Čia aprašomos paprasčiausios algebrinės lygtys ir jų sprendimai. Aiškinama sunkėjimo tvarka.
Naudosime tokį žymėjimą: x , x 1 , x 2 ir t.t. žymės nežinomuosius, o a , b , c , d ir t.t. – konkrečius duotus skaičius.
Pagrindinė algebros teorema
keisti
n
{\displaystyle n}
n kompleksinių šaknų (sprendinių).
Tiesinė lygtis
keisti
Bendra forma:
a
⋅
x
=
b
{\displaystyle a\cdot x=b}
Sprendinys:
x
=
b
a
{\displaystyle x={\frac {b}{a}}}
a
x
2
=
b
{\displaystyle ax^{2}=b\,}
Sprendimas:
x
2
=
b
a
x
1
,
2
=
±
a
b
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}&={\frac {b}{a}}\\x_{1,2}&=\pm {\sqrt {\frac {a}{b}}}\end{aligned}}}
Vijeto teorema
keisti
Vijeto formulės kvadratiniam polinomui
p
(
X
)
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle p(X)=ax^{2}+bx+c\,}
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}\,}
kvadratinėje lygtyje
p
(
x
)
=
0
{\displaystyle p(x)=0\,}
x
1
+
x
2
=
−
b
a
,
x
1
⋅
x
2
=
c
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}\cdot x_{2}={\frac {c}{a}}}
/lm;
Pavyzdžiui, jei turime kvadratinę lygtį
x
2
−
x
−
6
=
0
,
{\displaystyle x^{2}-x-6=0,\,}
ją išspręsti galime pasinaudoję Vijeto teorema ir sudarę lygčių sistemą
{
x
1
+
x
2
=
−
−
1
1
x
1
⋅
x
2
=
−
6
1
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}=-{\frac {-1}{1}}\\x_{1}\cdot x_{2}={\frac {-6}{1}}\end{cases}}}
Jei šią sistemą bandytume spręsti formaliai (pvz., išsireikšdami vieną iš kintamųjų), vėl gautume tą pačią lygtį. Praktikoje, naudojant Vijeto teoremą lygčių sprendimui, sprendinius x1 ir x2 bandoma „atspėti“ - sugalvoti tokius x1 ir x2 , kad jie tenkintų lygčių sistemą. Šiuo atveju sprendiniai yra -2 ir 3.
Vijeto formulės kubiniam polinomui
p
(
X
)
=
a
X
3
+
b
X
2
+
c
X
+
d
{\displaystyle p(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d\,}
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}\,}
p
(
X
)
=
0
{\displaystyle p(X)=0\,}
x
1
+
x
2
+
x
3
=
−
b
a
,
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
=
c
a
,
x
1
x
2
x
3
=
−
d
a
{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}
Pilnoji kvadratinė lygtis
keisti
Bendra forma:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}
Sprendimas:
randame pagalbinį skaičių – diskriminantą D:
D
=
b
2
−
4
a
c
{\displaystyle D=b^{2}-4ac\,}
Tada jei
D
<
0
{\displaystyle D<0}
x
1
,
2
=
−
b
±
D
2
a
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}}
Pavyzdžiui, reikia surasti kuriuose taškuose kertasi parabolė su Ox ašimi.
3
x
2
+
8
x
+
4
=
0
,
{\displaystyle 3x^{2}+8x+4=0,}
D
=
b
2
−
4
a
c
=
8
2
−
4
⋅
3
⋅
4
=
64
−
48
=
16
,
{\displaystyle D=b^{2}-4ac=8^{2}-4\cdot 3\cdot 4=64-48=16,}
x
1
,
2
=
−
b
±
D
2
a
=
−
8
±
16
2
⋅
3
=
−
8
±
4
6
=
−
2
3
;
−
2.
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}={\frac {-8\pm {\sqrt {16}}}{2\cdot 3}}={\frac {-8\pm 4}{6}}=-{\frac {2}{3}};\;-2.}
Patikriname:
3
⋅
(
−
2
3
)
2
+
8
⋅
(
−
2
3
)
+
4
=
3
⋅
4
9
−
16
3
+
4
=
4
3
−
16
3
+
4
=
4
−
16
3
+
4
=
−
12
3
+
4
=
−
4
+
4
=
0
;
{\displaystyle 3\cdot (-{\frac {2}{3}})^{2}+8\cdot (-{\frac {2}{3}})+4=3\cdot {\frac {4}{9}}-{\frac {16}{3}}+4={\frac {4}{3}}-{\frac {16}{3}}+4={\frac {4-16}{3}}+4={\frac {-12}{3}}+4=-4+4=0;}
3
⋅
(
−
2
)
2
+
8
⋅
(
−
2
)
+
4
=
3
⋅
4
−
16
+
4
=
12
−
16
+
4
=
0.
{\displaystyle 3\cdot (-2)^{2}+8\cdot (-2)+4=3\cdot 4-16+4=12-16+4=0.}
c
=
0
{\displaystyle c=0}
keisti
Bendra forma:
a
x
2
+
b
x
=
0
{\displaystyle ax^{2}+bx=0\,}
Sprendimas:
iškeliame x prieš skliaustus:
x
(
a
x
+
b
)
=
0
{\displaystyle x(ax+b)=0\,}
Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad
x
=
0
arba
a
x
=
−
b
x
=
−
b
a
{\displaystyle {\begin{aligned}x=0\qquad \operatorname {arba} \qquad ax&=-b\\x&=-{\frac {b}{a}}\end{aligned}}}
Kvadratinė lygtis, kurios
a
=
1
{\displaystyle a=1}
keisti
Duota kvadratinė lygtis:
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
{\displaystyle x^{2}+bx+c=0,}
kurią perrašome taip:
(
x
+
b
2
)
2
+
(
c
−
b
2
4
)
=
0.
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4}}\right)=0.}
Čia
(
x
+
b
2
)
2
=
x
2
+
b
x
+
b
2
4
.
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}=x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{4}}.}
Todėl:
(
x
+
b
2
)
2
=
−
(
c
−
b
2
4
)
,
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}=-\left(c-{\frac {b^{2}}{4}}\right),}
(
x
+
b
2
)
2
=
b
2
4
−
c
,
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4}}-c,}
x
+
b
2
=
±
b
2
4
−
c
,
{\displaystyle x+{\frac {b}{2}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}},}
x
=
−
b
2
±
b
2
4
−
c
,
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4}}-c}},}
x
=
−
b
2
±
1
4
⋅
(
b
2
−
4
c
)
,
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4}}\cdot (b^{2}-4c)}},}
x
=
−
b
2
±
1
2
⋅
b
2
−
4
c
,
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2}}\pm {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {b^{2}-4c}},}
x
=
−
b
±
b
2
−
4
c
2
.
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}.}
x
1
=
−
b
+
b
2
−
4
c
2
;
x
2
=
−
b
−
b
2
−
4
c
2
.
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}};\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4c}}}{2}}.}
Kvadratinė lygtis, kurios a yra bet koks
keisti
Duota kvadratinė lygtis:
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
,
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}
x
2
+
b
a
⋅
x
+
c
a
=
0
,
{\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {c}{a}}=0,}
kurią perrašome taip:
(
x
+
b
2
⋅
a
)
2
+
(
c
a
−
b
2
4
⋅
a
2
)
=
0.
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2\cdot a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4\cdot a^{2}}}\right)=0.}
Čia
(
x
+
b
2
⋅
a
)
2
=
x
2
+
b
a
⋅
x
+
b
2
4
⋅
a
2
.
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2\cdot a}}\right)^{2}=x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4\cdot a^{2}}}.}
Todėl:
(
x
+
b
2
a
)
2
=
−
(
c
a
−
b
2
4
a
2
)
,
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-\left({\frac {c}{a}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right),}
(
x
+
b
2
a
)
2
=
b
2
4
a
2
−
c
a
,
{\displaystyle \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}},}
x
+
b
2
a
=
±
b
2
4
a
2
−
c
a
,
{\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}},}
x
=
−
b
2
a
±
b
2
4
a
2
−
c
a
,
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}},}
x
=
−
b
2
a
±
1
4
a
2
⋅
(
b
2
−
4
a
c
)
,
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {{\frac {1}{4a^{2}}}\cdot (b^{2}-4ac)}},}
x
=
−
b
2
a
±
1
2
a
⋅
b
2
−
4
a
c
,
{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {1}{2a}}\cdot {\sqrt {b^{2}-4ac}},}
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
.
{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
x
1
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
;
x
2
=
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
.
{\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}};\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
Bikvadratinė lygtis
keisti
Bendra forma:
a
x
4
+
b
x
2
+
c
=
0
{\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0\,}
Sprendimas:
pažymime
x
2
=
y
{\displaystyle x^{2}=y\,}
x
4
=
y
2
{\displaystyle x^{4}=y^{2}\,}
a
y
2
+
b
y
+
c
=
0
{\displaystyle ay^{2}+by+c=0\,}
o tai pilnoji kvadratinė lygtis, kuri jau išspręsta anksčiau. Jos sprendiniai yra
y
1
{\displaystyle y_{1}}
y
2
{\displaystyle y_{2}}
Grįžtame prie pažymėjimo:
y
1
=
x
2
ir
y
2
=
x
2
{\displaystyle y_{1}=x^{2}\qquad \operatorname {ir} \qquad y_{2}=x^{2}}
o tai kvadratinės lygtys, kurios jau išspręstos anksčiau. Iš jų rasime sprendinius
x
1
,
x
2
,
x
3
,
x
4
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}
Kubinė lygtis, kurios
d
=
0
{\displaystyle d=0}
keisti
Bendra forma:
Sprendimas:
iškeliame x prieš skliaustus:
x
(
a
x
2
+
b
x
+
c
)
=
0
{\displaystyle x(ax^{2}+bx+c)=0\,}
Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad
x
=
0
arba
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
{\displaystyle x=0\qquad \operatorname {arba} \qquad ax^{2}+bx+c=0}
Išsprendę kvadratinę lygtį, būsime radę visus tris lygties sprendinius
x
1
,
x
2
,
x
3
{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}
Pilnoji kubinė lygtis
keisti
Bendra forma:
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}
Sprendimas:
Lygtį padalijame iš a ir keitiniu
x
=
y
−
b
3
{\displaystyle x=y-{\frac {b}{3}}}
x
3
+
p
x
+
q
=
0
{\displaystyle x^{3}+px+q=0\,}
Randame pagalbinį skaičių – diskriminantą:
D
=
(
q
2
)
2
+
(
p
3
)
3
{\displaystyle D=({\frac {q}{2}})^{2}+({\frac {p}{3}})^{3}}
Kubinės lygties su realiaisiais koeficientais diskriminantas apibrėžia, kokias šaknis turi lygtis:
1. Jei D > 0, viena šaknis yra realioji ir dvi kompleksinės.
2. Jei D = 0, visos šaknys yra realiosios ir bent dvi iš jų yra vienodos.
3. Jei D < 0, visos trys šaknys yra realiosios ir skirtingos.
Pagal Kardano formulę, viena lygties šaknis
x
1
=
−
p
2
+
D
3
+
−
p
2
−
D
3
{\displaystyle x_{1}={\sqrt[{3}]{-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {D}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {D}}}}}
Kai D > 0, ši šaknis vienintelė
Kai D ≤ 0, tai lygtį
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}
x
−
x
1
{\displaystyle x-x_{1}\,}
![{\displaystyle x_{1}={\sqrt[{3}]{-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {D}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {D}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b901c0922dcf47d0f30a714dde4acdf03cbbb243)
