Bendrosios lygtys tiesės erdvėje
keisti
Tegu duotos lygtys dviejų susikertančių plokštumų:
(
N
1
→
,
r
→
)
+
D
1
=
0
{\displaystyle ({\vec {N_{1}}},\;{\vec {r}})+D_{1}=0}
(
N
2
→
,
r
→
)
+
D
2
=
0
{\displaystyle ({\vec {N_{2}}},\;{\vec {r}})+D_{2}=0}
kur
N
1
→
(
A
1
,
B
1
,
C
1
)
;
N
2
→
(
A
2
,
B
2
,
C
2
)
;
r
→
(
x
,
y
,
z
)
.
{\displaystyle {\vec {N_{1}}}(A_{1},\;B_{1},\;C_{1});\;\;{\vec {N_{2}}}(A_{2},\;B_{2},\;C_{2});\;\;{\vec {r}}(x,\;y,\;z).}
Tada sistemą šių lygčių:
{
(
N
1
→
,
r
→
)
+
D
1
=
0
,
(
N
2
→
,
r
→
)
+
D
2
=
0.
(
1
)
{\displaystyle {\begin{cases}({\vec {N_{1}}},\;{\vec {r}})+D_{1}=0,&\\({\vec {N_{2}}},\;{\vec {r}})+D_{2}=0.&\end{cases}}\quad (1)}
galima nagrinėti kaip lygtį tiesės - susikirtimo linijos šių plokštumų. Lygtys (1) vadinasi bendrosiomis lygtimis tiesės erdvėje vektorinėje formoje .
Išreiškę lygtis (1) koordinatinėje formoje, gausime:
{
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
z
+
D
1
=
0
,
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
z
+
D
2
=
0.
(
2
)
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,&\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0.&\end{cases}}\quad (2)}
Lygtys (2) vadinasi bendrosiomis lygtimis tiesės koordinatinėje formoje . Vaizdas:93ris.jpg 93 pav. Užrašymas bendrųjų lygčių tiesės kanoninėje išraiškoje. Tegu duodamos lygtys tiesės benrojoje išraiškoje:
{
(
N
1
→
,
r
→
)
+
D
1
=
0
,
(
N
2
→
,
r
→
)
+
D
2
=
0.
{\displaystyle {\begin{cases}({\vec {N_{1}}},\;{\vec {r}})+D_{1}=0,&\\({\vec {N_{2}}},\;{\vec {r}})+D_{2}=0.&\end{cases}}}
Lygtis
(
N
1
→
,
r
→
)
+
D
1
=
0
{\displaystyle ({\vec {N_{1}}},\;{\vec {r}})+D_{1}=0}
P
1
{\displaystyle P_{1}}
N
1
→
(
A
1
,
B
1
,
C
1
)
;
(
N
2
→
,
r
→
)
+
D
2
=
0
{\displaystyle {\vec {N_{1}}}(A_{1},\;B_{1},\;C_{1});\;({\vec {N_{2}}},\;{\vec {r}})+D_{2}=0}
P
2
{\displaystyle P_{2}}
N
2
→
(
A
2
,
B
2
,
C
2
)
{\displaystyle {\vec {N_{2}}}(A_{2},\;B_{2},\;C_{2})}
r
→
=
r
0
→
+
s
→
t
,
{\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r_{0}}}+{\vec {s}}t,}
s
→
(
m
,
n
,
p
)
{\displaystyle {\vec {s}}(m,\;n,\;p)}
r
→
−
r
0
→
=
s
→
t
{\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}={\vec {s}}t}
t tik nustato krypties vektoriaus
s
→
{\displaystyle {\vec {s}}}
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
r
→
−
r
0
→
=
s
→
t
{\displaystyle {\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}={\vec {s}}t}
(
x
−
x
0
;
y
−
y
0
;
z
−
z
0
)
=
(
t
m
;
t
n
;
t
p
)
{\displaystyle (x-x_{0};y-y_{0};z-z_{0})=(tm;tn;tp)}
Rasime vektorinę sandaugą
[
N
1
→
,
N
2
→
]
:
{\displaystyle [{\vec {N_{1}}},\;{\vec {N_{2}}}]:}
[
N
1
→
,
N
2
→
]
=
N
1
→
×
N
2
→
=
|
i
j
k
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
|
=
i
|
B
1
C
1
B
2
C
2
|
−
j
|
A
1
C
1
A
2
C
2
|
+
k
|
A
1
B
1
A
2
B
2
|
=
{\displaystyle [{\vec {N_{1}}},\;{\vec {N_{2}}}]={\vec {N_{1}}}\times {\vec {N_{2}}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\\end{vmatrix}}=\mathbf {i} {\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}-\mathbf {j} {\begin{vmatrix}A_{1}&C_{1}\\A_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}=}
=
i
|
B
1
C
1
B
2
C
2
|
+
j
|
C
1
A
1
C
2
A
2
|
+
k
|
A
1
B
1
A
2
B
2
|
.
(
3
)
{\displaystyle =\mathbf {i} {\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}+\mathbf {j} {\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}.\quad (3)}
Iš apibrėžimo vektorinės sandaugos seka, kad vektorius
[
N
1
→
,
N
2
→
]
=
N
1
→
×
N
2
→
{\displaystyle [{\vec {N_{1}}},\;{\vec {N_{2}}}]={\vec {N_{1}}}\times {\vec {N_{2}}}}
s
→
.
{\displaystyle {\vec {s}}.}
m
:
n
:
p
=
|
B
1
C
1
B
2
C
2
|
:
|
C
1
A
1
C
2
A
2
|
:
|
A
1
B
1
A
2
B
2
|
.
(
4
)
{\displaystyle m:n:p={\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}.\quad (4)}
Tokiu budu, į kanonines lygtys tiesės
x
−
x
0
m
=
y
−
y
0
n
=
z
−
z
0
p
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{m}}={\frac {y-y_{0}}{n}}={\frac {z-z_{0}}{p}}}
vietoje koeficientų m , n , p galima įstatyti, jiems propocingus, ir gausime lygtis
x
−
x
0
|
B
1
C
1
B
2
C
2
|
=
y
−
y
0
|
C
1
A
1
C
2
A
2
|
=
z
−
z
0
|
A
1
B
1
A
2
B
2
|
.
(
5
)
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}}={\frac {y-y_{0}}{\begin{vmatrix}C_{1}&A_{1}\\C_{2}&A_{2}\end{vmatrix}}}={\frac {z-z_{0}}{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}}.\quad (5)}
Taigi, kad iš bendrųjų tiesės lygčių
{
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
z
+
D
1
=
0
,
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
z
+
D
2
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0,&\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0&\end{cases}}}
pereiti prie kanoninių lygčių
x
−
x
0
m
=
y
−
y
0
n
=
z
−
z
0
p
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{m}}={\frac {y-y_{0}}{n}}={\frac {z-z_{0}}{p}}}
M
0
(
x
0
;
y
0
;
z
0
)
,
{\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0}),}
m , n , p įstatyti proporcingus jiems skaičius (žiūrėti (4)).
Verta pastebėti, kad ieškant taško, gulinčio ant tiesės, vieną vieną iš koordinačių galima parinkti visiškai savavališkai; sumanu tašką
M
0
{\displaystyle M_{0}}
{
2
x
−
3
y
+
5
z
+
7
=
0
,
x
+
3
y
−
4
z
−
1
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}2x-3y+5z+7=0,&\\x+3y-4z-1=0&\end{cases}}}
užrašyti kanoniniame pavidale.
Tašką
M
0
(
x
0
;
y
0
;
z
0
)
{\displaystyle M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})}
xOy , tada
z
0
=
0
{\displaystyle z_{0}=0}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
{
2
x
0
−
3
y
0
+
7
=
0
,
x
0
+
3
y
0
−
1
=
0.
{\displaystyle {\begin{cases}2x_{0}-3y_{0}+7=0,&\\x_{0}+3y_{0}-1=0.&\end{cases}}}
Spresdami šitą sistemą,
+
{
2
x
0
−
3
y
0
+
7
=
0
,
x
0
+
3
y
0
−
1
=
0
;
{\displaystyle +{\begin{cases}2x_{0}-3y_{0}+7=0,&\\x_{0}+3y_{0}-1=0;&\end{cases}}}
2
x
0
+
x
0
−
3
y
0
+
3
y
0
+
7
−
1
=
0
,
{\displaystyle 2x_{0}+x_{0}-3y_{0}+3y_{0}+7-1=0,}
3
x
0
+
6
=
0
,
{\displaystyle 3x_{0}+6=0,}
3
x
0
=
−
6
,
{\displaystyle 3x_{0}=-6,}
x
0
=
−
2
;
{\displaystyle x_{0}=-2;}
x
0
+
3
y
0
−
1
=
0
,
{\displaystyle x_{0}+3y_{0}-1=0,}
−
2
+
3
y
0
−
1
=
0
,
{\displaystyle -2+3y_{0}-1=0,}
3
y
0
=
3
,
{\displaystyle 3y_{0}=3,}
y
0
=
1
;
{\displaystyle y_{0}=1;}
randame, kad
x
0
=
−
2
{\displaystyle x_{0}=-2}
y
0
=
1
{\displaystyle y_{0}=1}
Panaudodami lygybę (4) radimui santykio koeficientų m , n , p , gausime:
m
:
n
:
p
=
|
−
3
5
3
−
4
|
:
|
5
2
−
4
1
|
:
|
2
−
3
1
3
|
=
(
12
−
15
)
:
(
5
−
(
−
8
)
)
:
(
6
−
(
−
3
)
)
=
−
3
:
13
:
9.
{\displaystyle m:n:p={\begin{vmatrix}-3&5\\3&-4\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}5&2\\-4&1\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}2&-3\\1&3\end{vmatrix}}=(12-15):(5-(-8)):(6-(-3))=-3:13:9.}
Pasekoje, ieškomos lygtys turi pavidalą:
x
−
x
0
m
=
y
−
y
0
n
=
z
−
z
0
p
,
{\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{m}}={\frac {y-y_{0}}{n}}={\frac {z-z_{0}}{p}},}
x
−
(
−
2
)
−
3
=
y
−
1
13
=
z
−
0
9
,
{\displaystyle {\frac {x-(-2)}{-3}}={\frac {y-1}{13}}={\frac {z-0}{9}},}
x
+
2
−
3
=
y
−
1
13
=
z
9
.
{\displaystyle {\frac {x+2}{-3}}={\frac {y-1}{13}}={\frac {z}{9}}.}
Kampas tarp dviejų tiesių
keisti
Kampu tarp dviejų tiesių erdvėje vadina bet kokį iš kampų, sukurtų dviejų tiesių, pravestų iš vieno taško lygiagrečiai duotoms tiesėms (priedo, jeigu tiesės lygiagrečios, kampas tarp jų laikomas lygus nuliui arba
π
{\displaystyle \pi }
Tegu duotos lygtys dviejų tiesių:
(
l
1
)
.
.
.
r
→
=
r
1
→
+
s
1
→
t
,
{\displaystyle (l_{1})...{\vec {r}}={\vec {r_{1}}}+{\vec {s_{1}}}t,}
kur
r
→
{
x
,
y
,
z
}
,
r
1
→
{
x
1
,
y
1
,
z
1
}
,
s
1
→
{
m
1
,
n
1
,
p
1
}
,
{\displaystyle {\vec {r}}\{x,\;y,\;z\},\;{\vec {r_{1}}}\{x_{1},\;y_{1},\;z_{1}\},\;{\vec {s_{1}}}\{m_{1},\;n_{1},\;p_{1}\},}
(
l
2
)
.
.
.
r
→
=
r
2
→
+
s
2
→
t
,
{\displaystyle (l_{2})...{\vec {r}}={\vec {r_{2}}}+{\vec {s_{2}}}t,}
kur
r
2
→
{
x
2
,
y
2
,
z
2
}
,
s
2
→
{
m
2
,
n
2
,
p
2
}
.
{\displaystyle {\vec {r_{2}}}\{x_{2},\;y_{2},\;z_{2}\},\;{\vec {s_{2}}}\{m_{2},\;n_{2},\;p_{2}\}.}
Pažymėsime kampą tarp tiesių
l
1
{\displaystyle l_{1}}
l
2
{\displaystyle l_{2}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
s
1
→
{
m
1
,
n
1
,
p
1
}
{\displaystyle {\vec {s_{1}}}\{m_{1},\;n_{1},\;p_{1}\}}
s
2
→
{
m
2
,
n
2
,
p
2
}
{\displaystyle {\vec {s_{2}}}\{m_{2},\;n_{2},\;p_{2}\}}
θ
{\displaystyle \theta }
cos
θ
=
s
1
→
⋅
s
2
→
‖
s
1
→
‖
⋅
‖
s
2
→
‖
=
m
1
m
2
+
n
1
n
2
+
p
1
p
2
m
1
2
+
n
1
2
+
p
1
2
⋅
m
2
2
+
n
2
2
+
p
2
2
.
(
1
)
{\displaystyle \cos \theta ={\frac {{\vec {s_{1}}}\cdot {\vec {s_{2}}}}{\|{\vec {s_{1}}}\|\cdot \|{\vec {s_{2}}}\|}}={\frac {m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}}{{\sqrt {m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}}}}.\quad (1)}
Kadangi
ϕ
=
θ
{\displaystyle \phi =\theta }
ϕ
=
π
−
θ
,
{\displaystyle \phi =\pi -\theta ,}
cos
ϕ
=
±
cos
θ
.
{\displaystyle \cos \phi =\pm \cos \theta .}
cos
θ
=
±
s
1
→
⋅
s
2
→
‖
s
1
→
‖
⋅
‖
s
2
→
‖
.
(
2
)
{\displaystyle \cos \theta =\pm {\frac {{\vec {s_{1}}}\cdot {\vec {s_{2}}}}{\|{\vec {s_{1}}}\|\cdot \|{\vec {s_{2}}}\|}}.\quad (2)}
Jeigu lygtys dviejų tiesių duotos kanoninėje formoje:
x
−
x
1
m
1
=
y
−
y
1
n
1
=
z
−
z
1
p
1
.
.
.
(
l
1
)
;
{\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{m_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{n_{1}}}={\frac {z-z_{1}}{p_{1}}}...(l_{1});}
x
−
x
2
m
2
=
y
−
y
2
n
2
=
z
−
z
2
p
2
.
.
.
(
l
2
)
,
{\displaystyle {\frac {x-x_{2}}{m_{2}}}={\frac {y-y_{2}}{n_{2}}}={\frac {z-z_{2}}{p_{2}}}...(l_{2}),}
tai formulę (2) galima užrašyti koordinatinėje formoje:
cos
ϕ
=
±
m
1
m
2
+
n
1
n
2
+
p
1
p
2
m
1
2
+
n
1
2
+
p
1
2
m
2
2
+
n
2
2
+
p
2
2
.
(
3
)
{\displaystyle \cos \phi =\pm {\frac {m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}}{{\sqrt {m_{1}^{2}+n_{1}^{2}+p_{1}^{2}}}{\sqrt {m_{2}^{2}+n_{2}^{2}+p_{2}^{2}}}}}.\quad (3)}
Formulės (2) ir (3) yra formulės nustatymui kampo tarp diejų tiesių erdvėje . Sąlygos lygiagretumo ir stamenumo dviejų tiesių erdvėje. Tam, kad dvi tiesės
r
→
=
r
1
→
+
s
1
→
t
.
.
.
(
l
1
)
{\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r_{1}}}+{\vec {s_{1}}}t...(l_{1})}
ir
r
→
=
r
2
→
+
s
2
→
t
.
.
.
(
l
2
)
,
{\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r_{2}}}+{\vec {s_{2}}}t...(l_{2}),}
kur
s
1
{
m
1
,
n
1
,
p
1
}
{\displaystyle s_{1}\{m_{1},\;n_{1},\;p_{1}\}}
s
2
{
m
2
,
n
2
,
p
2
}
,
{\displaystyle s_{2}\{m_{2},\;n_{2},\;p_{2}\},}
s
1
→
{\displaystyle {\vec {s_{1}}}}
s
2
→
{\displaystyle {\vec {s_{2}}}}
m
1
m
2
=
n
1
n
2
=
p
1
p
2
.
(
4
)
{\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}.\quad (4)}
Sąlyga (4) yra sąlyga lygiagretumo dviejų tiesių
l
1
{\displaystyle l_{1}}
l
2
{\displaystyle l_{2}}
Tam, kad tiesės
l
1
{\displaystyle l_{1}}
l
2
{\displaystyle l_{2}}
s
1
→
{\displaystyle {\vec {s_{1}}}}
s
2
→
{\displaystyle {\vec {s_{2}}}}
Sąlyga ortogonalumo (statmenumo) dviejų vektorių
s
1
→
{\displaystyle {\vec {s_{1}}}}
s
2
→
{\displaystyle {\vec {s_{2}}}}
m
1
m
2
+
n
1
n
2
+
p
1
p
2
=
0
{\displaystyle m_{1}m_{2}+n_{1}n_{2}+p_{1}p_{2}=0}
yra sąlyga statmenumo dviejų tiesių
l
1
{\displaystyle l_{1}}
l
2
{\displaystyle l_{2}}
Rasti lygtį tiesės, praeinančios per tašką M (9; -13; 15) statmenai dviems tiesiems
l
1
{\displaystyle l_{1}}
l
2
{\displaystyle l_{2}}
x
−
3
2
=
y
+
4
−
3
=
z
5
.
.
.
(
l
1
)
;
x
+
2
4
=
y
−
7
1
=
z
−
2
.
.
.
(
l
2
)
.
{\displaystyle {\frac {x-3}{2}}={\frac {y+4}{-3}}={\frac {z}{5}}...(l_{1});\quad {\frac {x+2}{4}}={\frac {y-7}{1}}={\frac {z}{-2}}...(l_{2}).}
Sudarysime lygtį betkokios tiesės, pereinančios per tašką M :
x
−
9
m
=
y
+
13
n
=
z
−
15
p
.
(
6
)
{\displaystyle {\frac {x-9}{m}}={\frac {y+13}{n}}={\frac {z-15}{p}}.\quad (6)}
Panaudodami sąlyga statmenumo ieškomos tiesės iš pradžių tiesei
l
1
{\displaystyle l_{1}}
l
2
{\displaystyle l_{2}}
2
m
−
3
n
+
5
p
=
0
,
{\displaystyle 2m-3n+5p=0,}
4
m
+
n
−
2
p
=
0.
{\displaystyle 4m+n-2p=0.}
Iš šitos vienarūšės sistemos linijinių lygčių su nežinomaisiais m , n , p rasime santykį nežinomųjų:
m
:
n
:
p
=
|
−
3
5
1
−
2
|
:
|
5
2
−
2
4
|
:
|
2
−
3
4
1
|
=
(
6
−
5
)
:
(
20
−
(
−
4
)
)
:
(
2
−
(
−
12
)
)
=
1
:
24
:
14.
{\displaystyle m:n:p={\begin{vmatrix}-3&5\\1&-2\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}5&2\\-2&4\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}2&-3\\4&1\end{vmatrix}}=(6-5):(20-(-4)):(2-(-12))=1:24:14.}
Kadangi dviejų vektorių vektorinė sandauga yra naujas vektorius status tiems dviems vektoriams, tai, kad gauti tą naują vektorių statmeną tiesėms
l
1
{\displaystyle l_{1}}
l
2
{\displaystyle l_{2}}
s
1
→
{
2
;
−
3
;
5
}
{\displaystyle {\vec {s_{1}}}\{2;\;-3;\;5\}}
s
2
→
{
4
;
1
;
−
2
}
{\displaystyle {\vec {s_{2}}}\{4;\;1;\;-2\}}
s
3
→
=
s
1
→
×
s
2
→
=
|
i
j
k
2
−
3
5
4
1
−
2
|
=
(
−
1
)
1
+
1
⋅
i
|
−
3
5
1
2
|
+
(
−
1
)
1
+
2
⋅
j
|
2
5
4
−
2
|
+
(
−
1
)
1
+
3
⋅
k
|
2
−
3
4
1
|
=
{\displaystyle {\vec {s_{3}}}={\vec {s_{1}}}\times {\vec {s_{2}}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&-3&5\\4&1&-2\\\end{vmatrix}}=(-1)^{1+1}\cdot \mathbf {i} {\begin{vmatrix}-3&5\\1&2\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2}\cdot \mathbf {j} {\begin{vmatrix}2&5\\4&-2\end{vmatrix}}+(-1)^{1+3}\cdot \mathbf {k} {\begin{vmatrix}2&-3\\4&1\end{vmatrix}}=}
=
i
|
−
3
5
1
2
|
+
j
|
5
2
−
2
4
|
+
k
|
2
−
3
4
1
|
=
i
+
24
j
+
14
k
=
(
1
;
24
;
14
)
.
{\displaystyle =\mathbf {i} {\begin{vmatrix}-3&5\\1&2\end{vmatrix}}+\mathbf {j} {\begin{vmatrix}5&2\\-2&4\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}2&-3\\4&1\end{vmatrix}}=\mathbf {i} +24\mathbf {j} +14\mathbf {k} =(1;\;24;\;14).}
Įstatydami į lygtį tiesės (6) vietoje m , n ir p proporcingus jiems dydžius, gausime ieškomą lygtį:
x
−
9
1
=
y
+
13
24
=
z
−
15
14
.
.
.
(
l
3
)
.
{\displaystyle {\frac {x-9}{1}}={\frac {y+13}{24}}={\frac {z-15}{14}}...(l_{3}).}
Sudaryti lygtį tiesės
l
1
,
{\displaystyle l_{1},\;}
l
.
.
.
{
2
x
−
3
y
+
5
z
−
17
=
0
,
x
+
4
y
−
2
z
+
8
=
0.
{\displaystyle l...{\begin{cases}2x-3y+5z-17=0,&\\x+4y-2z+8=0.&\end{cases}}}
Sudarysime lygtį betkokios tiesės, praeinančios per tašką M (8; -5; 0):
x
−
8
m
1
=
y
+
5
n
1
=
z
p
1
.
(
7
)
{\displaystyle {\frac {x-8}{m_{1}}}={\frac {y+5}{n_{1}}}={\frac {z}{p_{1}}}.\quad (7)}
Pažymėsime kampinius koeficientus tiesės
l
{\displaystyle l\;}
m , n , p ir rasime jų santykius, panaudodami lygybes (4) iš aukštesnio skyriaus:
m
:
n
:
p
=
|
−
3
5
4
−
2
|
:
|
5
2
−
2
1
|
:
|
2
−
3
1
4
|
=
(
6
−
20
)
:
(
5
−
(
−
4
)
)
:
(
8
−
(
−
3
)
)
=
−
14
:
9
:
11.
{\displaystyle m:n:p={\begin{vmatrix}-3&5\\4&-2\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}5&2\\-2&1\end{vmatrix}}:{\begin{vmatrix}2&-3\\1&4\end{vmatrix}}=(6-20):(5-(-4)):(8-(-3))=-14:9:11.}
Kadangi lygiagrečių tiesių koeficientai proporcingi, tai į lygtis (7) vietoje
m
1
{\displaystyle m_{1}}
n
1
{\displaystyle n_{1}}
p
1
{\displaystyle p_{1}}
Gausime lygtis
x
−
8
−
14
=
y
+
5
9
=
z
11
,
{\displaystyle {\frac {x-8}{-14}}={\frac {y+5}{9}}={\frac {z}{11}},}
kurios ir bus lygtys ieškomos tiesės. Uždavinys buvo išspręstas pasinauduojant tuo, kad tiesė
l
{\displaystyle l\;}
n
1
→
=
{
2
;
−
3
;
5
}
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}=\{2;-3;5\}}
n
2
→
=
{
1
;
4
;
−
2
}
.
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}=\{1;4;-2\}.}
s
→
=
n
1
→
×
n
2
→
=
{
−
14
;
9
;
11
}
{\displaystyle {\vec {s}}={\vec {n_{1}}}\times {\vec {n_{2}}}=\{-14;9;11\}}
n
1
→
{\displaystyle {\vec {n_{1}}}}
n
2
→
{\displaystyle {\vec {n_{2}}}}
2
x
−
3
y
+
5
z
−
17
=
0
{\displaystyle 2x-3y+5z-17=0}
x
+
4
y
−
2
z
+
8
=
0
{\displaystyle x+4y-2z+8=0}
s
→
{\displaystyle {\vec {s}}}
l
1
.
{\displaystyle l_{1}.\;}
s
→
{\displaystyle {\vec {s}}}
l
{\displaystyle l\;}
l
.
{\displaystyle l.\;}
Tiesės plokštumoje normalė
keisti
Jeigu taškai
M
1
(
x
1
;
y
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1})}
M
2
(
x
2
;
y
2
)
{\displaystyle M_{2}(x_{2};y_{2})}
M
2
M
1
→
=
s
→
=
{
x
2
−
x
1
;
y
2
−
y
1
}
{\displaystyle {\vec {M_{2}M_{1}}}={\vec {s}}=\{x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1}\}}
x
−
x
1
y
2
−
y
1
=
y
−
y
1
y
2
−
y
1
{\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}}}
arba
x
−
x
2
x
2
−
x
1
=
y
−
y
2
y
2
−
y
1
.
{\displaystyle {\frac {x-x_{2}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{2}}{y_{2}-y_{1}}}.}
Kadangi tiesės
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{\displaystyle Ax+By+C=0}
n
→
=
{
A
;
B
}
,
{\displaystyle {\vec {n}}=\{A;B\},}
M
1
(
x
1
;
y
1
)
{\displaystyle M_{1}(x_{1};y_{1})}
M
2
(
x
2
;
y
2
)
,
{\displaystyle M_{2}(x_{2};y_{2}),}
x
−
x
1
x
2
−
x
1
=
y
−
y
1
y
2
−
y
1
,
{\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}},}
(
y
2
−
y
1
)
(
x
−
x
1
)
=
(
x
2
−
x
1
)
(
y
−
y
1
)
,
{\displaystyle (y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=(x_{2}-x_{1})(y-y_{1}),}
(
y
2
−
y
1
)
x
−
(
y
2
−
y
1
)
x
1
=
(
x
2
−
x
1
)
y
−
(
x
2
−
x
1
)
y
1
,
{\displaystyle (y_{2}-y_{1})x-(y_{2}-y_{1})x_{1}=(x_{2}-x_{1})y-(x_{2}-x_{1})y_{1},}
(
y
2
−
y
1
)
x
−
(
x
2
−
x
1
)
y
−
(
y
2
−
y
1
)
x
1
+
(
x
2
−
x
1
)
y
1
=
0
,
{\displaystyle (y_{2}-y_{1})x-(x_{2}-x_{1})y-(y_{2}-y_{1})x_{1}+(x_{2}-x_{1})y_{1}=0,}
(
y
2
−
y
1
)
x
−
(
x
2
−
x
1
)
y
−
y
2
x
1
+
y
1
x
1
+
x
2
y
1
−
x
1
y
1
=
0
,
{\displaystyle (y_{2}-y_{1})x-(x_{2}-x_{1})y-y_{2}x_{1}+y_{1}x_{1}+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{1}=0,}
(
y
2
−
y
1
)
x
−
(
x
2
−
x
1
)
y
−
y
2
x
1
+
x
2
y
1
=
0.
{\displaystyle (y_{2}-y_{1})x-(x_{2}-x_{1})y-y_{2}x_{1}+x_{2}y_{1}=0.}
Randome tiesės koeficientus
A
=
y
2
−
y
1
{\displaystyle A=y_{2}-y_{1}}
B
=
x
2
−
x
1
{\displaystyle B=x_{2}-x_{1}}
C
=
−
y
2
x
1
+
x
2
y
1
.
{\displaystyle C=-y_{2}x_{1}+x_{2}y_{1}.}
n
→
=
{
y
2
−
y
1
;
x
2
−
x
1
}
.
{\displaystyle {\vec {n}}=\{y_{2}-y_{1};x_{2}-x_{1}\}.}
Vadinasi vektoriaus
M
2
M
1
→
=
{
x
2
−
x
1
;
y
2
−
y
1
}
{\displaystyle {\vec {M_{2}M_{1}}}=\{x_{2}-x_{1};y_{2}-y_{1}\}}
n
→
=
{
y
2
−
y
1
;
x
2
−
x
1
}
.
{\displaystyle {\vec {n}}=\{y_{2}-y_{1};x_{2}-x_{1}\}.}
![{\displaystyle [{\vec {N_{1}}},\;{\vec {N_{2}}}]:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54a07890b46df3a040b06d3e69e6708c4233ffa8)
![{\displaystyle [{\vec {N_{1}}},\;{\vec {N_{2}}}]={\vec {N_{1}}}\times {\vec {N_{2}}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\\end{vmatrix}}=\mathbf {i} {\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}-\mathbf {j} {\begin{vmatrix}A_{1}&C_{1}\\A_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c35fb2ea6e692088799336bbd8c6ca6669ad5d2)
![{\displaystyle [{\vec {N_{1}}},\;{\vec {N_{2}}}]={\vec {N_{1}}}\times {\vec {N_{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f496fee753f9f9667d01d570bf1e693040c0db88)
