Matematika/Koši formulė
- Kad įrodytume Koši formulę, pirmiausia reikia žinoti Rolio teoremą. Toliau segmentas reiškia uždarą intervalą.
Išvestinės nulio teorema
keisti- Rolio teorema. Sakykime, funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei tai segmento [a; b] viduje yra taškas kuriame išvestinės reikšmė lygi nuliui:
- Trumpai galima sakyti, kad tarp dviejų skiringų argumento reikšmių, kurias atitinka vienodos diferencijuojamos funkcijos reikšmės, būtinai tos funkcijos išvestinė lygi nuliui.
- Įrodymas. Kadangi funkcija f(x) yra tolydi segmente [a; b], tai ta funkcija pasiekia šiame segmente savo maksimaliąją reikšmę M ir minimaliąją reikšmę m. Galimi du atvejai: 1) 2) Kadangi 1 atveju tai išvestinė f'(x) lygi nuliui bet kuriame segmento [a; b] taške. Atveju, kai atsižvelgę į sąlygą galime tvirtinti, kad bent vieną iš dviejų reikšmių M ir m funkcija pasiekia kokiame nors vidiniame segmento [a; b] taške Todėl funkcija f(x) tame taške turi lokalinį ekstremumą. Kadangi funkcija f(x) diferencijuojama taške tai Teorema visiškai įrodyta.
- Rolio teorema turi paprastą geometrinę prasmę: jei kreivės y = f(x) kraštinės ordinatės vienodos, tai kreivėje y = f(x) yra bent vienas taškas, per kurį nubrėžta kreivės liestinė yra lygiagreti ašiai Ox (8.10 pav.).
- Rolio teorema pagrįsta daugelis matematinės analizės formulių ir teoremų.
Bendroji baigtinių pokyčių formulė (Koši formulė)
keisti- Įrodysime teoremą, apibendrinančią anksčiau įrodytąją Lagranžo teoremą.
- Koši teorema. Sakykime, funkcijos f(x) ir g(x) tolydžios segmente [a; b] ir diferencijuojamos visuose vidiniuose to segmento taškuose. Jei išvestinė g'(x) nelygi nuliui visuose vidiniuose segmento [a; b] taškuose, tai to segmento viduje yra toks taškas kad teisinga lygybė
- Ji vadinama bendrąja baigtinių pokyčių formule, arba Koši formule.
- Įrodymas. Pirmiausia įsitikinsime, kad Jei taip nebūtų, tai funkcija g(x) segmente [a; b] tenkintų visas Rolio teoremos sąlygas, todėl pagal tą teoremą segmento [a; b] viduje turėtų būti toks taškas kad Kadangi tai prieštarauja teoremos sąlygoms, tai Vadinasi, galime sudaryti pagalbinę funkciją
- Iš funkcijų f(x) ir g(x) savybių, nurodytų teoremos sąlygoje, išplaukia, kad F(x) yra tolydi segmente [a; b] ir diferencijuojama visuose vidiniuose to segmento taškuose. Be to, lengva įsitikinti, kad Vadinasi, segmento [a; b] viduje yra toks taškas kad
- Turėdami galvoje, kad ir pasinaudoję (8.21) lygybe, gausime
- Atsižvelgę į tai, kad iš (8.22) lygybės gauname (8.19) Koši formulę. Teorema įrodyta.
- 1 pastaba. Lagranžo formulė yra atskiras Koši formulės atvejis, kai
- 2 pastaba. (8.19) formulei nebūtina sąlyga