Matematika/Gauso formulė

Formulė Gauso - Ostrogradskio yra analogas Gryno formulės. Tada kai formulė Gryno - Ostrogradskio suriša kreivinį integralą antrojo tipo uždara kreive su dvilypiu integralu plokščia sritimi, apribota šia kreive, tai formulė Gauso - Ostragradskio nustato ryšį tarp paviršinio integralo (antrojjo tipo) uždaru paviršiumi ir trilypiu integralu palei erdvinę sritį, apribotą šiuo paviršiumi.


Formulė Gauso - Ostrogradskio:
Ji išreiškia paviršinį integralą bendro pavidalo palei išorinę pusę uždaro paviršiaus S per trilypį integralą palei trimatę sritį V, apribotą šiuo paviršiumi.
Formulę Gauso - Ostrogradksio galimą naudoti apskaičiavimui paviršinių integralų uždaru paviršiumi.


Vienam iš pritaikymų formulės Gauso - Ostrogradskio, paimkime uždavinį apie apskaičiavimą kūno tūrio su paviršiniu integralu, palei išorinę pusę paviršiaus, apribojantį šitą kūną.
Tikrai, jei sritis V turi nurodyta aukščiau formą, tai
pagal formulę Gauso - Ostrogradksio randame:
Keisdami rolėmis x, y, z, gausime taip pat, kad
tokiu budu yra formulės:
išreiškiančios kūno tūrį v per integralą palei išorinę pusę jo paviršiaus.
Paėmę funkciją
gausime formulę, išreiškiančią kūno tūrį per paviršinį integralą bendro pavidalo:
Nes tada kai ir tada
Todėl kūno V, apriboto paviršiumi S tūris v lygūs:


PavyzdžiaiKeisti

  • Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą   pagal išorinę pusę sferos  
Taikydami formulę Gauso - Ostragradksio, gauname:
 
 
 
Teisingiau skaičiuoti taip ( ):
 
 
 
Patikrinsime apskaičiuodami   ir   sumą.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Kadangi ir teigiama ir neigiama kryptimi reikia apskaičiuoti, tai   Ir kadangi funkcijų  ,   ir   laipsniai vienodi, tai
 
Gauta masė (skardinės sferos tankis priklauso nuo x reikšmės trečiame laipsnyje) nesutampa su Gauso formulės logika.
Update. Pagal oficialią teoriją taip ir neturi sutapti atsakymai ir kas ką tik buvo apskaičiuota ( ) neturi nieko bendro su Gauso formule.
Pastaba. Rutulio paviršiaus plotą įmanoma apskaičiuoti cilindinėse koordinatėse. Bandydami, gauname:
 
 
 
 
 
 
  cilindinėse ir polinėse koordinatėse;
internetinio integratoriaus  
 
 
Taigi, visas rutulio paviršiaus plotas susideda iš dviejų pusrutulių, todėl
 
Kitaip patikrinsime apskaičiuodami   ir   sumą.
 
 
 
 
Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad
 
 
 
 
Kadangi reikia dviejų rutulio pusrutulių (teigiama ir neigiama Ox kryptimi), tai
 
Kadangi, pagal sąlyga bus   tai
 
Ką norėta rasti ir kas rasta. Norėta apskaičiuoti (kaip supranta redaguotojas) sferos iš skardos masę. Skardos tankis vienu skaičiavimu kinta tik priklausomai nuo Ox koordinatės pagal funkcija   Antru atveju skardos tankis kinta tik priklausomai nuo y koordinatės pagal funkciją   Trečiu atveju skardos tankis kinta tik priklausomai nuo z koordinatės pagal funkciją   Kadangi rutulys simetriškas, tai užtenka apskaičiuoti, tarkime,   ir padauginti iš 3, o paskui dar padauginti iš 2, nes ir teigiama ir neigiama kryptimi tankis didėja vienodai. Skaičiuojant analogiškai kreiviniam integralui (pirmojo tipo) gauname atsakyma   Atsakymas   ir yra skardinės sferos masė išintegruota trimis ašimis   Pagal Gauso samprotavimo formulę skardinės sferos masė yra   Kiek suprantu, Gauso formulė iškraipo prasmę integravimas paviršiumi, nes tik su iškraipyta prasme integravimas paviršiumi Gauso formulė gali egzistuoti kaip teisinga formulė.
Gauto rezultato   prasmę galima išaiškinti taip: sfera spindulio   projektuojasi į plokštumą xOy; sferos centras yra taškas O, sferos projekcija į xOy plokštumą yra skritulys, kurio centras koordinačių pradžios taškas O; skritulio formulė yra   skritulio plotas telpa į apskritimą kurio formulė   kadangi apskritimo plokštumoje xOy spindulys   kaip ir sferos spindulys, tai į plotą   telpa 314 strypų lygiagrečių Oz ašiai ir atstumas tarp strypų ant xOy plokštumos yra vienodas; kiekvienas strypas susikerta su sferos paviršiumi ir kiekvieno strypo ilgis yra nuo plokštumos xOy iki susikirtimo su sferos paviršiumi (mes skaičiuojame tik vienam pusrutuliui, tik teigiama Oz ašimi); trumpiausias strypo ilgis yra 0, o ilgiausias strypo ilgis yra iš centro O ir lygus R=10; dabar kiekvieną strypo ilgį reikia pakelti kubu, nes   Todėl strypo iš centro O (sutampančiam su ašimi Oz) ilgis yra   tolstančių nuo centro strypų ilgis trumpėja, o ant apskritimo kraštų strypų ilgis artimas arba lygus nuliui; rezultatas   yra visų strypų ant plokštumos xOy ir lygiagrečių ašiai Oz ilgių suma (dviejų pusrutulių).


  • Pavyzdis. Apskaičiuoti integralą   pagal išorinę pusę sferos  
Taikydami formulę Gauso, gauname:
 
 
 
Neteisingai skaičiuota, nes x polinėse ir sferinėse koordinatėse nėra   bet yra   ir per   sferinėse koordinatėse net išreikšti negalima (nes sferinėje koordinačių sistemoje   o x išreikšti galima taip:   (o gal taip:  )). Žemiau turėtų būti teisingai paskaičiuota. Bet šansai, kad jei x pakeisti   ir bus gautas teisingas atsakymas (skaičiuojant kaip aukščiau sferinėse koordinatėse) yra labai maži (bandžiau integruot su internetiniu integratoriumi ir gaunasi dalyba iš nulio, šaknyje minusas ir/ar panašiai).
Kitaip patikrinsime apskaičiuodami  
 
 
 
 
Pasinaudodami internetiniu integratoriumi, gauname, kad
 
 
 
Kadangi reikia dviejų rutulio pusrutulių (teigiama ir neigiama Ox kryptimi), tai
 
Atsakymai   ir   nesutampa (gal atsakymas   yra tik ketvirtadalis sferos, bet tada kyla klausimas: kodėl ne aštuntadalis sferos?).
Šiaip, atsakymas   turėtų būti teisingas.
Teisingas skaičiavimas pagal tūrio formulę (skaičiavimas sferinėje koordinačių sistemoje). Mums prireiks šitos trigonometrinės formulės     Pagal Gauso formulę (sferinėse koordinatėse turime, kad  ):
 
 
 
 
Kažkas nesiintegruoja. Galima pabandyti integruoti per   nuo 0 iki   ir paskui viską padauginti iš 4:
 

Taip pat skaitykiteKeisti