Matematika/Trupmeninis skaičiavimas


Trupmeninis skaičiavimas yra matematinės analizės (mathematical analysis) sritis, kuri tyrinėja galimus diferencialinio operatoriaus (differential operator)


ir integralinio operatoriaus J realius (real number) arba kompleksinius (complex number) laipsnius (paprastai J yra naudojamas vietoj I, siekiant išvengti painiavos su kitais I, pvz. identiškumo ženklu (identities)).
Šiame kontekste terminas laipsniai nurodo pasikartojančius taikymus ar sudėtines dalis, ta pačia prasme kaip .
Pvz.:


kaip kvadratinė šaknis (square root) iš diferencialinio operatoriaus (operator), t.y. išraiška tam tikro operatoriaus kai taikoma du kartus funkcijai, turi tokį pat poveikį, kaip diferencijavimas (differentiation). Apskritai, galima pažvelgti į apibrėžimą

s yra realūs dydžiai, tokie, kad kai s įgyja sveikąjį (integer) skaičių n įprastas laipsnis n- kartų diferencijavimo yra generuojamas, kai ir n-tasis laipsnis operatoriaus J, kai .

Trupmeninė išvestinė

keisti


Šios teorijos pagrindą 1832 metais sukūrė Liuvilis (Liouville). Trupmeninė funkcijos išvestinė eilės   yra apibrėžiamos Furje (Fourier) arba Melino (Mellin) integralinėmis transformacijomis. Svarbus aspektas yra trupmeninės išvestinės nelokalumas: funkcijos   išvestinė taške   priklauso tik nuo taško   ir pačios funkcijos, kai   yra sveikas skaičius; trupmeninio skaičiaus   atveju funkcijos   trupmeninė išvestinė taške   priklauso ne tik nuo funkcijos   ir taško  , bet ir nuo funkcijos reikšmių tam tikroje taško   aplinkoje.

Euristika

keisti


Kyla natūralus klausimas, ar egzistuoja toks operatorius  , pavadinsime jį „pusinė išvestinė“ (half – derivative), su tokiomis savybėmis:
 
Apibendrinant, šį klausimą galima suformuluoti taip: ar egzistuoja toks operatorius   su tokiomis sąvybėmis:
 
bet kuriam  ?
Ar gali operatorius   būti apibendrintas visom realiom   reikšmėm?
Pradžioje pastebėsime, kad L. Eulerio (Euler) gama-funkcija   (Gamma function), apibendrina faktorialo apibrėžimą ne tik sveikom, bet ir trupmeninėm   reikšmėm:
 .
Dabar tarkim, kad funkcija   yra apibrėžta kai  , tada galima apibrėžti integralą nuo 0 iki  
 .
Kartojimas šio proceso duoda šią išraišką:
 .
Jei šią procedūrą pakartoti   kartų, - gausime Koši formule:
 .
Pasitelkus Gama-funkciją  , t.y. kad   galima suteikti Koši formulei prasmę, kai   ne tik sveikas, bet ir trupmeninis skaičius  :
 .
Kaip seka iš apibrėžimo  , integralinis operatorius   yra ir komutatyvus ir adatyvus:
 ,
 .
Ši savybė yra vadinama pusgrupinė (Semi-Group) trupmeninio diferencialinio operatoriaus savybė.

Paprastos funkcijos pusinė išvestinė

keisti


Tarkime, kad   yra laipsninė funkcija
 .
Pirmoji išvestinė yra
 .
Kartojimas išraiškos   duoda
 ,
kur po faktorialų (factorials) pakeitimo Gama-funkcijomis (Gamma function), leidžia suteikti išraiškai   prasmę ne tik sveikom, bet ir trupmeninėm   reikšmėm:
 ,
Taigi, pavyzdys pusinės išvestinės   yra
 .
Kartojimo procesas duoda:
 .
Taip ir turėtu būti: du kartus panaudojus pusinę išvestinę turime gauti paprasta išvestinę, kurios veikimas į funkciją   yra trivialus
 .
Šis diferencialinio operatoriaus apibendrinimas nebūtinai turi būti atliekamas realiais skaičiais, pvz.:  -ojo laipsnio išvestinė ir  -ojo laipsnio išvestinės panaudotos pakartotinai duoda atrojo laipsnio išvestinę.

Laplaso transformacija

keisti


Trupmeninę išvestinę taip pat galime apibrėžti per Laplaso transformaciją (Laplace transform).
Pasinaudojant, tuo kad
 
ir
 
ir t.t., mes teigiame jog
 .
Pavyzdys
 
kaip tikėtasi. Iš tiesų, atsižvelgiant į konvoliucijos (convolution) taisyklę:   (ir sutrumpinimą   aiškumui) matome, kad
 
tai yra ta pati Koši (Cauchy) formulė  .
Laplaso transformacija taikoma palyginti mažai funkcijų klasei, tačiau sprendžiant trupmenines diferencialines lygtis ji naudojama pakankamai dažnai.

Rymano – Liovelio integralas

keisti


Klasikinės formos trupmeninis skaičiavimas yra paremtas Rymano – Liuvilio integralu (Riemann–Liouville integral), kas iš esmės yra tai, kas buvo aprašyta aukščiau. Periodinių funkcijų (periodic functions) teorijoje, atsižvelgiant į periodines sąlygas, yra naudojamas Veilio tipo diferencialinis operatorius (Weyl differintegral). Jis yra apibrėžtas Furjė eilute (Fourier series) ir reikalauja pastovaus Furjė koeficiento artėjimo prie nulio (pritaikyta integruoti funkcijoms vienetiniame apskritime). Dažniausiai, pradžioje apibrėžiamas trupmeninis integralas, o trupmeninė išvestinė apibūdinama, kaip jai atvirkštinis operatorius.
Priešingai, skirtuminės Griunvald – Letnikov išvestinės (Grünwald–Letnikov derivative) prasideda išvestine vietoj integralo.

Kompleksinė analizė

keisti


Kitas svarbus ir akivaizdus būdas įvesti trupmeninius operatorius yra kompleksinio kintamojo teorija. Žinome, kad bet kokiai holomorfinei funkcijai  , apibrėžtai uždarame diske  , kur   yra atvira aibė kompleksinėje plokštumoje  , galioja taisyklė: funkcijos    -osios išvestinės reikšmė   vidiniame disko   taške   gali būti pavaizduota integraline forma
 ,
čia   yra vieną kartą apsivyniojantis (winding number), ištiesinamas kontūras (rectifiable curve) aplink tašką  . Šioje integralinėje Koši formulėje (Cauchy's integral formula) skaičius n yra sveikas. Pasinaudoja formule   ir Eulerio gama-funkcija   (Gamma function), o taip pat nekeičiant kontūro   savybių, formulė   gali būti apibendrinta taip ne tik sveikam, bet ir trupmeniniam   skaičiui.

Funkcinis skaičiavimas

keisti


Funkcinės analizės (functional calculus) kontekste, funkcijos   yra bendresnės nei laipsniai studijuojami spektrinės analizės funkciniame skaičiavime (spectral theory). Pseudo – diferencialinių operatorių (pseudo-differential operators) teorija taip pat leidžia nagrinėti operatoriaus   trupmeninius laipsnius. Kylantys operatoriai yra pavyzdžiai singuliarių integralinių operatorių; ir klasikinės teorijos apibendrinimas didesniu aspektu yra vadinamas Ryso (Riesz) potencialo teorija (Riesz potentials). Taip pat pažiūrėkite Erdeli – Kober operatorių (Erdélyi-Kober operator), kuris yra svarbus specialių funkcijų (special function) teorijai.
Taigi, yra keletas šiuolaikinių teorijų, kuriuose trupmeninis skaičiavimas gali būti apibrėžtas.