Matematika/Kreivis

Kreivio skaičiavimas be evoliutės ir evolventės neturi prasmės. Kreivis susijęs su jų spinduliu. Rusiškai kreivis vadinasi кривизна.

KreivisKeisti

Vienas iš elementų, charakterizuojančių formą kreivės, yra laipsnis jos išlinkimo, išsilenkimo.
Tegu mes turime kreivę, kuri nekerta pati savęs ir turi tam tikrą liestinę kiekviename taške. Pravesime liestines prie kreivės kokiuose nors dviejuose jos taškuose A ir B ir pažymėsime per   kampą, padarytąšitomis liestinėmis, arba - tiksliau - kampą pasisukimo liestinės pereinant iš taško A į tašką B (139 pav.). Šitas kampas vadinasi kreivumo kampu (углом смежности) lanko AB. Pas du lankus, turinčius vienodą ilgį, daugiau išlinkęs tas lankas, pas kurią kreivumo kampas didesnis (139 ir 140 pav.).
Iš kitos pusės, nagrinėjant lankus skirtingo ilgio, mes negalime įvertinti laipsnį jų išlinkimo tiktai atitinkančiu kreivumo kampu. Iš čia seka, kad pilna charakteristika išlinkimo kreivės bus santykis kreivumo kampo su ilgiu atitinkančios tiesės.
Apibrėžimas 1. Vidutiniu kreiviu   lanko   vadinasi santykis kreivumo kampo   su ilgiu lanko:
 
Vienai ir tai pačiai kreivei vidutinis kreivis jos skirtingų dalių (lankų) gali būti skirtingas; pavyzdžiui, kreivei parodytai paveiksle 141, vidutinis kreivis lanko   nelygus vidutiniui kreiviui lanko   nors ilgiai šitų lankų lygūs tarpusavyje. Be to, arti prie skirtingų taškų kreivė išlenkta skirtingai. Tam, kad charakterizuoti išlinkimo laipsnį duotos linijos betarpiškai arti prie duoto taško A, įvesime apibrėžimą kreivio kreivės duotame taške.
Apibrėžimas 2. Kreiviu   linijos duotame taške A vadinasi riba vidutinio kreivio lanko   kada ilgis šito lanko artėja prie nulio (t. y. kada taškas B artėja (mes tariam, kad dydis ribos nepriklauso nuo to, iš kokios pusės nuo taško A mes imame kintamą tašką B ant kreivės) prie taško A):
 
Pastaba. Pažymėsime, kad betkokiai kreivei kreivis skirtingose jos taškuose, bus skirtingas. Tai mes pamatysime žemiau.

PavyzdžiaiKeisti

  • Apskritimui spindulio r: 1) nustatyti vidutinį kreivį lanko AB, atitinkantį centriam kamui   (142 pav.); 2) nustatyti kreivį taške A.
Sprendimas. 1) Akivaizdu, kad kreivumo kampas lanko   lygus  , ilgis lanko lygus  . Todėl,
 
arba
 
2) Kreivis taške A lygus
 
Tokiu budu, vidutinis kreivis lanko apskritimo spindulio r nepriklauso nuo ilgio ir padeties lanko, visiems lankams jis lygus   Kreivis apskritimo betkokiame jo taške taip pat nepriklauso nuo pasirinkimo šito taško ir lygus  

Kreivio apskaičiavimasKeisti

Įvesime formulę apskaičiavimui kreivio duotos linijos betkokiame jos taške  . Be to mes tarsime, kad kreivė užrašyta dekardo koordinačių sistemmoje lygtimi pavidalo
 
ir kad funkcija   turi netrūkią antrą išvestinę.
Pravesime liestines kreivės taškuose M ir   su abscisėmis x ir   ir pažymėsime per   ir   palinkimo kampus šitų liestinių (143 pav.).
Ilgį kreivės   atskaičiuojamos nuo tam tikro pastovaus taško  , pažymėsime per s; tada   o  
Kaip betarpiškai matosi iš pav. 143, gretimumo kampas, atitinkantis lankui  , lygūs absoliučiam dydžiui (kreivei, pavaizduotai paveiksle 143, akivaizdu, kad   kadangi  ) skirtumo kampų   ir   t. y. lygus  
Pagal apibrėžimą vidutinio kreivio kreivės srityje   turime:
 
Kad gauti kreivį taške M, reikia rasti ribą gautos išraiškos su sąlyga, kad ilgis lanko   artėja prie nulio:
 
Kadangi dydžiai   ir s abu priklauso nuo x (yra funkcijos nuo x), tai, dėl to,   galima nagrinėti kaip funkciją nuo s. Mes galime laikyti, kad šita funkcija užduota parametriškai su x parametro pagalba. Tada
 
ir, todėl,
 
Skaičiavimui   panaudojame formulę diferencijavimo funkcijos, užduotos parametriškai:
 
Kad išreikšti išvestinę   per funkciją   pastebime, kad   ir, todėl,
 
Diferencijuodami pagal x paskutinę lygybę, turėsime:
 
(Arba  )
Kas liečia išvestinę   tai mes radome
 
Todėl
 
arba, kadangi   galutinai gauname:
 
Iš to seka, kad betkokiame taške kreivės, kur egzistuoja ir netrūki antra išvestinė   galima apskaičiuoti kreivį. Jo apskaičiavimui tarnauja formulė (3). Pastebėsime, kad skaičiuojant kreivį kreivės reikia imti tik aritmetinę (t. y. teigiamą) reikšmę šaknies vardiklyje, kadangi kreivis linijos pagal apibrėžimą negali būti neigiamas.

PavyzdžiaiKeisti

  • Nustatyti kreivį parabolės  :
a) jos laisvai pasirenktame taške M(x; y);
b) taške  ;
c) taške  
Sprendimas. Randame pirmą ir antrą išvestines funkcijos  :
 
Įstatydami gautas išraiškas į formulę (3), gausime:
a)  
b)  
c)  


  • Nustatyti kreivį tiesės   jos laisvai pasirinktame taške (x; y).
Sprendimas.  
Pasinaudojant formule (3), gauname:
 
Tokiu budu, tiesė yra "linija nulinio kreivio". Šita gi rezultatą lengvai galima gauti betarpiškai iš kreivio apibrėžimo.


  • Apskaičiuokime kreivį bet kuriame grandininės linijos   taške (hiperbolinio kosinuso formulė yra tokia  ; hiperbolinio kosinuso išvestinė yra  ; hiperbolinio sinuso išvestinė yra  ).
Kadangi
 
 
 
tai kreivis yra lygus
 


  • Nustatyti kreivį parabolės   taškuose   ir   Rasti prabolės evoliutės lanko ilgį iš taško   iki taško   Taškas   yra spindulio   centras, o taškas   yra spindulio   centras. Spindulys   yra atkarpa iš taško   iki taško  . Spindulys   yra atkarpa iš taško   iki taško  .
Sprendimas.  
 
Kreivis taške   yra lygus:
 
 
Kreivis taške   yra lygus:
 
 
 
Parabolės evoliutės lanko ilgis iš taško   iki taško   yra lygus:
 


  • Nustatyti kreivį parabolės   taškuose   ir   Rasti prabolės evoliutės lanko ilgį iš taško   iki taško   naudojantis kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule
 
Taškas   yra spindulio   centras, o taškas   yra spindulio   centras. Spindulys   yra atkarpa iš taško   iki taško  . Spindulys   yra atkarpa iš taško   iki taško  .
Sprendimas.  
 
Kreivis taške   yra lygus:
 
 
Kreivis taške   yra lygus:
 
 
 
Dabar užrašysime parabolės normalės lygtį taške  :
 
 
 
 
 
Toliau rasime spindulio   centro   koordinates. Žinome, kad
 
 
 
 
Išsprendę lygčių sistemą rasime   taško   koordinatę:
 
keitimo budu gauname:
 
 
 
 
 
 
 
 
Tai yra kvadratinė lygtis, kurios sprendiniai yra:
 
 
 
 
Kadangi spindulys   yra parabolės liestinės normalė ir spindulio   galas (centras  ) priklauso parabolės evoliutei, tai
 
Žinodami  , įstatę į parabolės evoliutės lygtį, randame (sekančiame pavyzdyje pateiktas parabolės evoliutės lygties radimas):
 
 
Arba per Pitagoro teoremą randame:
 
 
Taigi, radome spindulio   centrą  
Toliau rasime spindulio   centro   koordinates. Žinome, kad
 
 
 
 
Išsprendę lygčių sistemą rasime   (taško   koordinate):
 
keitimo budu gauname:
 
 
 
 
 
 
Taigi,   Žinodami  , įstatę į parabolės evoliutės lygtį, randame (sekančiame pavyzdyje pateiktas parabolės evoliutės lygties radimas):
 
Arba per Pitagoro teoremą randame:
 
 
Radome spindulio   centrą  


  • Rasti lygtį evoliutės parabolės
 
Rasti lanko ilgį L evoliutės šios parabolės naudojantis kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule
 
Rasti evoliutės lanko ilgį iš taško   iki taško  
Sprendimas. Turime bet kokiam taškui (x; y) parabolės kreivio centro koordinates  :
 
 
 
 
(Pavyzdžiui, taške M(5; 25), turime   ir  , gauname C(-500; 75.5)).
Eliminuojant iš šitų lygčių parametrą x, gausime:
 
 
 
 
 
 
Tai yra lygtis evoliutės. Čia   yra ordinačių ašies (Oy ašies) reikšmė, o   yra abscisių ašies (Ox ašies) reikšmė.
Rasime evoliutės lanko ilgį iš taško   iki taško  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pasinaudojome internetiniu integratoriumi http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=sqrt%5B%28256%5E%281%2F3%29%29%2F4%2B1%2F%28x%5E%282%2F3%29%29%5D&random=false.
Bet tikrasis lanko ilgis yra  . Kad gauti šitą reikšmę reikia integruoti nuo -500 iki -0,000001, tai, matyt, evoliutės ypatumas kai kuriais atvejais. Įstačius  , gauname:
 
 
 
 


  • Nustatyti krevio centro taškų   ir   koordinates hiperbolės   taškuose   ir   atitinkamai.
Rasti kreivį taškuose  ,  
Rasti spindulio   ilgį iš taško   iki taško  
Rasti spindulio   ilgį iš taško   iki taško  
Rasti hiperbolės evoliutės lanko ilgį L iš taško   iki taško   Pagal apibrėžimą evoliutės lanko ilgis L lygus spindulių   ir   skirtumui.
Rasti hiperbolės evolutės lygtį.
Rasti hiperbolės evoliutės lanko ilgį L iš taško   iki taško   naudojantis kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule  
Sprendimas. Įstatant reikšmes   ir   į formules, gausime:
 
 
 
 
 
Taško   koordinatės yra šios:
 
 
Vadinasi kreivio centras taške   yra  .
Taško   koordinatės yra šios:
 
 
Kreivio centras taške   yra taškas  .
Hiperbolės   kreivis yra
 
Hiperbolės   spindulio formulė yra
 
Hiperbolės   spindulio   ilgis iš taško   iki taško   yra lygus:
 
Hiperbolės   spindulio   ilgis iš taško   iki taško   yra lygus:
 
Arba  
Hiperbolės evoliutės lanko ilgis L iš taško   iki taško   yra lygus:
 
Rasime hiperbolės   evoliutės lygtį
 
 
 
 
 
 
Tai yra lygtis evoliutės hiperbolės  
Toliau rasime hiperbolės evoliutės lanko ilgį L iš taško   iki taško   naudodamiesi kreivės lanko ilgio skaičiavimo formule   kai x kinta nuo 1 iki 7, taigi:
 
 
 
 
 
 
 

Apskaičiavimas kreivio linijos, užrašytos parametriškaiKeisti

Tegu kreivė užduota parametriškai:
 
Tada
 
 
Arba
 
 
Įstatydami gautas išraiškas į formulę (3) praeito skyrio, gausime:
 
 


PavyzdžiaiKeisti

  • Nustatyti kreivį cikloidės
 
jos laisvai pasirenktame taške (x; y).
Sprendimas.
 
Įstatydami gautas išraiškas į formulę (3), randame:
 
 

Apskaičiavimas kreivio linijos, užrašytos lygtimi polinėse koordinatėseKeisti

Tegu kreivė užrašyta lygtimi pavidalo
 
Užrašysime formules perėjimo iš polinių koordinačių į dekartines:
 
Jeigu į šitas formules įstatyti vietoje   jo išraišką per   t. y.   tai gausime:
 
Paskutines lygtis galima nagrinėti kaip parametrines lygtis kreivės (1), be kita ko parametras yra  
Tada
 
 
 
 
 
Įstatant paskutines išraiškas į formulę (1) praeito skyriaus, gausime formulę apskaičiavimui kreivio kreivės polinėse koordinatėse:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

PavyzdžiaiKeisti

  • Nustatyti kreivį Archimedo spiralės   laisvai pasirenktame taške (144 pav.).
Sprendimas.
 
Iš to seka,
 
Pastebėsime, kad su didelėmis reikšmėmis   turi vietą apytikslės lygybės:   todėl, pakeičiant praeitoje formulėje   į   ir   į   gauname apytikslę formulę (didelėms reikšmėms  ):
 
Tokiu budu, su didelėmis reikšmėmis   Archimedo spiralė turi apytiksliai tą patį kreivį, kaip ir apskritimas spindulio  .


Apskaičiavimas kreivio linijos, užrašytos parametriškai erdvėjeKeisti

Kreivės užrašytos parametriškai
 
kreivio apskaičiavimo formulė yra:
 
 
 
Galima naudotis ir šita formule:
 


Kreivės liestinės vektorius taške   yra   Šis liestinės vektorius yra lygiagretus kreivės liestinei taške  
Erdvinės kreivės liestinės lygtis taške   yra (parametro t reikšmė turi būti tokia, kad ją įstčius į funkcijas gautusi taško   koordinatės):
 
arba
 
1. Kreivės normalės vektorius (kreivio spindulio vektorius) taške   yra   tik toms parametrinėms funkcijoms kurių rodikliai p yra riboje   tai yra   pavyzdžiui,  ,  ,  ,   Skaičius   prirašomas prie tos funkcijos, kurios rodiklis mažiausias, o kitoms dviems funkcijoms nuo t prirašoma   tik kai   Pavyzdžiui, funkcija užrašyta parametriškai   turi normalės vektorių  
2. Kreivės užrašytos parametriškai   normalės vektorius yra   Minusai rašomi tuo atveju, kai   Pavyzdžiui, kreivė užrašyta parametriškai   turi liestinės vektorių   Šios kreivės normalės vektorius yra:
 
Skaičius   prirašomas ten kur pliusas, jeigu kiti du minusai; arba ten kur minusas, jei kiti du pliusai.
Sudetingesnis pavyzdis, kai kreivė užrašyta parametriškai   tuomet patikrinę su  , kad   o   ir kad   darome išvada, kad šios kreivės normalės vektorius (kai t>1) yra šitoks:
 
Bet galėtų būti ir toks (arba šis pavyzdis iš vis neturi normalės vektoriaus):
 
Pavyzdžiui, funkcija užrašyta parametriškai   turi normalės vektorių:
 
 
 
 
Ar prirašyti   ar   priklauso nuo to kiek yra pliusų ir kiek yra minusų. Jeigu minusų du, o pliusas vienas, tada   prirašyti ten, kuri koordinatė yra su pliuso ženklu. Jeigu du pliusai ir vienas minusas tada   prirašoma ten, kur yra minusas.
Kitas pavyzdis, kreivės užrašytos parametriškai  ,  ,  , normalės vektorius yra: