Išvestinė yra bet kokios funkcijos liestinės krypties koeficientas. Liestinė su įgaubta arba išgaubta funkcijos kreive turi tik vieną susilietimo tašką ir neturi kitų susikirtimo taškų.
Liestinės lygtis
keisti
Funkcijos f(x) liestinė taške x Tiesė liečia funkcijos grafiką taške A ( x 0 ; f ( x 0 ) ) . {\displaystyle A(x_{0};\;f(x_{0})).} Išvesime tos liestinės lygtį.
Kadangi tos tiesės krypties koeficientas k = f ′ ( x 0 ) , {\displaystyle k=f'(x_{0}),\;} tai jos lygtis yra
y = f ′ ( x 0 ) ⋅ x + b . {\displaystyle y=f'(x_{0})\cdot x+b.}
Skaičių b sužinome iš sąlygos, kad liestinė eina per tašką A:
f ( x 0 ) = f ′ ( x 0 ) ⋅ x 0 + b . {\displaystyle f(x_{0})=f'(x_{0})\cdot x_{0}+b.} Iš čia b = f ( x 0 ) − f ′ ( x 0 ) ⋅ x 0 . {\displaystyle b=f(x_{0})-f'(x_{0})\cdot x_{0}.} Todėl liestinės lygtis bus šitokia:
y = f ′ ( x 0 ) ⋅ x − f ′ ( x 0 ) ⋅ x 0 + f ( x 0 ) = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) . {\displaystyle y=f'(x_{0})\cdot x-f'(x_{0})\cdot x_{0}+f(x_{0})=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}
Tiesė liečia funkcijos f ( x ) = x 3 − 2 x 2 + 1 {\displaystyle f(x)=x^{3}-2x^{2}+1} grafiką taške, kurio abscisė lygi x 0 = 2. {\displaystyle x_{0}=2.} Parašykime tos tiesės lygtį. Šiame pavyzdyje x 0 = 2 , {\displaystyle x_{0}=2,} f ( x 0 ) = f ( 2 ) = 2 3 − 2 ⋅ 2 2 + 1 = 1 , {\displaystyle f(x_{0})=f(2)=2^{3}-2\cdot 2^{2}+1=1,} f ′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x , {\displaystyle f'(x)=3x^{2}-4x,} f ′ ( x 0 ) = f ′ ( 2 ) = 3 ⋅ 2 2 − 4 ⋅ 2 = 12 − 8 = 4. {\displaystyle f'(x_{0})=f'(2)=3\cdot 2^{2}-4\cdot 2=12-8=4.} Irašę tuos skaičius į formulę gauname liestinės lygtį:
y = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) = 1 + 4 ( x − 2 ) = 4 x − 7. {\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})=1+4(x-2)=4x-7.}
Tiesė liečia parabolę y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} taške, kurios abscisė x 0 {\displaystyle x_{0}} . Parašykime tos tiesės lygtį. Pagal sąlygą y ( x 0 ) = x 0 2 , {\displaystyle y(x_{0})=x_{0}^{2},} y ′ ( x 0 ) = 2 x 0 . {\displaystyle y'(x_{0})=2x_{0}.} Įrašę tas reikšmes į liestinės lygtį, gausime:
y = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) = x 0 2 + 2 x 0 ( x − x 0 ) = 2 x 0 x − x 0 2 . {\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})=2x_{0}x-x_{0}^{2}.}
Pavyzdžiui, kai x 0 = 1 , {\displaystyle x_{0}=1,} liestinės lygtis yra y=2x-1. Kai x 0 = 3 , {\displaystyle x_{0}=3,} liestinės lygtis yra y = 2 ⋅ 3 x − 3 2 = 6 x − 9. {\displaystyle y=2\cdot 3x-3^{2}=6x-9.}
Tiesė liečia grandininę liniją y = a cosh ( a x ) = a 2 ( e a x + e − a x ) {\displaystyle y=a\cosh(ax)={\frac {a}{2}}\left(e^{ax}+e^{-ax}\right)} taške, kurios abscisė x 0 {\displaystyle x_{0}} . Parašykime tos tiesės (liestinės) lygtį. Pagal sąlygą y ( x 0 ) = a 2 ⋅ e a x 0 + a 2 ⋅ e − a x 0 , {\displaystyle y(x_{0})={\frac {a}{2}}\cdot e^{ax_{0}}+{\frac {a}{2}}\cdot e^{-ax_{0}},}
y ′ ( x 0 ) = a 2 2 ⋅ e a x 0 − a 2 2 ⋅ e − a x 0 . {\displaystyle y'(x_{0})={\frac {a^{2}}{2}}\cdot e^{ax_{0}}-{\frac {a^{2}}{2}}\cdot e^{-ax_{0}}.}
Įrašę tas reikšmes į liestinės lygtį, gausime:
y l = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) = a 2 ⋅ e a x 0 + a 2 ⋅ e − a x 0 + ( a 2 2 ⋅ e a x 0 − a 2 2 ⋅ e − a x 0 ) ( x − x 0 ) . {\displaystyle y_{l}=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})={\frac {a}{2}}\cdot e^{ax_{0}}+{\frac {a}{2}}\cdot e^{-ax_{0}}+({\frac {a^{2}}{2}}\cdot e^{ax_{0}}-{\frac {a^{2}}{2}}\cdot e^{-ax_{0}})(x-x_{0}).}
Pavyzdžiui, kai x 0 = 1 , {\displaystyle x_{0}=1,} liestinės lygtis yra
y l = a 2 ⋅ e a + a 2 ⋅ e − a + ( a 2 2 ⋅ e a − a 2 2 ⋅ e − a ) ( x − 1 ) . {\displaystyle y_{l}={\frac {a}{2}}\cdot e^{a}+{\frac {a}{2}}\cdot e^{-a}+({\frac {a^{2}}{2}}\cdot e^{a}-{\frac {a^{2}}{2}}\cdot e^{-a})(x-1).}
Pavyzdžiui, kai x 0 = 1 , {\displaystyle x_{0}=1,} a = 1 {\displaystyle a=1} liestinės lygtis yra
y l = 1 2 ⋅ e + 1 2 ⋅ e − 1 + ( 1 2 ⋅ e − 1 2 ⋅ e − 1 ) ( x − 1 ) = {\displaystyle y_{l}={\frac {1}{2}}\cdot e+{\frac {1}{2}}\cdot e^{-1}+({\frac {1}{2}}\cdot e-{\frac {1}{2}}\cdot e^{-1})(x-1)=}
= 1 2 ⋅ e + 1 2 ⋅ e − 1 + ( 1 2 ⋅ e − 1 2 ⋅ e − 1 ) x − 1 2 ⋅ e + 1 2 ⋅ e − 1 = ( 1 2 ⋅ e − 1 2 ⋅ e − 1 ) x + e − 1 . {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\cdot e+{\frac {1}{2}}\cdot e^{-1}+({\frac {1}{2}}\cdot e-{\frac {1}{2}}\cdot e^{-1})x-{\frac {1}{2}}\cdot e+{\frac {1}{2}}\cdot e^{-1}=({\frac {1}{2}}\cdot e-{\frac {1}{2}}\cdot e^{-1})x+e^{-1}.}
Kai x 0 = 3 , {\displaystyle x_{0}=3,} liestinės lygtis yra:
y l = a 2 ⋅ e 3 a + a 2 ⋅ e − 3 a + ( a 2 2 ⋅ e 3 a − a 2 2 ⋅ e − 3 a ) ( x − 3 ) . {\displaystyle y_{l}={\frac {a}{2}}\cdot e^{3a}+{\frac {a}{2}}\cdot e^{-3a}+({\frac {a^{2}}{2}}\cdot e^{3a}-{\frac {a^{2}}{2}}\cdot e^{-3a})(x-3).}
Funkcija (žalia kreivė) ir jos liestinė taške P (mėlyna tiesė); kampas tarp liestinės taške P ir abscisės Ox yra ϕ , {\displaystyle \phi ,} tan ϕ = d y / d x . {\displaystyle \tan \phi =dy/dx.} Parašyti parabolės f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} liestinės lygtį taške x 0 = 3 {\displaystyle x_{0}=3} . Rasti kam lygūs dy ir Δ y {\displaystyle \Delta y} taške x 0 = 3 {\displaystyle x_{0}=3} , kai Δ x = 1 {\displaystyle \Delta x=1} ir atsakymą patikrinti. Sprendimas . Liestinės lygtis taške x 0 {\displaystyle x_{0}} yra:
y = f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) = x 0 2 + 2 x 0 ( x − x 0 ) = 2 x 0 x − x 0 2 = 2 ⋅ 3 ⋅ x − 3 2 = 6 x − 9. {\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})=x_{0}^{2}+2x_{0}(x-x_{0})=2x_{0}x-x_{0}^{2}=2\cdot 3\cdot x-3^{2}=6x-9.}
Toliau randame Δ y {\displaystyle \Delta y} :
Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = ( x 0 + Δ x ) 2 − x 0 2 = x 0 2 + 2 x 0 Δ x + ( Δ x ) 2 − x 0 2 = {\displaystyle \Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=(x_{0}+\Delta x)^{2}-x_{0}^{2}=x_{0}^{2}+2x_{0}\Delta x+(\Delta x)^{2}-x_{0}^{2}=}
= 2 x 0 Δ x + ( Δ x ) 2 = 2 ⋅ 3 ⋅ 1 + 1 2 = 6 + 1 = 7. {\displaystyle =2x_{0}\Delta x+(\Delta x)^{2}=2\cdot 3\cdot 1+1^{2}=6+1=7.}
Toliau randame dy :
d y = f ′ ( x 0 ) ⋅ Δ x = 2 x 0 ⋅ Δ x = 2 ⋅ 3 ⋅ 1 = 6. {\displaystyle dy=f'(x_{0})\cdot \Delta x=2x_{0}\cdot \Delta x=2\cdot 3\cdot 1=6.}
Parabolės abscisės reikšmė taške x 0 + Δ x {\displaystyle x_{0}+\Delta x} yra f ( x 0 + Δ x ) = ( x 0 + Δ x ) 2 = ( 3 + 1 ) 2 = 4 2 = 16. {\displaystyle f(x_{0}+\Delta x)=(x_{0}+\Delta x)^{2}=(3+1)^{2}=4^{2}=16.}
Liestinės abscisės reikšmė, kai argumeno reikšmė yra x 0 + Δ x = 3 + 1 = 4 {\displaystyle x_{0}+\Delta x=3+1=4} , gaunama tokia:
y ( 4 ) = 6 x − 9 = 6 ⋅ 4 − 9 = 24 − 9 = 15. {\displaystyle y(4)=6x-9=6\cdot 4-9=24-9=15.}
Na, o parabolės abscisės reikšmė nuo x 0 + Δ x = 3 + 1 = 4 {\displaystyle x_{0}+\Delta x=3+1=4} yra:
f ( x 0 + Δ x ) = f ( 4 ) = ( x 0 + Δ x ) 2 = 4 2 = 16. {\displaystyle f(x_{0}+\Delta x)=f(4)=(x_{0}+\Delta x)^{2}=4^{2}=16.}
Ir parabolės abscisės reikšmė taške x 0 = 3 {\displaystyle x_{0}=3} yra:
f ( x 0 ) = f ( 3 ) = x 0 2 = 3 2 = 9. {\displaystyle f(x_{0})=f(3)=x_{0}^{2}=3^{2}=9.}
Taigi, patikriname dy atėmę iš liestinės abscisės reikšmės nuo x 0 + Δ x = 3 + 1 = 4 {\displaystyle x_{0}+\Delta x=3+1=4} , parabolės abscisės reikšmę taške x 0 = 3 {\displaystyle x_{0}=3} ir gauname:
d y = y ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) = y ( 4 ) − f ( 3 ) = 15 − 9 = 6. {\displaystyle dy=y(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})=y(4)-f(3)=15-9=6.} Gavome teisingai.
Toliau patikriname ar tikrai Δ y = 7 {\displaystyle \Delta y=7} , taigi:
Δ y = f ( 4 ) − f ( 3 ) = 4 2 − 3 2 = 16 − 9 = 7. {\displaystyle \Delta y=f(4)-f(3)=4^{2}-3^{2}=16-9=7.}
Papildomai randame Δ y {\displaystyle \Delta y} ir dy skirtumą:
Δ y − d y = 7 − 6 = 1 {\displaystyle \Delta y-dy=7-6=1}
arba
Δ y − d y = [ 2 x 0 Δ x + ( Δ x ) 2 ] − [ ( 6 ( x 0 + Δ x ) − 9 ) − x 0 2 ] = 7 − 6 = 1 , {\displaystyle \Delta y-dy=[2x_{0}\Delta x+(\Delta x)^{2}]-[(6(x_{0}+\Delta x)-9)-x_{0}^{2}]=7-6=1,}
arba
Δ y − d y = [ f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ] − [ y ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ] = 7 − 6 = 1 , {\displaystyle \Delta y-dy=[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]-[y(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=7-6=1,}
arba
Δ y − d y = [ f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ] − [ f ′ ( x 0 ) ⋅ Δ x ] = [ 2 ⋅ x 0 ⋅ Δ x + ( Δ x ) 2 ] − [ 2 ⋅ x 0 ⋅ Δ x ] = ( Δ x ) 2 = 1 2 = 1. {\displaystyle \Delta y-dy=[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]-[f'(x_{0})\cdot \Delta x]=[2\cdot x_{0}\cdot \Delta x+(\Delta x)^{2}]-[2\cdot x_{0}\cdot \Delta x]=(\Delta x)^{2}=1^{2}=1.} Liečiamosios plokštumos lygtis
keisti
Plokštumos, kuri liečia paviršių f(x; y) taške A ( x 0 ; y 0 ) {\displaystyle A(x_{0};y_{0})} lygtis yra:
z = f ( x 0 ; y 0 ) + f x ′ ( x 0 ; y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ′ ( x 0 ; y 0 ) ( y − y 0 ) . {\displaystyle z=f(x_{0};y_{0})+f'_{x}(x_{0};y_{0})(x-x_{0})+f'_{y}(x_{0};y_{0})(y-y_{0}).\;}
Plokštuma liečia funkcijos paviršių taške A ( x 0 ; y 0 ; f ( x 0 ; y 0 ) ) . {\displaystyle A(x_{0};\;y_{0};\;f(x_{0};\;y_{0})).} Išvesime tos liečiančios plokštumos lygtį.
Kadangi tos plokštumos krypties koeficientai yra k 1 = f x ′ ( x 0 ; y 0 ) , {\displaystyle k_{1}=f'_{x}(x_{0};y_{0}),\;} ir k 2 = f y ′ ( x 0 ; y 0 ) , {\displaystyle k_{2}=f'_{y}(x_{0};y_{0}),\;} tai jos lygtis yra
z = k 1 x + k 2 y + b = f x ′ ( x 0 ; y 0 ) ⋅ x + f y ′ ( x 0 ; y 0 ) ⋅ y + b . {\displaystyle z=k_{1}x+k_{2}y+b=f'_{x}(x_{0};y_{0})\cdot x+f'_{y}(x_{0};y_{0})\cdot y+b.}
Skaičių b sužinome iš sąlygos, kad liestinė eina per tašką A :
f ( x 0 ; y 0 ) = f x ′ ( x 0 ; y 0 ) ⋅ x 0 + f y ′ ( x 0 ; y 0 ) ⋅ y 0 + b . {\displaystyle f(x_{0};y_{0})=f'_{x}(x_{0};y_{0})\cdot x_{0}+f'_{y}(x_{0};y_{0})\cdot y_{0}+b.} Iš čia b = f ( x 0 ; y 0 ) − f x ′ ( x 0 ; y 0 ) ⋅ x 0 − f y ′ ( x 0 ; y 0 ) ⋅ y 0 . {\displaystyle b=f(x_{0};y_{0})-f'_{x}(x_{0};y_{0})\cdot x_{0}-f'_{y}(x_{0};y_{0})\cdot y_{0}.} Todėl liečiamosios plokštumos lygtis bus šitokia:
z = k 1 x + k 2 y + b = f x ′ ( x 0 ; y 0 ) ⋅ x + f y ′ ( x 0 ; y 0 ) ⋅ y + f ( x 0 ; y 0 ) − f x ′ ( x 0 ; y 0 ) ⋅ x 0 − f y ′ ( x 0 ; y 0 ) ⋅ y 0 = {\displaystyle z=k_{1}x+k_{2}y+b=f'_{x}(x_{0};y_{0})\cdot x+f'_{y}(x_{0};y_{0})\cdot y+f(x_{0};y_{0})-f'_{x}(x_{0};y_{0})\cdot x_{0}-f'_{y}(x_{0};y_{0})\cdot y_{0}=}
= ( x − x 0 ) ⋅ f x ′ ( x 0 ; y 0 ) + ( y − y 0 ) ⋅ f y ′ ( x 0 ; y 0 ) + f ( x 0 ; y 0 ) = ( x − x 0 ) ⋅ f x ′ ( x 0 ; y 0 ) + ( y − y 0 ) ⋅ f y ′ ( x 0 ; y 0 ) + z 0 . {\displaystyle =(x-x_{0})\cdot f'_{x}(x_{0};y_{0})+(y-y_{0})\cdot f'_{y}(x_{0};y_{0})+f(x_{0};y_{0})=(x-x_{0})\cdot f'_{x}(x_{0};y_{0})+(y-y_{0})\cdot f'_{y}(x_{0};y_{0})+z_{0}.}
Pavyzdys . Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A (3; 4; 27) funkcijos, kuri nusako paviršių f ( x ; y ) = 100 − x 2 − y 3 . {\displaystyle f(x;y)=100-x^{2}-y^{3}.} Sprendimas .
f ( 3 ; 4 ) = 100 − 3 2 − 4 3 = 100 − 9 − 64 = 27. {\displaystyle f(3;4)=100-3^{2}-4^{3}=100-9-64=27.}
f x ′ ( x 0 ; y 0 ) = − 2 x . {\displaystyle f'_{x}(x_{0};y_{0})=-2x.\;}
f y ′ ( x 0 ; y 0 ) = − 3 y 2 . {\displaystyle f'_{y}(x_{0};y_{0})=-3y^{2}.\;}
f x ′ ( 3 ; 4 ) = − 2 ⋅ 3 = − 6. {\displaystyle f'_{x}(3;4)=-2\cdot 3=-6.}
f y ′ ( 3 ; 4 ) = − 3 ⋅ 4 2 = − 48. {\displaystyle f'_{y}(3;4)=-3\cdot 4^{2}=-48.}
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:
z = ( x − x 0 ) ⋅ f x ′ ( x 0 ; y 0 ) + ( y − y 0 ) ⋅ f y ′ ( x 0 ; y 0 ) + z 0 = ( x − 3 ) ⋅ ( − 6 ) + ( y − 4 ) ⋅ ( − 48 ) + 27 = − 6 x + 18 − 48 y + 192 + 27 = − 6 x − 48 y + 237. {\displaystyle z=(x-x_{0})\cdot f'_{x}(x_{0};y_{0})+(y-y_{0})\cdot f'_{y}(x_{0};y_{0})+z_{0}=(x-3)\cdot (-6)+(y-4)\cdot (-48)+27=-6x+18-48y+192+27=-6x-48y+237.}
Pavyzdys . Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A (8; 4; 172) funkcijos, kuri nusako paviršių f ( x ; y ) = 300 − x 2 − y 3 . {\displaystyle f(x;y)=300-x^{2}-y^{3}.} Sprendimas .
f ( 3 ; 4 ) = 300 − 8 2 − 4 3 = 300 − 64 − 64 = 172. {\displaystyle f(3;4)=300-8^{2}-4^{3}=300-64-64=172.}
f x ′ ( x 0 ; y 0 ) = − 2 x . {\displaystyle f'_{x}(x_{0};y_{0})=-2x.\;}
f y ′ ( x 0 ; y 0 ) = − 3 y 2 . {\displaystyle f'_{y}(x_{0};y_{0})=-3y^{2}.\;}
f x ′ ( 3 ; 4 ) = − 2 ⋅ 8 = − 16. {\displaystyle f'_{x}(3;4)=-2\cdot 8=-16.}
f y ′ ( 3 ; 4 ) = − 3 ⋅ 4 2 = − 48. {\displaystyle f'_{y}(3;4)=-3\cdot 4^{2}=-48.}
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:
z = ( x − x 0 ) ⋅ f x ′ ( x 0 ; y 0 ) + ( y − y 0 ) ⋅ f y ′ ( x 0 ; y 0 ) + z 0 = ( x − 8 ) ⋅ ( − 16 ) + ( y − 4 ) ⋅ ( − 48 ) + 172 = {\displaystyle z=(x-x_{0})\cdot f'_{x}(x_{0};y_{0})+(y-y_{0})\cdot f'_{y}(x_{0};y_{0})+z_{0}=(x-8)\cdot (-16)+(y-4)\cdot (-48)+172=}
= − 16 x + 144 − 48 y + 192 + 172 = − 16 x − 48 y + 508. {\displaystyle =-16x+144-48y+192+172=-16x-48y+508.} Pavyzdys . Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A (8; 4; 0) funkcijos, kuri nusako paviršių f ( x ; y ) = 128 − x 2 − y 3 . {\displaystyle f(x;y)=128-x^{2}-y^{3}.} Sprendimas .
f ( 3 ; 4 ) = 128 − 8 2 − 4 3 = 128 − 64 − 64 = 0. {\displaystyle f(3;4)=128-8^{2}-4^{3}=128-64-64=0.}
f x ′ ( x 0 ; y 0 ) = − 2 x . {\displaystyle f'_{x}(x_{0};y_{0})=-2x.\;}
f y ′ ( x 0 ; y 0 ) = − 3 y 2 . {\displaystyle f'_{y}(x_{0};y_{0})=-3y^{2}.\;}
f x ′ ( 3 ; 4 ) = − 2 ⋅ 8 = − 16. {\displaystyle f'_{x}(3;4)=-2\cdot 8=-16.}
f y ′ ( 3 ; 4 ) = − 3 ⋅ 4 2 = − 48. {\displaystyle f'_{y}(3;4)=-3\cdot 4^{2}=-48.}
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:
z = ( x − x 0 ) ⋅ f x ′ ( x 0 ; y 0 ) + ( y − y 0 ) ⋅ f y ′ ( x 0 ; y 0 ) + z 0 = ( x − 8 ) ⋅ ( − 16 ) + ( y − 4 ) ⋅ ( − 48 ) + 0 = − 16 x + 144 − 48 y + 192 = − 16 x − 48 y + 336. {\displaystyle z=(x-x_{0})\cdot f'_{x}(x_{0};y_{0})+(y-y_{0})\cdot f'_{y}(x_{0};y_{0})+z_{0}=(x-8)\cdot (-16)+(y-4)\cdot (-48)+0=-16x+144-48y+192=-16x-48y+336.}
Paviršių liečiančios plokštumos normalės lygtis
keisti
Žinome, kad plokštuma
A ( x − x 0 ) + B ( y − y 0 ) + C ( z − z 0 ) = 0 ; {\displaystyle A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;}
A x + B y + C z + ( − A x 0 − B y 0 − C z 0 ) = 0 ; {\displaystyle Ax+By+Cz+(-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0})=0;}
A x + B y + C z + D = 0 , D = − A x 0 − B y 0 − C z 0 {\displaystyle Ax+By+Cz+D=0,\;\;D=-Ax_{0}-By_{0}-Cz_{0}}
turi normalės vektorių n → = ( A ; B ; C ) {\displaystyle {\vec {n}}=(A;B;C)} statmeną plokštumai A x + B y + C z + D = 0 {\displaystyle Ax+By+Cz+D=0} . Taigi, tiesės (normalės) statmenos plokštumai A x + B y + C z + D = 0 {\displaystyle Ax+By+Cz+D=0} ir kertančios tą plokštumą taške A ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) {\displaystyle A(x_{0};\;y_{0};\;z_{0})} lygtis yra
x − x 0 A = y − y 0 B = z − z 0 C . {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{A}}={\frac {y-y_{0}}{B}}={\frac {z-z_{0}}{C}}.} Analogiškai, perrašius paviršių liečiančią plokštumą
z = f ( x 0 ; y 0 ) + f x ′ ( x 0 ; y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ′ ( x 0 ; y 0 ) ( y − y 0 ) , {\displaystyle z=f(x_{0};y_{0})+f'_{x}(x_{0};y_{0})(x-x_{0})+f'_{y}(x_{0};y_{0})(y-y_{0}),\;}
z − z 0 = f x ′ ( x 0 ; y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ′ ( x 0 ; y 0 ) ( y − y 0 ) , {\displaystyle z-z_{0}=f'_{x}(x_{0};y_{0})(x-x_{0})+f'_{y}(x_{0};y_{0})(y-y_{0}),\;}
0 = f x ′ ( x 0 ; y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ′ ( x 0 ; y 0 ) ( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) , {\displaystyle 0=f'_{x}(x_{0};y_{0})(x-x_{0})+f'_{y}(x_{0};y_{0})(y-y_{0})-(z-z_{0}),\;}
f x ′ ( x 0 ; y 0 ) ( x − x 0 ) + f y ′ ( x 0 ; y 0 ) ( y − y 0 ) − ( z − z 0 ) = 0 , {\displaystyle f'_{x}(x_{0};y_{0})(x-x_{0})+f'_{y}(x_{0};y_{0})(y-y_{0})-(z-z_{0})=0,\;}
gauname paviršių liečiančios plokštumos normalės lygtį taške A ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) : {\displaystyle A(x_{0};y_{0};z_{0}):}
x − x 0 f x ′ ( x 0 ; y 0 ) = y − y 0 f y ′ ( x 0 ; y 0 ) = z − z 0 − 1 . {\displaystyle {\frac {x-x_{0}}{f'_{x}(x_{0};y_{0})}}={\frac {y-y_{0}}{f'_{y}(x_{0};y_{0})}}={\frac {z-z_{0}}{-1}}.}
Vadinasi paviršių liečiančios plokštumos normalės vektorius yra n → = ( f x ′ ( x 0 ; y 0 ) ; f y ′ ( x 0 ; y 0 ) ; − 1 ) . {\displaystyle {\vec {n}}=(f'_{x}(x_{0};y_{0});\;f'_{y}(x_{0};y_{0});\;-1).} Išvestinių pavyzdžiai
keisti
Bendri atvejai:
d d x C = 0 {\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\,C=0} .
d d x x n = n x n − 1 {\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}x^{n}=nx^{n-1}} .
Logaritminės funkcijos:
d d x ln x = 1 x {\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\ln x={\frac {1}{x}}} .
log b x = 1 x ln b {\displaystyle \log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}} .
Rodiklinės funkcijos:
d d x e x = e x ln e = e x {\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}e^{x}=e^{x}\ln e=e^{x}} .
d d x a x = a x log e a = a x ln a {\displaystyle {\frac {d}{\,dx}}a^{x}=a^{x}\log _{e}a=a^{x}\ln a} .
Trigonometrinės funkcijos
d d x sin x = cos x {\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\sin x=\cos x} .
d d x cos x = − sin x {\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\cos x=-\sin x} .
d d x tan x = sec 2 x = 1 cos 2 x {\displaystyle {d \over dx}\tan x=\sec ^{2}x={1 \over \cos ^{2}x}} .
d d x csc x = ( 1 sin x ) ′ = − csc x cot x = − cos x sin 2 x {\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\csc x=({\frac {1}{\sin x}})'=-\csc x\cot x=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}} .
d d x sec x = ( 1 cos x ) ′ = sin x cos 2 x = sec x tan x {\displaystyle {\frac {\,d}{\,dx}}\sec x=({\frac {1}{\cos x}})'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}=\sec x\tan x} .
d d x cot x = − csc 2 x = − 1 sin 2 x {\displaystyle {d \over dx}\cot x=-\csc ^{2}x={-1 \over \sin ^{2}x}} . n-tos eilės išvestinės
keisti
Išvestinių įrodymai
keisti
Sinuso išvestinės įrodymas . Funkcija y = sin x {\displaystyle y=\sin x} , o jos išvestinė y ′ = cos x {\displaystyle y'=\cos x} . Žinome, kad sin A ± sin B = 2 ⋅ sin ( A ± B 2 ) ⋅ cos ( A ∓ B 2 ) , {\displaystyle \sin A\pm \sin B=2\cdot \sin({\frac {A\pm B}{2}})\cdot \cos({\frac {A\mp B}{2}}),} o tiksliau mums reikia sin A − sin B = 2 ⋅ sin ( A − B 2 ) ⋅ cos ( A + B 2 ) . {\displaystyle \sin A-\sin B=2\cdot \sin({\frac {A-B}{2}})\cdot \cos({\frac {A+B}{2}}).} Duodame argumentui x priaugimą Δ x {\displaystyle \Delta x} ; tada1) y + Δ y = sin ( x + Δ x ) {\displaystyle y+\Delta y=\sin(x+\Delta x)} ;
2) Δ y = sin ( x + Δ x ) − sin x = 2 ⋅ sin ( x + Δ x − x 2 ) ⋅ cos ( x + Δ x + x 2 ) = 2 ⋅ sin Δ x 2 ⋅ cos ( x + Δ x 2 ) ; {\displaystyle \Delta y=\sin(x+\Delta x)-\sin x=2\cdot \sin({\frac {x+\Delta x-x}{2}})\cdot \cos({\frac {x+\Delta x+x}{2}})=2\cdot \sin {\frac {\Delta x}{2}}\cdot \cos(x+{\frac {\Delta x}{2}});}
3) Δ y Δ x = 2 ⋅ sin Δ x 2 ⋅ cos ( x + Δ x 2 ) Δ x = sin Δ x 2 Δ x 2 cos ( x + Δ x 2 ) ; {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {2\cdot \sin {\frac {\Delta x}{2}}\cdot \cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})}{\Delta x}}={\frac {\sin {\Delta x \over 2}}{\Delta x \over 2}}\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right);}
4) y ′ = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 sin Δ x 2 Δ x 2 cos ( x + Δ x 2 ) ; {\displaystyle y'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin {\Delta x \over 2}}{\Delta x \over 2}}\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right);}
Žinome, kad lim Δ x → 0 sin ( Δ x ) Δ x = 1 , {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin(\Delta x)}{\Delta x}}=1,} todėl
lim Δ x → 0 sin Δ x 2 Δ x 2 = 1 , {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin {\Delta x \over 2}}{\Delta x \over 2}}=1,}
tai
y ′ = lim Δ x → 0 cos ( x + Δ x 2 ) = cos x . {\displaystyle y'=\lim _{\Delta x\to 0}\cos \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)=\cos x.}
Kosinuso išvestinės įrodymas . Išvestinė funkcijos y = cos x {\displaystyle y=\cos x} išreiškiama formuley ′ = − sin x . {\displaystyle y'=-\sin x.\;}
Įrodymas . Pasinaudodami formule cos A − cos B = − 2 ⋅ sin ( A + B 2 ) ⋅ sin ( A − B 2 ) , {\displaystyle \cos A-\cos B=-2\cdot \sin \left({\frac {A+B}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {A-B}{2}}\right),} turime
Δ y = cos ( x + Δ x ) − cos x = − 2 ⋅ sin ( ( x + Δ x ) + x 2 ) ⋅ sin ( ( x + Δ x ) − x 2 ) = − 2 ⋅ sin ( x + Δ x 2 ) ⋅ sin ( Δ x 2 ) . {\displaystyle \Delta y=\cos(x+\Delta x)-\cos x=-2\cdot \sin \left({\frac {(x+\Delta x)+x}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {(x+\Delta x)-x}{2}}\right)=-2\cdot \sin \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right).}
Tokiu budu, kai Δ x ≠ 0 , {\displaystyle \Delta x\neq 0,} gauname
Δ y Δ x = − 2 ⋅ sin ( x + Δ x 2 ) ⋅ sin ( Δ x 2 ) Δ x = − sin ( x + Δ x 2 ) ⋅ sin ( Δ x 2 ) Δ x 2 . {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=-{\frac {2\cdot \sin \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\cdot \sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)}{\Delta x}}=-\sin \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\cdot {\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}.}
Turime, kad lim Δ x → 0 sin Δ x 2 Δ x 2 = 1 {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin {\Delta x \over 2}}{\Delta x \over 2}}=1} ir tada randame
y ′ = ( cos x ) ′ = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 ( − sin ( x + Δ x 2 ) ⋅ sin ( Δ x 2 ) Δ x 2 ) = lim Δ x → 0 ( − sin ( x + Δ x 2 ) ⋅ 1 ) = − sin x . {\displaystyle y'=(\cos x)'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}\left(-\sin \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\cdot {\frac {\sin \left({\frac {\Delta x}{2}}\right)}{\frac {\Delta x}{2}}}\right)=\lim _{\Delta x\to 0}\left(-\sin \left(x+{\frac {\Delta x}{2}}\right)\cdot 1\right)=-\sin x.}
Įrodymas išvestinės funkcijos y = log a x ( 0 < a ≠ 1 ) {\displaystyle y=\log _{a}x\;(0<a\neq 1)} išreiškiamos formule y ′ = 1 x log a e = 1 x ln a , {\displaystyle y'={\frac {1}{x}}\log _{a}{\text{e}}={\frac {1}{x\ln a}},}
kadangi žinoma iš elementarios matematikos, kad log a b = 1 log b a . {\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}.} Taip pat žinome, kad log a b − log a c = log a b c , {\displaystyle \log _{a}b-\log _{a}c=\log _{a}{\frac {b}{c}},} todėl turime
Δ y = log a ( x + Δ x ) − log a x = log a x + Δ x x = log a ( 1 + Δ x x ) . {\displaystyle \Delta y=\log _{a}(x+\Delta x)-\log _{a}x=\log _{a}{\frac {x+\Delta x}{x}}=\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right).}
Tokiu budu, kai Δ x ≠ 0 , {\displaystyle \Delta x\neq 0,} gauname:
Δ y Δ x = 1 Δ x log a ( 1 + Δ x x ) = 1 x ⋅ x Δ x ⋅ log a ( 1 + Δ x x ) = 1 x log a [ ( 1 + Δ x x ) x Δ x ] . {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {1}{\Delta x}}\log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)={\frac {1}{x}}\cdot {\frac {x}{\Delta x}}\cdot \log _{a}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)={\frac {1}{x}}\log _{a}\left[\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}\right].}
Pakeitę x Δ x = h , {\displaystyle {\frac {x}{\Delta x}}=h,} turime: lim Δ x → 0 ( 1 + Δ x x ) x Δ x = lim h → ∞ ( 1 + 1 h ) h = e . {\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}=\lim _{h\to \infty }\left(1+{\frac {1}{h}}\right)^{h}={\text{e}}.}
O kadangi logaritminė funkcija yra netruki, tai
y ′ = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = 1 x log a [ ( 1 + Δ x x ) x Δ x ] = 1 x log a e = 1 x ln a . {\displaystyle y'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {1}{x}}\log _{a}\left[\left(1+{\frac {\Delta x}{x}}\right)^{\frac {x}{\Delta x}}\right]={\frac {1}{x}}\log _{a}{\text{e}}={\frac {1}{x\ln a}}.}
Iš to seka, kad jeigu y = log e x = ln x , {\displaystyle y=\log _{e}x=\ln x,} tai y ′ = ( ln x ) ′ = 1 x ln e = 1 x . {\displaystyle y'=(\ln x)'={\frac {1}{x\ln {\text{e}}}}={\frac {1}{x}}.}
Tangento išvestinės įrodymas . Įrodysime, kad y ′ = ( tan x ) ′ = 1 cos 2 x = sec 2 x . {\displaystyle y'=(\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.} Įrodymas .
y ′ = ( tan x ) ′ = ( sin x cos x ) ′ = ( sin x ) ′ cos x − sin x ( cos x ) ′ cos 2 x = cos x cos x − sin x ( − sin x ) cos 2 x = . {\displaystyle y'=(\tan x)'=({\frac {\sin x}{\cos x}})'={\frac {(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos x\cos x-\sin x(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}=.}
= cos 2 x + sin 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 + tan 2 x = sec 2 x . {\displaystyle ={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\tan ^{2}x=\sec ^{2}x.}
Arktangento išvestinės įrodymas . Įrodysime, kad y ′ = ( arctan x ) ′ = 1 1 + x 2 . {\displaystyle y'=(\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}.} Įrodymas .
y = arctan x , {\displaystyle y=\arctan x,}
tan y = tan ( arctan x ) , {\displaystyle \tan y=\tan(\arctan x),}
tan y = x , {\displaystyle \tan y=x,}
d d x ( tan y ) = d d x ( x ) , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\tan y)={\frac {d}{dx}}(x),}
1 cos 2 y d y d x = 1 , {\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}y}}{\frac {dy}{dx}}=1,}
sec 2 ( y ) d y d x = 1 , {\displaystyle \sec ^{2}(y){\frac {dy}{dx}}=1,}
d y d x = 1 sec 2 y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sec ^{2}y}},}
d y d x = 1 1 + tan 2 y ; {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}y}};}
iš trečios eilutės turime, kad tan y = x , {\displaystyle \tan y=x,} todėl
d y d x = 1 1 + x 2 . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{1+x^{2}}}.}
Arksinuso išvestinės įrodymas . Įrodysime, kad funkcijos y = arcsin x {\displaystyle y=\arcsin x} išvestinė yra y ′ = ( arcsin x ) ′ = 1 1 − x 2 . {\displaystyle y'=(\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.} Įrodymas .
y = arcsin x , {\displaystyle y=\arcsin x,}
sin y = sin ( arcsin x ) , {\displaystyle \sin y=\sin(\arcsin x),}
sin y = x , {\displaystyle \sin y=x,}
d d x ( sin y ) = d d x ( x ) , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\sin y)={\frac {d}{dx}}(x),}
cos ( y ) d y d x = 1 , {\displaystyle \cos(y){\frac {dy}{dx}}=1,}
d y d x = 1 cos y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\cos y}},}
d y d x = 1 1 − sin 2 y ; {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}};}
iš trečios eilutės turime, kad sin y = x , {\displaystyle \sin y=x,} todėl
d y d x = 1 1 − x 2 . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
Arkkosinuso išvestinės įrodymas . Įrodysime, kad funkcijos y = arccos x {\displaystyle y=\arccos x} išvestinė yra y ′ = ( arccos x ) ′ = − 1 1 − x 2 . {\displaystyle y'=(\arccos x)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.} Įrodymas .
y = arccos x , {\displaystyle y=\arccos x,}
cos y = cos ( arccos x ) , {\displaystyle \cos y=\cos(\arccos x),}
cos y = x , {\displaystyle \cos y=x,}
d d x ( cos y ) = d d x ( x ) , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cos y)={\frac {d}{dx}}(x),}
− sin ( y ) d y d x = 1 , {\displaystyle -\sin(y){\frac {dy}{dx}}=1,}
d y d x = − 1 sin y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{\sin y}},}
d y d x = − 1 1 − cos 2 y ; {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}};}
iš trečios eilutės turime, kad cos y = x , {\displaystyle \cos y=x,} todėl
d y d x = − 1 1 − x 2 . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
Išvestinė rodiklinės funkcijos . Išvestinė funkcijos y = a x ( 0 < a ≠ 1 ) {\displaystyle y=a^{x}\;\;(0<a\neq 1)} išreiškiama formuley ′ = a x ln a . {\displaystyle y'=a^{x}\ln a.}
Įrodymas .
y = a x , {\displaystyle y=a^{x},}
ln y = ln a x , {\displaystyle \ln y=\ln a^{x},}
ln y = x ln a , {\displaystyle \ln y=x\ln a,}
d d x ( ln y ) = ln ( a ) d d x ( x ) , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\ln y)=\ln(a){\frac {d}{dx}}(x),}
d d y ( ln y ) d y d x = ln ( a ) ⋅ 1 , {\displaystyle {\frac {d}{dy}}(\ln y){\frac {dy}{dx}}=\ln(a)\cdot 1,}
1 y d y d x = ln ( a ) , {\displaystyle {\frac {1}{y}}{\frac {dy}{dx}}=\ln(a),}
d y d x = y ln ( a ) , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y\ln(a),}
bet y = a x , {\displaystyle y=a^{x},} todėl
d y d x = a x ln a . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=a^{x}\ln a.} Išvestinės įrodymas per atvirkštinę funkciją
keisti
x y ′ = 1 y x ′ , {\displaystyle x_{y}'={\frac {1}{y_{x}'}},} nes
Δ x Δ y = 1 Δ y Δ x . {\displaystyle {\frac {\Delta x}{\Delta y}}={\frac {1}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}.}
Todėl
y x ′ = 1 x y ′ . {\displaystyle y_{x}'={\frac {1}{x_{y}'}}.}
Rasime išvestinę funkcijos y = arcsin x , {\displaystyle y=\arcsin x,} kai | x | < 1 {\displaystyle |x|<1} , | y | < π 2 . {\displaystyle |y|<{\frac {\pi }{2}}.} Atvirkštinė funkcija x = sin y {\displaystyle x=\sin y} , kai − π 2 < y < π 2 ; {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}};} x y ′ = cos y . {\displaystyle x_{y}'=\cos y.} Todėl ( arcsin x ) ′ = 1 ( sin y ) ′ = 1 cos y = 1 1 − sin 2 y = 1 1 − ( sin ( arcsin x ) ) 2 = 1 1 − x 2 , {\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{(\sin y)'}}={\frac {1}{\cos y}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}={\frac {1}{\sqrt {1-(\sin(\arcsin x))^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}
nes cos y > 0 , {\displaystyle \cos y>0,} kai | y | < π 2 . {\displaystyle |y|<{\frac {\pi }{2}}.}
y = arctan x , {\displaystyle y=\arctan x,} x = tan y {\displaystyle x=\tan y} , x y ′ = ( tan y ) ′ = 1 cos 2 y . {\displaystyle x_{y}'=(\tan y)'={\frac {1}{\cos ^{2}y}}.} ( arctan x ) ′ = 1 ( tan y ) ′ = 1 1 cos 2 y = 1 1 + tan 2 y = 1 1 + tan 2 ( arctan x ) = 1 1 + x 2 , {\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{(\tan y)'}}={\frac {1}{\frac {1}{\cos ^{2}y}}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}y}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}(\arctan x)}}={\frac {1}{1+x^{2}}},}
kur 1 + tan 2 A = 1 cos 2 A {\displaystyle 1+\tan ^{2}A={\frac {1}{\cos ^{2}A}}}
Išvestinė rodiklinės funkcijos . Išvestinė funkcijos y = a x ( 0 < a ≠ 1 ) {\displaystyle y=a^{x}\;\;(0<a\neq 1)} išreiškiama formuley ′ = a x ln a . {\displaystyle y'=a^{x}\ln a.}
Įrodymas . Rodiklinė funkcija y = a x {\displaystyle y=a^{x}} yra atvirkštinė logoritminei funkcijai x = log a y . {\displaystyle x=\log _{a}y.} Todėl, kad
x ′ ( y ) = 1 y log a e , {\displaystyle x'(y)={\frac {1}{y}}\log _{a}e,}
tai pagal teoremą apie išvestinę atvirkštinės funkcijos ir žinomo iš elementariosios matematikos santykio log a b = 1 log b a {\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}} gauname
y ′ ( x ) = 1 x ′ ( y ) = y log a e = y log e a = a x ln a . {\displaystyle y'(x)={\frac {1}{x'(y)}}={\frac {y}{\log _{a}e}}=y\log _{e}a=a^{x}\ln a.}
Pasekmė . Jeigu y = e x {\displaystyle y=e^{x}} , tai y ′ = ( e x ) ′ = e x ln e = e x . {\displaystyle y'=(e^{x})'=e^{x}\ln e=e^{x}.}
Funkcijų sandaugos ir dalmens išvestinių įrodymai
keisti
Jeigu funkcijos u ir v diferencijuojamos taške x 0 , {\displaystyle x_{0},} tai jų sandauga diferencijuojama šiame taške ir ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ {\displaystyle (uv)'=u'v+uv'}
(funkcijų ir jų išvestinių reikšmės apskaičiuojamos taške x 0 {\displaystyle x_{0}} ).
Iš pradžių apskaičiuosime sandaugos pokytį:
Δ ( u v ) = u ( x 0 + Δ x ) v ( x 0 + Δ x ) − u ( x 0 ) v ( x 0 ) = {\displaystyle \Delta (uv)=u(x_{0}+\Delta x)v(x_{0}+\Delta x)-u(x_{0})v(x_{0})=}
= ( u ( x 0 ) + Δ u ) ( v ( x 0 ) + Δ v ) − u ( x 0 ) v ( x 0 ) = {\displaystyle =(u(x_{0})+\Delta u)(v(x_{0})+\Delta v)-u(x_{0})v(x_{0})=}
= u ( x 0 ) v ( x 0 ) + Δ u v ( x 0 ) + u ( x 0 ) ⋅ Δ v + Δ u Δ v − u ( x 0 ) v ( x 0 ) = {\displaystyle =u(x_{0})v(x_{0})+\Delta uv(x_{0})+u(x_{0})\cdot \Delta v+\Delta u\Delta v-u(x_{0})v(x_{0})=}
= Δ u v ( x 0 ) + u ( x 0 ) Δ v + Δ u Δ v . {\displaystyle =\Delta uv(x_{0})+u(x_{0})\Delta v+\Delta u\Delta v.}
Iš čia
Δ ( u v ) Δ x = Δ u Δ x v ( x 0 ) + u ( x 0 ) Δ v Δ x + Δ u Δ v Δ x . {\displaystyle {\frac {\Delta (uv)}{\Delta x}}={\frac {\Delta u}{\Delta x}}v(x_{0})+u(x_{0}){\frac {\Delta v}{\Delta x}}+\Delta u{\frac {\Delta v}{\Delta x}}.}
Kadangi funkcijos u ir v yra diferencijuojamos taške x 0 , {\displaystyle x_{0},} tai
Δ u Δ x → u ′ ; Δ v Δ x → v ′ ; Δ u → 0 , {\displaystyle {\frac {\Delta u}{\Delta x}}\to u';\;\;{\frac {\Delta v}{\Delta x}}\to v';\;\;\Delta u\to 0,}
kai Δ x → 0. {\displaystyle \Delta x\to 0.}
Todėl
Δ ( u v ) Δ x → u ′ v ( x 0 ) + u ( x 0 ) v ′ + 0 v ′ = {\displaystyle {\frac {\Delta (uv)}{\Delta x}}\to u'v(x_{0})+u(x_{0})v'+0v'=}
= u ′ v ( x 0 ) + u ( x 0 ) v ′ , {\displaystyle =u'v(x_{0})+u(x_{0})v',\;} t. y. ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ . {\displaystyle \;(uv)'=u'v+uv'.}
Tai ir reikėjo įrodyti.
Jeigu funkcijos u ir v diferencijuojamos taške x 0 {\displaystyle x_{0}} ir funkcijos v reikšmė nelygi nuliui šiame taške, tai dalmuo u v {\displaystyle {\frac {u}{v}}} taip pat diferencijuojamas taške x 0 {\displaystyle x_{0}} ir ( u v ) ′ = u ′ v − u v ′ v 2 {\displaystyle \left({\frac {u}{v}}\right)'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}}
(funkcijų ir jų išvestinių reikšmės apskaičiuojamos taške x 0 {\displaystyle x_{0}} ).
Iš pradžių išvesime formulę
( 1 v ) ′ = − v ′ v 2 . {\displaystyle \left({\frac {1}{v}}\right)'=-{\frac {v'}{v^{2}}}.}
Tam tikslui rasime funkcijos 1 v {\displaystyle {\frac {1}{v}}} pokytį:
Δ ( 1 v ) = 1 v ( x 0 + Δ x ) − 1 v ( x 0 ) = v ( x 0 ) − v ( x 0 + Δ x ) v ( x 0 ) v ( x 0 + Δ x ) = − Δ v v ( x 0 ) ( v ( x 0 ) + Δ v ) . {\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{v}}\right)={\frac {1}{v(x_{0}+\Delta x)}}-{\frac {1}{v(x_{0})}}={\frac {v(x_{0})-v(x_{0}+\Delta x)}{v(x_{0})v(x_{0}+\Delta x)}}={\frac {-\Delta v}{v(x_{0})(v(x_{0})+\Delta v)}}.}
Iš čia
Δ ( 1 v ) Δ x = − Δ v Δ x v ( x 0 ) ( v ( x 0 ) + Δ v ) . {\displaystyle {\frac {\Delta \left({\frac {1}{v}}\right)}{\Delta x}}={\frac {-{\frac {\Delta v}{\Delta x}}}{v(x_{0})(v(x_{0})+\Delta v)}}.}
Jei Δ x → 0 , {\displaystyle \Delta x\to 0,} tai Δ v Δ x → v ′ {\displaystyle {\frac {\Delta v}{\Delta x}}\to v'} (kadangi v diferencijuojama taške x 0 {\displaystyle x_{0}} ), Δ v → 0. {\displaystyle \Delta v\to 0.} Todėl
Δ ( 1 v ) Δ x = − v ′ v ⋅ v = − v ′ v 2 , {\displaystyle {\frac {\Delta \left({\frac {1}{v}}\right)}{\Delta x}}={\frac {-v'}{v\cdot v}}=-{\frac {v'}{v^{2}}},\;} t. y. ( 1 v ) ′ = − v ′ v 2 ; {\displaystyle \;\left({\frac {1}{v}}\right)'=-{\frac {v'}{v^{2}}};}
čia dešinėse lygybių pusėse trumpumo dėlei rašoma v ( x 0 ) = v . {\displaystyle v(x_{0})=v.}
Dabar, remdamiesi funkcijų sandaugos išvestinės skaičiavimo taisykle, randame dalmens išvestinę:
( u v ) ′ = ( u ⋅ 1 v ) ′ = u ′ ⋅ 1 v + u ⋅ ( 1 v ) ′ = u ′ v + u ⋅ − v ′ v 2 = u ′ v − u v ′ v 2 . {\displaystyle \left({\frac {u}{v}}\right)'=\left(u\cdot {\frac {1}{v}}\right)'=u'\cdot {\frac {1}{v}}+u\cdot \left({\frac {1}{v}}\right)'={\frac {u'}{v}}+u\cdot {\frac {-v'}{v^{2}}}={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}.}
Kitoks funkcijų dalmens išvestinės įrodymas
keisti
Jeigu f ( x ) = y = u v , {\displaystyle f(x)=y={\frac {u}{v}},} tai f ′ ( x ) = y ′ = u ′ v − u v ′ v 2 . {\displaystyle f'(x)=y'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}.}
Įrodymas . Jeigu Δ y {\displaystyle \Delta y} , Δ u {\displaystyle \Delta u} ir Δ v {\displaystyle \Delta v} yra esmė priaugimo funkcijų y , u ir v , atitinkanti priaugimui Δ x {\displaystyle \Delta x} , tai
f ( x + Δ x ) = y + Δ y = u + Δ u v + Δ v , {\displaystyle f(x+\Delta x)=y+\Delta y={\frac {u+\Delta u}{v+\Delta v}},}
f ( x + Δ x ) − f ( x ) = Δ y = u + Δ u v + Δ v − u v = u v + Δ u v − u v − u Δ v v ( v + Δ v ) = Δ u v − u Δ v v ( v + Δ v ) , {\displaystyle f(x+\Delta x)-f(x)=\Delta y={\frac {u+\Delta u}{v+\Delta v}}-{\frac {u}{v}}={\frac {uv+\Delta uv-uv-u\Delta v}{v(v+\Delta v)}}={\frac {\Delta uv-u\Delta v}{v(v+\Delta v)}},}
Δ y Δ x = Δ u v − u Δ v Δ x v ( v + Δ v ) = Δ u Δ x v − u Δ v Δ x v ( v + Δ v ) , {\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {\frac {\Delta uv-u\Delta v}{\Delta x}}{v(v+\Delta v)}}={\frac {{\frac {\Delta u}{\Delta x}}v-u{\frac {\Delta v}{\Delta x}}}{v(v+\Delta v)}},}
f ′ ( x ) = y ′ = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 Δ u Δ x v − u Δ v Δ x v ( v + Δ v ) = v lim Δ x → 0 Δ u Δ x − u lim Δ x → 0 Δ v Δ x v lim Δ x → 0 ( v + Δ v ) . {\displaystyle f'(x)=y'=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {\Delta u}{\Delta x}}v-u{\frac {\Delta v}{\Delta x}}}{v(v+\Delta v)}}={\frac {v\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta u}{\Delta x}}-u\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta v}{\Delta x}}}{v\lim _{\Delta x\to 0}(v+\Delta v)}}.}
Iš čia, pastebėję, kad Δ v → 0 {\displaystyle \Delta v\to 0} , kai Δ x → 0 {\displaystyle \Delta x\to 0} (lim Δ x → 0 Δ v = 0 , {\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\Delta v=0,} nes v(x) - diferencijuojama ir dėl to netrūki funkcija), gauname:
f ′ ( x ) = y ′ = u ′ v − u v ′ v 2 . {\displaystyle f'(x)=y'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}.}
Sudetinės rodiklinės funkcijos išvestinės įrodymas
keisti
Sudetine rodikline funkcija vadinasi funkcija, kurios pagrindas ir laipsnio rodiklis yra funkcijos nuo x , pavyzdžiui ( sin x ) x 2 , x tan x , x x , ( ln x ) x , {\displaystyle (\sin x)^{x^{2}},\;x^{\tan x},\;x^{x},\;(\ln x)^{x},\;} apskritai, bet kuri funkcija
y = [ u ( x ) ] v ( x ) = u v {\displaystyle y=[u(x)]^{v(x)}=u^{v}}
yra sudetinė rodiklinė funkcija (dažnai tokią funkciją vadina laipsnine rodikline funkcija). Jeigu y = u v , {\displaystyle y=u^{v},} tai y ′ = v u v − 1 u ′ + u v v ′ ln u . {\displaystyle y'=vu^{v-1}u'+u^{v}v'\ln u.} Įrodymas . Logaritmuojame funkciją y :
ln y = v ln u . {\displaystyle \ln y=v\ln u.}
Diferencijuodami gautą lygybę per x , turėsime:
1 y y ′ = v 1 u u ′ + v ′ ln u , {\displaystyle {\frac {1}{y}}y'=v{\frac {1}{u}}u'+v'\ln u,}
Iš kur
y ′ = y ( v u ′ u + v ′ ln u ) . {\displaystyle y'=y(v{\frac {u'}{u}}+v'\ln u).}
Įstatę čia išraišką y = u v , {\displaystyle y=u^{v},} gauname:
y ′ = u v ( v u ′ u + v ′ ln u ) = v u v − 1 u ′ + u v v ′ ln u . {\displaystyle y'=u^{v}(v{\frac {u'}{u}}+v'\ln u)=vu^{v-1}u'+u^{v}v'\ln u.}
Pavyzdžiai. Jeigu y = x x , {\displaystyle y=x^{x},} tai y ′ = x x x − 1 ( x ′ ) + x x ( x ′ ) ln x = x x + x x ln x = x x ( 1 + ln x ) . {\displaystyle y'=xx^{x-1}(x')+x^{x}(x')\ln x=x^{x}+x^{x}\ln x=x^{x}(1+\ln x).}
Jeigu y = ( sin x ) x 2 , {\displaystyle y=(\sin x)^{x^{2}},} tai y ′ = x 2 ( sin x ) x 2 − 1 ( sin x ) ′ + ( sin x ) x 2 ( x 2 ) ′ ln sin x = {\displaystyle y'=x^{2}(\sin x)^{x^{2}-1}(\sin x)'+(\sin x)^{x^{2}}(x^{2})'\ln \sin x=}
= x 2 ( sin x ) x 2 − 1 cos x + ( sin x ) x 2 2 x ln sin x . {\displaystyle =x^{2}(\sin x)^{x^{2}-1}\cos x+(\sin x)^{x^{2}}2x\ln \sin x.}
Išvestinė laipsninės funkcijos su bet kokiu realiuoju rodikliu
keisti
Išvestinė funkcijos y = x α {\displaystyle y=x^{\alpha }\;} (α {\displaystyle \alpha } - bet koks realusis skaičius) išreiškiama formule
y ′ = α x α − 1 . {\displaystyle y'=\alpha x^{\alpha -1}.} Įrodymas . Kadangi y = x α , {\displaystyle y=x^{\alpha },} tai
ln y = ln x α , {\displaystyle \ln y=\ln x^{\alpha },}
ln y = α ln x . {\displaystyle \ln y=\alpha \ln x.}
Diferencijuodami (remdamiesi sudėtinės funkcijos diferencijavimu) per x kairiąją ir dešiniąją puses, randame
( ln y ) ′ = ( α ln x ) ′ , {\displaystyle (\ln y)'=(\alpha \ln x)',}
y ′ y = α x , {\displaystyle {\frac {y'}{y}}={\frac {\alpha }{x}},}
y ′ = y α x = x α α x = α x α − 1 . {\displaystyle y'=y{\frac {\alpha }{x}}=x^{\alpha }{\frac {\alpha }{x}}=\alpha x^{\alpha -1}.} Sudėtinės funkcijos išvestinės įrodymas per pavyzdį
keisti
Sudėtinės funkcijos y ( t ) = f ( x ) = f ( ϕ ( t ) ) {\displaystyle y(t)=f(x)=f(\phi (t))} (čia x = ϕ ( t ) {\displaystyle x=\phi (t)} ) išvestinė yra
y ′ ( t ) = f ′ ( x ) ⋅ ϕ ′ ( t ) . {\displaystyle y'(t)=f'(x)\cdot \phi '(t).} Kadangi nėra sudėtinės funkcijos išvestinės aiškiai suprantamo įrodymo, tai mes įrodysime, remdamiesi sudėtinės funkcijos išvestinės formule, per pavyzdį.
Tegu turime funkciją y = t 15 = ( t 3 ) 5 ; {\displaystyle y=t^{15}=(t^{3})^{5};} čia f ( x ) = x 5 , {\displaystyle f(x)=x^{5},} x = ϕ ( t ) = t 3 . {\displaystyle x=\phi (t)=t^{3}.}
Surandame y , f(x) ir ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} išvestines:
y ′ = ( t 15 ) ′ = 15 t 14 , {\displaystyle y'=(t^{15})'=15t^{14},}
f ′ ( x ) = ( x 5 ) ′ = 5 x 4 , {\displaystyle f'(x)=(x^{5})'=5x^{4},}
ϕ ′ ( t ) = ( t 3 ) ′ = 3 t 2 . {\displaystyle \phi '(t)=(t^{3})'=3t^{2}.}
Įstatę į f(x) išvestinę x = t 3 {\displaystyle x=t^{3}} ir sudauginę su ϕ ( t ) {\displaystyle \phi (t)} išvestine gauname:
y ′ = f ′ ( x ) ⋅ ϕ ′ ( t ) = 5 ( t 3 ) 4 ⋅ 3 t 2 = 5 t 12 ⋅ 3 t 2 = 15 t 14 . {\displaystyle y'=f'(x)\cdot \phi '(t)=5(t^{3})^{4}\cdot 3t^{2}=5t^{12}\cdot 3t^{2}=15t^{14}.}
Skaičiuojant abiais būdais gavome tą patį y išvestinės atsakymą (y ′ = 15 t 14 {\displaystyle y'=15t^{14}} ). Jei sudėtinės funkcijos išvestinės formulė butų neteisingą, tai gautumėme tikriausiai skirtingus atsakymus skaičiuojant skirtingais būdais.