Matematika/Koši formulė: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
16 eilutė:
:Įrodysime teoremą, apibendrinančią anksčiau įrodytąją Lagranžo teoremą.
:'''Koši teorema'''. ''Sakykime, funkcijos f(x) ir g(x) tolydžios segmente [a; b] ir diferencijuojamos visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei išvestinė g'(x) nelygi nuliui visuose vidiniuose segmento [a; b] taškuose, tai to segmento viduje yra toks taškas'' <math>\xi,</math> ''kad teisinga lygybė''
:<math>\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}. \quad (8.19)</math>
:Ji vadinama ''bendrąja baigtinių pokyčių formule'', arba ''Koši formule''.
:''Įrodymas''. Pirmiausia įsitikinsime, kad <math>g(a)\neq g(b).</math> Jei taip nebūtų, tai funkcija ''g(x)'' segmente [''a; b''] tenkintų visas Rolio teoremos sąlygas, todėl pagal tą teoremą segmento [''a; b''] viduje turėtų būti toks taškas <math>\xi,</math> kad <math>g'(\xi)=0.</math> Kadangi tai prieštarauja teoremos sąlygoms, tai <math>g(a)\neq g(b).</math> Vadinasi, galime sudaryti pagalbinę funkciją
:<math>F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]. \quad (8.20)</math>
:Iš funkcijų ''f(x)'' ir ''g(x)'' savybių, nurodytų teoremos sąlygoje, išplaukia, kad ''F(x)'' yra tolydi segmente [''a; b''] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Be to, lengva įsitikinti, kad <math>F(a)= F(b)=0.</math> Vadinasi, segmento [''a; b''] viduje yra toks taškas <math>\xi,</math> kad
:<math>F'(\xi)=0. \quad (8.21)</math>
:Turėdami galvoje, kad <math>F'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} g(x),</math> ir pasinaudoję (8.21) lygybe, gausime
| |||