Matematika/Iracionaliųjų funkcijų integravimas

Šis straipsnis yra apie iracionaliųjų funkcijų integravimą.

kur

kur

  • kur
  • kur
  • kur

Papildomai

keisti

Oilerio keitiniai

keisti
Funkcijos
 
(a, b ir c - realieji skačiai) integralas yra elementarioji funkcija.


I.   ; a>0;

  . Pakėlus abi dalis lygybės   kvadartu, gauname   taip kad
 
 
 
Tinka, kai kvadrainis trinaris turi menamas šaknis.


II.   ; c>0. Tada

 
(Mes apsisprendėme prieš šaknį pasirinkti pliuso ženklą.) Iš čia x yra kaip racionali funkcija nuo t:
 
 
  iš čia arba x=0 arba   Mums reikia išreikšti x per t, todėl x=0 netinka; sprendžiame toliau:
 
 
 
Turime
 
 
 
 


III.   kur   yra bet kuri realioji trinario   šaknis. Taikoma tik kai yra du lygties   sprendiniai.

Tegu   ir   - realiosios šaknys trinario   Tada
 
Kadangi   tai
 
 
 
Iš čia randame x kaip racionalią funkciją nuo t:
 
 
 
 
Trečias Oilerio keitinys tinka kai a>0 ir kai a<0. Butina tik, kad turėtų daugianaris   dvi realiasias šaknis.
 
 
 


Pavyzdžiai

keisti
Pirmojo Oilerio keitinio pavyzdžiai
  •  

  Pakėlę šios lygybės abi puses kvadratu, gauname:  

 
 
 
 
 
 

   


  •   Taikome I Oilerio keitinį  

  ;   ;   ;    

 

 


  • Apskaičiuoti  
Sprendimas. Kadangi trinaris   turi kompleksines šaknis, padarysime keitinį   Pakėlę abi lygybės puses kvadratu, gauname

  arba  ; iš čia   ,  

Tada

 

Toliau, turime

 

Padauginę abi dalis lygybės su   gauname
 
Prilyginę koeficientus prie vienodų laipsmių t, gauname sistemą lygčių pirmojo laipsnio atžvilgiu A, B, D:
{4A+2B=2,
{4A+B+D=2,
{A=2,
Iš čia A=2, B=-3, D=-3. Todėl,
 
ir galutinai
 
 

 


Antrojo Oilerio keitinio pavyzdžiai
  •  

  Pakelę abi puses kvadratu, gauname       Imdami apiejų lygybės pusių diferencialus, randame:        

Sprendimas normaliai. Čia a=-9, b=-6, c=1. Tada
 
 
 
 
 


  • Apskaičiuoti  
Sprendimas. Čia trinaris   turi kompleksines šaknis ir a<0, c>0, pasinaudojame keitiniu   Pakėlę abi lygties puses kvadratu, gauname

 ,  ,  ,  ,  ,  .      

Tokiu budu,

     


  • Reikia apskaičiuoti integralą

 

Sprendimas. Taikome II Oilerio keitinį   tada
           

 

 
 
 
Įstate gautas išraiškas į pradinį integralą, randame:

         


Trečiojo Oilerio keitinio pavyzdžiai
  •   Pastebėję, kad pošaknio trinario šaknys yra 2 ir 3, taikome keitinį   Pakėlę šios lygybės abi puses kvadratu ir suprastinę iš   gauname:
         ;
 
 
 
 


  •   kur     todėl taikome III Oilerio keitinį. Lygties   sprendiniai yra  ,  ;  

                   


  • Reikia apskaičiuoti integralą

 

Sprendimas. Kadangi   tai:

  tada

 ,        
 
 
 
 
Grįžtant prie pradinio integralo, gauname:

   

Diferencialinių binomų integravimas

keisti

Integralas   kur m, n, p - racionalieji skaičiai, vadinamas integralu su binominiu diferencialu. Šį integralą elementariosiomis funkcijomis įmanoma išreikšti tik trimis atvejais:

I. p - sveikasis skaičius. Jei   tai pointegralinis binomas skleidžiamas pagal Niutono binomo formulę. Jei   tai keičiame   kur k - bendras trupmenų m ir n vardiklis. Pavyzdžiui, trupmenų   ir   bendras vardiklis yra 3   4 = 12.
II.   - sveikasis skaičius. Keičiame   kur   - trupmenos p vardiklis.
III.   - sveikasis skaičius. Keičiame   kur   - trupmenos p vardiklis.

Pavyzdžiai

  •  

kur   - sveikasis skaičius. Turime I atvejį.

  •  

kur   Turime II atvejį.  

  •  

  kur       Turime III atvejį.    

  •  

  kur      

  •  

kur    

  •  

   

 

kur    

  •   Matome, kad tinka trečias atvejis, nes  . Čia m=0, n=2,  . Keičiame   kur   - trupmenos p vardiklis. Taigi  , čia a=3, b=1;  ;  ;  ;  .
 
 
 
 
Iš interentinio integratoriaus:
 
Kur   Kad galima būtų skaičiuoti pagal šią formulę t turi būti mažiau už 1 (t<1). Nes kitaip nesiskaičiuoja ln(1-t). Bet mūsų pavyzdyje, kad ir kokias x reikšmes nestatysi į   vistiek t bus daugiau už 1.
Galima taip integruot:
 
toliau integruojama kaip racionali funkcija.
 
Abi lygties puses padauginame iš (t-1)(t+1). Tada
 
 
 
iš čia turime sistemą:
A+B=0,
A-B=-1.
Tada iš antros lygties A=B-1. Įstačius šia A reikšmę į pirmą lygtį, gauname
B-1+B=0,
2B=1,
B=1/2.
Tada A=-B=-1/2.
Tokiu budu gauname, kad
 
Integruodami gauname:
 
Kur  
1. Jei įstatysime x=2, tai gausime,  
 
=0.98664696104483410110205523811797.
Kai x=1, tai  
 
=0.54930614433405484569762261846126.
Bet tokia funkcija integruojama lengviau kitaip (ne per diferencialinius binomus; integruojant keičiant kintamąjį) ir yra jinai integralų lentelėje
 
2. Tada, kai x=2, tai
 
=1.5359531053788889467996778565792.
O kai x=1, tai
 
=1.0986122886681096913952452369225.
Tada, kai x kinta nuo 1 iki 2, tai pirmu atveju integruojant gauname:
0.98664696104483410110205523811797 - 0.54930614433405484569762261846126 = 0.43734081671077925540443261965671.
Antru atveju, kai x kinta nuo 1 iki 2 integruojant gautume:
1.5359531053788889467996778565792 - 1.0986122886681096913952452369225 = 0.4373408167107792554044326196567.
Abiais būdais integruojant gavome tą patį atsakymą.
Toks Free Pascal kodas:
  var a:longint; c,d:real;
  begin
  for a:=1 to 100000000  do
  d:=d+0.00000002/sqrt(sqr(a*0.00000002)+3);
  for a:=1 to 100000000  do
  c:=c+0.00000001/sqrt(sqr(a*0.00000001)+3);
  writeln(d);
  writeln(c);
  writeln(d-c);
  readln;
  end.
Duoda rezultatus:
9.8664695905111544E-001
5.4930614394743249E-001
4.3734081510368294E-001
po 4 sekundžių su 4.16 GHz dažniu veikiančiu procesorium (per pirmus du paleidimus duoda šituos rezultatus po 18 sekundžių; bet jeigu iškart exe failą (diferencialiniaibinomai.exe) paleist [kurį sukuria visada Free Pascal programa] iš "C:\FPC\3.2.0\bin\i386-win32", tai rezultatai gaunami po 4 sekundžių ir taip yra su visais Free Pascal skaičiavimais, kad per exe failą greičiau skaičiuoja [iš pirmo karto]). Matome, kad rezultatai tokie patys kaip skaičiuojant/integruojant pirmu atveju.
Toks Free Pascal kodas:
  var a:longint; c,d:real;
  begin
  for a:=1 to 1000000000  do
  d:=d+0.000000002/sqrt(sqr(a*0.000000002)+3);
  writeln(d);
  readln;
  end.
duoda rezultatą "9.8664696084608883E-001" (tai reiškia  ) po 20 sekundžių su 4.16 GHz dažniu veikiančiu procesoriumi (per pirmus 2 kartus duodą rezultatą po 34 sekundžių).
Kodas apskaičiuoja plotą, po funkciją   apribotą šios funkcijos kreive, ašimi Ox, ašimi Oy ir ašiai Ox statmena tiese taške x=2.
Beje, integruojant antru budu, kai x kinta nuo 0 iki 2, gauname:
 
= 1.5359531053788889467996778565792 - 0.54930614433405484569762261846126 = 0.98664696104483410110205523811797.
Į anksčiau pirmu budu gautą integralą, įstatę   gauname:
 
 
Tokiu budu gavome, kad
 
O bendru atveju gauname tokį, tikriausiai niekam nematytą, integralą:
 
Integruodami uždavinio sąlygos integralą nuo 0 iki 2, gauname:
 
 
 
 
=0.98664696104483410110205523811797.
Toks pat atsakymas, kaip ir integruojant anksčiau.
Dar galima gauti kitokia šio integralo išraišką. Štai taip:
 
 
Tada  
Integruodami iš pirmo būdo ką tik gautą integralą nuo 0 iki x, turėsime:
 
 
Antru budu integruodami nuo 0 iki x, turime:
 
Gavome tokius pačius integralus ir įstačius vietoj x ir a bet kokias reikšmes, abiais būdais gausime tokias pat išraiškas ir atsakymus.


  •  
  (II atvejis).
Keičiame   kur   - trupmenos p vardiklis. Tada pakeitimas yra      
   
 
 
 


  • Apskaičiuosime integralą
 
Šiame pavyzdyje   todėl   (III atvejis).
Tada   kur   - trupmenos p vardiklis;   Ir pasinaudojame keitiniu
 
Tada gauname
 
 
 


  • Apskaičiuosime integralą   Šiuo atveju   todėl   (II atvejis). Pasinaudoję pakeitimais
 
gauname
 
 
 

Nuorodos

keisti