Matematika/Tiesė

Erdvės tiesės kanoninė lygtisKeisti

Tiesės T padėtį erdvėje vienareikšmiškai nusako taškas  , per kurį eina ta tiesė, ir lygiagretus su ja nenulinis vektorius  , vadinamas tiesės krypties vektoriumi. Kintamajį tiesės T tašką pažymėkime   ir nubrėžkime vektorių   Kadangi vektoriai   ir   yra kolinearūs (lygiagretūs), tai
 
čia   ir   - taškų M ir   spinduliai vektoriai, t - realusis skaičius.
Lygtis
 
 
vadinama vektorine tiesės T lygtimi. Iš jos, sulyginę vektorių   ir   koordinates, gauname lygtis
 
arba
 
Paskutinios 3 lygtys vadinamos parametrinėmis tiesės T lygtimis.
Kadangi vektoriai   ir   yra kolinearūs, tai jų koordinatės proporcingos. Iš šios sąlygos išplaukia erdvės tiesės kanoninės lygtys
 
Šias lygtis galėjome gauti iš parametrinių lygčių, tereikėjo eliminuoti parametrą t:
 
Iš čia ir išplaukia erdvės tiesės kanoninės lygtys.
Tarkime, žinomi du tiesės T taškai   ir   Tada vektorius   gali būti tiesės T krypties vektorius   Į lygtį   vietoje taško   koordinačių įrašę taško   koordinates, vietoje l, m, n įrašę dydžius  ,  ,  , gauname tiesės einančios per du taškus, lygtį
 


  • Pavyzdys. Raskime taško P(3; 1; -5) projekciją plokštumoje  , kurios lygtis  
Sprendimas. Iš taško P nuleiskime statmenį į plokštumą   to statmens pagrindas Q ir bus taško P projekcija. Tašką Q galėsime rasti kaip tiesės T ir plokštumos   sankirtos tašką. Kadangi plokštumos   normalės vektorius   yra lygiagretus su tiese T, tai jį galima laikyti šios tiesės krypties vektoriumi.

Pritaikę formules   parašome kanonines tiesės T lygtis:

 
Norėdami rasti tiesės T ir plokštumos   sakirtos tašką Q, turime išspręsti sistemą, sudarytą iš jų lygčių:
 
Tokią sistemą patogiausia spręsti, pakeitus kanonines tiesės lygtis parametrinėmis:
 
arba
 
Įrašę šias x, y, z išraiškas į antrąją sistemos lygtį   gauname
 
 
 
 
Tada   Vadinasi, taško P projekcija plokštumoje   yra taškas Q(5; -3; -2).


  • Pavyzdys. Plokštuma   nubrėžta per dvi lygiagrečias tieses
  ir  
Parašykime plokštumos   lygtį.
Sprendimas. Kintamąjį plokštumos   tašką pažymėkime M(x; y; z) ir nubrėžkime vektorius   bei   čia per tašką   eina pirmoji tiesė   o per tašką   eina antroji tiesė  
Kai taškas M priklauso plokštumai  , tai vektoriai   ir tiesių krypties vektorius   yra vienoje plokštumoje, taigi šie vektoriai komplanarūs. Parašykime trijų vektorių komplanarumo sąlygą:
 
 
 
 
 
 
 
Gautoji lygtis ir yra plokštumos   lygtis.

Erdvės tiesės bendrosios lygtysKeisti

 

Taigi, ši lygčių sistemą apibūdiną dvi susikertančias plokštumas   ir  

O susikertančios plokšumos ir sudaro tiesę. Todėl dviejų plokštumų sistemą yra tiesės lygtys.

Tiesės krypties vektorius yra:
 


  • Pavyzdys. Bendrąsias tiesės lygtis

 

pakeiskime kanoninėmis.
Sprendimas. Pirmiausia raskime tiesės tašką  . Parinkę, pavyzdžiui,  , gauname sistemą
 
 
 
 
 
 
 
 
Sistema turi sprendinį  ,   Taigi  

Raskime   Kadangi   tai

 
 
Vadinasi, kanoninės tiesės lygtys yra tokios:
 
arba
 
Jas galima parašyti ir taip:
 


  • Pavyzdys. Rasti kanonines lygtis tiesės
 
Sprendimas. Įstatę, pavyzdžiui,  , iš sistemos
 
 
gauname
 
 
 
 
 
 
 
kad  ,   Tokiu budu, taškas   tiesės rastas. Dabar nustatysime kryptį vektoriaus   Turime:   iš čia
 
t. y.  ,  ,  . Įstatydami rastas reikšmes  ,  ,   ir l, m, n į lygybes   gauname kanonines lygtis duotos tiesės:
 

Kampas tarp tiesės ir plokštumosKeisti

Tarkime, tiesė T nusakoma kanoninėmis lygtimis

 
o plokštuma   nusakoma lygtimi   Kampu   tarp tiesės T ir plokštumos   vadiname kampą tarp tos tiesės ir jos projekcijos plokštumoje  . Kadangi   tai  
čia   yra kampas tarp tiesės T krypties vektoriaus   ir plokštumos   normalės vektoriaus   Kitaip sakant, kampas   yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos normalės   Iš vektorių   ir   skaliarinės sandaugos išplaukia, kad
 
Tada

 

čia   yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos  


Kai tiesė T lygiagreti plokštumai  , tai tiesės krypties vektorius   yra statmenas plokštumos normalės vektoriui   todėl   Iš čia gauname tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygą:

 


Kai tiesė T statmena plokštumai  , tai tiesės krypties vektorius   yra lygiagretus plokštumos normalės vektoriui   todėl jų koordinatės yra proporcingos. Iš čia išplaukia tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga:

 


  • Pavyzdys. Su kuria B reikšme tiesė T, nusakoma lygtimis
 

bus lygiagreti su plokštuma  , kurios lygtis  ?

Sprendimas. Kai tiesė T lygiagreti su plokštuma  , tai tiesės krypties vektorius   yra statmenas plokštumos normalės vektoriui   ir skaliarinė jų sandauga  
Pažymėkime:   Kadangi   tai iš sąlygos   išplaukia, kad   Vadinasi,
 
 
 
 
 
 

Taško atstumas iki tiesės erdvėjeKeisti

Tarkime, kad duota tiesė T, kurios lygtis

 

ir taškas   esantis šalia tos tiesės. Pažymėkime bet kokį tiesės žinomą tašką   Atstumas nuo taško   iki taško   nėra trumpiausias atstumas nuo taško   iki tiesės T. Tačiau jei atstumą nuo taško   iki taško   priligynti 1, tuomet proporcingai trumpiausias atstumas nuo taško   iki tiesės T bus lygus   čia kampas   yra smailus kampas tarp atkrapos   ir tiesės T. Skaičiuojant kampą tarp vektorių   ir   žinome, kad

 
čia
 
Kadangi mes sumažinome vektoriaus   ilgį iki 1, tai proporcingai padidinus iki pradinio ilgio, trumpiausias atstumas nuo taško   iki tiesės T bus lygus   Čia
 
 
Vadinasi, atstumas nuo taško   iki tiesės T yra lygus:
 


  • Pavyzdys. Apskaičiuokime atstumą nuo taško   iki tiesės  
Sprendimas. Kadangi  , o  , tai   ir
 
 
Apskaičiuojame vektorių modulius:
 
 
Vadinasi,
 


Tiesės plokštumoje lygtysKeisti

Kai tiesės padetį ploktumoje nusako jos taškas   ir jos normalės vektorius   statmenas tai tiesei, tai gauname bendrąją tiesės lygtį

 
čia  


Kai tiesė ašyse Ox ir Oy iškerta atkarpas a ir b, tai ją galima nusakyti jos ašine lygtimi:
 


Kai žinomas vienas tiesės taškas   ir su ja lygiagretus nenulinis vektorius   tai tiesę galima apibūdinti jos kanonine lygtimi
 


Kai žinomi du tiesės T taškai   ir  , tai jos lygtis yra tokia:
 


Išvesime tiesės lygtį, kai žinomas taškas, per kurį ji eina, ir tos tiesės su teigiamąja ašies Ox kryptimi sudaromas kampas.
Tarkime, kad tiesės T, einančios per tašką  , krypties vektorius yra   arba jo ortas   čia   yra kampas tarp tiesės (tokio tipo tiesės kaip   o ne  ) ir Ox ašies, o kampas   yra kampas tarp tiesės T ir ašies Oy arba vertikalios tiesės. Kadangi   tai   ir  

Vadinasi, lygtį   galime užrašyti taip:  

iš čia  
Dydis   vadinamas tiesės T krypties koeficientu, o lygtis   vadinama tiesės, kurios krypties koeficientas žinomas ir kuri eina per tam tikrą tašką, lygtimi.
Pertvarkę lygtį  , gauname:
 
 
 
čia  . Kadangi   kai  , tai tiesė T eina per tašką  

Taigi   yra ilgis atkarpos, kurią tiesė iškerta ašyje Oy.

Lygtis   vadinama kryptine tiesės lygtimi.
Tiesės, einančios per koordinačiu pradžios tašką O(0; 0), lygtis yra   Pavyzdžiui, kai per tašką   einanti tiesė su teigiamąja ašies Ox kryptimi sudaro kampą   tai   Tada lygtis   virsta lygtimi
 
 
 


  • Pavyzdys. Tiesės T, einančios per tašką   ir statmenos vektoriui   lygtis yra
 
 
 

Kampas tarp dviejų tiesių plokštumojeKeisti

Kampas   tarp dviejų tiesių   ir   lygus kampui tarp šių tiesių normalės vektorių   ir   arba jų krypties vektorių   ir   Kai tiesės   lygtis yra   o tiesės   lygtis yra   tai

 
 
Pavyzdžiui, smailus kampas tarp tiesių   ir   nustatomas iš sąryšio
 
 
  radiano arba 82,80076636 laipsnio.
  • Pavyzdys. Duota tiesė T, kurios lygtis   Parašykime dviejų tiesių, einančių per tašką   lygtis, kai viena tų tiesių yra lygiagreti su duotąja tiese, o kita jai statmena.
Sprendimas. Tiesės T normalės vektorius   yra statmenas tai tiesei. Imkime ieškomosios tiesės   kintamąjį tašką   ir nubrėžkime vektorių   Kadangi   yra statmenas tiesei T, tai kartu   yra status su   todėl skaliarinė jų sandauga lygi nuliui:
 
Atlike veiksmus, gauname tiesės  , lygiagrečios su tiese T, bendrąją lygtį:
 
 

Imkime tiesės   kintamąjį tašką   ir nubrėžkime vektorių   Kadangi   yra statmenas su tiese T ir tiesė   yra statmena su tiese T, tai vektorius   yra lygiagretus su tiesės T normalės vektoriu   todėl jų koordinatės yra proporcingos:

 
Gavome kanoninę tiesės   lygtį. Šios tiesės krypties vektorius   sutampa su tiesės T normalės vektoriumi   Pertvarkę kanoninę lygtį, gauname ieškomosios tiesės  , statmenos tiesei T, bendrąją lygtį
 
 
 
 
 
Tiesės   normalės vektorius   kartu yra ir tiesės   krypties vektorius, todėl  

Kampas tarp dviejų tiesių, kai žinomi tų tiesių krypties koeficientaiKeisti

Išvesime kampo tarp tiesių   ir   formulę, kai žinomi tų tiesių krypties koeficientai   ir  . Kadangi, susikertant dviem tiesėms, susidaro keturi kampai, iš kurių du yra skirtingi, tai kampu tarp tiesių   ir   (4.18 pav.) sutarsime vadinti smailųjį kampą  , kuriou reikia sukti tiesę   apie tašką C, kad ji sutaptų su tiese  . Jeigu sukama priešinga laikrodžio rodyklės judėjimo kryptimi, tai kampas tyra teigiamas, jei laikrodžio rodyklės sukimosi kryptimi - yra neigiamas. Tiesių   ir   s ašimi Ox sudaromus kampus pažymėkime   ir  . Tada    . Kadangi   yra trikampio ABC priekampis, tai   (nes trikampio vidaus kampų suma lygi  , todėl kampas ABC yra lygus  ); iš čia   ir
 
Kai tiesės   ir   yra lygiagrečios, tai   arba  . Tada   ir   Lygybė   ir atspindi dviejų tiesių lygiagretumo sąlygą.
Kai tiesė   ir   yra statmenos, tai   ir   Iš čia   Vadinasi,   arba   Todėl lygybė   išreiškia dviejų tiesių statmenumo sąlygą.


  • Pavyzdys. Tiesė eina per taškus A(2; 2) ir C(12; 8) (4.19 pav.). Per atkarpos AC vidurio tašką M nubrėžta tiesė BM sudaranti su AC   kampą. Parašykite tiesės BM Lygtį.
Sprendimas. Parašykime tiesės AC, einančios per du žinomus taškus, lygtį:
 
 
 
 
 
 
Žinome, kad kryptinė tiesės lygtis yra   Todėl, iš gautos lygties išreiškę   sužinosime tiesės AC krypties koeficientą  
Tiesės BM krypties koeficientą   apskaičiuosime remdamiesi formule
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Randame taško M koordinates:
 
Parašykime tiesės BM lygtį:
 
 
 
  kampą su įstrižaine AC sudaro ir tiesė B'M. Jos krypties koeficientas   nes   statmena BM. Tuomet tiesės B'M lygtis bus tokia:
 
 
 


  • Pavyzdys. Duotos dvi tiesės   ir   Rasti kokius kampus šios tiesies sudaro su ašimi Ox.
Sprendimas.

Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą   kurį mes gausime taip:

 
  radiano arba  
Tiesės   krypties koeficientas yra  
Pasinaudodami formule rasime kampą   (4.18 pav.), kurį sudaro šios dvi susikertančios tiesės:
 
  radiano arba  
Žinodami, kad trikampio vidaus kampų suma lygi   randame kampą, kurį sudaro tiesė   ir ašis Ox:
 
 
 

Taško atstumas iki tiesės plokštumojeKeisti

Tarkime, kad šalia tiesės T, kurios lygtis  , duotas taškas   Šio taško atstumas iki tiesės plokštumoje apskaičiuojamas pagal formulę

 


  • Pavyzdys. Dvi kvadrato kraštinės yra tiesėse, kurių lygtys   ir  . Apskaičiuokime to kvadrato plotą.
Sprendimas. Nurodytose tiesėse esančios kvadrato kvadrato kraštinės yra lygiagrečios, nes jų abiejų normalės vektorius yra   Todėl kvadrato kraštinės ilgis lygus atstumui tarp šių tiesių arba atstumui nuo bet kurio pirmosios tiesės taško iki antrosios tiesės. Pasirinkime bet kurį tiesės   tašką, pavyzdžiui, tašką, kurio abscisė   Iš lygties   gauname
 
 
 
 
Apskaičiuokime atstumą nuo taško (3; 4) iki tiesės   Remdamiesi formule   gauname:
 
Vadinasi kvadrato plotas
 

NuorodosKeisti