Matematika/Tiesė su vektoriais

Bendrosios lygtys tiesės erdvėjeKeisti

Tegu duotos lygtys dviejų susikertančių plokštumų:

  ir  
kur
 
Tada sistemą šių lygčių:
 
galima nagrinėti kaip lygtį tiesės - susikirtimo linijos šių plokštumų. Lygtys (1) vadinasi bendrosiomis lygtimis tiesės erdvėje vektorinėje formoje.
Išreiškę lygtis (1) koordinatinėje formoje, gausime:
 
Lygtys (2) vadinasi bendrosiomis lygtimis tiesės koordinatinėje formoje.
Užrašymas bendrųjų lygčių tiesės kanoninėje išraiškoje. Tegu duodamos lygtys tiesės benrojoje išraiškoje:
 
Lygtis   yra lygtis plokštumos  , statmenos vektoriui   - lygtis plokštumos  , statmenos vektoriui   (93 pav.). Lygtį linijos jų susikirtimo galima užrašyti vektorinėje formoje:   kur   - krypties vektorius šitos tiesės (gauname, kad  , todėl t tik nustato krypties vektoriaus   ilgį, jei būtų žinomos tikslios vektoriaus   koordinatės;   yra  ).
Rasime vektorinę sandaugą  
 
 
Iš apibrėžimo vektorinės sandaugos seka, kad vektorius   kolinearus vektoriui   Pasekoje, koordinatės šitų dviejų vektorių proporcingos:
 
Tokiu budu, į kanonines lygtys tiesės
 
vietoje koeficientų m, n, p galima įstatyti, jiems propocingus, ir gausime lygtis
 
Taigi, kad iš bendrųjų tiesės lygčių
 
pereiti prie kanoninių lygčių   tos pačios tiesės, reikia rasti kokį nors tašką   gulintį ant tiesės, ir vietoje koeficientų m, n, p įstatyti proporcingus jiems skaičius (žiūrėti (4)).
Verta pastebėti, kad ieškant taško, gulinčio ant tiesės, vieną vieną iš koordinačių galima parinkti visiškai savavališkai; sumanu tašką   susikirtimo tiesės su viena iš koordinatinių plokštumu, kadangi tada nors viena iš koordinačių šito taško bus lygi nuliui.


PavyzdžiaiKeisti

  • Lygtį tiesės
 
užrašyti kanoniniame pavidale.
Tašką   paimsime susikirtimo tiesės su plokštuma xOy, tada  . Nustatymui  ,   turėsime sekančią sistemą:
 
Spresdami šitą sistemą,
 
 
 
 
 
 
 
 
 
randame, kad  ;  .
Panaudodami lygybę (4) radimui santykio koeficientų m, n, p, gausime:
 
Pasekoje, ieškomos lygtys turi pavidalą:
 
 
 


Kampas tarp dviejų tiesiųKeisti

Kampu tarp dviejų tiesių erdvėje vadina bet kokį iš kampų, sukurtų dviejų tiesių, pravestų iš vieno taško lygiagrečiai duotoms tiesėms (priedo, jeigu tiesės lygiagrečios, kampas tarp jų laikomas lygus nuliui arba  ).

Tegu duotos lygtys dviejų tiesių:
 
kur   ir
 
kur  
Pažymėsime kampą tarp tiesių   ir   per  , o kampą tarp jų krypties vektorių   ir   - per kampą  . Be to
 
Kadangi   arba   tai   Pasekkoje,
 
Jeigu lygtys dviejų tiesių duotos kanoninėje formoje:
 
 
tai formulę (2) galima užrašyti koordinatinėje formoje:
 
Formulės (2) ir (3) yra formulės nustatymui kampo tarp diejų tiesių erdvėje.
Sąlygos lygiagretumo ir stamenumo dviejų tiesių erdvėje. Tam, kad dvi tiesės
 
ir
 
kur   ir   būtų lygiagrečios, būtina ir užtenkama, kad jų krypties vektoriai būtų kolinearūs, t. y. atitinkančios koordinatės vektorių   ir   būtų propocingos:
 
Sąlyga (4) yra sąlyga lygiagretumo dviejų tiesių   ir   erdvėje.
Tam, kad tiesės   ir   būtų statmenos tarpusavyje, būtina ir pakankama, kad lygiagretūs joms vektoriai   ir   būtų ortogonalūs.
Sąlyga ortogonalumo (statmenumo) dviejų vektorių   ir  :
 
yra sąlyga statmenumo dviejų tiesių   ir   erdvėje.

PavyzdžiaiKeisti

  • Rasti lygtį tiesės, praeinančios per tašką M(9; -13; 15) statmenai dviems tiesiems   ir  :
 
Sudarysime lygtį betkokios tiesės, pereinančios per tašką M:
 
Panaudodami sąlyga statmenumo ieškomos tiesės iš pradžių tiesei  , o paskui ir tiesei  , gausime
 
 
Iš šitos vienarūšės sistemos linijinių lygčių su nežinomaisiais m, n, p rasime santykį nežinomųjų:
 
Kadangi dviejų vektorių vektorinė sandauga yra naujas vektorius status tiems dviems vektoriams, tai, kad gauti tą naują vektorių statmeną tiesėms   ir   reikia rasti šių dviejų tiesių krypties vektorių   ir   vektorinę sandaugą:
 
 
Įstatydami į lygtį tiesės (6) vietoje m, n ir p proporcingus jiems dydžius, gausime ieškomą lygtį:
 
  • Sudaryti lygtį tiesės   praeinančios per tašką (8; -5; 0) lygiagrečiai tiesei
 
Sudarysime lygtį betkokios tiesės, praeinančios per tašką M(8; -5; 0):
 
Pažymėsime kampinius koeficientus tiesės   per m, n, p ir rasime jų santykius, panaudodami lygybes (4) iš aukštesnio skyriaus:
 
Kadangi lygiagrečių tiesių koeficientai proporcingi, tai į lygtis (7) vietoje  ,  ,   galima įstatyti dydžius, jiems proporcingus.
Gausime lygtis
 
kurios ir bus lygtys ieškomos tiesės.

Uždavinys buvo išspręstas pasinauduojant tuo, kad tiesė   yra dvi susikertančios plokštumos. Tų plokštumų normalės vektoriai yra   ir   Sudauginus vektorine sandauga plokštumų normalės vektorius, gaunamas vektorius   statmenas tų dviejų plokštumų normalės vektoriams   ir   bei lygiagretus toms dviems plokštumoms   ir  . Vadinasi, vektorius   yra lygiagretus ir tiesei   Kadangi vektorius   yra krypties vektorius tiesės   ir yra krypties vektorius betkokios tiesės lygiagrečios tiesei  

Tiesės plokštumoje normalėKeisti

Jeigu taškai   ir   yra du tiesės taškai, tada vektorius   yra tiesės krypties vektorius. Tuomet tiesės lygtis yra:
 
arba
 
Kadangi tiesės   normalės vektorius yra   tai galime rasti tiesės plokštumoje normalės vektorių, žinant du tiesės taškus   ir   tokiu budu:
 
 
 
 
 
 
Randome tiesės koeficientus  ,   ir konstantą   Taigi, tiesės normalė yra  
Vadinasi vektoriaus   normalės vektorius yra  

NuorodosKeisti