Matematika/Gauso formulė: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
52 eilutė:
:<math>=\sqrt{1+\frac{x^2}{R^2-x^2-y^2} +\frac{y^2}{R^2-x^2-y^2} }=\sqrt{\frac{R^2-x^2-y^2 +x^2 +y^2}{R^2-x^2-y^2} }=\sqrt{\frac{R^2}{R^2-x^2-y^2} };</math>
:<math>x^2+y^2=\rho^2</math> cilindinėse ir polinėse koordinatėse;
:Iš [http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=x+%28%28R%5E2%29%2F%28R%5E2+-+x%5E2%29%29%5E%281%2F2%29&random=false internetinio integratoriaus] <math>\int_0^R \rho \sqrt{\frac{R^2}{R^2-\rho^2} } \; d\rho = (\rho^2 -R^2)\sqrt{\frac{R^2}{R^2-\rho^2}}|_0^R=-R\sqrt{R^2-\rho^2}|_0^R ;</math>
:<math>S_{pav.}=\iint_s \sqrt{1+(z_x')^2+(z_y')^2} \; dx \; dy=\iint_s \sqrt{\frac{R^2}{R^2-x^2-y^2} } \; dx \; dy =\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^R \rho \sqrt{\frac{R^2}{R^2-\rho^2} } \; d\rho =</math>
:<math>=\int_0^{2\pi} -R\sqrt{R^2-\rho^2}|_0^R d\phi =-R\int_0^{2\pi} (\sqrt{R^2-R^2} -\sqrt{R^2-0^2}) d\phi =-R\int_0^{2\pi} (0 -\sqrt{R^2}) d\phi =R^2\int_0^{2\pi} d\phi =2\pi R^2 . </math>
:Taigi, visas rutulio paviršiaus plotas susideda iš dviejų pusrutulių, todėl
:<math>S_{visas}=2\cdot S_{pav.}=2\cdot 2\pi R^2=4\pi R^2.</math>
:'''Kitaip patikrinsime''' apskaičiuodami <math>\iint_S x^3 \mathbf{d}y \mathbf{d}z, \; \iint_S y^3 \mathbf{d}z \mathbf{d}x</math> ir <math>\iint_S x^3 \mathbf{d}x \mathbf{d}y</math> sumą.
:<math>x^2=R^2-y^2-z^2,</math>
| |||