Matematika/Integravimas keičiant kintamąjį: Skirtumas tarp puslapio versijų
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72 eilutė:
:<math>=-\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{4}\sin (2t)+C=-\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{4}\cdot 2\sin (t)\cdot \cos(t)+C=-\frac{a^2}{2} t+\frac{a^2}{2}\cdot\sqrt{1-\cos^2 t}\cdot \cos(t)+C=</math>
:<math>=-\frac{a^2}{2}\cdot \arccos\frac{x}{a}+\frac{a^2}{2}\cdot \sqrt{1-\cos^2 (\arccos\frac{x}{a})}\cdot \cos(\arccos\frac{x}{a})+C=-\frac{a^2}{2}\arccos\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C,</math>
kur <math>\sin(2t)=2\sin t\cos t=2\sqrt{1-\cos^2 t}\cdot\cos t=2\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\cdot \frac{x}{a}=\frac{2 x}{a}\sqrt{\frac{a^2-x^2}{a^2}}=\frac{2x}{a^2}\sqrt{a^2-x^2};</math>
:<math>x=a\cos t;</math> <math>\frac{x}{a}=\cos t;</math> <math>t=\arccos\frac{x}{a};</math> <math>dx=-a\sin (t) dt
*<math>\int \frac{x dx}{\sqrt{1-x^2}}=\int \frac{-\frac{1}{2}d(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}}=-\frac{1}{2}\frac{(1-x^2)^{-0.5+1}}{-0.5+1}+C=-\sqrt{1-x^2}+C, </math>
kur <math>d(1-x^2)=-2x dx;</math> <math>x dx=\frac{d(1-x^2)}{-2}.</math>
101 eilutė:
*<math>\int\frac{dx}{\sqrt{1-x}}=\int-\frac{2t}{t}dt=-2\int dt=-2t+C=-2\sqrt{1-x}+C,</math> kur <math>t=\sqrt{1-x};</math> <math>x=1-t^2;</math> <math>dx=-2t dt.</math>
*<math>\int\frac{-2x}{(1+x^2)^2}dx=\int\frac{-2x}{(1+x^2)^2}\frac{d(1+x^2)}{2x}=\int\frac{-1}{(1+x^2)^2}d(1+x^2)=-\frac{(1+x^2)^{-2+1}}{-2+1}+C=</math>
:<math>=\frac{1}{1+x^2}+C,</math>
kur <math>d(1+x^2)=2xdx;</math> <math>dx=\frac{d(1+x^2)}{2x}.</math> *<math>\int\frac{\sin^3 x}{\cos x}dx=\int\frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos x}dx=\int\frac{\sin x(1-\cos^2 x)}{\cos x}\frac{d(\cos x)}{-\sin x}=-\int\frac{1-\cos^2 x}{\cos x}d(\cos x)=</math>
<math>=-\int\frac{1}{\cos x}-\cos x d(\cos x)=\frac{\cos^2 x}{2}-\ln\cos x+C,</math> kur <math>d(\cos x)=-\sin x dx;</math> <math>dx=\frac{d(\cos x)}{-\sin x}.</math>
*<math>\int\frac{1}{\sin x -1}dx=\frac{\sin x +1}{(\sin x -1)(\sin x +1)}=\int\frac{\sin x +1}{\sin^2 x -1}dx=\int\frac{\sin x +1}{-\cos^2 x}dx=</math>
<math>=\int-\frac{\sin x}{\cos^2 x}-\frac{1}{\cos^2 x}dx=-\int\frac{\sin x}{\cos^2 x}\frac{d(\cos x)}{-\sin x}-\int\frac{1}{\cos^2 x}dx=\int\frac{d(\cos x)}{\cos^2 x}-\tan x+C_2=</math>
<math>=-\frac{1}{\cos x}-\tan x+C,</math>
kur <math>d(\cos x)=-\sin x dx;</math> <math>dx=\frac{d(\cos x)}{-\sin x}.</math> *<math>\int\frac{x^3}{(x-1)^2}dx=\int {(t+1)^3\over t^2}=\int(t+3+\frac{3}{t}+\frac{1}{t^2})dt=\frac{t^2}{2}+3t+3\ln|t|-\frac{1}{t}+C=</math>
<math>=\frac{1}{2}(x-1)^2+3(x-1)+3\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C,</math> kur <math>x-1=t;</math> <math>x=t+1;</math> <math>dx=dt.</math>
*<math>\int{dx\over \sqrt{x^2+a}}=\int{dt\over t}=\ln|t|+C=\ln|\sqrt{x^2+a}+x|+C,</math>
kur <math>\sqrt{x^2+a}+x=t; \; dt=(\frac{x}{\sqrt{x^2+a}}+1)dx; \; dx=\frac{\sqrt{x^2+a}}{\sqrt{x^2+a}+x}dt.</math> *<math>\int{e^x dx\over\sqrt{4-e^{2x}}}=\int{dt\over\sqrt{4-t^2}}=\arcsin{t\over 2}+C=\arcsin{e^x\over 2}+C,</math> kur <math>e^x=t;</math> <math>e^x dx=dt.</math>
*<math>\int x\sqrt{6-x^2}dx=\int\sqrt{6-x^2}{d(6-x^2)\over -2}=-{1\over 2}\int{(6-x^2)^{\frac{3}{2}}\over {3\over 2}}+C={1\over 3}(x^2-6)\sqrt{6-x^2}+C,</math>
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