Matematika/Natūrinių skaičių dalyba

Dalybos 20:4 = 5 iliustracija

Dalyba

Dalyba - veiksmas, atvirkštinis daugybai. Kitaip tariant, dalyba iš sandaugos ir vieno dauginamojo randa kitą dauginamąjį. Pavyzdžiui, jei žinome, kad

$3\cdot 2=6,$

tai galime iš sandaugos (6) ir vieno dauginamojo (3) gausime kitą dauginamąjį (2). Tai užrašoma:

$6:3=2.\!$

Čia dvitaškis yra dalybos ženklas. Tokiu atveju 6 vadinamas daliniu, 3 - dalikliu, o dalybos rezultatas - 2 - dalmeniu. Kitas pavyzdys:

$\underbrace {1200} _{dalinys}:\underbrace {3} _{daliklis}=\underbrace {400} _{dalmuo}.$

Dalyba gali būti žymima ne tik dvitaškiu. Tad pirmąjį pavyzdį taip pat gali atitikti ir šie užrašai:

${\frac {6}{3}}=2,$

$6\div 3=2,$

$6/3=2.\!$

Kadangi į daugybą galima žiūrėti kaip į kartotinę sudėtį, į dalybą galima žiūrėti kaip į kartotinę atimtį. Tai reiškia, kad iš dalinio dalmenį kartų atėmę daliklį gausime nulį. Pavyzdžiui:

$6:3=2\Leftrightarrow 6\underbrace {-3-3} _{2~kartus}=0.$

Taip pat akivaizdu, kad dalyba nėra komutatyvi: negalime sukeisti dalinio ir daliklio vietomis, nepakeitę rezultato. Tačiau vietomis galima sukeisti dalinį ir dalmenį.

Kadangi daugyba randa daiktų, suskirstytų į vienodo dydžio grupes, skaičių, dalyba randa skaičių daiktų, patenkančių į vieną grupę, kai žinomas bendras daiktų skaičius (tai bus dalinys) ir grupių skaičius (tai bus daliklis). Tai rodo ir dalybos pavadinimas.

Dalyba su liekana

Dalybos 10 : 3 = 3, liekana 1 iliustracija

Ne visada turint du natūrinius skaičius - dalinį ir daliklį - galima rasti tokį natūrinį skaičių, kurį padauginę iš daliklio gausime dalinį. Pavyzdžiui, nėra tokio natūrinio skaičiaus, iš kurio padauginę 3 gausime 7. Tokiu atveju tikslinga žiūrėti į dalybą kaip į kartotinę atimtį: iš 7 du kartus atėmę 3 gausime 1, iš kurio jau nebegalėsime atimti 3 ir gauti natūrinio skaičiaus (nes 1 < 3). Toks kartotinės atimties rezultatas - skaičius, iš kurio nebegalima dar kartą atimti daliklį ir gauti natūrinį skaičių,- vadinamas liekana. Rašoma:

$7:3=2,~liekana~1.$

Kitaip tariant,

$7:3=2,~liekana~1\Leftrightarrow 7\underbrace {-3-3} _{2~kartus}=\underbrace {1} _{liekana}.$

Natūrinių skaičių dalybos liekana visada yra mažesnė už daliklį (priešingu atveju iš jos galėtume atimti daliklį ir gauti natūrinį skaičių).

Jei kartotinės atimties rezultatas yra nulis (kitaip tariant, kai liekana yra nulis), sakoma, kad dalinys iš daliklio dalijasi be liekanos (arba tiesiog dalijasi).

Dalyba kampu, kai daliklis vienaženklis

Didesniems skaičiams dalyti rankomis gali būti naudojama dalyba kampu. Tam viršuje kairėje užrašomas dalinys, o greta jo, atskirtas „kampu“ - daliklis. Po juo paliekama vieta dalmeniui. Pavyzdžiui, pabandykime padalinti 6357 iš 3. Iš pradžių rašoma:

	6	3	5	9	3

Tada bandoma skaičių, kurį sudaro pirmasis dalinio skaitmuo, dalinti iš daliklio. Šiuo atveju šešis padaliję iš trijų gausime du. Tai ir bus pirmasis dalmens skaitmuo. Užrašome jį į dalmeniui pasiliktą vietą.

-	6	3	5	7	3
					2

Tada sudauginame su dalikliu ir sandaugą rašome po skaitmenimis, kurie atitinka dalytą skaičių (šiuo atveju - šešis) ir atimame:

-	6	3	5	7	3
	6				2
	0

Po to nusikeliame už atimties rezultato antrąjį dalinio skaitmenį:

-	6	3	5	7	3
	6				2
	0	3

Šie veiksmai kartojami, kol bus nusikelti visi dalinio skaitmenys:

-	6	3	5	7	3
	6				2	1	1	9
-	0	3
		3
	-	0	5
			3
		-	2	7
			2	7
				0

Paskutinės atimties rezultatas bus lygus liekanai. Šiuo atveju liekanos nėra, tad, kaip matome, 6357:3=2119.

Dalyba kampu, kai daliklis turi daugiau skaitmenų

Panašiai vyksta dalinimas kampu, kai daliklis turi daugiau skaitmenų.

Pavyzdžiui, padalinkime 6359 iš 11. Iš pradžių rašysime:

	6	3	5	9	1	1

Dabar reikėtų skaičių, sudarytą iš pirmųjų 6359 skaitmenų dalinti iš daliklio. Kaip matėme, viskas paprasta, kai daliklis vienaženklis (tereikia naudotis daugybos lentele). Tačiau daugybos lentelėje daugyba iš 11 tiesiogiai neminima. Tad iš pradžių pažiūrėkime, ką reikės dalinti. Jei imtume vieną skaitmenį, 6, gautas skaičius bus mažesnis už 11. Netinka, praleidžiame (galima būtų dalinti ir rašyti pirmą dalmens skaitmenį 0, bet taip būtų nereikalingai griozdiška). Imkime du skaitmenis – 63. Tai jau skaičius, didesnis už daliklį (11), vadinasi bandysime su juo.

Kadangi daugybos lentelėje tinkamo įrašo nėra, galima spėti, kokį dalmenį gausime padalinę 63 iš 11. Pirmas spėjimas gali būti gautas dalijant skaičius, gautus atmetus tolesnius skaitmenis. Šiuo atveju 6 dalinsime iš 1, gausime 6. Pabandykime. Pirmiausiai užrašykime šį spėjimą prie dalmens:

	6	3	5	9	1	1
					6

Tada pabandykime sudauginti:

-	6	3	5	9	1	1
	6	6			6

6 padauginę iš 11 gausime 66. Bet 66 > 63, ir toliau užstringam. Vadinasi, spėjimas buvo neteisingas, jį reikės pakeisti. Iš pradžių nubraukime tai, kas padaryta dėl tokio spėjimo:

-	6	3	5	9	1	1
	6	6			6

Kadangi buvome gavę per didelę sandaugą, spėjamą daliklio skaitmenį turime mažinti. Imkime 5:

-	6	3	5	9	1	1
	6	6			6	5
	5	5

Atimkime:

-	6	3	5	9	1	1
	6	6			6	5
	5	5
		8

Toliau viskas daroma analogiškai – nusikeliame 5:

-	6	3	5	9	1	1
	6	6			6	5
	5	5
		8	5

Daliname 85 iš 11 – iš ankstesnio bandymo žinome, kad galimas spėjimas yra 77:

-	6	3	5	9	1	1
	6	6			6	5	7
	5	5
-		8	5
		7	7
			8

Nusikeliame 9:

-	6	3	5	9	1	1
	6	6			6	5	7
	5	5
-		8	5
		7	7
			8	9

Tarkime, kad spėjame, jog 89 dalijant iš 11 tiks 7:

-	6	3	5	9	1	1
	6	6			6	5	7	7
	5	5
-		8	5
		7	7
		-	8	9
			7	7
			1	2

Bet 12 > 11, tad spėjimas neteisingas. Keičiame į 8:

-	6	3	5	9	1	1
	6	6			6	5	7	7	8
	5	5
-		8	5
		7	7
		-	8	9
			7	7
			1	2

Bandome iš naujo:

-	6	3	5	9	1	1
	6	6			6	5	7	7	8
	5	5
-		8	5
		7	7
		-	8	9
			7	7
			1	2
			8	8
				1

Taigi, 6359 : 11 = 578 (liekana 1).

Pratimai

1. Apskaičiuoti: a) 9:3, b) 14:7, c) 36:2, d) 125:5, e) 144:12, f) 99:11, g) 450:30, h) 50:5.

Ats.: a) 3, b) 2, c) 18, d) 25, e) 12, f) 9, g) 15, h) 10.

2. Apskaičiuoti: a) 8:6, b) 15:7, c) 50:7, d) 67:3.

Ats.: a) 1, liekana 2, b) 2, liekana 1, c) 7, liekana 1, d) 22, liekana 1.