Matematika/Koši formulė

Kad įrodytume Koši formulę, pirmiausia reikia žinoti Rolio teoremą. Toliau segmentas reiškia uždarą intervalą.


Išvestinės nulio teorema

keisti
 
8.10 pav.
Rolio teorema. Sakykime, funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei   tai segmento [a; b] viduje yra taškas   kuriame išvestinės reikšmė lygi nuliui:  
Trumpai galima sakyti, kad tarp dviejų skiringų argumento reikšmių, kurias atitinka vienodos diferencijuojamos funkcijos reikšmės, būtinai tos funkcijos išvestinė lygi nuliui.
Įrodymas. Kadangi funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai ta funkcija pasiekia šiame segmente savo maksimaliąją reikšmę M ir minimaliąją reikšmę m. Galimi du atvejai: 1)   2)   Kadangi 1 atveju   tai išvestinė f'(x) lygi nuliui bet kuriame segmento [a; b] taške. Atveju, kai   atsižvelgę į sąlygą   galime tvirtinti, kad bent vieną iš dviejų reikšmių M ir m funkcija pasiekia kokiame nors vidiniame segmento [a; b] taške   Todėl funkcija f(x) tame taške   turi lokalinį ekstremumą. Kadangi funkcija f(x) diferencijuojama taške   tai   Teorema visiškai įrodyta.
Rolio teorema turi paprastą geometrinę prasmę: jei kreivės y = f(x) kraštinės ordinatės vienodos, tai kreivėje y = f(x) yra bent vienas taškas, per kurį nubrėžta kreivės liestinė yra lygiagreti ašiai Ox (8.10 pav.).
Rolio teorema pagrįsta daugelis matematinės analizės formulių ir teoremų.

Bendroji baigtinių pokyčių formulė (Koši formulė)

keisti
Įrodysime teoremą, apibendrinančią anksčiau įrodytąją Lagranžo teoremą.
Koši teorema. Sakykime, funkcijos f(x) ir g(x) tolydžios segmente [a; b] ir diferencijuojamos visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei išvestinė g'(x) nelygi nuliui visuose vidiniuose segmento [a; b] taškuose, tai to segmento viduje yra toks taškas   kad teisinga lygybė
 
Ji vadinama bendrąja baigtinių pokyčių formule, arba Koši formule.
Įrodymas. Pirmiausia įsitikinsime, kad   Jei taip nebūtų, tai funkcija g(x) segmente [a; b] tenkintų visas Rolio teoremos sąlygas, todėl pagal tą teoremą segmento [a; b] viduje turėtų būti toks taškas   kad   Kadangi tai prieštarauja teoremos sąlygoms, tai   Vadinasi, galime sudaryti pagalbinę funkciją
 
Iš funkcijų f(x) ir g(x) savybių, nurodytų teoremos sąlygoje, išplaukia, kad F(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Be to, lengva įsitikinti, kad   Vadinasi, segmento [a; b] viduje yra toks taškas   kad
 
Turėdami galvoje, kad   ir pasinaudoję (8.21) lygybe, gausime
 
Atsižvelgę į tai, kad   iš (8.22) lygybės gauname (8.19) Koši formulę. Teorema įrodyta.
1 pastaba. Lagranžo formulė yra atskiras Koši formulės atvejis, kai  
2 pastaba. (8.19) formulei nebūtina sąlyga