Vektorius – matematinis dydis, apibūdinamas reikšme ir kryptimi erdvėje. Grafiškai vektoriai vaizduojami tiesių atkarpomis su rodyklėmis.

Bendriausias vektoriaus pavyzdys fizikoje būtų jėga.

Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip -- vektoriumi:

.
kur v yra d skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija -- kiekvieną v galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį n-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais v.

Vektoriaus daugyba iš skaliaro

keisti

Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas skaliaru. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro ir gauta sandauga yra vektorius:

 .

Dviejų vektorių suma

keisti

Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius:  . Atkreipkite dėmesį, jog vektorinė sudėtis yra komutatyvi, t. y., v+w=w+v.

Skaliarinė vektorių sandauga

keisti

Išsamesnis straipsnis: Skaliarinė sandauga.

Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.

Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi atitikti, t. y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:

 
Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.

Pavyzdžiui, yra vektoriai a(3; 5; 6) ir b(4; 0; 1), tai jų skaliarinė sandauga bus lygi:

 

Vektoriaus ilgis

keisti

Išnagrinėkime atvejį, kai atliekama vektoriaus skaliarinė sandauga su juo pačiu. Plokštumos (2-matės erdvės) bei įprastos koordinačių sistemos atveju turėsime:

 .

Prisiminus Pitagoro teoremą, teigiančią, jog stataus trikampio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus trikampio kraštinių ilgių kvadratų sumai, tampa natūralus toks vektoriaus ilgio apibūdinimas:

 .
Atkreipkite dėmesį, jog jei nors vienas iš vektoriaus narių bus didesnis nei kiti, tai jo pakėlimas kvadratu lems viso vektoriaus ilgį.

Pavyzdžiui, vektoriaus a(3; -2; 4) ilgis (tai yra ilgis nuo taško (0; 0; 0) iki taško (3; -2; 4)):

 

Pavyzdžiui, žinomos vektoriaus pradžios A(3; 2; -4) ir galo B(6; -5; -2) koordinatės. Tada vektoriaus ilgis bus

 

 

Jeigu vektoriaus pradžios koordinatės A(0; 0; 0), o galo koordinatės B(6; -5; -2), tai vektoriaus AB ilgis bus:
 


Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:

||cv||=c ||v||.
  • Pavyzdžiui, vektorius a(3; -2; 4) ir skaliaras c=5. Tada ca=(15; -10; 20).
 
 

Trikampio nelygybė naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:

||v+w||<=||v||+||w||.
  • Pavyzdžiui, yra vektoriai v=(3; -2; 4) ir w=(1; 5; 8). z=v+w=(3+1; -2+5; 4+8)=(4; 3; 12).
 
 
 
||v||+||w||=5.385164807+9.486832981=14.87199779.
 

Atstumas tarp vektorių

keisti

Atstumas tarp vieno vektoriaus galo ir kito vektoriaus galo (atstumas tarp dviejų taškų n-matėje koordinačių sistemoje) matuojamas pagal formulę:

 

Pavyzdžiai

  • Turime vektorius v=[3, 6], w=[7, 4]. Atstumas tarp jų galų:
 


  • Rasime trikampio, esančio trimatėje erdvėje, plotą. Trikampio viršunių koordinates (x; y; z) yra tokios: A(8; 3; -3); B(3; 2; -1); C(4; 0; -3). Dabar reikia surasti tiesių ilgius AB, AC ir BC:
 
 
 

Taikydami Herono formule apskaičiuojame trikampio pusperimetrį p:

 

Ir trikampio plotą S:

 
  • Rasime trikampio plotą, kurio višunės yra taškuose A(1; 3; -2), B(2; -1; 3), C(0; 2; 4).
 
 
 
 

   

Šio trikampio plotą galima apskaičiuoti naudojantis vektorine sandauga. AB=(2-1; -1-3; 3+2)=(1; -4; 5), AC=(0-1; 2-3; 4+2)=(-1; -1; 6).  

 
 

Vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis

keisti
Vektoriaus   projekcija į ašį Ox yra:
 
Vektoriaus   projekcija į ašį Oy yra:
 
Vektoriaus   projekcija į ašį Oz yra:
 

Tada  

Vectoriaus   ortas yra:
 

Projekcija vieno vektoriaus į kitą vektorių

keisti

Vektoriaus a projekcija vektoriuje b yra lygi

 
  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(3; 4), b=(6; 0). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:
 
  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(3; 4), b=(0; 6). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:
 


  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(6; 0), b=(3; 4). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:
 
  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(0; 6), b=(3; 4). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:
 


  • Randame projekcija vektoriaus AD={4; 4; -6} vektoriuje AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, tos projekcijos ilgis yra AE. Gauname:
 
 

Pusiaukampinė tarp vektorių

keisti

Jei duoti vektoriai a=OA ir b=OB, tai pusiaukampinės ON=c (arba tiesiog, taško N koordinatės, kai taškas O(0; 0; 0)) koordinatės yra:

 
Vektoriaus a ortas yra  
Vektoriaus ON ortas yra:
 
Vektoriaus ortas ir vektorius yra vienakrypčiai, tačiau vektoriaus orto ilgis lygus 1.
 
Vektorių a ir b ortų ilgiai lygus vienam,  
Vektorių padauginus iš skaliaro, vektroriaus ilgis pasikeičia, o kryptis išlieka ta pati.
  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(5; 3), b=(4; 20). Pusiaukampinė yra:
 
 
 
 
Jei yra taškai O(0; 0), A(5; 3), B(4; 20), tai taškas N(1.053609061; 1.495076431) su tašku O(0; 0) sudaro tiesę ON, kuri yra pusiaukampinė tarp tiesių OA ir OB.
Randame kampą tarp tiesių ON ir OB.
 
 
 
  arba 23.86315547 laipsnio.
Randame kampą tarp tiesių OA ir OB, gauname:
 
  arba 47.72631099 laipsnių. Palyginimui,  


  • Rasime pusiaukampinę kampo tarp vektorių AB ir AC. Sudėję šių vektorių ortus gausime naują vektorių AG, kurio koordinatės yra:
 
 
 
Rasime kampą tarp vektoriaus AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir vektoriaus AB={2; 3; 1}. Taigi,
 
 
  radiano arba 40.98844149 laipsnio.
Patikrinimui, rasime kampą tarp vektoriaus AC={-4; 4; -1} ir AB={2; 3; 1}, taigi
 
  radiano arba 81,97688296 laipsnio. Patikriname, kad  

Kampo tarp vektorių radimas su kosinusu

keisti

Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:

 .
 

Remiantis šia formule tampa akivaizdu kodėl yra sakoma, jog skaliarinė vektorių sandauga parodo vektorių atitikimą (panašumą) vienas kitam.

 
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4).
 
 
  arba 109,4712206 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas   surastas teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus
 

Iš kosinusų teoremos žinome, kad  ;

 
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0).
 
 
  arba 63,43494882 laipsnių.
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(3; 5; 11), b=(7; 8; 2).
 
 
  arba 51.95075583 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas   surastas teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(3; 5; 11) iki taško b=(7; 8; 2) yra lygus
 

Iš kosinusų teoremos žinome, kad  ;

 

 


  • Rasti, kampą tarp vektoriaus   ir vektoriaus  
 
 
  arba 83.84541865 laipsniai.


  • Įrodyti, kad kampas tarp vektoriaus   orto   ir vektoriaus   orto išvestinės lygus 90 laipsnių, kai parametras  .
 
Sprendimas.
Vektoriaus   išvestinė yra:
 
 
Randame vektorių reikšmes taške  :
 
 
Randame kampą tarp vektoriaus   ir vektoriaus   taške  :
 
 
  arba 90 laipsnių.


  • Duota kreivė užrašyta parametrinėmis lygtimis
 
Rasti:
a) kreivės liestinės vektorių;
b) normalizuotą kreivės liestinės vektorių (ortą);
c) kreivės normalės vektorių iš normalizuoto liestinės vektoriaus;
d) kampą tarp liestinės orto (vektoriaus) ir normalės vektoriaus, kai parametro t reikšmė lygi 1 (kai  );
e) kampą tarp liestinės vektoriaus ir normalės vektoriaus, kai  , naudojantis normalės vektororiaus formule   kuri šiai kreivei yra   padauginti iš   reikia tą funkciją, kurios rodiklis ant t mažiausias; kadangi   reikia prilyginti t, jei   turi mažiausią rodiklį virš t, tai gaunasi, kad parametro t ir   reikšmė nekinta (funkcijos   kitimo greitis visose taškuose lygus nuliui, nes  ), bet linija vis tiek kyla aukštyn, todėl tą linijos kilimą reikia kompensuoti   (nes trys koordinačių ašys), kad tikrai būtų liestinės normalė, bet taip padaryti galima tik padarius   reikšmę viena trečiąja didesne.
f) kampą tarp liestinės vektoriaus ir normalės vektoriaus, kai  , naudojantis normalės vektororiaus formule  
Sprendimas.
a) Kreivės liestinės vektorius yra
 
b) Vektoriaus   ilgis yra:
 
Kreivės liestinės normalizuotas vektorius yra šis:
 
jo reikšmė, kai   yra
 
 
c) Kreivės normalės vektorius yra liestinės vektoriaus orto išvestinė:
 
 
 
 
 
 
su reikšme   kreivės normalės vektorius statmenas liestienei yra:
 
 
 
 
 
 
normalizuotas kreivės normalės vektorius yra šis:
 
 
 
d) Kampas   tarp kreivės liestinės normalizuoto vektoriaus ir kreivės normalės vektoriaus yra toks:
 
 
 
  arba 90 laipsnių.
e) Kreivės liestinės vektorius yra
 
kreivės liestinės vektorius, kai   yra:
 
kreivės liestinės vektoriaus ortas, kai  , yra:
 
 
kreivės pseudonormalės vektorius yra:
 
kreivės normalės vektorius yra:
 
kreivės pseudonormalės vektorius, kai  , yra:
 
kreivės normalės vektorius, kai  , yra:
 
kreivės pseudonormalės normalizuotas vektorius, kai   yra:
 
 
 
 
kreivės normalės normalizuotas vektorius, kai   yra:
 
 
 
 
kampas tarp pseudonormalės ir liestinės vektorių yra:
 
 
  arba 76.75702383 laipsniai;
kampas tarp liestinės ir normalės vektoriaus yra:
 
 
  arba 90 laipsnių.
f) Kampas tarp pseudonormalės ir liestinės yra   laipsniai;
kreivės normalės vektorius yra:
 
kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
kreivės liestinės vektorius yra
 
kreivės liestinės vektorius, kai   yra
 
Jeigu vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui, tai vektoriai yra statmeni vienas kitam:
 


  • Duota kreivė užrašyta parametrinėmis lygtimis
 
Rasti:
a) kreivės liestinės vektorių;
b) normalizuotą kreivės liestinės vektorių (ortą);
c) kreivės normalės vektorių iš normalizuoto liestinės vektoriaus;
d) kampą tarp liestinės orto (vektoriaus) ir normalės vektoriaus, kai parametro t reikšmė lygi 1;
e) normalizuotą liestinės vektorių naudojantis formule   ir palyginti su normalizuotu liestinės vektoriu   kai   ir kai  ;
f) tikrąjį kreivės normalės vektorių naudojantis formule   kai   ir kai  ; apskaičiuoti kampą tarp šio normalės vektoriaus ir tarp liestinės vektoriaus, kai   ir kai  ;
g) tikrąjį kreivės normalės vektorių naudojantis formule   kai   ir kai  ; apskaičiuoti kampą tarp šio normalės vektoriaus ir tarp liestinės vektoriaus, kai   ir kai  .
Sprendimas.
a) Kreivės liestinės vektorius yra
 
b) Vektoriaus   ilgis yra:
 
Kreivės liestinės normalizuotas vektorius yra šis:
 
jo reikšmė, kai   yra
 
 
c) Kreivės normalės vektorius yra liestinės vektoriaus orto išvestinė:
 
 
 
 
 
 
su reikšme   kreivės normalės vektorius statmenas liestienei yra:
 
 
 
 
normalizuotas kreivės normalės vektorius yra šis:
 
 
d) Kampas   tarp kreivės liestinės normalizuoto vektoriaus ir kreivės normalės vektoriaus yra toks:
 
 
 
  arba 90 laipsnių.
e) Kai   normalizuotas liestinės vektorius yra:
 
kai   liestinės vektorius yra:
 
kai   normalizuotas liestinės vektorius yra:
 
 
 
 
 
 
liestinės vektoriaus b reikšmė, kai   yra:
 
normalizuoto liestinės vektoriaus b reikšmė, kai   yra:
 
 
 
liestinės vektoriaus b reikšmė, kai   yra:
 
normalizuoto vektoriaus b reikšmė, kai   yra tokia pati kaip normalizuoto a vektoriaus:
 
 
 
f) 'Tikrasis' kreivės normalės vektorius yra:
 
 
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
normalizuotas 'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
 
 
 
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
 
normalizuotas 'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
 
kampas tarp liestinės vektoriaus a ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra lygus 90 laipsnių, nes jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:
 
liestinės vektorius, kai   yra:
 
kampas tarp liestinės vektoriaus ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra 90 laipsnių, nes šių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui:
 
g) 'Tikrasis' kreivės normalės vektorius yra:
 
 
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
kampas tarp liestinės vektoriaus a ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra lygus 90 laipsnių, nes jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:
 
 
Update 1. Alternatyvus liestinei statmenas vektorius gautas pagal formulę   yra paprastas triukas. Kadangi liestinės vektorius yra   tai aišku, kad vektorių n ir a skaliarinė sandauga bus lygi nuliui. Todėl normalės vektorius gali būti ir   ir   Taip pat erdvinės kreivės (užrašytos parametriškai) liestinės vektoriui a statmenas vektorius bus ir pavyzdžiui vektorius   nes jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:
 
Tokiu budu erdvinės kreivės liestinės vektoriui   galima sudaryti begalo daug statmenų normalės vektorių n (kurių ortai skiriasi - normalės vektoriai neguli ant tos pačios tiesės).

Kampo tarp vektorių radimas su sinusu

keisti
 
 

kur   yra kampas tarp vektorių a ir b.

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0).
 
 
 

 

 
 
  radiano arba 63.43494882 laipsnio.
Pasitikriname:
 
 
  radiano arba 63,43494882 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas   surastas teisingai. Atkarpos t ilgis iš taško a=(1; -2; 0) iki taško b=(3; 0; 0) yra lygus
 

Iš kosinusų teoremos žinome, kad  ;

 
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi
 

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

 

Trikampio plotas yra

 

Kampo tarp vektorių sinusas yra

 
  radianų arba   laipsnių, kur
 
 
Taikydami kosinusų toeremą ir Herono formulę patikrinsime ar kampas   ir trikampio plotas S surasti teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus
 

Pagal Herono formulę randame trikampio pusperimetrį      

Iš kosinusų teoremos žinome, kad  ;
 
  radiano arba 109.4712206 laipsnio.

Idomus faktas, jog

  radiano arba 70.52877937 laipsnio.

Dar kitas būdas patikrinti:

 
 
  • Duoti vektoriai a=(1; 2; 3), b=(3; 5; 4).
 

 

 

 

  radiano arba 19.10660535 laipsnio.
Patikriname kitu budu:
 
  radiano arba 19.10660535 laipsnio.
Pagal Pitagoro teoremą patikriname atsakymą. Tiek vektorius a, tiek vektorius b išeina iš taško (x; y; z)=(0; 0; 0). Vadinasi vektorius a ir vektorius b liečiasi tame pačiame taške, kurį pavadiname A. Taškas B turi koordinates (1; 2; 3), o taškas C turi koordinates (3; 5; 4). Tokiu budu ||a||=AB=a, o ||b||=AC=b. Turime trikampį ABC. Iš taško B(1; 2; 3) nuleista aukštinė h į trikampio kraštinę AC, susikirtimo tašką aukštinės h su kraštine AC, pavadinkime D. Kraštine AD=x, o kraštinė DC=||b||-x=b-x. BC=c.

 

 
 
 
 

 

 ;        

   

  arba 42.95197812 laipsnio.
 

 

 
  arba 42.95197812 laipsnio.
Trikampio ABC plotas yra
 
Trikampio ABC plotą randame taikydami Herono formulę:

 

 

    Dar budas pasitikrinti trikampio ABC plotą:

 

Galbūt plotai ir kampai nesutampa skaičiuojant skirtingais būdais, nes trikampis ABC yra lygiašonis ir jam kosinusų teorema ar/ir kitos formulės netinka. Bet pasibraižius grafikus ir patikrinus kampus tarp vektorių įvairiais budais, buvo padaryta išvada, kad jokių budu atsakymas negali buti 42.95197812 laipsniai, o kažkurtai apie 18-20 laipsnių. Todėl kyla išvada, kad kosinusų teorema netinkama skaičiuoti kampams tų trikampių, kurie yra lygiašoniai.

  • Duoti vektoriai a=(4; 3; 0), b=(10; 0; 0). Rasime kampą tarp jų.

 

 
  radiano arba 36,86989765 laipsnio.
Patikriname kitu budu:
 
  radiano arba 36,86989765 laipsnio.
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(3; 5; 11), b=(7; 8; 2).
 

 

 

 

  radiano arba 51,95075583 laipsnio.
Pagal Pitagoro teoremą patikriname atsakymą. Tiek vektorius a, tiek vektorius b išeina iš taško (x; y; z)=(0; 0; 0). Vadinasi vektorius a ir vektorius b liečiasi tame pačiame taške, kurį pavadiname A. Taškas B turi koordinates (3; 5; 11), o taškas C turi koordinates (7; 8; 2). Tokiu budu ||a||=AB=a, o ||b||=AC=b. Turime trikampį ABC. Iš taško C(7; 8; 2) nuleista aukštinė h į trikampio kraštinę AB=a, susikirtimo tašką aukštinės h su kraštine AB, pavadinkime D. Kraštinė AD=x, o kraštinė DB=||a||-x=a-x. BC=c.

 

 
 
 
 

 

 ;        

   

  arba 51.95075583 laipsnio.
 

     

 
  arba 51.95075583 laipsnio.
Trikampio ABC plotas yra
 
Trikampio ABC plotą randame taikydami Herono formulę:

 

 

      Dar budas pasitikrinti trikampio ABC plotą:

 

Vektorinė vektorių sandauga

keisti
 
Grafinis vektorinės vektorių sandaugos pavaizdavimas
Dviejų vektorių vektorinės sandaugos rezultatas yra vektorius status tiems dviems vektoriams. Jei duoti vektoriai   ir   tai vektorinė sandauga vektorių a ir b duos trečią vektorių   kuris bus status vektoriui a ir vektoriui b.
 
 
 
 
Vektorinė sandauga a × b gali būti interpretuojamas kaip plotas lygiagretainio, sudaryto iš kraštinių (arba tiesių) ||a|| ir ||b||.
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi
 

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

 

Trikampio plotas yra

 
Taikydami Herono formulę patikrinsime ar trikampio plotas   surastas teisingai.
 
 

Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus

 

Pagal Herono formulę randame trikampio pusperimetrį      


Dedamųjų daugyba:

 
 
 
 


  • Rasime   jei a=2i-3j+5k=(2; -3; 5), b=4i+2j-6k=(4; 2; -6).
 
 
 


  • Apskaičiuosime trikampio su viršūnėmis taškuose A(-1; 0; 2), B(1; -2; 5), C(3; 0; -4) plotą.

a=AB=(1-(-1); -2-0; 5-2)=(2; -2; 3); b=AC=(3-(-1); 0-0; -4-2)=(4; 0; -6);    


  • Trikampio ABC viršunės yra taškai A(1; -1; 2), B(5; -6; 2) ir C(1; 3; -1). Apskaičiuosime šio trikampio plotą ir aukštinės h, nuleistos iš viršunės B į kraštinę AC, ilgį.

Žinome, kad   Randame vektorių AB ir AC koordinates bei vektorinę sandaugą: AB=(4; 5; 0), AC=(0; 4; -3),

  Apskaičiuojame lygiagretainio plotą:   Tada trikampio ABC plotas bus lygus   Norėdami rasti trikampio aukšinę h, pritaikykime kitą trikampio ploto formulę:   Sulyginę formules, gauname:   Iš čia trikampio ABC aukšinė   kadangi  

  • Apskaičiuosime trikampio plotą, kai žinomi jo viršunių taškai B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1).

Trikampio kraštinių vektoriai yra šie: BC=(5-(-1); 2-3; 6-4)=(6; -1; 2); BD=(5-7; 2-3; 6-(-1))=(-2; -1; 7); CD=(-1-7; 3-3; 4-(-1))=(-8; 0; 5). Trikampio kraštinių ilgiai yra šie:       Kadangi

 

  tai trikampio plotas lygus:  

Pagal Herono formulę pasitikriname ar trikampio plotas gautas teisingai.

Randame trikampio pusperimetrį        

Trikampio plotą galima surasti ir su tokia formule:

   

kur  ,  .
  • Apskaičiuosime lygiagretainio plotą, kai turime vektorius OA=a=(5; 3; 0) ir OB=b=(4; 7; 0). Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0).
 
 
Dvimatėse koordinatėse galima taikyti ir trumpesnę formulę lygiagretainio arba trikampio plotui:
 
 
Trimatėms koordinatėms alternatyvi formulė yra tokia, kad surasti lygiagretainio plotą:
 


  • Turime dvi tiesių atkarpas: OA ir OB. Taškas O(0; 0; 0) yra koordinačių pradžios taškas. Taškas A(3; 5; 1) yra vektorius a=(3; 5; 1). Taškas B(5; 3; 1) yra vektorius b=(5; 3; 1). Vektorius a yra tiesės atkarpa nuo taško O(0; 0; 0) iki taško A(3; 5; 1). Vektorius b yra tiesės atkarpa nuo taško O(0; 0; 0) iki taško B(5; 3; 1). Sudauginę vektorine vektorių sandauga vektorius a ir b, gausime jiems statų vektorių c. Taigi, taško C, kuris su tašku O sudaro atkarpą statmeną atkarpoms OA ir OB, koordinatės yra:
 
 
 
Gavome tašką C(2; 2; -16).

Įsitikiname, kad kampas tarp vektoriaus a=(3; 5; 1) ir vektoriaus c=(2; 2; -16) yra lygus 90 laipsnių:

 
  radiano arba  


  • Turime dvi tiesių atkarpas: OA ir OB. Taškas O(0; 0; 0) yra koordinačių pradžios taškas. Taškas A(3; 5; 1) yra vektorius a=(3; 5; 1). Taškas B(4; 3; 2) yra vektorius b=(4; 3; 2). Vektorius a yra tiesės atkarpa nuo taško O(0; 0; 0) iki taško A(3; 5; 1). Vektorius b yra tiesės atkarpa nuo taško O(0; 0; 0) iki taško B(4; 3; 2). Sudauginę vektorine vektorių sandauga vektorius a ir b, gausime jiems statų vektorių c. Taigi, taško C, kuris su tašku O sudaro atkarpą statmeną atkarpoms OA ir OB, koordinatės yra:
 
 
 
Gavome tašką C(7; -2; -11).
Įsitikiname, kad kampas   tarp vektoriaus a=(3; 5; 1) ir vektoriaus c=(7; -2; -11) yra lygus 90 laipsnių:
 
  radiano arba  
Įsitikiname, kad kampas   tarp vektoriaus b=(4; 3; 2) ir vektoriaus c=(7; -2; -11) yra lygus 90 laipsnių:
 
  radiano arba  

Mišri vektorių sandauga

keisti

Mišri vektorių sandauga (a b c) yra apibrėžiama:

 
Mišriają sandaugą taip pat galima užrašyti taip:
 ,

čia V yra lygiagretainio gretasienio tūris.

Piramidės tūris yra:
 

Pavyzdžiai

keisti
  • Duoti vektoriai a=(4; 9; 0), b=(7; 5; 0), c=(2; 3; 10). Rasime piramidės, kurią sudaro šie vektoriai, tūrį.
 
 
Piramidės su viršūnėmis O(0; 0; 0), A(4; 9; 0), B(7; 5; 0), C(2; 3; 10) tūris yra:
 
  • Duoti vektoriai a=(4; 9; 0), b=(7; 5; 0), c=(0; 0; 10). Rasime piramidės, kurią sudaro šie vektoriai, tūrį.
 
 
Piramidės su viršūnėmis O(0; 0; 0), A(4; 9; 0), B(7; 5; 0), C(0; 0; 10) tūris yra:
 


  • Duoti vektoriai a=(1; 2; 0), b=(1; -2; 0), c=(0; 0; 3), kurių pradžios koordinatės yra (0; 0; 0). Rasime lygiagretainio gretasienio tūrį:
 
 

Gretasienio tūris yra |-12|=12. Taip pat galima skaičiuot taip:  

Patikriname ar atsakymas bus toks pat naudojant vektorine sandauga (vektorių a ir b) sudauginta su statmeno vektoriaus c ilgiu:
 
 

 

 
 
 
Patikriname taikydami Herono formulę.
 
 

Atstumas tarp taškų a=(1; 2; 0) ir b=(1; -2; 0) yra lygus:  

 
 
 

   

  • Rasime piramidės su 4 viršunėmis, kurios pagrindas yra trikampis, tūrį:
 

Piramidės tūris yra   todėl, kad piramidės pagrindo plotas yra puse (S=ab/2) lygiagretainio ploto, o kadangi gretasienio tūris yra V=abh=Sh ir piramidės (kurios pagrindas trikampis) tūris yra V=(ab/2)*h/3=abh/6=Sh/3, tai dėl to piramidės tūris yra V=abh/6 arba 1/6 gretasienio tūrio. Piramidės, kurios pagrindas yra keturkampis, tūris yra  


  • Pavyzdis. Trikampės piramidės viršūnės yra taškai A(3; -1; 5), B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1). Apskaičiuosime šios piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš taško D į sieną ABC, ilgį.
Sprendimas. Nubraižykime tris vektorius, išeinančius iš vieno taško, pavyzdžiui, iš taško A: AB, AC, AD. Žinome, kad trikampės piramidės tūris

 

Randame vektorių AB, AC ir AD koordinates:
AB=B-A=(5-3; 2-(-1); 6-5)={2; 3; 1},
AC=C-A=(-1-3; 3-(-1); 4-5)={-4; 4; -1},
AD=D-A=(7-3; 3-(-1); -1-5)={4; 4; -6}.
Apskaičiuojame mišriąją gautų vektorių sandaugą:
 
 
 
Tada trikampės piramidės tūris

 

Norėdami rasti piramidės aukštinę h, pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę:

 

Bet   todėl
 
Sulygindami šią formulę su ankstesne piramidės formule, gauname:
 
 
kur  

 

 


  • Pavyzdis. Duoti vektoriai A=a={5; 3; 0}, B=b={4; 11; 0}, C=c={3; 7; 6}. Visi jie išeina iš koordinačių pradžios taško O(0; 0; 0), todėl visi trys vektoriai liečiasi tame pačiame taške (0; 0; 0). Rasime piramidės tūrį ir patikrinsimę jį (žinodami piramidės aukštį  ). Piramidės tūris, kurios pagriną sudaro OAB trikampis, yra:
 
kur  
 
Toliau, surandame trikampio OAB plotą:

   

 
Piramidės OABC tūris yra:
 


  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a={8; 6; 2}, b={5; 9; 3}, c={1; 2; 7}. Apskaičiuosime piramidės, kurią sudaro šie vektoriai, tūrį V.
Sprendimas. Piramidės tūris yra lygus 1/6 mišrios vektorių a={8; 6; 2}, b={5; 9; 3}, c={1; 2; 7} sandaugos. Taigi:
 
 
 

Kolinearūs ir komplanarūs vektoriai

keisti
Vektoriai yra kolinearūs, jeigu   Dvimačiai vektoriai yra kolinearūs, kai yra lygiagretūs.
Vektoriai yra komplanarūs, jeigu  

Trimatėje erdvėje vektoriai yra komplanarūs, kai priklauso tai pačiai ploštumai.


  • Pavyzdys. Ar gali keturi taškai A(1; 2; 3), B(2; 4; 1), C(1; -3; 6) ir D(4; -2; 3) priklausyti vienai plokštumai?
Sprendimas. Taškai A, B, C ir D priklausys plokštumai g, kai vektoriai AB, AC ir AD bus komplanarūs. Randame šų vektorių koordinates:
a=AB=B-A=(2-1; 4-2; 1-3)={1; 2; -2},
b=AC=C-A=(1-1; -3-2; 6-3)={0; -5; 3},
c=AD=D-A=(4-1; -2-2; 3-3)={3; -4; 0}.
Apskaičiuojame mišriąją jų sandaugą:
 
 
 
Kadangi mišrioji tijų vektorių sandauga lygi nuliui, tai tie vektoriai yra komplanarūs, o taškai A, B, C ir D priklauso vienai plokštumai g.


  • Patikrinsime, ar vektoriai AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, AB={2; 3; 1} ir AC={-4; 4; -1} komplanarūs (ar vektoriai guli toje pačioje plokštumoje):
 
 
 
 
Mišrios vektorių sandaugos rezultatas yra 0, todėl vektoriai AG, AB ir AC priklauso tai pačiai plokštumai.

Lagrandžo tapatumas

keisti
 
Nes tai
 
 
yra tai:
 
Erdvėje, kuri turi n matavimų:
 
Kai  :
 
 


  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi
 

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai yra:

 
 
 
 
 
 

Jėga ir vektoriai

keisti

Duotos jėgos F projekcijos  ,  ,   Rasime jėgos dydį ||F|| ir jos veikimo kryptį. Jėgos dydis yra:  . Rasime krypties kosinusus:  ,  ,  . Iš čia randame kampus  ,   Vadinasi, jėga ||F|| veikia vektoriaus, sudarančio su koordinačių ašimis kampus   kryptimi.


Vektorius a su ašimis Oy ir Oz sudaro kampus   Rasime kampą   kurį vektorius a sudaro su Ox ašimi. Kadangi   tai   Iš čia   Tada   arba  


Jėga F veikia vektoriaus, sudarančio su koordinačių ašimis kampus   kryptimi. Rasime jėgos F projekcijas, jei ||F||=6.   Jėgos F dedamosios  

Vektorių statmenumo sąlyga

keisti
Kampas tarp vektoriaus   ir vektoriaus   yra 90 laipsnių, jeigu jų skaliarinė sandaug lygi nuliui:
 
Vektoriai nebūtinai turi išeiti iš to paties taško. Pasinaudoje šia savybe galime sudaryti plokštumos lygtį. Tarkime žinomas vienas plokštumos taškas   Plokštumos taškas   jungiasi su betkuriuo kitu plokštumos tašku kurio koordinatės M(x; y; z). Tuomet galima sudaryti begalybę vektorių gulinčių ant tos pačios plokštumos ir iš to, kad M yra kintantis taškas užrašome tam tikro vektoriaus koordinates   gulinčio ant plokštumos. Kad visi gauti vektoriai su bet kokiomis taško M koordinatėmis x, y, z gulėtų ant tos pačios plokštumos, reikia, kad būtų tenkinama sąlyga:
 
čia   yra vektorius statmenas vektoriui   taškas O(0; 0; 0) yra koordinačių pradžios taškas; taškas   kartu su koordinačių pradžios tašku O(0; 0; 0) sudaro plokštumos normalės vektorių   stameną plokštumai   Tokiu budu sudauginę vieną žinomą vektorių   ir vieną kintamą vektorių   ir prilyginę jų skaliarinę sandaugą nuliui (kad visi galimi vektoriai iš vektoriaus   būtų statūs vektoriui  ), gavome plokštumos lygtį, kurios normalės vektorius yra