Matematika/Išvestinė

Išvestinė yra bet kokios funkcijos liestinės krypties koeficientas. Liestinė su įgaubta arba išgaubta funkcijos kreive turi tik vieną susilietimo tašką ir neturi kitų susikirtimo taškų.

Liestinės lygtis keisti

 
Funkcijos f(x) liestinė taške x

Tiesė liečia funkcijos grafiką taške   Išvesime tos liestinės lygtį.

Kadangi tos tiesės krypties koeficientas   tai jos lygtis yra
 
Skaičių b sužinome iš sąlygos, kad liestinė eina per tašką A:
 

Iš čia   Todėl liestinės lygtis bus šitokia:

 

Pavyzdžiai keisti

  • Tiesė liečia funkcijos   grafiką taške, kurio abscisė lygi   Parašykime tos tiesės lygtį.
Šiame pavyzdyje         Irašę tuos skaičius į formulę gauname liestinės lygtį:
 


  • Tiesė liečia parabolę   taške, kurios abscisė  . Parašykime tos tiesės lygtį. Pagal sąlygą    

Įrašę tas reikšmes į liestinės lygtį, gausime:

 
Pavyzdžiui, kai   liestinės lygtis yra y=2x-1. Kai   liestinės lygtis yra  


  • Tiesė liečia grandininę liniją   taške, kurios abscisė  . Parašykime tos tiesės (liestinės) lygtį. Pagal sąlygą
 
 
Įrašę tas reikšmes į liestinės lygtį, gausime:
 
Pavyzdžiui, kai   liestinės lygtis yra
 
Pavyzdžiui, kai     liestinės lygtis yra
 
 
Kai   liestinės lygtis yra:
 


 
Funkcija (žalia kreivė) ir jos liestinė taške P (mėlyna tiesė); kampas tarp liestinės taške P ir abscisės Ox yra    
  • Parašyti parabolės   liestinės lygtį taške  . Rasti kam lygūs dy ir   taške  , kai   ir atsakymą patikrinti.
Sprendimas. Liestinės lygtis taške   yra:
 
Toliau randame  :
 
 
Toliau randame dy:
 
Parabolės abscisės reikšmė taške   yra  
Liestinės abscisės reikšmė, kai argumeno reikšmė yra  , gaunama tokia:
 
Na, o parabolės abscisės reikšmė nuo   yra:
 
Ir parabolės abscisės reikšmė taške   yra:
 
Taigi, patikriname dy atėmę iš liestinės abscisės reikšmės nuo  , parabolės abscisės reikšmę taške   ir gauname:
  Gavome teisingai.
Toliau patikriname ar tikrai  , taigi:
 
Papildomai randame   ir dy skirtumą:
 
arba
 
arba
 
arba
 

Liečiamosios plokštumos lygtis keisti

Plokštumos, kuri liečia paviršių f(x; y) taške   lygtis yra:

 


Plokštuma liečia funkcijos paviršių taške   Išvesime tos liečiančios plokštumos lygtį.
Kadangi tos plokštumos krypties koeficientai yra   ir   tai jos lygtis yra
 
Skaičių b sužinome iš sąlygos, kad liestinė eina per tašką A:
 

Iš čia   Todėl liečiamosios plokštumos lygtis bus šitokia:

 
 


  • Pavyzdys. Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A(3; 4; 27) funkcijos, kuri nusako paviršių  
Sprendimas.
 
 
 
 
 
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:
 


  • Pavyzdys. Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A(8; 4; 172) funkcijos, kuri nusako paviršių  
Sprendimas.
 
 
 
 
 
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:
 
 
  • Pavyzdys. Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A(8; 4; 0) funkcijos, kuri nusako paviršių  
Sprendimas.
 
 
 
 
 
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:
 


Paviršių liečiančios plokštumos normalės lygtis keisti

Žinome, kad plokštuma
 
 
 
turi normalės vektorių   statmeną plokštumai  . Taigi, tiesės (normalės) statmenos plokštumai   ir kertančios tą plokštumą taške   lygtis yra
 
Analogiškai, perrašius paviršių liečiančią plokštumą
 
 
 
 
gauname paviršių liečiančios plokštumos normalės lygtį taške  
 
Vadinasi paviršių liečiančios plokštumos normalės vektorius yra  

Išvestinių pavyzdžiai keisti

  • Bendri atvejai:
    •  .
    •  .
  • Logaritminės funkcijos:
    •  .
    •  .
  • Rodiklinės funkcijos:
    •  .
    •  .
  • Trigonometrinės funkcijos
    •  .
    •  .
    •  .
    •  .
    •  .
    •  .

n-tos eilės išvestinės keisti

  • Bendri atvejai:
    •  
    •  
    •  
  • Tiesinės trupmeninės funkcijos n-toji išvestinė:
    •  
  • Sandaugos išvestinė sutampa su binomo formule, tik vietoje laipsnio rašoma išvestinė:
    •  
  • Trigonometrijoje:
    •  
    •  

kur (n) yra n-tos eilės išvestinė.


Išvestinių įrodymai keisti

  • Sinuso išvestinės įrodymas. Funkcija  , o jos išvestinė  . Žinome, kad   o tiksliau mums reikia   Duodame argumentui x priaugimą  ; tada
1)  ;
2)  
3)  
4)  
Žinome, kad   todėl
 
tai
 


  • Kosinuso išvestinės įrodymas. Išvestinė funkcijos   išreiškiama formule
 
Įrodymas. Pasinaudodami formule   turime
 
Tokiu budu, kai   gauname
 
Turime, kad   ir tada randame
 


  • Įrodymas išvestinės funkcijos   išreiškiamos formule
 
kadangi žinoma iš elementarios matematikos, kad   Taip pat žinome, kad   todėl turime
 
Tokiu budu, kai   gauname:
 
Pakeitę   turime:  
O kadangi logaritminė funkcija yra netruki, tai
 
Iš to seka, kad jeigu   tai  


  • Tangento išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad  
Įrodymas.
 
 


  • Arktangento išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad  
Įrodymas.
 
 
 
 
 
 
 
 
iš trečios eilutės turime, kad   todėl
 


  • Arksinuso išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad funkcijos   išvestinė yra  
Įrodymas.
 
 
 
 
 
 
 
iš trečios eilutės turime, kad   todėl
 


  • Arkkosinuso išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad funkcijos   išvestinė yra  
Įrodymas.
 
 
 
 
 
 
 
iš trečios eilutės turime, kad   todėl
 


  • Išvestinė rodiklinės funkcijos. Išvestinė funkcijos   išreiškiama formule
 
Įrodymas.
 
 
 
 
 
 
 
bet   todėl
 

Išvestinės įrodymas per atvirkštinę funkciją keisti

  nes

 
Todėl
 

Pavyzdžiai keisti

  • Rasime išvestinę funkcijos   kai  ,   Atvirkštinė funkcija  , kai     Todėl
 
nes   kai  


  •    ,  
 
kur  


  • Išvestinė rodiklinės funkcijos. Išvestinė funkcijos   išreiškiama formule
 
Įrodymas. Rodiklinė funkcija   yra atvirkštinė logoritminei funkcijai   Todėl, kad
 
tai pagal teoremą apie išvestinę atvirkštinės funkcijos ir žinomo iš elementariosios matematikos santykio   gauname
 
Pasekmė. Jeigu  , tai  


Funkcijų sandaugos ir dalmens išvestinių įrodymai keisti

  • Jeigu funkcijos u ir v diferencijuojamos taške   tai jų sandauga diferencijuojama šiame taške ir
 
(funkcijų ir jų išvestinių reikšmės apskaičiuojamos taške  ).
Iš pradžių apskaičiuosime sandaugos pokytį:
 
 
 
 
Iš čia
 
Kadangi funkcijos u ir v yra diferencijuojamos taške   tai
 
kai  
Todėl
 
  t. y.  
Tai ir reikėjo įrodyti.


  • Jeigu funkcijos u ir v diferencijuojamos taške   ir funkcijos v reikšmė nelygi nuliui šiame taške, tai dalmuo   taip pat diferencijuojamas taške   ir
 
(funkcijų ir jų išvestinių reikšmės apskaičiuojamos taške  ).
Iš pradžių išvesime formulę
 
Tam tikslui rasime funkcijos   pokytį:
 
Iš čia
 
Jei   tai   (kadangi v diferencijuojama taške  ),   Todėl
  t. y.  
čia dešinėse lygybių pusėse trumpumo dėlei rašoma  
Dabar, remdamiesi funkcijų sandaugos išvestinės skaičiavimo taisykle, randame dalmens išvestinę:
 


Kitoks funkcijų dalmens išvestinės įrodymas keisti

Jeigu   tai  

Įrodymas. Jeigu  ,   ir   yra esmė priaugimo funkcijų y, u ir v, atitinkanti priaugimui  , tai
 
 
 
 
Iš čia, pastebėję, kad  , kai   (  nes v(x) - diferencijuojama ir dėl to netrūki funkcija), gauname:
 


Sudetinės rodiklinės funkcijos išvestinės įrodymas keisti

Sudetine rodikline funkcija vadinasi funkcija, kurios pagrindas ir laipsnio rodiklis yra funkcijos nuo x, pavyzdžiui   apskritai, bet kuri funkcija
 
yra sudetinė rodiklinė funkcija (dažnai tokią funkciją vadina laipsnine rodikline funkcija).
Jeigu   tai  
Įrodymas. Logaritmuojame funkciją y:
 
Diferencijuodami gautą lygybę per x, turėsime:
 
Iš kur
 
Įstatę čia išraišką   gauname:
 


Pavyzdžiai.
  • Jeigu   tai
 


  • Jeigu   tai
 
 


Išvestinė laipsninės funkcijos su bet kokiu realiuoju rodikliu keisti

Išvestinė funkcijos   (  - bet koks realusis skaičius) išreiškiama formule
 
Įrodymas. Kadangi   tai
 
 
Diferencijuodami (remdamiesi sudėtinės funkcijos diferencijavimu) per x kairiąją ir dešiniąją puses, randame
 
 
 

Sudėtinės funkcijos išvestinės įrodymas per pavyzdį keisti

Sudėtinės funkcijos   (čia  ) išvestinė yra
 
Kadangi nėra sudėtinės funkcijos išvestinės aiškiai suprantamo įrodymo, tai mes įrodysime, remdamiesi sudėtinės funkcijos išvestinės formule, per pavyzdį.
Tegu turime funkciją   čia    
Surandame y, f(x) ir   išvestines:
 
 
 
Įstatę į f(x) išvestinę   ir sudauginę su   išvestine gauname:
 
Skaičiuojant abiais būdais gavome tą patį y išvestinės atsakymą ( ). Jei sudėtinės funkcijos išvestinės formulė butų neteisingą, tai gautumėme tikriausiai skirtingus atsakymus skaičiuojant skirtingais būdais.

Nuorodos keisti