Matematika/Koši formulė

Kad įrodyti Koši formulę, pirmiausia reikia žinoti Rolio teoremą. Toliau segmentas reiškia uždarą intervalą.

Išvestinės nulio teorema

Rolio teorema. Sakykime, funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei $f(a)=f(b),$ tai segmento [a; b] viduje yra taškas $\xi ,$ kuriame išvestinės reikšmė lygi nuliui: $f'(\xi )=0.$

Trumpai galima sakyti, kad tarp dviejų skiringų argumento reikšmių, kurias atitinka vienodos diferencijuojamos funkcijos reikšmės, būtinai tos funkcijos išvestinė lygi nuliui.

Įrodymas. Kadangi funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai ta funkcija pasiekia šiame segmente savo maksimaliąją reikšmę M ir minimaliąją reikšmę m. Galimi du atvejai: 1) $M=m,$ 2) $M>m.$ Kadangi 1 atveju $f(x)=M=m=const,$ tai išvestinė f'(x) lygi nuliui bet kuriame segmento [a; b] taške. Atveju, kai $M>m,$ atsižvelgę į sąlygą $f(a)=f(b),$ galime tvirtinti, kad bent vieną iš dviejų reikšmių M ir m funkcija pasiekia kokiame nors vidiniame segmento [a; b] taške $\xi .$ Todėl funkcija f(x) tame taške $\xi$ turi lokalinį ekstremumą. Kadangi funkcija f(x) diferencijuojama taške $\xi ,$ tai $f'(\xi )=0.$ Teorema visiškai įrodyta.

Rolio teorema turi paprastą geometrinę prasmę: jei kreivės y = f(x) kraštinės ordinatės vienodos, tai kreivėje y = f(x) yra bent vienas taškas, per kurį nubrėžta kreivės liestinė yra lygiagreti ašiai Ox.

Rolio teorema pagrįsta daugelis matematinės analizės formulių ir teoremų.