavyzdžiui, kai per tašką M 0 ( − 1 ; − 3 ) {\displaystyle M_{0}(-1;-3)} einanti tiesė su teigiamąja ašies Ox kryptimi sudaro kampą α = 120 ∘ , {\displaystyle \alpha =120^{\circ },} tai k = tan ( 120 ∘ ) = − 3 = − 1 , 732050808. {\displaystyle k=\tan(120^{\circ })=-{\sqrt {3}}=-1,732050808.} Tada lygtis y − y 0 = k ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=k(x-x_{0})} virsta lygtimi
y − ( − 3 ) = − 3 ( x − ( − 1 ) ) , {\displaystyle y-(-3)=-{\sqrt {3}}(x-(-1)),}
y + 3 = − 3 ( x + 1 ) , {\displaystyle y+3=-{\sqrt {3}}(x+1),}
y = − 3 x − 3 − 3. {\displaystyle y=-{\sqrt {3}}x-{\sqrt {3}}-3.}
Pavyzdys . Tiesės T , einančios per tašką M 0 ( 1 ; 2 ) {\displaystyle M_{0}(1;2)} ir statmenos vektoriui n → = ( 3 ; − 4 ) , {\displaystyle {\vec {n}}=(3;-4),} lygtis yra3 ( x − 1 ) − 4 ( y − 2 ) = 0 , {\displaystyle 3(x-1)-4(y-2)=0,}
3 x − 3 − 4 y + 8 = 0 , {\displaystyle 3x-3-4y+8=0,}
3 x − 4 y + 5 = 0. {\displaystyle 3x-4y+5=0.} Kampas tarp dviejų tiesių plokštumoje
keisti
Kampas ϕ {\displaystyle \phi } tarp dviejų tiesių T 1 {\displaystyle T_{1}} ir T 2 {\displaystyle T_{2}} lygus kampui tarp šių tiesių normalės vektorių n 1 → {\displaystyle {\vec {n_{1}}}} ir n 2 → {\displaystyle {\vec {n_{2}}}} arba jų krypties vektorių s 1 → {\displaystyle {\vec {s_{1}}}} ir s 2 → . {\displaystyle {\vec {s_{2}}}.} Kai tiesės T 1 {\displaystyle T_{1}} lygtis yra A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 , {\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,} o tiesės T 2 {\displaystyle T_{2}} lygtis yra A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 , {\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,} tai
cos ϕ = n 1 → ⋅ n 2 → ‖ n 1 → ‖ ⋅ ‖ n 2 → ‖ = A 1 A 2 + B 1 B 2 A 1 2 + B 1 2 ⋅ A 2 2 + B 2 2 ; {\displaystyle \cos \phi ={\frac {{\vec {n_{1}}}\cdot {\vec {n_{2}}}}{\|{\vec {n_{1}}}\|\cdot \|{\vec {n_{2}}}\|}}={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}};}
cos ϕ = s 1 → ⋅ s 2 → ‖ s 1 → ‖ ⋅ ‖ s 2 → ‖ = l 1 l 2 + m 1 m 2 l 1 2 + m 1 2 ⋅ l 2 2 + m 2 2 . {\displaystyle \cos \phi ={\frac {{\vec {s_{1}}}\cdot {\vec {s_{2}}}}{\|{\vec {s_{1}}}\|\cdot \|{\vec {s_{2}}}\|}}={\frac {l_{1}l_{2}+m_{1}m_{2}}{{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}}}}}.}
Pavyzdžiui, smailus kampas tarp tiesių 2 x − 7 y + 4 = 0 {\displaystyle 2x-7y+4=0} ir 13 x + 2 y − 1 = 0 {\displaystyle 13x+2y-1=0} nustatomas iš sąryšio
cos ϕ = A 1 A 2 + B 1 B 2 A 1 2 + B 1 2 ⋅ A 2 2 + B 2 2 = 2 ⋅ 13 + ( − 7 ) ⋅ 2 2 2 + ( − 7 ) 2 ⋅ 13 2 + 2 2 = 26 − 14 4 + 49 ⋅ 169 + 4 = {\displaystyle \cos \phi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}}={\frac {2\cdot 13+(-7)\cdot 2}{{\sqrt {2^{2}+(-7)^{2}}}\cdot {\sqrt {13^{2}+2^{2}}}}}={\frac {26-14}{{\sqrt {4+49}}\cdot {\sqrt {169+4}}}}=}
= 12 53 ⋅ 173 = 12 9169 = 0 , 125319963 ; {\displaystyle ={\frac {12}{{\sqrt {53}}\cdot {\sqrt {173}}}}={\frac {12}{\sqrt {9169}}}=0,125319963;}
ϕ = arccos 12 9169 = arccos ( 0 , 125319963 ) = 1 , 445145996 {\displaystyle \phi =\arccos {\frac {12}{\sqrt {9169}}}=\arccos(0,125319963)=1,445145996} radiano arba 82,80076636 laipsnio.Pavyzdys . Duota tiesė T , kurios lygtis 3 x − 2 y + 6 = 0. {\displaystyle 3x-2y+6=0.} Parašykime dviejų tiesių, einančių per tašką M 0 ( 1 ; − 3 ) , {\displaystyle M_{0}(1;-3),} lygtis, kai viena tų tiesių yra lygiagreti su duotąja tiese, o kita jai statmena.Sprendimas. Tiesės T normalės vektorius n → = ( 3 ; − 2 ) {\displaystyle {\vec {n}}=(3;-2)} yra statmenas tai tiesei. Imkime ieškomosios tiesės T 1 {\displaystyle T_{1}} kintamąjį tašką K 1 ( x ; y ) {\displaystyle K_{1}(x;y)} ir nubrėžkime vektorių M 0 K 1 → = ( x − 1 ; y − ( − 3 ) ) = ( x − 1 ; y + 3 ) . {\displaystyle {\vec {M_{0}K_{1}}}=(x-1;y-(-3))=(x-1;y+3).} Kadangi n → {\displaystyle {\vec {n}}} yra statmenas tiesei T , tai kartu n → {\displaystyle {\vec {n}}} yra status su M 0 K 1 → , {\displaystyle {\vec {M_{0}K_{1}}},} todėl skaliarinė jų sandauga lygi nuliui:
n → ⋅ M 0 K 1 → = 3 ⋅ ( x − 1 ) − 2 ⋅ ( y + 3 ) = 0. {\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {M_{0}K_{1}}}=3\cdot (x-1)-2\cdot (y+3)=0.}
Atlike veiksmus, gauname tiesės T 1 {\displaystyle T_{1}} , lygiagrečios su tiese T , bendrąją lygtį:
3 x − 3 − 2 y − 6 = 0 ; {\displaystyle 3x-3-2y-6=0;}
3 x − 2 y − 9 = 0. {\displaystyle 3x-2y-9=0.} Imkime tiesės T 2 {\displaystyle T_{2}} kintamąjį tašką K 2 ( x ; y ) {\displaystyle K_{2}(x;y)} ir nubrėžkime vektorių M 0 K 2 = ( x − 1 ; y + 3 ) . {\displaystyle M_{0}K_{2}=(x-1;y+3).} Kadangi n → {\displaystyle {\vec {n}}} yra statmenas su tiese T ir tiesė T 2 {\displaystyle T_{2}} yra statmena su tiese T , tai vektorius M 0 K 2 → {\displaystyle {\vec {M_{0}K_{2}}}} yra lygiagretus su tiesės T normalės vektoriu n → , {\displaystyle {\vec {n}},} todėl jų koordinatės yra proporcingos:
x − 1 3 = y + 3 − 2 . {\displaystyle {\frac {x-1}{3}}={\frac {y+3}{-2}}.}
Gavome kanoninę tiesės T 2 {\displaystyle T_{2}} lygtį. Šios tiesės krypties vektorius s 2 → = ( 3 ; − 2 ) {\displaystyle {\vec {s_{2}}}=(3;-2)} sutampa su tiesės T normalės vektoriumi n → = ( 3 ; − 2 ) . {\displaystyle {\vec {n}}=(3;-2).} Pertvarkę kanoninę lygtį, gauname ieškomosios tiesės T 2 {\displaystyle T_{2}} , statmenos tiesei T , bendrąją lygtį
x − 1 3 = y + 3 − 2 ; {\displaystyle {\frac {x-1}{3}}={\frac {y+3}{-2}};}
− 2 ( x − 1 ) = 3 ( y + 3 ) ; {\displaystyle -2(x-1)=3(y+3);}
− 2 x + 2 − 3 y − 9 = 0 ; {\displaystyle -2x+2-3y-9=0;}
− 2 x − 3 y − 7 = 0 ; {\displaystyle -2x-3y-7=0;}
2 x + 3 y + 7 = 0. {\displaystyle 2x+3y+7=0.}
Tiesės T 2 {\displaystyle T_{2}} normalės vektorius n 2 → = ( 2 ; 3 ) {\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(2;3)} kartu yra ir tiesės T 1 {\displaystyle T_{1}} krypties vektorius, todėl s 1 → = ( 2 ; 3 ) . {\displaystyle {\vec {s_{1}}}=(2;3).} Kampas tarp dviejų tiesių, kai žinomi tų tiesių krypties koeficientai
keisti
Vaizdas:Tieses418419.jpg 4.18 ir 4.19. Išvesime kampo tarp tiesių T 1 {\displaystyle T_{1}} ir T 2 {\displaystyle T_{2}} formulę, kai žinomi tų tiesių krypties koeficientai k 1 {\displaystyle k_{1}} ir k 2 {\displaystyle k_{2}} . Kadangi, susikertant dviem tiesėms, susidaro keturi kampai, iš kurių du yra skirtingi, tai kampu tarp tiesių T 1 {\displaystyle T_{1}} ir T 2 {\displaystyle T_{2}} (4.18 pav.) sutarsime vadinti smailųjį kampą ϕ {\displaystyle \phi } , kuriuo reikia sukti tiesę T 1 {\displaystyle T_{1}} apie tašką C , kad ji sutaptų su tiese T 2 {\displaystyle T_{2}} . Jeigu sukama priešinga laikrodžio rodyklės judėjimo kryptimi, tai kampas tyra teigiamas, jei laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi - yra neigiamas. Tiesių T 1 {\displaystyle T_{1}} ir T 2 {\displaystyle T_{2}} su ašimi Ox sudaromus kampus pažymėkime α 1 {\displaystyle \alpha _{1}} ir α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} . Tada k 1 = tan α 1 , {\displaystyle k_{1}=\tan \alpha _{1},} k 2 = tan α 2 {\displaystyle k_{2}=\tan \alpha _{2}} . Kadangi α 2 {\displaystyle \alpha _{2}} yra trikampio ABC priekampis, tai α 2 = α 1 + ϕ {\displaystyle \alpha _{2}=\alpha _{1}+\phi } (nes trikampio vidaus kampų suma lygi 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} , todėl kampas ABC yra lygus 180 ∘ − ( α 1 + ϕ ) = 180 ∘ − α 2 {\displaystyle 180^{\circ }-(\alpha _{1}+\phi )=180^{\circ }-\alpha _{2}} ); iš čia ϕ = α 2 − α 1 {\displaystyle \phi =\alpha _{2}-\alpha _{1}} ir
tan ϕ = tan ( α 2 − α 1 ) = tan α 2 − tan α 1 1 + tan α 1 tan α 2 = k 2 − k 1 1 + k 1 k 2 . {\displaystyle \tan \phi =\tan(\alpha _{2}-\alpha _{1})={\frac {\tan \alpha _{2}-\tan \alpha _{1}}{1+\tan \alpha _{1}\tan \alpha _{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.}
Kai tiesės T 1 {\displaystyle T_{1}} ir T 2 {\displaystyle T_{2}} yra lygiagrečios, tai ϕ = 0 {\displaystyle \phi =0} arba ϕ = π {\displaystyle \phi =\pi } . Tada tan ϕ = 0 {\displaystyle \tan \phi =0} ir k 1 = k 2 . {\displaystyle k_{1}=k_{2}.} Lygybė k 1 = k 2 {\displaystyle k_{1}=k_{2}} ir atspindi dviejų tiesių lygiagretumo sąlygą .
Kai tiesė T 1 {\displaystyle T_{1}} ir T 2 {\displaystyle T_{2}} yra statmenos, tai ϕ = 90 ∘ {\displaystyle \phi =90^{\circ }} ir α 2 = α 1 + 90 ∘ . {\displaystyle \alpha _{2}=\alpha _{1}+90^{\circ }.} Iš čia tan α 2 = tan ( α 1 + 90 ∘ ) = − cot α 1 . {\displaystyle \tan \alpha _{2}=\tan(\alpha _{1}+90^{\circ })=-\cot \alpha _{1}.} Vadinasi, tan α 2 = − 1 tan α 1 , {\displaystyle \tan \alpha _{2}=-{\frac {1}{\tan \alpha _{1}}},} arba k 2 = − 1 k 1 . {\displaystyle k_{2}=-{\frac {1}{k_{1}}}.} Todėl lygybė 1 + k 1 k 2 = 0 {\displaystyle 1+k_{1}k_{2}=0} išreiškia dviejų tiesių statmenumo sąlygą .
Pavyzdys . Tiesė eina per taškus A(2; 2) ir C(12; 8) (4.19 pav.). Per atkarpos AC vidurio tašką M nubrėžta tiesė BM sudaranti su AC 45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} kampą. Parašykite tiesės BM Lygtį.Sprendimas . Parašykime tiesės AC , einančios per du žinomus taškus, lygtį:
x − 12 2 − 12 = y − 8 2 − 8 , {\displaystyle {\frac {x-12}{2-12}}={\frac {y-8}{2-8}},}
x − 12 − 10 = y − 8 − 6 , {\displaystyle {\frac {x-12}{-10}}={\frac {y-8}{-6}},}
− 6 ( x − 12 ) = − 10 ( y − 8 ) , {\displaystyle -6(x-12)=-10(y-8),}
− 6 x + 72 = − 10 y + 80 , {\displaystyle -6x+72=-10y+80,}
3 x − 36 = 5 y − 40 , {\displaystyle 3x-36=5y-40,}
3 x − 5 y + 4 = 0. {\displaystyle 3x-5y+4=0.}
Žinome, kad kryptinė tiesės lygtis yra y = k x + b . {\displaystyle y=kx+b.} Todėl, iš gautos lygties išreiškę y = 3 5 ⋅ x + 4 5 , {\displaystyle y={\frac {3}{5}}\cdot x+{\frac {4}{5}},} sužinosime tiesės AC krypties koeficientą k A C = 3 5 . {\displaystyle k_{AC}={\frac {3}{5}}.}
Tiesės BM krypties koeficientą k B M {\displaystyle k_{BM}} apskaičiuosime remdamiesi formule
tan ϕ = tan ( 180 ∘ − 45 ∘ ) = tan 135 ∘ = tan ( 45 ∘ + 90 ∘ ) = − tan 45 ∘ = k B M − 3 5 1 + 3 5 ⋅ k B M , {\displaystyle \tan \phi =\tan(180^{\circ }-45^{\circ })=\tan 135^{\circ }=\tan(45^{\circ }+90^{\circ })=-\tan 45^{\circ }={\frac {k_{BM}-{\frac {3}{5}}}{1+{\frac {3}{5}}\cdot k_{BM}}},}
tan 45 ∘ = 3 5 − k B M 1 + 3 5 ⋅ k B M , {\displaystyle \tan 45^{\circ }={\frac {{\frac {3}{5}}-k_{BM}}{1+{\frac {3}{5}}\cdot k_{BM}}},}
1 = 3 5 − k B M 1 + 3 5 ⋅ k B M , {\displaystyle 1={\frac {{\frac {3}{5}}-k_{BM}}{1+{\frac {3}{5}}\cdot k_{BM}}},}
1 + 3 5 ⋅ k B M = 3 5 − k B M , {\displaystyle 1+{\frac {3}{5}}\cdot k_{BM}={\frac {3}{5}}-k_{BM},}
3 5 ⋅ k B M + k B M = 3 5 − 1 , {\displaystyle {\frac {3}{5}}\cdot k_{BM}+k_{BM}={\frac {3}{5}}-1,}
3 k B M + 5 k B M 5 = 3 − 5 5 , {\displaystyle {\frac {3k_{BM}+5k_{BM}}{5}}={\frac {3-5}{5}},}
8 k B M 5 = − 2 5 , {\displaystyle {\frac {8k_{BM}}{5}}=-{\frac {2}{5}},}
8 k B M = − 2 , {\displaystyle 8k_{BM}=-2,}
k B M = − 1 4 . {\displaystyle k_{BM}=-{\frac {1}{4}}.}
Randame taško M koordinates:
x M = 2 + 12 2 = 7 , y M = 2 + 8 2 = 5. {\displaystyle x_{M}={\frac {2+12}{2}}=7,\quad y_{M}={\frac {2+8}{2}}=5.}
Parašykime tiesės BM lygtį:
y − 5 = − 1 4 ( x − 7 ) , {\displaystyle y-5=-{\frac {1}{4}}(x-7),}
4 y − 20 = − x + 7 , {\displaystyle 4y-20=-x+7,}
x + 4 y − 27 = 0. {\displaystyle x+4y-27=0.}
45 ∘ {\displaystyle 45^{\circ }} kampą su įstrižaine AC sudaro ir tiesė B'M. Jos krypties koeficientas k B ′ M = 4 , {\displaystyle k_{B'M}=4,} nes B ′ M {\displaystyle B'M} statmena BM . Tuomet tiesės B'M lygtis bus tokia:
y − 5 = 4 ( x − 7 ) , {\displaystyle y-5=4(x-7),}
0 = 4 x − 28 − y + 5 , {\displaystyle 0=4x-28-y+5,}
4 x − y − 23 = 0. {\displaystyle 4x-y-23=0.}
Pavyzdys . Duotos dvi tiesės y = x 3 {\displaystyle y=x{\sqrt {3}}} ir y = 4 3 − x 3 . {\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}.} Rasti kokius kampus šios tiesies sudaro su ašimi Ox .Sprendimas .Tiesė y = x 3 {\displaystyle y=x{\sqrt {3}}} su ašimi Ox sudaro kampą α 1 , {\displaystyle \alpha _{1},} kurį mes gausime taip:
k 1 = y x = sin α 1 cos α 1 = tan α 1 = 3 , {\displaystyle k_{1}={\frac {y}{x}}={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \alpha _{1}}}=\tan \alpha _{1}={\sqrt {3}},}
α 1 = arctan 3 = 1.047197551 {\displaystyle \alpha _{1}=\arctan {\sqrt {3}}=1.047197551} radiano arba 60 ∘ . {\displaystyle 60^{\circ }.}
Tiesės y = 4 3 − x 3 {\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}} krypties koeficientas yra k 2 = − 3 . {\displaystyle k_{2}=-{\sqrt {3}}.}
Pasinaudodami formule rasime kampą ϕ {\displaystyle \phi } (4.18 pav.), kurį sudaro šios dvi susikertančios tiesės:
tan ϕ = tan ( α 2 − α 1 ) = tan α 2 − tan α 1 1 + tan α 1 tan α 2 = k 2 − k 1 1 + k 1 k 2 = − 3 − 3 1 + 3 ⋅ ( − 3 ) = − 2 3 1 − 3 = − 2 3 − 2 = 3 ; {\displaystyle \tan \phi =\tan(\alpha _{2}-\alpha _{1})={\frac {\tan \alpha _{2}-\tan \alpha _{1}}{1+\tan \alpha _{1}\tan \alpha _{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}={\frac {-{\sqrt {3}}-{\sqrt {3}}}{1+{\sqrt {3}}\cdot (-{\sqrt {3}})}}={\frac {-2{\sqrt {3}}}{1-3}}={\frac {-2{\sqrt {3}}}{-2}}={\sqrt {3}};}
ϕ = arctan 3 = 1.047197551 {\displaystyle \phi =\arctan {\sqrt {3}}=1.047197551} radiano arba 60 ∘ . {\displaystyle 60^{\circ }.}
Žinodami, kad trikampio vidaus kampų suma lygi 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} randame kampą, kurį sudaro tiesė y = 4 3 − x 3 {\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}} ir ašis Ox :
180 ∘ − α 2 = 180 ∘ − α 1 − ϕ = 180 ∘ − 60 ∘ − 60 ∘ = 60 ∘ ; {\displaystyle 180^{\circ }-\alpha _{2}=180^{\circ }-\alpha _{1}-\phi =180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ };}
180 ∘ − α 2 = 60 ∘ ; {\displaystyle 180^{\circ }-\alpha _{2}=60^{\circ };}
α 2 = 180 ∘ − 60 ∘ = 120 ∘ . {\displaystyle \alpha _{2}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }.} Taško atstumas iki tiesės plokštumoje
keisti
Tarkime, kad šalia tiesės T , kurios lygtis A x 1 + B y 1 + C {\displaystyle Ax_{1}+By_{1}+C} , duotas taškas M 1 ( x 1 ; y 1 ) . {\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1}).} Šio taško atstumas iki tiesės plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę
d = | A x 1 + B y 1 + C | A 2 + B 2 . {\displaystyle d={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}
Pavyzdys . Dvi kvadrato kraštinės yra tiesėse, kurių lygtys 3 x − 4 y + 7 = 0 {\displaystyle 3x-4y+7=0} ir 3 x − 4 y + 25 = 0 {\displaystyle 3x-4y+25=0} . Apskaičiuokime to kvadrato plotą.Sprendimas . Nurodytose tiesėse esančios kvadrato kvadrato kraštinės yra lygiagrečios, nes jų abiejų normalės vektorius yra n → = ( 3 ; − 4 ) . {\displaystyle {\vec {n}}=(3;-4).} Todėl kvadrato kraštinės ilgis lygus atstumui tarp šių tiesių arba atstumui nuo bet kurio pirmosios tiesės taško iki antrosios tiesės. Pasirinkime bet kurį tiesės 3 x − 4 y + 7 = 0 {\displaystyle 3x-4y+7=0} tašką, pavyzdžiui, tašką, kurio abscisė x = 3. {\displaystyle x=3.} Iš lygties 3 x − 4 y + 7 = 0 {\displaystyle 3x-4y+7=0} gauname
3 ⋅ 3 − 4 y + 7 = 0 , {\displaystyle 3\cdot 3-4y+7=0,}
− 4 y = − 9 − 7 , {\displaystyle -4y=-9-7,}
− 4 y = − 16 , {\displaystyle -4y=-16,}
y = 4. {\displaystyle y=4.}
Apskaičiuokime atstumą nuo taško (3; 4) iki tiesės 3 x − 4 y + 25 = 0. {\displaystyle 3x-4y+25=0.} Remdamiesi formule d = | A x 1 + B y 1 + C | A 2 + B 2 , {\displaystyle d={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},} gauname:
d = | 3 ⋅ 3 − 4 ⋅ 4 + 25 | 3 2 + ( − 4 ) 2 = | 9 − 16 + 25 | 9 + 16 = | 18 | 25 = 18 5 = 3.6. {\displaystyle d={\frac {|3\cdot 3-4\cdot 4+25|}{\sqrt {3^{2}+(-4)^{2}}}}={\frac {|9-16+25|}{\sqrt {9+16}}}={\frac {|18|}{\sqrt {25}}}={\frac {18}{5}}=3.6.}
Vadinasi kvadrato plotas
S = d 2 = 3.6 2 = 12.96 ( k v . v n t . ) . {\displaystyle S=d^{2}=3.6^{2}=12.96\;(kv.\;vnt.).}