Matematika/Racionaliųjų funkcijų integravimas

Šis straipsnis yra apie racionaliųjų funkcijų integravimą.

Integravimas funkcijų turinčių kvadratinį trinarį

keisti
  •  

  kur       s>0.

          kur            

  •  

 

 

 

  •  

  Pritaikę pirmajam iš gautų integralų keitinį     gauname:  


Pavyzdžiai

keisti
  •  

 

kur      

  •  

   

kur      

  •  

 

kur       Šį uždavinį galima išspresti ir naudojantis aukščiau pateikta formule:       kur         Abiejų būdų atsakymai gali skirtis konstanta.

  •  

  kur        

  •  

 

  •  

    kur    

  •  

      kur    

Integravimas racionaliųjų funkcijų

keisti
Teorema. Jeigu racionali funkcija   turi laipsnį daugianario skaitiklyje mažesnį nei laipsnį vardiklyje, o daugianaris Q(x) pateiktas pavidale
 
kur   - realieji skaičiai, r, s, ..., g, h, ... - naturalieji skaičiai, tai šitą funkiciją galima vieninteliu budu pateikti pavidale
 
 ,
kur  ,  , ...,  ,  ,  , ...,  ,...,  ,  ,  ,  , ...,  ,  ,  ,  ,  ,  , ...,  ,  , ... - kai kurie realieji skaičiai.
Daugianaris (polinomas) Q(x) gali būti pateiktas neišskaidytas dauginamaisiais. Tada reikės surasti daugianario Q(x) visas realiąsias ir menamas šaknis ir žinoti jų kartotinumą. Šiame
 
daugianaryje   yra realiosios daugianario Q(x) šaknys atitinkamai kartotinumo r, s, ... . O reiškiniai   turi daugianario Q(x) menamas jungtines šaknis   ir     ir   kurių kartotinumas atitinkamai lygus g, h, ... . Pavyzdžiui, kompleksiniam skaičiui   jungtinis yra kompleksinis skaičius  



Polinomo šaknies kartotinumo radimas

keisti
Tegu turime polinomą   Polinomo Q(x) vienos šaknies (x=1) kartotinumas yra 3, o kitos šaknies (x=2) kartotinumas yra 1 (paprasta šankis).
 
Taigi,
 
Kad surasti polinomo   šaknies x=1 kartinumą reikia rasti polinomo Q(x) išvestinę tiek kartų, kol statant į kiekvienos eilės polinomo Q(x) išvestinę šaknies x=1 reikšmę, polinomo Q(x) išvestinė nustos būti lygi nuliui. Sakykim, n-ta polinomo Q(x) išvestinė su x=1 reikšme nelygi 0, o n-1, n-2 ir visos mažesnės eilės nei n išvestinės lygios nuliui. Tada polinomo Q(x) šaknies x=1 kartotinumas yra n.
Įrodymas per pavyzdį.
Kai surasime polinomo Q(x) trečios eilės išvestinę ir įstatysime x=1, tai Q(1) nebus lygus nuliui. Randame polinomo Q(x) išvestines iki 3 eilės:
 
 
matome, kad Q'(1)=0;
 
 
ir dabar matome, kad  
 
 
na o dabar   Paskaičiuojame:
 
 
Vadinasi polinomo Q(x) šaknies x=1 kartotinumas yra 3. Įrodymo esmė, kad imant išvestines, narys (x-1) prie tam tikros išvestinės eilės n pranyks (ir liks tik (x-2)) ir   nebus lygus nuliui.
Analogiškai galima įrodyti, kai polinomas išskaidytas daugikliais su bet kokiais laipsniais. Tereikia taikyti funkcijų sandaugos diferencijavimo taisyklę   Mūsų atveju  
Kai turime 3 funkcijas nuo x, tai taikome tą pačią dviejų funkcijų diferencijavimo taisyklę ( ). Pavyzdžiui, trims funkcijoms u, v, w nuo x taikome, lyg u(x) ir v(x) sandauga būtų g(x) funkcija (g(x)=u(x)v(x)), o w(x) lyg būtų atskira funkcija:
 
Indukcijos metodu, gautume, kad
 
Yra ir kitų būdų polinomo šaknies kartotinumui surasti. Vienas budas yra toks, kad mūsų pavyzdyje polinomą Q(x) reikia dalinti iš (x-1) tiek kartų, kol   (ir kas liks iš jo po dalijimo/dalijimų) nesidalins iš (x-1) be liekanos. Paskutinis n-tas kartas, kai (x-1) padalins Q(x) be liekanos ir reikš šaknies x=1 kartotinumą, lygų n.

Racionalių trupmenų išskaidymas elementariosiomis

keisti
  •  

  Kairiąją ir dešiniąją puses padauginę iš vardiklio   gauname:   Iš čia sudarome sistemą:

 
 
 

Iš sistemos randame:   Vadinasi,

    Irašę šią reikšmę į pačią pirmąją lygybę, gauname:  

  •   Taikydami keitinį   gauname:

   

Šį rezultatą buvo galima gauti iš karto remiantis   lygybe. Mūsų atveju       ir   Todėl    

  •  

  Sulyginę koeficientus prie vienodų x laipsnių, gauname tiesinių lygčių sistemą

 
 
 

Iš sistemos randame:       Vadinasi  

 
  •  

 

 
 
 
 

         

  •  

 

 
 
 

       

  •  

kur   Sulyginam koeficientus vienodu laipsnių ir turime sistemą:

 
 

Iš kur     Tuomet    

  •  
 
 

Palyginam koeficientus prie vienodų laipsnių x.

  |  
  |  
  |  
  |  

Išsprendę sistemą , randame:               kur  

  •  

 

 |  
 |  
 |  
 |  
Išsprendę sistema, randame: