Atverti pagrindinį meniu

Išvestinė yra bet kokios funkcijos liestinė. Liestinė su apvalia arba išgaubta funkcijos kreive turi tik vieną susilietimo tašką ir neturi kitų susikirtimo taškų.

Liestinės lygtisKeisti

 
Funkcijos f(x) liestinė taške x

Tiesė liečia funkcijos grafiką taške   Išvesime tos liestinės lygtį.

Kadangi tos tiesės krypties koeficientas   tai jos lygtis yra
 
Skaičių b sužinome iš sąlygos, kad liestinė eina per tašką A:
 

Iš čia   Todėl liestinės lygtis bus šitokia:

 

PavyzdžiaiKeisti

  • Tiesė liečia funkcijos   grafiką taške, kurio abscisė lygi   Parašykime tos tiesės lygtį.
Šiame pavyzdyje         Irašę tuos skaičius į formulę gauname liestinės lygtį:
 


  • Tiesė liečia parabolę   taške, kurios abscisė  . Parašykime tos tiesės lygtį. Pagal sąlygą    

Įrašę tas reikšmes į liestinės lygtį, gausime:

 
Pavyzdžiui, kai   liestinės lygtis yra y=2x-1. Kai   liestinės lygtis yra  


  • Tiesė liečia grandininę liniją   taške, kurios abscisė  . Parašykime tos tiesės lygtį. Pagal sąlygą
 
 
Įrašę tas reikšmes į liestinės lygtį, gausime:
 
Pavyzdžiui, kai   liestinės lygtis yra
 
Pavyzdžiui, kai     liestinės lygtis yra
 
Kai   liestinės lygtis yra:
 
 
Funkcija (žalia kreivė) ir jos liestinė taške P (mėlyna tiesė); kampas tarp liestinės taške P ir abscisės Ox yra    
  • Parašyti parabolės   liestinės lygtį taške  . Rasti kam lygūs dy ir   taške  , kai   ir atsakymą patikrinti.
Sprendimas. Liestinės lygtis taške   yra:
 
Toliau randame  :
 
 
Toliau randame dy:
 
Parabolės abscisės reikšmė taške   yra  
Liestinės abscisės reikšmė, kai argumeno reikšmė yra  , gaunama tokia:
 
Na, o parabolės abscisės reikšmė nuo   yra:
 
Ir parabolės abscisės reikšmė taške   yra:
 
Taigi, patikriname dy atėmę iš liestinės abscisės reikšmės nuo  , parabolės abscisės reikšmę taške   ir gauname:
  Gavome teisingai.
Toliau patikriname ar tikrai  , taigi:
 
Papildomai randame   ir dy skirtumą:
 
arba
 
arba
 
arba
 

Liečiamosios plokštumos lygtisKeisti

Plokštumos, kuri liečia paviršių f(x; y) taške   lygtis yra:

 


Plokštuma liečia funkcijos paviršių taške   Išvesime tos liečiančios plokštumos lygtį.
Kadangi tos plokštumos krypties koeficientai yra   ir   tai jos lygtis yra
 
Skaičių b sužinome iš sąlygos, kad liestinė eina per tašką A:
 

Iš čia   Todėl liečiamosios plokštumos lygtis bus šitokia:

 
 


  • Pavyzdys. Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A(3; 4; 27) funkcijos, kuri nusako paviršių  
Sprendimas.
 
 
 
 
 
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:
 


  • Pavyzdys. Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A(8; 4; 172) funkcijos, kuri nusako paviršių  
Sprendimas.
 
 
 
 
 
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:
 
 
  • Pavyzdys. Rasti liečiamosios plokštumos lygtį taške A(8; 4; 0) funkcijos, kuri nusako paviršių  
Sprendimas.
 
 
 
 
 
Liečiamosios plokštumos lygtis yra:
 


Paviršių liečiančios plokštumos normalės lygtisKeisti

Žinome, kad plokštuma
 
 
 
turi normalės vektorių   statmeną plokštumai  . Taigi, tiesės (normalės) statmenos plokštumai   ir kertančios tą plokštumą taške   lygtis yra
 
Analogiškai, perrašius paviršių liečiančią plokštumą
 
 
 
 
gauname paviršių liečiančios plokštumos normalės lygtį taške  
 
Vadinasi paviršių liečiančios plokštumos normalės vektorius yra  

Išvestinių pavyzdžiaiKeisti

  • Bendri atvejai:
    •  .
    •  .
  • Logaritminės funkcijos:
    •  .
    •  .
  • Rodiklinės funkcijos:
    •  .
    •  .
  • Trigonometrinės funkcijos
    •  .
    •  .
    •  .
    •  .
    •  .
    •  .

n-tos eilės išvestinėsKeisti

  • Bendri atvejai:
    •  
    •  
    •  
  • Tiesinės trupmeninės funkcijos n-toji išvestinė:
    •  
  • Sandaugos išvestinė sutampa su binomo formule, tik vietoje laipsnio rašoma išvestinė:
    •  
  • Trigonometrijoje:
    •  
    •  

kur (n) yra n-tos eilės išvestinė.


Išvestinių įrodymaiKeisti

  • Sinuso išvestinės įrodymas. Funkcija  , o jos išvestinė  . Žinome, kad   o tiksliau mums reikia   Duodame argumentui x priaugimą  ; tada
1)  ;
2)  
3)  
4)  
Žinome, kad   todėl
 
tai
 


  • Kosinuso išvestinės įrodymas. Išvestinė funkcijos   išreiškiama formule
 
Įrodymas. Pasinaudodami formule   turime
 
Tokiu budu, kai   gauname
 
Turime, kad   ir tada randame
 


  • Įrodymas išvestinės funkcijos   išreiškiamos formule
 
kadangi žinoma iš elementarios matematikos, kad   Taip pat žinome, kad   todėl turime
 
Tokiu budu, kai   gauname:
 
Pakeitę   turime:  
O kadangi logaritminė funkcija yra netruki, tai
 
Iš to seka, kad jeigu   tai  


  • Tangento išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad  
Įrodymas.
 
 


  • Arktangento išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad  
Įrodymas.
 
 
 
 
 
 
 
 
iš trečios eilutės turime, kad   todėl
 


  • Arksinuso išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad funkcijos   išvestinė yra  
Įrodymas.
 
 
 
 
 
 
 
iš trečios eilutės turime, kad   todėl
 


  • Arkkosinuso išvestinės įrodymas. Įrodysime, kad funkcijos   išvestinė yra  
Įrodymas.
 
 
 
 
 
 
 
iš trečios eilutės turime, kad   todėl
 


  • Išvestinė rodiklinės funkcijos. Išvestinė funkcijos   išreiškiama formule
 
Įrodymas.
 
 
 
 
 
 
 
bet   todėl
 

Išvestinės įrodymas per atvirkštinę funkcijąKeisti

  nes

 
Todėl
 

PavyzdžiaiKeisti

  • Rasime išvestinę funkcijos   kai  ,   Atvirkštinė funkcija  , kai     Todėl
 
nes   kai  


  •    ,  
 
kur  


  • Išvestinė rodiklinės funkcijos. Išvestinė funkcijos   išreiškiama formule
 
Įrodymas. Rodiklinė funkcija   yra atvirkštinė logoritminei funkcijai   Todėl, kad
 
tai pagal teoremą apie išvestinę atvirkštinės funkcijos ir žinomo iš elementariosios matematikos santykio   gauname
 
Pasekmė. Jeigu  , tai  


NuorodosKeisti