Aptarimas:Matematika/Iracionaliųjų funkcijų integravimas

Naujausias komentaras: prieš 1 metus Paraboloid temoje Vis tiek su klaida

Pirmi du variantai galetu buti isspresti kitaip - taip kaip atrodytu nenusizengiant taisyklem integravimo ir be prikabinimo is nieko kitu demenu. Atsakymai zinoma skirtusi. Stai ju sprendimo budai:


Pakėlę šios lygybės abi puses kvadratu, gauname:

Pakelę abi puses kvadratu, gauname Imdami apiejų lygybės pusių diferencialus, randame:  ;

Ar Oi-lerio keitiniai nereikalauja papildomu sprendimo ziniu ar salygu, o gal is vis yra klaidingi, tai del to kyla abejoniu del ju tinkamumo matematikoje. Ne veltui vadinasi Oiiii-liar'io keitiniai.

pavyzdio problema keisti

Is straipsnio:

  •   kur        


Pavyzdyje si vieta     atrodo, kad isvestine gauta blogai. Nes

Dalybos taisyklė
 

Tada  ,  . Tada  

isvestines gavimo budas keisti

    Pakėlę šios lygybės abi puses kvadratu, gauname:  

 
 
 
 
 
Palyginus su sita nesamone:

 

 

   

bandymas isspresti pavyzdi normaliau keisti

  •  

  Pakelę abi puses kvadratu, gauname        ;  ;   ;  ;   ;   Imdami apiejų lygybės pusių diferencialus, randame:  

 
 

For  

 
Mums tinka antras variantas:

 

 

   

Patikrinsime ar įstačius reikšmę x=0.1, atsakymai funkcijos   ir   sutaps:
 
 

       


Jei trinaris butu virsuje integruotusi, butu daug paprasciau:          

Patikrinsime ar istacius 0.1 reiksme i pradine funkcija   ir i funkcija   gausis tokie patys atsakymai.
 

   

integruotos pradines funkcijos isvestines ir pradines funkcijos sulyginimas keisti

 
 

 


 
Palyginsime atsakymus integruotos funkcijos isvestines ir neintegruotos funkcijos, istacius abiais atvejais x=3.
 

           

 

integruotos pradines funkcijos isvestines ir pradines funkcijos sulyginimas 2 keisti

 


Patikriname ar atsakymai bus vienodi istacius x=4.

 

   

integruotos pradines funkcijos isvestines ir pradines funkcijos sulyginimas 3 keisti

 

   


Patikriname ar atsakymai bus vienodi istacius x=3.

 

     

 

O taip blogai:

 

     

integruotos pradines funkcijos isvestines ir pradines funkcijos sulyginimas 4 keisti

   

Patikriname ar atsakymai bus vienodi istacius  .

 

   

 

 


Patikriname ar atsakymai bus vienodi istacius  .

 

     

 

 


Update 1. Neteisingai integruojama buvo į arktangentą. Teisingai taip:
 
 

integruotos pradines funkcijos isvestines ir pradines funkcijos sulyginimas 5 keisti

     


Patikriname ar atsakymai bus vienodi istacius  .

 

       

 

Pabandome gauti teisinga atsakyma isvestine darant kitokiu budu (ir istacius x=3), nors sis budas ligtais 95%, kad neteisingas:

 

   


Pabandome gauti teisinga atsakyma isvestine darant kitokiu budu (ir istacius x=3), nors sis budas ligtais 95%, kad neteisingas:

 

           

 
Sis budas pasirode esas teisingas. Cia buvo pasinaudota dviejomis formulemis:
 
 
Diferencijavimas vyko tokiu budu, kad pavyzdiui, sioje funkcijoje   yra dvi funkcijos  , o  . Tuomet  , o  

Neteisingai rastas dx pavyzdyje apie diferencialinių binomų integravimą keisti

Diferencialinių binomų integravimas Integralas   kur m, n, p - racionalieji skaičiai, vadinamas integralu su binominiu diferencialu. Šį integralą elementariosiomis funkcijomis įmanoma išreikšti tik trimis atvejais:

I. p - sveikasis skaičius. Jei   tai pointegralinis binomas skleidžiamas pagal Niutono binomo formulę. Jei   tai keičiame   kur k - bendras trupmenų m ir n vardiklis. Pavyzdžiui, trupmenų   ir   bendras vardiklis yra 3   4 = 12.
II.   - sveikasis skaičius. Keičiame   kur   - trupmenos p vardiklis.
III.   - sveikasis skaičius. Keičiame   kur   - trupmenos p vardiklis.

Pavyzdžiai

  •   Matome, kad tinka trečias atvejis, nes  . Čia m=0, n=2,  . Keičiame   kur   - trupmenos p vardiklis. Taigi  , čia a=3, b=1;  ;  ;  ;  .
 
 
 
 

  Kur  


Iš tikro

 

Vis tiek su klaida keisti

  •   Matome, kad tinka trečias atvejis, nes  . Čia m=0, n=2,  . Keičiame   kur   - trupmenos p vardiklis. Taigi  , čia a=3, b=1;  ;  ;  ;  .
 
 
 
 
toliau integruojama kaip racionali funkcija.
 
Kur  
Bet tokia funkcija integruojama lengviau kitaip (ne per diferencialinius binomus) ir yra jinai integralų lentelėje
 

Klaida čia:

 

Paraboloid (aptarimas) 19:55, 31 gruodžio 2022 (UTC)Atsakyti

Pasirodo, kad teisingai skaičiuojant gaunamas toks pat integralas   Tik dabar niekaip negaliu suprasti kaip buvo priskaičiuota teisingai, šiuo iš pažiūros klaidingu budu, kuris yra kažkaip teisingas. Arba ten tik galutinis atsakymas ( ) teisingas, o ne pats skaičiavimo būdas...
Dabar atrodo supratau, kaip ten skaičiuota (ir ten teisingai skaičiuota)...
Grįžti į "Matematika/Iracionaliųjų funkcijų integravimas" puslapį.