Erdvės tiesės kanoninė lygtis
keisti
Tiesės T padėtį erdvėje vienareikšmiškai nusako taškas
M
0
(
x
0
;
y
0
;
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})}
, per kurį eina ta tiesė, ir lygiagretus su ja nenulinis vektorius
s
→
=
(
l
;
m
;
n
)
{\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)}
, vadinamas tiesės krypties vektoriumi . Kintamajį tiesės T tašką pažymėkime
M
(
x
;
y
;
z
)
{\displaystyle M(x;y;z)}
ir nubrėžkime vektorių
M
0
M
→
.
{\displaystyle {\vec {M_{0}M}}.}
Kadangi vektoriai
M
0
M
→
=
r
→
−
r
0
→
=
(
x
−
x
0
;
y
−
y
0
;
z
−
z
0
)
{\displaystyle {\vec {M_{0}M}}={\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}=(x-x_{0};y-y_{0};z-z_{0})}
ir
s
→
=
(
l
;
m
;
n
)
{\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)}
yra kolinearūs (lygiagretūs), tai
r
→
−
r
0
→
=
t
⋅
s
→
;
{\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}=t\cdot {\vec {s}};}
čia
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
ir
r
0
→
{\displaystyle {\vec {r_{0}}}}
- taškų M ir
M
0
{\displaystyle M_{0}}
spinduliai vektoriai, t - realusis skaičius.
Lygtis
r
→
−
r
0
→
=
t
⋅
s
→
;
{\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}=t\cdot {\vec {s}};}
(
x
−
x
0
;
y
−
y
0
;
z
−
z
0
)
=
(
t
l
;
t
m
;
t
n
)
{\displaystyle (x-x_{0};y-y_{0};z-z_{0})=(tl;tm;tn)}
vadinama vektorine tiesės T lygtimi. Iš jos, sulyginę vektorių
r
→
−
r
0
→
{\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}}
ir
t
⋅
s
→
{\displaystyle t\cdot {\vec {s}}}
koordinates, gauname lygtis
{
x
−
x
0
=
t
l
,
y
−
y
0
=
t
m
,
z
−
z
0
=
t
n
.
{\displaystyle {\begin{cases}x-x_{0}=tl,&\\y-y_{0}=tm,&\\z-z_{0}=tn.&\end{cases}}}
arba
{
x
=
x
0
+
t
l
,
y
=
y
0
+
t
m
,
z
=
z
0
+
t
n
.
{\displaystyle {\begin{cases}x=x_{0}+tl,&\\y=y_{0}+tm,&\\z=z_{0}+tn.&\end{cases}}}
Paskutinios 3 lygtys vadinamos parametrinėmis tiesės T lygtimis.
Kadangi vektoriai
r
→
−
r
0
→
{\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}}
ir
s
→
=
(
l
;
m
;
n
)
{\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)}
yra kolinearūs, tai jų koordinatės proporcingos. Iš šios sąlygos išplaukia erdvės tiesės kanoninės lygtys
x
−
x
0
l
=
y
−
y
0
m
=
z
−
z
0
n
.
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}}.}
Šias lygtis galėjome gauti iš parametrinių lygčių , tereikėjo eliminuoti parametrą t :
x
−
x
0
l
=
t
,
y
−
y
0
m
=
t
,
z
−
z
0
n
=
t
;
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}=t,\quad {\frac {y-y_{0}}{m}}=t,\quad {\frac {z-z_{0}}{n}}=t;}
Iš čia ir išplaukia erdvės tiesės kanoninės lygtys .
Tarkime, žinomi du tiesės T taškai
M
1
(
x
1
;
y
1
;
z
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})}
ir
M
2
(
x
2
;
y
2
;
z
2
)
.
{\displaystyle M_{2}(x_{2};y_{2};z_{2}).}
Tada vektorius
M
1
M
2
→
=
(
x
2
−
x
1
;
y
2
−
y
1
;
z
2
−
z
1
)
{\displaystyle {\vec {M_{1}M_{2}}}=(x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1};z_{2}-z_{1})}
gali būti tiesės T krypties vektorius
s
→
=
(
x
2
−
x
1
;
y
2
−
y
1
;
z
2
−
z
1
)
.
{\displaystyle {\vec {s}}=(x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1};z_{2}-z_{1}).}
Į lygtį
x
−
x
0
l
=
y
−
y
0
m
=
z
−
z
0
n
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}}}
vietoje taško
M
0
{\displaystyle M_{0}}
koordinačių įrašę taško
M
1
{\displaystyle M_{1}}
koordinates, vietoje l, m, n įrašę dydžius
x
2
−
x
1
{\displaystyle x_{2}-x_{1}}
,
y
2
−
y
1
{\displaystyle y_{2}-y_{1}}
,
z
2
−
z
1
{\displaystyle z_{2}-z_{1}}
, gauname tiesės einančios per du taškus, lygtį
x
−
x
1
x
2
−
x
1
=
y
−
y
1
y
2
−
y
1
=
z
−
z
1
z
2
−
z
1
.
{\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}.}
Pavyzdys . Raskime taško P(3; 1; -5) projekciją plokštumoje
π
{\displaystyle \pi }
, kurios lygtis
2
x
−
4
y
+
3
z
−
16
=
0.
{\displaystyle 2x-4y+3z-16=0.}
Sprendimas . Iš taško P nuleiskime statmenį į plokštumą
π
;
{\displaystyle \pi ;}
to statmens pagrindas Q ir bus taško P projekcija. Tašką Q galėsime rasti kaip tiesės T ir plokštumos
π
{\displaystyle \pi }
sankirtos tašką. Kadangi plokštumos
π
{\displaystyle \pi }
normalės vektorius
n
→
=
(
2
;
−
4
;
3
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(2;-4;3)}
yra lygiagretus su tiese T , tai jį galima laikyti šios tiesės krypties vektoriumi.
Pritaikę formules
x
−
x
0
l
=
y
−
y
0
m
=
z
−
z
0
n
,
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}},}
parašome kanonines tiesės T lygtis:
x
−
3
2
=
y
−
1
−
4
=
z
+
5
3
.
{\displaystyle {\frac {x-3}{2}}={\frac {y-1}{-4}}={\frac {z+5}{3}}.}
Norėdami rasti tiesės T ir plokštumos
π
{\displaystyle \pi }
sakirtos tašką Q , turime išspręsti sistemą, sudarytą iš jų lygčių:
{
x
−
3
2
=
y
−
1
−
4
=
z
+
5
3
,
2
x
−
4
y
+
3
z
−
16
=
0.
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {x-3}{2}}={\frac {y-1}{-4}}={\frac {z+5}{3}},&\\2x-4y+3z-16=0.&\end{cases}}}
Tokią sistemą patogiausia spręsti, pakeitus kanonines tiesės lygtis parametrinėmis:
x
−
3
2
=
t
,
y
−
1
−
4
=
t
,
z
+
5
3
=
t
,
{\displaystyle {\frac {x-3}{2}}=t,\quad {\frac {y-1}{-4}}=t,\quad {\frac {z+5}{3}}=t,}
arba
x
=
2
t
+
3
,
y
=
−
4
t
+
1
,
z
=
3
t
−
5.
{\displaystyle x=2t+3,\quad y=-4t+1,\quad z=3t-5.}
Įrašę šias x , y , z išraiškas į antrąją sistemos lygtį
2
x
−
4
y
+
3
z
−
16
=
0
,
{\displaystyle 2x-4y+3z-16=0,}
gauname
2
(
2
t
+
3
)
−
4
(
−
4
t
+
1
)
+
3
(
3
t
−
5
)
−
16
=
0
,
{\displaystyle 2(2t+3)-4(-4t+1)+3(3t-5)-16=0,}
4
t
+
6
+
16
t
−
4
+
9
t
−
15
−
16
=
0
,
{\displaystyle 4t+6+16t-4+9t-15-16=0,}
29
t
−
29
=
0
,
{\displaystyle 29t-29=0,}
t
=
1.
{\displaystyle t=1.}
Tada
x
=
2
⋅
1
+
3
=
5
,
y
=
−
4
⋅
1
+
1
=
−
3
,
z
=
3
⋅
1
−
5
=
−
2.
{\displaystyle x=2\cdot 1+3=5,\quad y=-4\cdot 1+1=-3,\quad z=3\cdot 1-5=-2.}
Vadinasi, taško P projekcija plokštumoje
π
{\displaystyle \pi }
yra taškas Q (5; -3; -2).
Pavyzdys . Plokštuma
π
{\displaystyle \pi }
nubrėžta per dvi lygiagrečias tieses
x
−
1
3
=
y
+
1
−
1
=
z
−
4
2
{\displaystyle {\frac {x-1}{3}}={\frac {y+1}{-1}}={\frac {z-4}{2}}}
ir
x
3
=
y
−
2
−
1
=
z
+
5
2
.
{\displaystyle {\frac {x}{3}}={\frac {y-2}{-1}}={\frac {z+5}{2}}.}
Parašykime plokštumos
π
{\displaystyle \pi }
lygtį.
Sprendimas . Kintamąjį plokštumos
π
{\displaystyle \pi }
tašką pažymėkime M(x; y; z) ir nubrėžkime vektorius
M
1
M
→
{\displaystyle {\vec {M_{1}M}}}
bei
M
1
M
2
→
;
{\displaystyle {\vec {M_{1}M_{2}}};}
čia per tašką
M
1
(
1
;
−
1
;
4
)
{\displaystyle M_{1}(1;-1;4)}
eina pirmoji tiesė
x
−
1
3
=
y
+
1
−
1
=
z
−
4
2
,
{\displaystyle {\frac {x-1}{3}}={\frac {y+1}{-1}}={\frac {z-4}{2}},}
o per tašką
M
2
(
0
;
2
;
−
5
)
{\displaystyle M_{2}(0;2;-5)}
eina antroji tiesė
x
3
=
y
−
2
−
1
=
z
+
5
2
.
{\displaystyle {\frac {x}{3}}={\frac {y-2}{-1}}={\frac {z+5}{2}}.}
Kai taškas M priklauso plokštumai
π
{\displaystyle \pi }
, tai vektoriai
M
1
M
→
=
(
x
−
1
;
y
+
1
;
z
−
4
)
,
M
1
M
2
→
=
(
0
−
1
;
2
−
(
−
1
)
;
−
5
−
4
)
=
(
−
1
;
3
;
−
9
)
{\displaystyle {\vec {M_{1}M}}=(x-1;y+1;z-4),\;{\vec {M_{1}M_{2}}}=(0-1;2-(-1);-5-4)=(-1;3;-9)}
ir tiesių krypties vektorius
s
→
=
(
3
;
−
1
;
2
)
{\displaystyle {\vec {s}}=(3;-1;2)}
yra vienoje plokštumoje, taigi šie vektoriai komplanarūs. Parašykime trijų vektorių komplanarumo sąlygą:
(
M
1
M
→
×
M
1
M
2
→
)
⋅
s
→
=
|
x
−
1
y
+
1
z
−
4
−
1
3
−
9
3
−
1
2
|
=
0
,
{\displaystyle ({\vec {M_{1}M}}\times {\vec {M_{1}M_{2}}})\cdot {\vec {s}}={\begin{vmatrix}x-1&y+1&z-4\\-1&3&-9\\3&-1&2\end{vmatrix}}=0,}
(
x
−
1
)
(
3
⋅
2
−
(
−
1
)
⋅
(
−
9
)
)
−
(
y
+
1
)
(
−
1
⋅
2
−
(
−
9
)
⋅
3
)
+
(
z
−
4
)
(
(
−
1
)
⋅
(
−
1
)
−
3
⋅
3
)
=
0
,
{\displaystyle (x-1)(3\cdot 2-(-1)\cdot (-9))-(y+1)(-1\cdot 2-(-9)\cdot 3)+(z-4)((-1)\cdot (-1)-3\cdot 3)=0,}
(
x
−
1
)
(
6
−
9
)
−
(
y
+
1
)
(
−
2
+
27
)
+
(
z
−
4
)
(
1
−
9
)
=
0
,
{\displaystyle (x-1)(6-9)-(y+1)(-2+27)+(z-4)(1-9)=0,}
−
3
(
x
−
1
)
−
25
(
y
+
1
)
−
8
(
z
−
4
)
=
0
,
{\displaystyle -3(x-1)-25(y+1)-8(z-4)=0,}
−
3
x
+
3
−
25
y
−
25
−
8
z
+
32
=
0
,
{\displaystyle -3x+3-25y-25-8z+32=0,}
−
3
x
−
25
y
−
8
z
+
10
=
0
,
{\displaystyle -3x-25y-8z+10=0,}
3
x
+
25
y
+
8
z
−
10
=
0.
{\displaystyle 3x+25y+8z-10=0.}
Gautoji lygtis ir yra plokštumos
π
{\displaystyle \pi }
lygtis.
Erdvės tiesės bendrosios lygtys
keisti
{
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
z
+
D
1
=
0
,
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
z
+
D
2
=
0.
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,&\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.&\end{cases}}}
Taigi, ši lygčių sistemą apibūdiną dvi susikertančias plokštumas
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
z
+
D
1
=
0
{\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0}
ir
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
z
+
D
2
=
0.
{\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.}
O susikertančios plokšumos ir sudaro tiesę. Todėl dviejų plokštumų sistemą yra tiesės lygtys.
Tiesės krypties vektorius yra:
s
→
=
n
1
→
×
n
2
→
=
|
i
j
k
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
|
.
{\displaystyle {\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}.}
Pavyzdys . Bendrąsias tiesės lygtis
{
4
x
−
5
y
+
z
−
3
=
0
,
x
+
2
y
−
3
z
+
9
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}4x-5y+z-3=0,&\\x+2y-3z+9=0&\end{cases}}}
pakeiskime kanoninėmis.
Sprendimas . Pirmiausia raskime tiesės tašką
M
0
{\displaystyle M_{0}}
. Parinkę, pavyzdžiui,
x
=
1
{\displaystyle x=1}
, gauname sistemą
{
−
5
y
+
z
+
1
=
0
,
2
y
−
3
z
+
10
=
0
;
{\displaystyle {\begin{cases}-5y+z+1=0,&\\2y-3z+10=0;&\end{cases}}}
{
−
15
y
+
3
z
+
3
=
0
,
2
y
−
3
z
+
10
=
0
,
{\displaystyle {\begin{cases}-15y+3z+3=0,&\\2y-3z+10=0,&\end{cases}}}
−
15
y
+
2
y
+
3
z
−
3
z
+
3
+
10
=
−
13
y
+
13
=
0
,
{\displaystyle -15y+2y+3z-3z+3+10=-13y+13=0,}
−
13
y
=
−
13
,
{\displaystyle -13y=-13,}
y
=
1
;
{\displaystyle y=1;}
2
⋅
1
−
3
z
+
10
=
0
,
{\displaystyle 2\cdot 1-3z+10=0,}
−
3
z
=
−
12
,
{\displaystyle -3z=-12,}
z
=
4.
{\displaystyle z=4.}
Sistema turi sprendinį
y
=
1
{\displaystyle y=1}
,
z
=
4.
{\displaystyle z=4.}
Taigi
M
0
(
1
;
1
;
4
)
.
{\displaystyle M_{0}(1;1;4).}
Raskime
s
→
=
n
1
→
×
n
2
→
.
{\displaystyle {\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}}.}
Kadangi
n
1
→
=
(
4
;
−
5
;
1
)
,
n
1
→
=
(
1
;
2
;
−
3
)
,
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(4;-5;1),\;\;{\vec {n_{1}}}=(1;2;-3),}
tai
s
→
=
n
1
→
×
n
2
→
=
|
i
j
k
4
−
5
1
1
2
−
3
|
=
(
−
5
⋅
(
−
3
)
−
1
⋅
2
)
i
−
(
4
⋅
(
−
3
)
−
1
⋅
1
)
j
+
(
4
⋅
2
−
(
−
5
)
⋅
1
)
k
=
(
15
−
2
)
i
−
(
−
12
−
1
)
j
+
(
8
+
5
)
k
=
{\displaystyle {\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\4&-5&1\\1&2&-3\end{vmatrix}}=(-5\cdot (-3)-1\cdot 2)\mathbf {i} -(4\cdot (-3)-1\cdot 1)\mathbf {j} +(4\cdot 2-(-5)\cdot 1)\mathbf {k} =(15-2)\mathbf {i} -(-12-1)\mathbf {j} +(8+5)\mathbf {k} =}
=
13
i
+
13
j
+
13
k
=
(
13
;
13
;
13
)
.
{\displaystyle =13\mathbf {i} +13\mathbf {j} +13\mathbf {k} =(13;\;13;\;13).}
Vadinasi, kanoninės tiesės lygtys yra tokios:
x
−
1
13
=
y
−
1
13
=
z
−
4
13
,
{\displaystyle {\frac {x-1}{13}}={\frac {y-1}{13}}={\frac {z-4}{13}},}
arba
x
−
1
1
=
y
−
1
1
=
z
−
4
1
.
{\displaystyle {\frac {x-1}{1}}={\frac {y-1}{1}}={\frac {z-4}{1}}.}
Jas galima parašyti ir taip:
x
−
1
=
y
−
1
=
z
−
4.
{\displaystyle x-1=y-1=z-4.}
Pavyzdys . Rasti kanonines lygtis tiesės
{
3
x
+
2
y
+
4
z
−
11
=
0
,
2
x
+
y
−
3
z
−
1
=
0.
{\displaystyle {\begin{cases}3x+2y+4z-11=0,&\\2x+y-3z-1=0.&\end{cases}}}
Sprendimas . Įstatę, pavyzdžiui,
x
0
=
1
{\displaystyle x_{0}=1}
, iš sistemos
{
3
+
2
y
0
+
4
z
0
−
11
=
0
,
2
+
y
0
−
3
z
0
−
1
=
0
;
{\displaystyle {\begin{cases}3+2y_{0}+4z_{0}-11=0,&\\2+y_{0}-3z_{0}-1=0;&\end{cases}}}
−
{
2
y
0
+
4
z
0
−
8
=
0
,
y
0
−
3
z
0
+
1
=
0
|
⋅
2
,
{\displaystyle -{\begin{cases}2y_{0}+4z_{0}-8=0,&\\y_{0}-3z_{0}+1=0\;|\cdot 2,&\end{cases}}}
gauname
2
y
0
+
4
z
0
−
8
−
2
(
y
0
−
3
z
0
+
1
)
=
0
,
{\displaystyle 2y_{0}+4z_{0}-8-2(y_{0}-3z_{0}+1)=0,}
10
z
0
−
10
=
0
,
{\displaystyle 10z_{0}-10=0,}
10
z
0
=
10
,
{\displaystyle 10z_{0}=10,}
z
0
=
1
;
{\displaystyle z_{0}=1;}
y
0
−
3
⋅
1
+
1
=
0
;
{\displaystyle y_{0}-3\cdot 1+1=0;}
y
0
−
2
=
0
,
{\displaystyle y_{0}-2=0,}
y
0
=
2
,
{\displaystyle y_{0}=2,}
kad
y
0
=
2
{\displaystyle y_{0}=2}
,
z
0
=
1.
{\displaystyle z_{0}=1.}
Tokiu budu, taškas
M
0
(
1
;
2
;
1
)
{\displaystyle M_{0}(1;2;1)}
tiesės rastas. Dabar nustatysime kryptį vektoriaus
s
→
.
{\displaystyle {\vec {s}}.}
Turime:
n
1
→
=
{
3
;
2
;
4
}
,
n
2
→
=
{
2
;
1
;
−
3
}
,
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=\{3;2;4\},\;{\vec {n_{2}}}=\{2;1;-3\},}
iš čia
s
→
=
n
1
→
×
n
2
→
=
|
i
j
k
3
2
4
2
1
−
3
|
=
(
−
6
−
4
)
i
−
(
−
9
−
8
)
j
+
(
3
−
4
)
k
=
−
10
i
+
17
j
−
k
=
{
−
10
;
17
;
−
1
}
,
{\displaystyle {\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\3&2&4\\2&1&-3\end{vmatrix}}=(-6-4)\mathbf {i} -(-9-8)\mathbf {j} +(3-4)\mathbf {k} =-10\mathbf {i} +17\mathbf {j} -\mathbf {k} =\{-10;\;17;\;-1\},}
t. y.
l
=
−
10
{\displaystyle l=-10}
,
m
=
17
{\displaystyle m=17}
,
n
=
−
1
{\displaystyle n=-1}
. Įstatydami rastas reikšmes
x
0
{\displaystyle x_{0}}
,
y
0
{\displaystyle y_{0}}
,
z
0
{\displaystyle z_{0}}
ir l , m , n į lygybes
x
−
x
0
l
=
y
−
y
0
m
=
z
−
z
0
n
,
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}},}
gauname kanonines lygtis duotos tiesės:
x
−
1
−
10
=
y
−
2
17
=
z
−
1
−
1
.
{\displaystyle {\frac {x-1}{-10}}={\frac {y-2}{17}}={\frac {z-1}{-1}}.}
Kampas tarp tiesės ir plokštumos
keisti
Tarkime, tiesė T nusakoma kanoninėmis lygtimis
x
−
x
0
l
=
y
−
y
0
m
=
z
−
z
0
n
,
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}},}
o plokštuma
π
{\displaystyle \pi }
nusakoma lygtimi
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0.
{\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.}
Kampu
ϕ
{\displaystyle \phi }
tarp tiesės T ir plokštumos
π
{\displaystyle \pi }
vadiname kampą tarp tos tiesės ir jos projekcijos plokštumoje
π
{\displaystyle \pi }
. Kadangi
ϕ
+
α
=
π
2
,
{\displaystyle \phi +\alpha ={\frac {\pi }{2}},}
tai
cos
α
=
cos
(
π
2
−
ϕ
)
=
sin
ϕ
;
{\displaystyle \cos \alpha =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\phi \right)=\sin \phi ;}
čia
α
{\displaystyle \alpha }
yra kampas tarp tiesės T krypties vektoriaus
s
→
=
(
l
;
m
;
n
)
{\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)}
ir plokštumos
π
{\displaystyle \pi }
normalės vektoriaus
n
→
=
(
A
;
B
;
C
)
.
{\displaystyle {\vec {n}}=(A;B;C).}
Kitaip sakant, kampas
α
{\displaystyle \alpha }
yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos normalės
n
→
=
(
A
;
B
;
C
)
.
{\displaystyle {\vec {n}}=(A;B;C).}
Iš vektorių
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
ir
s
→
{\displaystyle {\vec {s}}}
skaliarinės sandaugos išplaukia, kad
cos
α
=
n
→
⋅
s
→
‖
n
→
‖
⋅
‖
s
→
‖
=
A
l
+
B
m
+
C
n
A
2
+
B
2
+
C
2
l
2
+
m
2
+
n
2
.
{\displaystyle \cos \alpha ={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {s}}}{\|{\vec {n}}\|\cdot \|{\vec {s}}\|}}={\frac {Al+Bm+Cn}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}}.}
Tada
sin
ϕ
=
A
l
+
B
m
+
C
n
A
2
+
B
2
+
C
2
l
2
+
m
2
+
n
2
,
{\displaystyle \sin \phi ={\frac {Al+Bm+Cn}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}},}
čia
ϕ
{\displaystyle \phi }
yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos
A
x
+
B
y
+
C
z
+
D
=
0.
{\displaystyle Ax+By+Cz+D=0.}
Kai tiesė T lygiagreti plokštumai
π
{\displaystyle \pi }
, tai tiesės krypties vektorius
s
→
=
(
l
;
m
;
n
)
{\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)}
yra statmenas plokštumos normalės vektoriui
n
→
=
(
A
;
B
;
C
)
,
{\displaystyle {\vec {n}}=(A;B;C),}
todėl
n
→
⋅
s
→
=
0.
{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {s}}=0.}
Iš čia gauname tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygą :
A
⋅
l
+
B
⋅
m
+
C
⋅
n
=
0.
{\displaystyle A\cdot l+B\cdot m+C\cdot n=0.}
Kai tiesė T statmena plokštumai
π
{\displaystyle \pi }
, tai tiesės krypties vektorius
s
→
=
(
l
;
m
;
n
)
{\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)}
yra lygiagretus plokštumos normalės vektoriui
n
→
=
(
A
;
B
;
C
)
,
{\displaystyle {\vec {n}}=(A;B;C),}
todėl jų koordinatės yra proporcingos. Iš čia išplaukia tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga :
A
l
=
B
m
=
C
n
.
{\displaystyle {\frac {A}{l}}={\frac {B}{m}}={\frac {C}{n}}.}
Pavyzdys . Su kuria B reikšme tiesė T , nusakoma lygtimis
{
4
x
−
5
y
+
z
−
3
=
0
,
x
+
2
y
−
3
z
+
9
=
0
,
{\displaystyle {\begin{cases}4x-5y+z-3=0,&\\x+2y-3z+9=0,&\end{cases}}}
bus lygiagreti su plokštuma
π
{\displaystyle \pi }
, kurios lygtis
2
x
−
B
y
−
2
z
−
3
=
0
{\displaystyle 2x-By-2z-3=0}
?
Sprendimas . Kai tiesė T lygiagreti su plokštuma
π
{\displaystyle \pi }
, tai tiesės krypties vektorius
s
→
=
(
l
;
m
;
n
)
{\displaystyle {\vec {s}}=(l;m;n)}
yra statmenas plokštumos normalės vektoriui
n
→
=
(
2
;
−
B
;
−
2
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(2;-B;-2)}
ir skaliarinė jų sandauga
s
→
⋅
n
→
=
0.
{\displaystyle {\vec {s}}\cdot {\vec {n}}=0.}
Pažymėkime:
n
1
→
=
(
1
;
−
2
;
3
)
,
n
2
→
=
(
4
;
−
3
;
4
)
.
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=(1;-2;3),\;\;{\vec {n_{2}}}=(4;-3;4).}
Kadangi
s
→
=
n
1
→
×
n
2
→
,
{\displaystyle {\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}},}
tai iš sąlygos
s
→
⋅
n
→
=
0
{\displaystyle {\vec {s}}\cdot {\vec {n}}=0}
išplaukia, kad
(
n
1
→
×
n
2
→
)
⋅
n
→
=
0.
{\displaystyle ({\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}})\cdot {\vec {n}}=0.}
Vadinasi,
|
1
−
2
3
4
−
3
4
2
−
B
−
2
|
=
0
;
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-2&3\\4&-3&4\\2&-B&-2\end{vmatrix}}=0;}
|
1
−
2
3
4
−
3
4
2
−
B
−
2
|
=
1
(
−
3
⋅
(
−
2
)
−
4
⋅
(
−
B
)
)
−
(
−
2
)
(
4
⋅
(
−
2
)
−
4
⋅
2
)
+
3
(
4
⋅
(
−
B
)
−
(
−
3
)
⋅
2
)
=
0
;
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-2&3\\4&-3&4\\2&-B&-2\end{vmatrix}}=1(-3\cdot (-2)-4\cdot (-B))-(-2)(4\cdot (-2)-4\cdot 2)+3(4\cdot (-B)-(-3)\cdot 2)=0;}
|
1
−
2
3
4
−
3
4
2
−
B
−
2
|
=
(
6
+
4
B
)
+
2
(
−
8
−
8
)
+
3
(
−
4
B
+
6
)
=
6
+
4
B
−
32
−
12
B
+
18
=
−
8
B
−
8
=
0
;
{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-2&3\\4&-3&4\\2&-B&-2\end{vmatrix}}=(6+4B)+2(-8-8)+3(-4B+6)=6+4B-32-12B+18=-8B-8=0;}
−
8
B
−
8
=
0
;
{\displaystyle -8B-8=0;}
−
8
B
=
8
;
{\displaystyle -8B=8;}
B
=
−
1.
{\displaystyle B=-1.}
Taško atstumas iki tiesės erdvėje
keisti
Tarkime, kad duota tiesė T , kurios lygtis
x
−
x
0
l
=
y
−
y
0
m
=
z
−
z
0
n
,
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}={\frac {z-z_{0}}{n}},}
ir taškas
M
1
(
x
1
;
y
1
;
z
1
)
,
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1}),}
esantis šalia tos tiesės. Pažymėkime bet kokį tiesės žinomą tašką
M
0
(
x
0
;
y
0
;
z
0
)
.
{\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0}).}
Atstumas nuo taško
M
1
(
x
1
;
y
1
;
z
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})}
iki taško
M
0
(
x
0
;
y
0
;
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})}
nėra trumpiausias atstumas nuo taško
M
1
(
x
1
;
y
1
;
z
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})}
iki tiesės T . Tačiau jei atstumą nuo taško
M
1
(
x
1
;
y
1
;
z
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})}
iki taško
M
0
(
x
0
;
y
0
;
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})}
priligynti 1, tuomet proporcingai trumpiausias atstumas nuo taško
M
1
(
x
1
;
y
1
;
z
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})}
iki tiesės T bus lygus
sin
ϕ
.
{\displaystyle \sin \phi .}
čia kampas
ϕ
{\displaystyle \phi }
yra smailus kampas tarp atkrapos
M
0
M
1
{\displaystyle M_{0}M_{1}}
ir tiesės T . Skaičiuojant kampą tarp vektorių
a
→
=
(
a
x
;
a
y
;
a
z
)
{\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x};a_{y};a_{z})}
ir
b
→
=
(
b
x
;
b
y
;
b
z
)
{\displaystyle {\vec {b}}=(b_{x};b_{y};b_{z})}
žinome, kad
sin
ϕ
=
‖
a
→
×
b
→
‖
‖
a
→
‖
⋅
‖
b
→
‖
=
‖
a
→
×
b
→
‖
a
x
2
+
a
y
2
+
a
z
2
⋅
b
x
2
+
b
y
2
+
b
z
2
,
{\displaystyle \sin \phi ={\frac {\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|}{{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}\cdot {\sqrt {b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}}}}},}
čia
a
→
×
b
→
=
|
i
j
k
a
x
a
y
a
z
b
x
b
y
b
z
|
.
{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}.}
Kadangi mes sumažinome vektoriaus
M
0
M
1
→
{\displaystyle {\vec {M_{0}M_{1}}}}
ilgį iki 1, tai proporcingai padidinus iki pradinio ilgio, trumpiausias atstumas nuo taško
M
1
(
x
1
;
y
1
;
z
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})}
iki tiesės T bus lygus
d
=
‖
M
0
M
1
→
‖
sin
ϕ
.
{\displaystyle d=\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\|\sin \phi .}
Čia
sin
ϕ
=
‖
M
0
M
1
→
×
s
→
‖
‖
M
0
M
1
→
‖
⋅
‖
s
→
‖
=
‖
M
0
M
1
→
×
s
→
‖
(
x
1
−
x
0
)
2
+
(
y
1
−
y
0
)
2
+
(
z
1
−
z
0
)
2
⋅
l
2
+
m
2
+
n
2
;
{\displaystyle \sin \phi ={\frac {\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|}{\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\|\cdot \|{\vec {s}}\|}}={\frac {\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|}{{\sqrt {(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}}}\cdot {\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}};}
M
0
M
1
→
×
s
→
=
|
i
j
k
x
1
−
x
0
y
1
−
y
0
z
1
−
z
0
l
m
n
|
.
{\displaystyle {\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x_{1}-x_{0}&y_{1}-y_{0}&z_{1}-z_{0}\\l&m&n\end{vmatrix}}.}
Vadinasi, atstumas nuo taško
M
1
(
x
1
;
y
1
;
z
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1};z_{1})}
iki tiesės T yra lygus:
d
=
‖
M
0
M
1
→
‖
⋅
sin
ϕ
=
‖
M
0
M
1
→
‖
⋅
‖
M
0
M
1
→
×
s
→
‖
‖
M
0
M
1
→
‖
⋅
‖
s
→
‖
=
‖
M
0
M
1
→
×
s
→
‖
‖
s
→
‖
.
{\displaystyle d=\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\|\cdot \sin \phi =\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\|\cdot {\frac {\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|}{\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\|\cdot \|{\vec {s}}\|}}={\frac {\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|}{\|{\vec {s}}\|}}.}
Pavyzdys . Apskaičiuokime atstumą nuo taško
M
1
(
6
;
1
;
−
6
)
{\displaystyle M_{1}(6;1;-6)}
iki tiesės
x
+
2
−
1
=
y
+
3
2
=
z
5
.
{\displaystyle {\frac {x+2}{-1}}={\frac {y+3}{2}}={\frac {z}{5}}.}
Sprendimas. Kadangi
M
0
(
−
2
;
−
3
;
0
)
{\displaystyle M_{0}(-2;-3;0)}
, o
M
1
(
6
;
1
;
−
6
)
{\displaystyle M_{1}(6;1;-6)}
, tai
M
0
M
1
→
=
(
6
−
(
−
2
)
;
1
−
(
−
3
)
;
0
−
6
)
=
(
8
;
4
;
−
6
)
{\displaystyle {\vec {M_{0}M_{1}}}=(6-(-2);1-(-3);0-6)=(8;4;-6)}
ir
M
0
M
1
→
×
s
→
=
|
i
j
k
8
4
−
6
−
1
2
5
|
=
i
(
4
⋅
5
−
(
−
6
)
⋅
2
)
−
j
(
8
⋅
5
−
(
−
6
)
⋅
(
−
1
)
)
+
k
(
8
⋅
2
−
4
⋅
(
−
1
)
)
=
i
(
20
+
12
)
−
j
(
40
−
6
)
+
k
(
16
+
4
)
=
{\displaystyle {\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\8&4&-6\\-1&2&5\end{vmatrix}}=\mathbf {i} (4\cdot 5-(-6)\cdot 2)-\mathbf {j} (8\cdot 5-(-6)\cdot (-1))+\mathbf {k} (8\cdot 2-4\cdot (-1))=\mathbf {i} (20+12)-\mathbf {j} (40-6)+\mathbf {k} (16+4)=}
=
32
i
−
34
j
+
20
k
=
(
32
;
−
34
;
20
)
.
{\displaystyle =32\mathbf {i} -34\mathbf {j} +20\mathbf {k} =(32;-34;20).}
Apskaičiuojame vektorių modulius:
‖
M
0
M
1
→
×
s
→
‖
=
32
2
+
(
−
34
)
2
+
20
2
=
1024
+
1156
+
400
=
2580
=
50
,
7937004
;
{\displaystyle \|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|={\sqrt {32^{2}+(-34)^{2}+20^{2}}}={\sqrt {1024+1156+400}}={\sqrt {2580}}=50,7937004;}
‖
s
→
‖
=
(
−
1
)
2
+
2
2
+
5
2
=
1
+
4
+
25
=
30
=
5
,
477225575.
{\displaystyle \|{\vec {s}}\|={\sqrt {(-1)^{2}+2^{2}+5^{2}}}={\sqrt {1+4+25}}={\sqrt {30}}=5,477225575.}
Vadinasi,
d
=
‖
M
0
M
1
→
×
s
→
‖
‖
s
→
‖
=
2580
30
=
86
=
9
,
273618496.
{\displaystyle d={\frac {\|{\vec {M_{0}M_{1}}}\times {\vec {s}}\|}{\|{\vec {s}}\|}}={\frac {\sqrt {2580}}{\sqrt {30}}}={\sqrt {86}}=9,273618496.}
Tiesės plokštumoje lygtys
keisti
Kai tiesės padėtį plokštumoje nusako jos taškas
M
0
(
x
0
;
y
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0})}
ir jos normalės vektorius
n
→
=
(
A
;
B
)
,
{\displaystyle {\vec {n}}=(A;B),}
statmenas tai tiesei, tai gauname bendrąją tiesės lygtį
A
x
+
B
y
+
C
=
0
;
{\displaystyle Ax+By+C=0;}
čia
C
=
−
A
x
0
−
B
y
0
.
{\displaystyle C=-Ax_{0}-By_{0}.}
Kai tiesė ašyse Ox ir Oy iškerta atkarpas a ir b , tai ją galima nusakyti jos ašine lygtimi :
x
a
+
y
b
=
1.
{\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}=1.}
Kai žinomas vienas tiesės taškas
M
0
(
x
0
;
y
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0})}
ir su ja lygiagretus nenulinis vektorius
s
→
=
(
l
;
m
)
,
{\displaystyle {\vec {s}}=(l;m),}
tai tiesę galima apibūdinti jos kanonine lygtimi
x
−
x
0
l
=
y
−
y
0
m
.
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}.}
Kai žinomi du tiesės T taškai
M
1
(
x
1
;
y
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1})}
ir
M
2
(
x
2
;
y
2
)
{\displaystyle M_{2}(x_{2};y_{2})}
, tai jos lygtis yra tokia:
x
−
x
1
x
2
−
x
1
=
y
−
y
1
y
2
−
y
1
.
{\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}.}
Išvesime tiesės lygtį, kai žinomas taškas, per kurį ji eina, ir tos tiesės su teigiamąja ašies Ox kryptimi sudaromas kampas.
Tarkime, kad tiesės T , einančios per tašką
M
0
(
x
0
;
y
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0})}
, krypties vektorius yra
s
→
=
(
l
;
m
)
{\displaystyle {\vec {s}}=(l;m)}
arba jo ortas
s
→
∘
=
(
cos
α
;
cos
β
)
;
{\displaystyle {\vec {s}}^{\;\circ }=(\cos \alpha ;\cos \beta );}
čia
α
{\displaystyle \alpha }
yra kampas tarp tiesės (tokio tipo tiesės kaip
y
=
k
x
,
{\displaystyle y=kx,}
o ne
y
=
−
k
x
{\displaystyle y=-kx}
) ir Ox ašies, o kampas
β
{\displaystyle \beta }
yra kampas tarp tiesės T ir ašies Oy arba vertikalios tiesės. Kadangi
α
+
β
=
π
2
,
{\displaystyle \alpha +\beta ={\frac {\pi }{2}},}
tai
cos
β
=
cos
(
π
2
−
α
)
=
sin
α
{\displaystyle \cos \beta =\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha }
ir
s
→
∘
=
(
cos
α
;
cos
β
)
.
{\displaystyle {\vec {s}}^{\;\circ }=(\cos \alpha ;\cos \beta ).}
Vadinasi, lygtį
x
−
x
0
l
=
y
−
y
0
m
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{l}}={\frac {y-y_{0}}{m}}}
galime užrašyti taip:
x
−
x
0
cos
α
=
y
−
y
0
sin
α
;
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{\cos \alpha }}={\frac {y-y_{0}}{\sin \alpha }};}
iš čia
y
−
y
0
=
(
x
−
x
0
)
⋅
tan
α
=
k
(
x
−
x
0
)
.
{\displaystyle y-y_{0}=(x-x_{0})\cdot \tan \alpha =k(x-x_{0}).}
Dydis
k
=
tan
α
{\displaystyle k=\tan \alpha }
vadinamas tiesės T krypties koeficientu , o lygtis
y
−
y
0
=
k
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle y-y_{0}=k(x-x_{0})}
vadinama tiesės, kurios krypties koeficientas žinomas ir kuri eina per tam tikrą tašką, lygtimi.
Pertvarkę lygtį
y
−
y
0
=
k
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle y-y_{0}=k(x-x_{0})}
, gauname:
y
=
k
(
x
−
x
0
)
+
y
0
,
{\displaystyle y=k(x-x_{0})+y_{0},}
y
=
k
x
−
k
x
0
+
y
0
,
{\displaystyle y=kx-kx_{0}+y_{0},}
y
=
k
x
+
b
;
{\displaystyle y=kx+b;}
čia
b
=
y
0
−
k
x
0
{\displaystyle b=y_{0}-kx_{0}}
. Kadangi
y
=
b
,
{\displaystyle y=b,}
kai
x
=
0
{\displaystyle x=0}
, tai tiesė T eina per tašką
N
(
0
;
b
)
.
{\displaystyle N(0;b).}
Taigi
|
b
|
{\displaystyle |b|}
yra ilgis atkarpos, kurią tiesė iškerta ašyje Oy .
Lygtis
y
=
k
x
+
b
{\displaystyle y=kx+b}
vadinama kryptine tiesės lygtimi .
Tiesės, einančios per koordinačiu pradžios tašką O (0; 0), lygtis yra
y
=
k
x
.
{\displaystyle y=kx.}
Pavyzdžiui, kai per tašką
M
0
(
−
1
;
−
3
)
{\displaystyle M_{0}(-1;-3)}
einanti tiesė su teigiamąja ašies Ox kryptimi sudaro kampą
α
=
120
∘
,
{\displaystyle \alpha =120^{\circ },}
tai
k
=
tan
(
120
∘
)
=
−
3
=
−
1
,
732050808.
{\displaystyle k=\tan(120^{\circ })=-{\sqrt {3}}=-1,732050808.}
Tada lygtis
y
−
y
0
=
k
(
x
−
x
0
)
{\displaystyle y-y_{0}=k(x-x_{0})}
virsta lygtimi
y
−
(
−
3
)
=
−
3
(
x
−
(
−
1
)
)
,
{\displaystyle y-(-3)=-{\sqrt {3}}(x-(-1)),}
y
+
3
=
−
3
(
x
+
1
)
,
{\displaystyle y+3=-{\sqrt {3}}(x+1),}
y
=
−
3
x
−
3
−
3.
{\displaystyle y=-{\sqrt {3}}x-{\sqrt {3}}-3.}
Pavyzdys . Tiesės T , einančios per tašką
M
0
(
1
;
2
)
{\displaystyle M_{0}(1;2)}
ir statmenos vektoriui
n
→
=
(
3
;
−
4
)
,
{\displaystyle {\vec {n}}=(3;-4),}
lygtis yra
3
(
x
−
1
)
−
4
(
y
−
2
)
=
0
,
{\displaystyle 3(x-1)-4(y-2)=0,}
3
x
−
3
−
4
y
+
8
=
0
,
{\displaystyle 3x-3-4y+8=0,}
3
x
−
4
y
+
5
=
0.
{\displaystyle 3x-4y+5=0.}
Kampas tarp dviejų tiesių plokštumoje
keisti
Kampas
ϕ
{\displaystyle \phi }
tarp dviejų tiesių
T
1
{\displaystyle T_{1}}
ir
T
2
{\displaystyle T_{2}}
lygus kampui tarp šių tiesių normalės vektorių
n
1
→
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}}
ir
n
2
→
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}}
arba jų krypties vektorių
s
1
→
{\displaystyle {\vec {s_{1}}}}
ir
s
2
→
.
{\displaystyle {\vec {s_{2}}}.}
Kai tiesės
T
1
{\displaystyle T_{1}}
lygtis yra
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
=
0
,
{\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0,}
o tiesės
T
2
{\displaystyle T_{2}}
lygtis yra
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
=
0
,
{\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0,}
tai
cos
ϕ
=
n
1
→
⋅
n
2
→
‖
n
1
→
‖
⋅
‖
n
2
→
‖
=
A
1
A
2
+
B
1
B
2
A
1
2
+
B
1
2
⋅
A
2
2
+
B
2
2
;
{\displaystyle \cos \phi ={\frac {{\vec {n_{1}}}\cdot {\vec {n_{2}}}}{\|{\vec {n_{1}}}\|\cdot \|{\vec {n_{2}}}\|}}={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}};}
cos
ϕ
=
s
1
→
⋅
s
2
→
‖
s
1
→
‖
⋅
‖
s
2
→
‖
=
l
1
l
2
+
m
1
m
2
l
1
2
+
m
1
2
⋅
l
2
2
+
m
2
2
.
{\displaystyle \cos \phi ={\frac {{\vec {s_{1}}}\cdot {\vec {s_{2}}}}{\|{\vec {s_{1}}}\|\cdot \|{\vec {s_{2}}}\|}}={\frac {l_{1}l_{2}+m_{1}m_{2}}{{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}}}}}.}
Pavyzdžiui, smailus kampas tarp tiesių
2
x
−
7
y
+
4
=
0
{\displaystyle 2x-7y+4=0}
ir
13
x
+
2
y
−
1
=
0
{\displaystyle 13x+2y-1=0}
nustatomas iš sąryšio
cos
ϕ
=
A
1
A
2
+
B
1
B
2
A
1
2
+
B
1
2
⋅
A
2
2
+
B
2
2
=
2
⋅
13
+
(
−
7
)
⋅
2
2
2
+
(
−
7
)
2
⋅
13
2
+
2
2
=
26
−
14
4
+
49
⋅
169
+
4
=
{\displaystyle \cos \phi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}{{\sqrt {A_{1}^{2}+B_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {A_{2}^{2}+B_{2}^{2}}}}}={\frac {2\cdot 13+(-7)\cdot 2}{{\sqrt {2^{2}+(-7)^{2}}}\cdot {\sqrt {13^{2}+2^{2}}}}}={\frac {26-14}{{\sqrt {4+49}}\cdot {\sqrt {169+4}}}}=}
=
12
53
⋅
173
=
12
9169
=
0
,
125319963
;
{\displaystyle ={\frac {12}{{\sqrt {53}}\cdot {\sqrt {173}}}}={\frac {12}{\sqrt {9169}}}=0,125319963;}
ϕ
=
arccos
12
9169
=
arccos
(
0
,
125319963
)
=
1
,
445145996
{\displaystyle \phi =\arccos {\frac {12}{\sqrt {9169}}}=\arccos(0,125319963)=1,445145996}
radiano arba 82,80076636 laipsnio.
Pavyzdys . Duota tiesė T , kurios lygtis
3
x
−
2
y
+
6
=
0.
{\displaystyle 3x-2y+6=0.}
Parašykime dviejų tiesių, einančių per tašką
M
0
(
1
;
−
3
)
,
{\displaystyle M_{0}(1;-3),}
lygtis, kai viena tų tiesių yra lygiagreti su duotąja tiese, o kita jai statmena.
Sprendimas. Tiesės T normalės vektorius
n
→
=
(
3
;
−
2
)
{\displaystyle {\vec {n}}=(3;-2)}
yra statmenas tai tiesei. Imkime ieškomosios tiesės
T
1
{\displaystyle T_{1}}
kintamąjį tašką
K
1
(
x
;
y
)
{\displaystyle K_{1}(x;y)}
ir nubrėžkime vektorių
M
0
K
1
→
=
(
x
−
1
;
y
−
(
−
3
)
)
=
(
x
−
1
;
y
+
3
)
.
{\displaystyle {\vec {M_{0}K_{1}}}=(x-1;y-(-3))=(x-1;y+3).}
Kadangi
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
yra statmenas tiesei T , tai kartu
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
yra status su
M
0
K
1
→
,
{\displaystyle {\vec {M_{0}K_{1}}},}
todėl skaliarinė jų sandauga lygi nuliui:
n
→
⋅
M
0
K
1
→
=
3
⋅
(
x
−
1
)
−
2
⋅
(
y
+
3
)
=
0.
{\displaystyle {\vec {n}}\cdot {\vec {M_{0}K_{1}}}=3\cdot (x-1)-2\cdot (y+3)=0.}
Atlike veiksmus, gauname tiesės
T
1
{\displaystyle T_{1}}
, lygiagrečios su tiese T , bendrąją lygtį:
3
x
−
3
−
2
y
−
6
=
0
;
{\displaystyle 3x-3-2y-6=0;}
3
x
−
2
y
−
9
=
0.
{\displaystyle 3x-2y-9=0.}
Imkime tiesės
T
2
{\displaystyle T_{2}}
kintamąjį tašką
K
2
(
x
;
y
)
{\displaystyle K_{2}(x;y)}
ir nubrėžkime vektorių
M
0
K
2
=
(
x
−
1
;
y
+
3
)
.
{\displaystyle M_{0}K_{2}=(x-1;y+3).}
Kadangi
n
→
{\displaystyle {\vec {n}}}
yra statmenas su tiese T ir tiesė
T
2
{\displaystyle T_{2}}
yra statmena su tiese T , tai vektorius
M
0
K
2
→
{\displaystyle {\vec {M_{0}K_{2}}}}
yra lygiagretus su tiesės T normalės vektoriu
n
→
,
{\displaystyle {\vec {n}},}
todėl jų koordinatės yra proporcingos:
x
−
1
3
=
y
+
3
−
2
.
{\displaystyle {\frac {x-1}{3}}={\frac {y+3}{-2}}.}
Gavome kanoninę tiesės
T
2
{\displaystyle T_{2}}
lygtį. Šios tiesės krypties vektorius
s
2
→
=
(
3
;
−
2
)
{\displaystyle {\vec {s_{2}}}=(3;-2)}
sutampa su tiesės T normalės vektoriumi
n
→
=
(
3
;
−
2
)
.
{\displaystyle {\vec {n}}=(3;-2).}
Pertvarkę kanoninę lygtį, gauname ieškomosios tiesės
T
2
{\displaystyle T_{2}}
, statmenos tiesei T , bendrąją lygtį
x
−
1
3
=
y
+
3
−
2
;
{\displaystyle {\frac {x-1}{3}}={\frac {y+3}{-2}};}
−
2
(
x
−
1
)
=
3
(
y
+
3
)
;
{\displaystyle -2(x-1)=3(y+3);}
−
2
x
+
2
−
3
y
−
9
=
0
;
{\displaystyle -2x+2-3y-9=0;}
−
2
x
−
3
y
−
7
=
0
;
{\displaystyle -2x-3y-7=0;}
2
x
+
3
y
+
7
=
0.
{\displaystyle 2x+3y+7=0.}
Tiesės
T
2
{\displaystyle T_{2}}
normalės vektorius
n
2
→
=
(
2
;
3
)
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=(2;3)}
kartu yra ir tiesės
T
1
{\displaystyle T_{1}}
krypties vektorius, todėl
s
1
→
=
(
2
;
3
)
.
{\displaystyle {\vec {s_{1}}}=(2;3).}
Kampas tarp dviejų tiesių, kai žinomi tų tiesių krypties koeficientai
keisti
Vaizdas:Tieses418419.jpg 4.18 ir 4.19.
Išvesime kampo tarp tiesių
T
1
{\displaystyle T_{1}}
ir
T
2
{\displaystyle T_{2}}
formulę, kai žinomi tų tiesių krypties koeficientai
k
1
{\displaystyle k_{1}}
ir
k
2
{\displaystyle k_{2}}
. Kadangi, susikertant dviem tiesėms, susidaro keturi kampai, iš kurių du yra skirtingi, tai kampu tarp tiesių
T
1
{\displaystyle T_{1}}
ir
T
2
{\displaystyle T_{2}}
(4.18 pav.) sutarsime vadinti smailųjį kampą
ϕ
{\displaystyle \phi }
, kuriuo reikia sukti tiesę
T
1
{\displaystyle T_{1}}
apie tašką C , kad ji sutaptų su tiese
T
2
{\displaystyle T_{2}}
. Jeigu sukama priešinga laikrodžio rodyklės judėjimo kryptimi, tai kampas tyra teigiamas, jei laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi - yra neigiamas. Tiesių
T
1
{\displaystyle T_{1}}
ir
T
2
{\displaystyle T_{2}}
su ašimi Ox sudaromus kampus pažymėkime
α
1
{\displaystyle \alpha _{1}}
ir
α
2
{\displaystyle \alpha _{2}}
. Tada
k
1
=
tan
α
1
,
{\displaystyle k_{1}=\tan \alpha _{1},}
k
2
=
tan
α
2
{\displaystyle k_{2}=\tan \alpha _{2}}
. Kadangi
α
2
{\displaystyle \alpha _{2}}
yra trikampio ABC priekampis, tai
α
2
=
α
1
+
ϕ
{\displaystyle \alpha _{2}=\alpha _{1}+\phi }
(nes trikampio vidaus kampų suma lygi
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
, todėl kampas ABC yra lygus
180
∘
−
(
α
1
+
ϕ
)
=
180
∘
−
α
2
{\displaystyle 180^{\circ }-(\alpha _{1}+\phi )=180^{\circ }-\alpha _{2}}
); iš čia
ϕ
=
α
2
−
α
1
{\displaystyle \phi =\alpha _{2}-\alpha _{1}}
ir
tan
ϕ
=
tan
(
α
2
−
α
1
)
=
tan
α
2
−
tan
α
1
1
+
tan
α
1
tan
α
2
=
k
2
−
k
1
1
+
k
1
k
2
.
{\displaystyle \tan \phi =\tan(\alpha _{2}-\alpha _{1})={\frac {\tan \alpha _{2}-\tan \alpha _{1}}{1+\tan \alpha _{1}\tan \alpha _{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}.}
Kai tiesės
T
1
{\displaystyle T_{1}}
ir
T
2
{\displaystyle T_{2}}
yra lygiagrečios, tai
ϕ
=
0
{\displaystyle \phi =0}
arba
ϕ
=
π
{\displaystyle \phi =\pi }
. Tada
tan
ϕ
=
0
{\displaystyle \tan \phi =0}
ir
k
1
=
k
2
.
{\displaystyle k_{1}=k_{2}.}
Lygybė
k
1
=
k
2
{\displaystyle k_{1}=k_{2}}
ir atspindi dviejų tiesių lygiagretumo sąlygą .
Kai tiesė
T
1
{\displaystyle T_{1}}
ir
T
2
{\displaystyle T_{2}}
yra statmenos, tai
ϕ
=
90
∘
{\displaystyle \phi =90^{\circ }}
ir
α
2
=
α
1
+
90
∘
.
{\displaystyle \alpha _{2}=\alpha _{1}+90^{\circ }.}
Iš čia
tan
α
2
=
tan
(
α
1
+
90
∘
)
=
−
cot
α
1
.
{\displaystyle \tan \alpha _{2}=\tan(\alpha _{1}+90^{\circ })=-\cot \alpha _{1}.}
Vadinasi,
tan
α
2
=
−
1
tan
α
1
,
{\displaystyle \tan \alpha _{2}=-{\frac {1}{\tan \alpha _{1}}},}
arba
k
2
=
−
1
k
1
.
{\displaystyle k_{2}=-{\frac {1}{k_{1}}}.}
Todėl lygybė
1
+
k
1
k
2
=
0
{\displaystyle 1+k_{1}k_{2}=0}
išreiškia dviejų tiesių statmenumo sąlygą .
Pavyzdys . Tiesė eina per taškus A(2; 2) ir C(12; 8) (4.19 pav.). Per atkarpos AC vidurio tašką M nubrėžta tiesė BM sudaranti su AC
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
kampą. Parašykite tiesės BM Lygtį.
Sprendimas . Parašykime tiesės AC , einančios per du žinomus taškus, lygtį:
x
−
12
2
−
12
=
y
−
8
2
−
8
,
{\displaystyle {\frac {x-12}{2-12}}={\frac {y-8}{2-8}},}
x
−
12
−
10
=
y
−
8
−
6
,
{\displaystyle {\frac {x-12}{-10}}={\frac {y-8}{-6}},}
−
6
(
x
−
12
)
=
−
10
(
y
−
8
)
,
{\displaystyle -6(x-12)=-10(y-8),}
−
6
x
+
72
=
−
10
y
+
80
,
{\displaystyle -6x+72=-10y+80,}
3
x
−
36
=
5
y
−
40
,
{\displaystyle 3x-36=5y-40,}
3
x
−
5
y
+
4
=
0.
{\displaystyle 3x-5y+4=0.}
Žinome, kad kryptinė tiesės lygtis yra
y
=
k
x
+
b
.
{\displaystyle y=kx+b.}
Todėl, iš gautos lygties išreiškę
y
=
3
5
⋅
x
+
4
5
,
{\displaystyle y={\frac {3}{5}}\cdot x+{\frac {4}{5}},}
sužinosime tiesės AC krypties koeficientą
k
A
C
=
3
5
.
{\displaystyle k_{AC}={\frac {3}{5}}.}
Tiesės BM krypties koeficientą
k
B
M
{\displaystyle k_{BM}}
apskaičiuosime remdamiesi formule
tan
ϕ
=
tan
(
180
∘
−
45
∘
)
=
tan
135
∘
=
tan
(
45
∘
+
90
∘
)
=
−
tan
45
∘
=
k
B
M
−
3
5
1
+
3
5
⋅
k
B
M
,
{\displaystyle \tan \phi =\tan(180^{\circ }-45^{\circ })=\tan 135^{\circ }=\tan(45^{\circ }+90^{\circ })=-\tan 45^{\circ }={\frac {k_{BM}-{\frac {3}{5}}}{1+{\frac {3}{5}}\cdot k_{BM}}},}
tan
45
∘
=
3
5
−
k
B
M
1
+
3
5
⋅
k
B
M
,
{\displaystyle \tan 45^{\circ }={\frac {{\frac {3}{5}}-k_{BM}}{1+{\frac {3}{5}}\cdot k_{BM}}},}
1
=
3
5
−
k
B
M
1
+
3
5
⋅
k
B
M
,
{\displaystyle 1={\frac {{\frac {3}{5}}-k_{BM}}{1+{\frac {3}{5}}\cdot k_{BM}}},}
1
+
3
5
⋅
k
B
M
=
3
5
−
k
B
M
,
{\displaystyle 1+{\frac {3}{5}}\cdot k_{BM}={\frac {3}{5}}-k_{BM},}
3
5
⋅
k
B
M
+
k
B
M
=
3
5
−
1
,
{\displaystyle {\frac {3}{5}}\cdot k_{BM}+k_{BM}={\frac {3}{5}}-1,}
3
k
B
M
+
5
k
B
M
5
=
3
−
5
5
,
{\displaystyle {\frac {3k_{BM}+5k_{BM}}{5}}={\frac {3-5}{5}},}
8
k
B
M
5
=
−
2
5
,
{\displaystyle {\frac {8k_{BM}}{5}}=-{\frac {2}{5}},}
8
k
B
M
=
−
2
,
{\displaystyle 8k_{BM}=-2,}
k
B
M
=
−
1
4
.
{\displaystyle k_{BM}=-{\frac {1}{4}}.}
Randame taško M koordinates:
x
M
=
2
+
12
2
=
7
,
y
M
=
2
+
8
2
=
5.
{\displaystyle x_{M}={\frac {2+12}{2}}=7,\quad y_{M}={\frac {2+8}{2}}=5.}
Parašykime tiesės BM lygtį:
y
−
5
=
−
1
4
(
x
−
7
)
,
{\displaystyle y-5=-{\frac {1}{4}}(x-7),}
4
y
−
20
=
−
x
+
7
,
{\displaystyle 4y-20=-x+7,}
x
+
4
y
−
27
=
0.
{\displaystyle x+4y-27=0.}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
kampą su įstrižaine AC sudaro ir tiesė B'M. Jos krypties koeficientas
k
B
′
M
=
4
,
{\displaystyle k_{B'M}=4,}
nes
B
′
M
{\displaystyle B'M}
statmena BM . Tuomet tiesės B'M lygtis bus tokia:
y
−
5
=
4
(
x
−
7
)
,
{\displaystyle y-5=4(x-7),}
0
=
4
x
−
28
−
y
+
5
,
{\displaystyle 0=4x-28-y+5,}
4
x
−
y
−
23
=
0.
{\displaystyle 4x-y-23=0.}
Pavyzdys . Duotos dvi tiesės
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
ir
y
=
4
3
−
x
3
.
{\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}.}
Rasti kokius kampus šios tiesies sudaro su ašimi Ox .
Sprendimas .
Tiesė
y
=
x
3
{\displaystyle y=x{\sqrt {3}}}
su ašimi Ox sudaro kampą
α
1
,
{\displaystyle \alpha _{1},}
kurį mes gausime taip:
k
1
=
y
x
=
sin
α
1
cos
α
1
=
tan
α
1
=
3
,
{\displaystyle k_{1}={\frac {y}{x}}={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \alpha _{1}}}=\tan \alpha _{1}={\sqrt {3}},}
α
1
=
arctan
3
=
1.047197551
{\displaystyle \alpha _{1}=\arctan {\sqrt {3}}=1.047197551}
radiano arba
60
∘
.
{\displaystyle 60^{\circ }.}
Tiesės
y
=
4
3
−
x
3
{\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}}
krypties koeficientas yra
k
2
=
−
3
.
{\displaystyle k_{2}=-{\sqrt {3}}.}
Pasinaudodami formule rasime kampą
ϕ
{\displaystyle \phi }
(4.18 pav.), kurį sudaro šios dvi susikertančios tiesės:
tan
ϕ
=
tan
(
α
2
−
α
1
)
=
tan
α
2
−
tan
α
1
1
+
tan
α
1
tan
α
2
=
k
2
−
k
1
1
+
k
1
k
2
=
−
3
−
3
1
+
3
⋅
(
−
3
)
=
−
2
3
1
−
3
=
−
2
3
−
2
=
3
;
{\displaystyle \tan \phi =\tan(\alpha _{2}-\alpha _{1})={\frac {\tan \alpha _{2}-\tan \alpha _{1}}{1+\tan \alpha _{1}\tan \alpha _{2}}}={\frac {k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}}={\frac {-{\sqrt {3}}-{\sqrt {3}}}{1+{\sqrt {3}}\cdot (-{\sqrt {3}})}}={\frac {-2{\sqrt {3}}}{1-3}}={\frac {-2{\sqrt {3}}}{-2}}={\sqrt {3}};}
ϕ
=
arctan
3
=
1.047197551
{\displaystyle \phi =\arctan {\sqrt {3}}=1.047197551}
radiano arba
60
∘
.
{\displaystyle 60^{\circ }.}
Žinodami, kad trikampio vidaus kampų suma lygi
180
∘
{\displaystyle 180^{\circ }}
randame kampą, kurį sudaro tiesė
y
=
4
3
−
x
3
{\displaystyle y=4{\sqrt {3}}-x{\sqrt {3}}}
ir ašis Ox :
180
∘
−
α
2
=
180
∘
−
α
1
−
ϕ
=
180
∘
−
60
∘
−
60
∘
=
60
∘
;
{\displaystyle 180^{\circ }-\alpha _{2}=180^{\circ }-\alpha _{1}-\phi =180^{\circ }-60^{\circ }-60^{\circ }=60^{\circ };}
180
∘
−
α
2
=
60
∘
;
{\displaystyle 180^{\circ }-\alpha _{2}=60^{\circ };}
α
2
=
180
∘
−
60
∘
=
120
∘
.
{\displaystyle \alpha _{2}=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }.}
Taško atstumas iki tiesės plokštumoje
keisti
Tarkime, kad šalia tiesės T , kurios lygtis
A
x
1
+
B
y
1
+
C
{\displaystyle Ax_{1}+By_{1}+C}
, duotas taškas
M
1
(
x
1
;
y
1
)
.
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1}).}
Šio taško atstumas iki tiesės plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę
d
=
|
A
x
1
+
B
y
1
+
C
|
A
2
+
B
2
.
{\displaystyle d={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}
Pavyzdys . Dvi kvadrato kraštinės yra tiesėse, kurių lygtys
3
x
−
4
y
+
7
=
0
{\displaystyle 3x-4y+7=0}
ir
3
x
−
4
y
+
25
=
0
{\displaystyle 3x-4y+25=0}
. Apskaičiuokime to kvadrato plotą.
Sprendimas . Nurodytose tiesėse esančios kvadrato kvadrato kraštinės yra lygiagrečios, nes jų abiejų normalės vektorius yra
n
→
=
(
3
;
−
4
)
.
{\displaystyle {\vec {n}}=(3;-4).}
Todėl kvadrato kraštinės ilgis lygus atstumui tarp šių tiesių arba atstumui nuo bet kurio pirmosios tiesės taško iki antrosios tiesės. Pasirinkime bet kurį tiesės
3
x
−
4
y
+
7
=
0
{\displaystyle 3x-4y+7=0}
tašką, pavyzdžiui, tašką, kurio abscisė
x
=
3.
{\displaystyle x=3.}
Iš lygties
3
x
−
4
y
+
7
=
0
{\displaystyle 3x-4y+7=0}
gauname
3
⋅
3
−
4
y
+
7
=
0
,
{\displaystyle 3\cdot 3-4y+7=0,}
−
4
y
=
−
9
−
7
,
{\displaystyle -4y=-9-7,}
−
4
y
=
−
16
,
{\displaystyle -4y=-16,}
y
=
4.
{\displaystyle y=4.}
Apskaičiuokime atstumą nuo taško (3; 4) iki tiesės
3
x
−
4
y
+
25
=
0.
{\displaystyle 3x-4y+25=0.}
Remdamiesi formule
d
=
|
A
x
1
+
B
y
1
+
C
|
A
2
+
B
2
,
{\displaystyle d={\frac {|Ax_{1}+By_{1}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},}
gauname:
d
=
|
3
⋅
3
−
4
⋅
4
+
25
|
3
2
+
(
−
4
)
2
=
|
9
−
16
+
25
|
9
+
16
=
|
18
|
25
=
18
5
=
3.6.
{\displaystyle d={\frac {|3\cdot 3-4\cdot 4+25|}{\sqrt {3^{2}+(-4)^{2}}}}={\frac {|9-16+25|}{\sqrt {9+16}}}={\frac {|18|}{\sqrt {25}}}={\frac {18}{5}}=3.6.}
Vadinasi kvadrato plotas
S
=
d
2
=
3.6
2
=
12.96
(
k
v
.
v
n
t
.
)
.
{\displaystyle S=d^{2}=3.6^{2}=12.96\;(kv.\;vnt.).}