Matematika/Racionaliųjų funkcijų integravimas

Šis straipsnis yra apie racionaliųjų funkcijų integravimą.

Integravimas funkcijų turinčių kvadratinį trinarįKeisti

  •  

  kur       s>0.

          kur            

  •  

 

 

 

  •  

  Pritaikę pirmajam iš gautų integralų keitinį     gauname:  


PavyzdžiaiKeisti

  •  

 

kur      

  •  

   

kur      

  •  

 

kur       Šį uždavinį galima išspresti ir naudojantis aukščiau pateikta formule:       kur         Abiejų būdų atsakymai gali skirtis konstanta.

  •  

  kur      

  •  

 

  •  

    kur    

  •  

      kur    


Integravimas racionaliųjų funkcijųKeisti

Teorema. Jeigu racionali funkcija   turi laipsnį daugianario skaitiklyje mažesnį nei laipsnį vardiklyje, o daugianaris Q(x) pateiktas pavidale   - sveikieji skaičiai, tai šitą funkiciją galima vieninteliu budu pateikti pavidale  , kur  ,  , ...,  , ...,  ,  ,  ,  , ...,  ,  , ... - kai kurie sveikieji skaičiai.


Racionalių trupmenų išskaidymas elementariosiomisKeisti

  •  

 

  Iš čia sudarome sistemą:

 
 
 

Iš sistemos randame:   Vadinasi,

    Irašę šią reikšmę į pačią pirmąją lygybę, gauname:  

  •   Taikydami keitinį   gauname:

   

Šį rezultatą buvo galima gauti iš karto remiantis   lygybe. Mūsų atveju       ir   Todėl    

  •  

  Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname tiesinių lygčių sistemą

 
 
 

Iš sistemos randame:       Vadinasi  

 
  •  

 

 
 
 
 

         

  •  

 

 
 
 

       

  •  

kur   Sulyginam koeficientus vienodu laipsnių ir turime sistemą:

 
 

Iš kur     Tuomet    

  •  
 
 

Palyginam koeficientus prie vienodų laipsnių x.

  |  
  |  
  |  
  |  

Išsprendę sistemą , randame:               kur  

  •  

 

 |  
 |  
 |  
 |  

Išsprendę sistema, randame: