Matematika/Tiesė ir plokštuma

Susikirtimo taškas tiesės ir plokštumosKeisti

Tegu duota plokštuma
 
ir tiesė
  čia   yra betkoks tiesės taškas, o vektorius   yra tiesės krypties vektorius.
Tada:
 
Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško   koordinates įstatysime rastą reikšmę   į parametrinę lygtį tiesės:

 


Įrodymas vektorinėje formojeKeisti

Duotos lygtis   plokštumos P, kur   ir lygtis   tiesės l, kur   ir  
Tegu   - taškas susikirtimo tiesės l su plokštuma P. Pažymėsime per   reikšmę parametro t taškui  .
Kadangi prie šito reikšmė parametro vektorius   yra spindulys-vektorius taško, gulinčio ant plokštumos, tai, įstačius jį į lygtį plokštumos   mes gausime:   t. y.
 
iš kur, jeigu   nustatysime
 
Įstatę reikšmę   į lygtį tiesės l, rasime spindulį-vektorių   taško susikirtimo tiesės l ir plokštumos P:
 
Tegu dabar lygtys plokštumos ir tiesės parašytos koordinatinėje formoje:
 
 
Tada panaudoję lygybę   gausime:
 
Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško   koordinates įstatysime rastą reikšmę   į parametrinę lygtį tiesės:
 

Įrodymas nevektorinėje formojeKeisti

Duota lygtis   plokštumos P, kur plokštumos normalė stati plokštumai yra   ir trijų kintamųjų vektorius yra   ir duota lygčių sistema

tiesės   kur tiesės krypties vektorius yra   ir tiesės betkuris pasirinktas žinomas taškas  

Tegu   - taškas susikirtimo tiesės l su plokštuma P. Pažymėsime per   reikšmę parametro t taškui  .
Kadangi prie šito reikšmė parametro vektorius    

yra spindulys-vektorius taško, gulinčio ant plokštumos, tai, įstačius jį į lygtį plokštumos   mes gausime:   t. y.

 
iš kur, jeigu   nustatysime
 
Įstatę reikšmę   į lygtį tiesės  , rasime spindulį-vektorių   taško susikirtimo tiesės   ir plokštumos P:
   
Tegu dabar lygtys plokštumos ir tiesės parašytos koordinatinėje formoje:
 
 
Tada panaudoję lygybę   gausime:
 
Po to, kad rasti tiesės ir plokštumos susikirtimo taško   koordinates įstatysime rastą reikšmę   į parametrinę lygtį tiesės:
 
Trumpai tariant, esmė buvo surasti tiesės l nusakytos parametrinėmis lygtimis  , parametrą   įstačius tiesės  ,   ir   reikšmes į bendrąją plokštumos lygtį   vietoje x, y ir z. Tokiu budu randamas tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas   įstačius   į lygtis  

Kažkas panašaus kaip sprendžiama dviejų tiesių plokštumoje lygčių sistema (kad surasti tų tiesių susikirtimo tašką) keitimo budu.

PavyzdžiaiKeisti

  • Rasti projekciją taško M(9; -13; -18) į plokštumą P
 
Užduoties išsprendimui sudarysime lygtį tiesės, praeinančios per tašką M statmenai plokštumai P.
Lygtys betkurios tiesės, praeinančios per tašką M, turės pavidalą:
 
Pagal statmenumo sąlygą tiesės ir plokštumos   galima į lygtį tiesės vietoje koeficientų m, n, p įstatyti proporcingus jiems dydžius A, B, C:
 
Kad surasti projekciją N taško M(9; -13; -18) į plokštumą reikia rasti susikirtimo tašką plokštumos   ir tiesės   Pagal formulę nustatome susikirtimo tašką
 
 
Iš čia koordinatės taško   nustatomos pagal formules   :
 
t. y. N(0; 4; -3).
  • Duoti du tiesės taškai     ir duota bendroji plokšumos lygtis  . Rasime pratestos atkarpos   ir plokštumos   susikirtimo tašką.
Sprendimas. Žinodami du tiesės T taškus   ir   parašykime tiesės T kanoninę lygtį pasinaudodami formule:
 
 
 
Tiesės T krypties vektorius yra  
Tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką pažymėkime  . Pagal formulę randame:
 
 
Paverskime tiesės T kanonines lygtys   parametrinėmis lygtimis:
 
 
 
Toliau vietoje šios   plokštumos x, y, z reikšmių įstatome tiesės reikšmes  ,  ,   ir gauname:
 
 
 
 
 
Dabar galime surasti tiesės T ir plokštumos   susikirtimo tašką  . Taigi, susikirtimo taško N koordinatės yra:
 
vadinasi, N(-1,438356164; 6,109589041; -5,767123288).


  • Rasti atstumą nuo taško M(-2; 3; 4) iki tiesės
 
Pavyzdžio sprendimo planas sekantis:
1. Sudarysime lygtį plokštumos P, praeinančios per tašką M statmenai tiesei l.
2. Rasime tašką K susikirtimo tiesės l su plokštuma P.
3. Nustatysime atstumą nuo taško M iki tiesės l, kaip atstumą tarp taškų M ir K.
Sprendimas. Sudarysime lygtį įvairių plokštumų su centru taške M (plokštumos kurios eina per tašką M):
 
Plokštumos P normalės vektorius (statmenas plokštumai P) yra   Tiesės l krypties vektorius yra   Kad tiesė būtų statmena plokštumai mums reikia, kad tiesės krypties vektorius sutaptu su plokštumos noramlės vektoriumi. Tuomet   Esant stačiam kampui tarp plokštumos P ir tiesės l galima užrašyti lygtį plokštumos P:
 
 
 
Taškui K
 
 
iš kur
 
Gavome tiesės l ir plokštumos P susikirtimo tašką K(4; 1; 2).

Atstumas nuo taško M(-2; 3; 4) iki taško K(4; 1; 2) yra:

 
Pastebėsime, kad taškas K yra projekcija taško M į tiesę l.

Kampas tarp tiesės ir plokštumosKeisti

Tarkime, tiesė T nusakoma kanoninėmis lygtimis

 
o plokštuma   nusakoma lygtimi   Kampu   tarp tiesės T ir plokštumos   vadiname kampą tarp tos tiesės ir jos projekcijos plokštumoje  . Kadangi   tai  
čia   yra kampas tarp tiesės T krypties vektoriaus   ir plokštumos   normalės vektoriaus   Kitaip sakant, kampas   yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos normalės   Iš vektorių   ir   skaliarinės sandaugos išplaukia, kad
 
Tada

 

čia   yra kampas tarp tiesės T ir plokštumos  


Kai tiesė T lygiagreti plokštumai  , tai tiesės krypties vektorius   yra statmenas plokštumos normalės vektoriui   todėl   Iš čia gauname tiesės ir plokštumos lygiagretumo sąlygą:

 


Kai tiesė T statmena plokštumai  , tai tiesės krypties vektorius   yra lygiagretus plokštumos normalės vektoriui   todėl jų koordinatės yra proporcingos. Iš čia išplaukia tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga:

 


  • Pavyzdis. Su kuria B reikšme tiesė T, nusakoma lygtimis
 

bus lygiagreti su plokštuma  , kurios lygtis  ?

Sprendimas. Kai tiesė T lygiagreti su plokštuma  , tai tiesės krypties vektorius   yra statmenas plokštumos normalės vektoriui   ir skaliarinė jų sandauga  
Pažymėkime:   Kadangi   tai iš sąlygos   išplaukia, kad   Vadinasi,
 
 
 
 
 
 


  • Pavyzdis. Sudaryti lygtį plokštumos P, praeinančios pro tašką M(2; -1; 3) lygiagrečiai dviems tiesiems:
 
ir
 
Parašysime lygtį visų plokštumų su centru taške M:
 
Panaudojame lygiagretumo sąlyga ( ) plokštumos P tiesei  , o paskui ir tiesei  :
 
 
Iš šitos sistemos giminingų lygčių nustatysime santykį koeficientų A, B, C ir paskui į lygtį   vietoje koeficientų A, B, C įstatysime proporcionalius jiems dydžius: