Aptarimas:Matematika/Vektorius

Pridėti diskusiją
Aktyvios diskusijos

VA CIA KAIP NEREIKIA DARYTI, kad negauti klaidingo kampo:

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

Trikampio plotas yra

Kampo tarp vektorių sinusas yra

radianų arba laipsnių, kur
Taikydami kosinusų toeremą ir Herono formulę patikrinsime ar kampas ir trikampio plotas S surasti teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus

Pagal Herono formulę randame trikampio pusperimetrį

Iš kosinusų teoremos žinome, kad ;
radiano arba 109.4712206 laipsnio.

Idomus faktas, jog

radiano arba 70.52877937 laipsnio.

Dar kitas būdas patikrinti:


spalvotas paveikslelisKeisti

Nereikia bandyti duprasti spavloto paveikslelio,   ir n prasmes, nes ten nieko teisingo ir konkretaus nera. Šis paveikslėlis labiau tiktų apibūdinti mišriąją vektorių sandauga, kai n yra statmenas lygiagretainiui, kuris gaunamas is vektorinės sandaugos 'modulyje'  . Tuomet lygiagretainio gretasienio tūris yra  . Zemiau pateiktas bandymas ka nors suprast:


Vektorinė vektorių sandauga

 
Grafinis vektorinės sandaugos pavaizdavimas

Vektorinės vektorių sandaugos rezultatas yra vektorius. Vektorinė vektorių sandauga turi prasmę tik didesnio nei dviejų matavimų erdvėse.

Vektorių a  ×  b sandauga yra vektorius, statmenas a ir b ir yra aprašytas taip:

 

kur   yra kampas tarp vektorių a ir b , o vektorius n yra statmenas a ir b vektoriams ir betkurioms tiesiems, kurios jungia bet kuriuos vektorių a ir b taškus.

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0), n=(0; 0; 10). Kampas tarp vektoriaus a ir b yra lygus   arba 63,43494882 laipsnių.
 

 

 
 
 
 

Kadangi vektorinė sandauga keičia ženklą esant veidrodiniam atspindžiui (P-simetrija), jos rezultatas kartais vadinamas pseudo-vektoriumi.


Angliskoje wikipedijoje raso http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product#Alternative_formulation , kad

 
Taciau pagal formule is skyriaus "kampas tarp vektoriu":
 
 
  radiano arba 63,43494882 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas   surastas teisingai. Atkarpos t ilgis iš taško a=(1; -2; 0) iki taško b=(3; 0; 0) yra lygus
 

Iš kosinusų teoremos žinome, kad  ;

 
 
 
Reiškia jei
 
tai
 

 

 
 
  radiano arba 63.43494882 laipsnio.

blogas pavyzdys?Keisti

Nei vienas is vektoriniu budu nedave teisingo atsakymo ir atsakymas pats keistas gavosi per Herono formule, tai greiciausiai blogas pavyzdys, t.y. vektorius c nestatmenas plokstumai ant kurios guli vektoriai a ir b. Problema yra tame, kad neaisku kuris vektorius yra statmenas kuriems.

  • Duoti vektoriai a=(1; 2; -2), b=(1; -2; 1), c=(1; -2; 3), kurių pradžios koordinatės yra (0; 0; 0). Rasime gretasienio tūrį:
 
 

Gretasienio tūris yra |-8|=8. Taip pat galima skaičiuot taip:

 
 
Patikriname ar atsakymas bus toks pat naudojant vektorine sandauga sudaugina su statmeno vektoriaus ilgiu:
 
 

 

 
 
 
Patikriname taikydami Herono formulę.
 
 
 
 
 

Rasime kampą tarp vektoriaus a=(1; 2; -2) ir vektoriaus b=(1; -2; 1).

 
 
  arba 47,12401133 laipsnių.

Rasime kampą tarp vektoriaus a=(1; 2; -2) ir vektoriaus c=(1; -2; 3).

 
 
  arba 36,6992252 laipsnių.

Rasime kampą tarp vektoriaus b=(1; -2; 1) ir vektoriaus c=(1; -2; 3).

 
 
  arba 84,5349762 laipsnių.

Palikimas laiko gaišimoKeisti

  • Pavyzdis. Trikampės piramidės viršūnės yra taškai A(3; -1; 5), B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1). Apskaičiuosime šios piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš taško D į sieną ABC, ilgį.
Sprendimas. Nubraižykime tris vektorius, išeinančius iš vieno taško, pavyzdžiui, iš taško A: AB, AC, AD. Žinome, kad trikampės piramidės tūris

 

Randame vektorių AB, AC ir AD koordinates:
AB=B-A=(5-3; 2-(-1); 6-5)={2; 3; 1},
AC=C-A=(-1-3; 3-(-1); 4-5)={-4; 4; -1},
AD=D-A=(7-3; 3-(-1); -1-5)={4; 4; -6}.
Apskaičiuojame mišriąją gautų vektorių sandaugą:
 
 
 
Tada trikampės piramidės tūris

 

Norėdami rasti piramidės aukštinę h, pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę:

 

Bet   todėl
 
Sulygindami šią formulę su ankstesne piramidės formule, gauname:
 
 
kur  

 

 
Toliau pabandysime įrodyti, kad piramidės tūris surastas teisingai. Mes jau turime vieno lygiagretainio plotą į kurį įeina trikampio ABC plotas:
 
Antro lygiagretainio plotas yra  
 

 

 
Dabar, jeigu tiesė CD=t yra statmena plokštumai ACD, tai piramidės tūris yra lygus

 

kur  
Piramidės Tūris gavosi neteisingas (turėjo būti 26). Vadinasi atkarpa CD nėra stati plokštumai ABC. Bet galbūt tiesė CB=f yra stati plokštumai ACD, tai mes ir pabandysime išsiaiškinti. Randame jos ilgį:
 
 
Panašu, kad tai laiko gaišimas, kad patikrinti visų tiesių statumą ir, kad tokiu būdų nepavyks įrodyti mišrios vektorių sandaugos formulės teisingumo piramidei.

Neaišku ar vektoriai sudaro piramidęKeisti

  • Duoti vektoriai a=(3; 4; 5), b=(4; 3; 5), c=(-3; -4; 5). Vektorius c su vektoriu b sudaro beveik 90 laipsnių kampą. Vektorius c su vektorium b sudaro kampą
 
 
  arba 88.854008 laipsnių. Taigi vektorius c yra beveik status abiems vektorioms, ko ir reikia norint surasti apytikslu lygiagretainio gretasienio tūrį (vektoriu c parinkti taip, kad butu status abiems vektoriams yra begalo sunku). Galime patikrinti, kad vektorius c su vektorium a tikrai sudaro 90 laipsniu kampą:
 
 
  arba 90 laipsnių.

Rasime lygiagretainio gretasienio tūrį:

 

 

Patikriname:
 
 

 

 
 
 
Patikriname taikydami Herono formulę.
 
 

Atstumas tarp taškų a=(3; 4; 5) ir b=(4; 3; 5) yra lygus:  

 
 

 

 
 
 


  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(3; 4; 5), b=(4; 3; 5), c=(-3; -4; 5). Vektorius c su vektorium b sudaro kampą
 
 
  arba 88.854008 laipsnių.
Vektorius c su vektorium a sudaro kampą:
 
 
  arba 90 laipsnių.
Kadangi vektorius a su vektoriumi c sudaro statų kampą, tai vektoriaus c ilgis yra aukštinė piramidės, kurios pagrindas yra trikampis sudarytas iš vektorių a ir b. Apskaičiuosime to trikampio plotą
 

 

 
Randame piramidės, kurią sudaro vektoriai a, b ir c aukštinę h, taigi:
 
Randame piramidės, kurią sudaro vektoriai a, b ir c tūrį:
 
Bandydami gauti piramidės tūrį, kurią sudaro vektoriai a, b, c, naudodami mišriąją vektorių sandaugą, gausime neteisingą atsakymą:
 

 

 

Klaidingas tikrinimasKeisti

  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a={8; 6; 2}, b={5; 9; 3}, c={1; 2; 7}. Apskaičiuosime piramidės, kurią sudaro šie vektoriai, tūrį V.
Sprendimas. Piramidės tūris yra lygus 1/6 mišrios vektorių a={8; 6; 2}, b={5; 9; 3}, c={1; 2; 7} sandaugos. Taigi:
 
 
 
Patikrinsime ar tūrio radimo formulė teisinga, rasdami pusiaukampinės vektorių d tarp vektorių a ir b ir apskaičiuodami pirmidės aukštinės h ilgį nuleistos į pirmidės pagrindą (trikampį), kurį sudaro vektoriai a ir b. Taigi,
 
 
 
Surandame kampą tarp vektorių d ir c:
 
 
  radiano arba 58.85448647 laipsnio.
Tuomet aukštinės ilgis yra:
 
 

 

 
Piramidės tūris yra:
 

Klaidingas patikrinimas 2Keisti

  • Pavyzdis. Trikampės piramidės viršūnės yra taškai A(3; -1; 5), B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1). Apskaičiuosime šios piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš taško D į sieną ABC, ilgį.
Sprendimas. Nubraižykime tris vektorius, išeinančius iš vieno taško, pavyzdžiui, iš taško A: AB, AC, AD. Žinome, kad trikampės piramidės tūris

 

Randame vektorių AB, AC ir AD koordinates:
AB=B-A=(5-3; 2-(-1); 6-5)={2; 3; 1},
AC=C-A=(-1-3; 3-(-1); 4-5)={-4; 4; -1},
AD=D-A=(7-3; 3-(-1); -1-5)={4; 4; -6}.
Apskaičiuojame mišriąją gautų vektorių sandaugą:
 
 
 
Tada trikampės piramidės tūris

 

Norėdami rasti piramidės aukštinę h, pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę:

 

Bet   todėl
 
Sulygindami šią formulę su ankstesne piramidės formule, gauname:
 
 
kur  

 

 
Toliau įrodysime, kad piramidės tūris surastas teisingai. Rasime pusiaukampinę kampo tarp vektorių AB ir AC. Sudėję šių vektorių ortus gausime naują vektorių AG, kurio koordinatės yra:
 
 
 
Rasime kampą tarp vektoriaus AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir vektoriaus AB={2; 3; 1}. Taigi,
 
 
  radiano arba 40.98844149 laipsnio.
Patikrinimui, rasime kampą tarp vektoriaus AC={-4; 4; -1} ir AB={2; 3; 1}, taigi
 
  radiano arba 81,97688296 laipsnio. Patikriname, kad  
Surandame kampą tarp vektorių AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir AD={4; 4; -6}, taigi:
 
 
  radiano arba 67.39020453 laipsnio.
Piramidės aukštinės h (kuri nuleista iš taško D į piramidės pagrindą ABC) ilgis yra tiesės AD ilgis padaugintas iš   todėl gauname:

 

Randame ABCD piramidės tūrį:
 
Tašką į kurį nuleista aukštinė iš taško D, pavadiname tašku E. Randame projekcija vektoriaus AD={4; 4; -6} vektoriuje AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, tos projekcijos ilgis yra AE. Gauname:
 
 
Iš Pitagoro teoremos randame aukštine h=DE, taigi:
 
Patikrinsime ar vektoriai AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, AB={2; 3; 1} ir AC={-4; 4; -1} komplanarūs (ar vektoriai guli toje pačioje plokštumoje):
 
 
 
 
Mišrios vektorių sandaugos rezultatas yra 0, todėl vektoriai AG, AB ir AC priklauso tai pačiai plokštumai.
Grįžti į "Matematika/Vektorius" puslapį.