Racionaliųjų funkcijų integravimas (pilniau)

Parodysime kaip bet kokią racionaliąją funckiją galima išintegruoti (P(x) ir Q(x) - polinomai).


1. Žinios apie kompleksinius skaičius keisti

2. Algebriniai polinomai keisti

1. Algebriniu n-ojo laipsnio polinomu vadinamas reiškinys
 
čia   – kompleksinis kintamasis, o   – kokie nors kompleksiniai skaičiai, kurių pirmasis nelygus nuliui. Kiekvieną algebrinį n-ojo laipsnio polinomą, kaip žinome, galima padalyti „stulpeliu" iš kito algebrinio polinomo, kurio laipsnis ne didesnis kaip n. Taigi, jei   ir   yra du bet kokie polinomai ir   laipsnis ne didesnis už   laipsnį, tai teisinga lygybė
 
kurioje   ir   – tam tikri polinomai ir, be to,   laipsnis lygus polinomų   ir   laipsnių skirtumui, o   laipsnis mažesnis už   laipsnį.
(7.13) lygybės polinomai   ir   dažniausiai vadinami atitinkamai daliniu, dalikliu, dalmeniu ir liekana.
Sakoma, kad polinomas   dalijasi iš polinomo   jei dalijant stulpeliu gautoje (7.13) formulėje liekana  
Nulinio laipsnio polinomu susitarsime vadinti bet kokią kompleksinę konstantą. Tada, savaime aišku, bet koks polinomas dalijasi iš nelygaus nuliui nulinio laipsnio polinomo.
Toliau tirsime polinomo   dalumą iš pirmojo laipsnio polinomo  
Apibrėžimas. Kompleksinis skaičius b vadinamas polinomo   šaknimi, kai   lygu nuliui.
7.1 teorema. Polinomas   kurio laipsnis didesnis už 0, dalijasi iš dvinario   tada ir tik tada, kai b yra polinomo   šaknis.
Įrodymas. Polinomus   ir   įrašysime į (7.13) formulę. Kadangi liekanos   laipsnis turi būti mažesnis už daliklio   laipsnį, tai  nulinio laipsnio polinomas, t. y.   Tuomet (7.13) formulė pasidaro šitokia:
 
Į (7.14) formulę įrašę   gauname   Pagal apibrėžimą   dalijasi iš   tada ir tik tada, kai (7.14) formulėje parašytoji liekana   lygi nuliui, t. y. tada ir tik tada, kai b yra   šaknis. Teorema įrodyta.
2. Savaime kyla klausimas: ar kiekvienas algebrinis polinomas turi šaknį? Į jį atsako pagrindinė algebros teorema: kiekvienas nenulinio laipsnio polinomas turi bent vieną šankį.
Remdamiesi šia teorema, įrodysime, kad algebrinis n-ojo laipsnio polinomas turi n šaknų*. Tarkime, kad   yra algebrinis n-ojo laipsnio polinomas. Pagal pagrindinę algebros teoremą   turi bent vieną šaknį   t. y.   išreiškiamas sandauga
 
kurioje simboliu   pažymėtas atitinkamas  -ojo laipsnio polinomas. Jei   tai pagal pagrindinę algebros teoremą   turi bent vieną šaknį   t. y.   išreiškiamas sandauga
 
kurioje simboliu   pažymėtas atitinkamas  -ojo laipsnio polinomas. Taip samprotaudami toliau, gausime sandaugas
 
 
 
Paskutinioje sandaugoje simboliu   pažymėtas atitinkamas nulinio laipsnio polinomas, todėl    lygybių, turėdami mintyje, kad   gauname
 
Pabrėžiame, kad kompleksinė konstanta c nelygi nuliui, nes priešingu atveju polinomas f(z) būtų tapačiai lygus nuliui ir nebūtų n-ojo laipsnio.
Iš (7.16) lygybės aišku, kad   t. y. skaičiai   yra polinomo   šaknys. Be to, iš (7.16) matyti, kad kompleksinis skaičius   nelygus nuliui, kai b – bet koks kompleksinis skaičius, nesutampantis su skaičiais  **. Vadinasi polinomas   turi n šaknų:  
Dešinėje (7.16) lygybės pusėje yra polinomo f(z) skaidinys dauginamaisiais. Jei žinome (7.12) polinomo f(z) išraišką, tai galime nustatyti (7.16) lygybėje parašytą konstantą c. Palyginę koeficientus prie   (7.16) ir (7.12) lygybėse, įsitikiname, kad  
Polinomas, kurio   vadinamas redukuotu. Pritaikę (7.16) formulę redukuotam polinomui, gauname
 
Palyginę (7.17) formulę su (7.12) (kai  ), gauname šitokius sąryšius (Vijeto teorema):
 
 
 
 
Toliau, jei nebus pasakyta priešingai, nagrinėsime tik redukuotus polinomus.

_______________

* Čia, žinoma,  
** Kelių kompleksinių skaičių sandauga lygi nuliui tik tuo atveju, kai bent vienas dauginamasis lygus nuliui.

3. Kartotinės polinomo šaknys. Šaknies kartotinumo požymis keisti

Kai kurios polinomo   šaknys gali sutapti viena su kita. Sakykime, a, b, ..., cskirtingos redukuoto polinomo   šaknys. Tada, remdamiesi praeito paragrafo rezultatais, nusprendžiame, kad   skaidinys bus toks:
 
čia   — natūriniai skaičiai, kurių suma lygi polinomo   laipsniui n, t. y.  
Jei polinomas   išreiškiamas (7.18) skaidiniu, tai sakoma, kad kompleksinis skaičius a yra polinomo   kartotinumo šaknis, kompleksinis skaičius b yra polinomo   kartotinumo šaknis, ..., kompleksinis skaičius c yra polinomo   kartotinumo šaknis.
Šaknis, kurios kartotinumas lygus vienetui, dažnai vadinama paprasta, o šaknis, kurios kartotinumas didesnis už vienetą, vadinama kartotine.
Duotojo kartotinumo šaknį galima apibrėžti ir kitaip (tie apibrėžimai yra ekvivalentūs): kompleksinis skaičius a vadinamas polinomo   kartotinumo šaknimi, jei   išreiškiamas šitaip:
 
Mūsų tikslas — nurodyti būtiną ir pakankamą požymį, kad kompleksinis skaičius a būtų polinomo   kartotinumo šaknis.
Polinomo   išvestine vadinsime polinomą   gaunamą formaliai diferencijuojant*   kinatamojo z atžvilgiu. Pirmiausia įrodysime šitokį teiginį.
1 lema. Jei kompleksinis skaičius a yra polinomo   kartotinumo šaknis, tai tas pats skaičius a yra polinomo   kartotinumo šaknis.
Pastaba. Atskiru atveju, kai   skaičius a − paprasta polinomo   šaknis, bet nėra polinomo   šaknis.
Įrodyamas. Pagal sąlygą   galima išreikšti (7.19) formule. Ją išdiferencijavę, gauname
 
arba
 
jei
 
Kadangi   tai iš (7.20) reiškinio aišku, kad skaičius a yra polinomo   kartotinumo šaknis. Lema įrodyta.
7.2 teorema. Kompleksinis skaičius a yra polinomo   kartotinumo šaknis tada ir tik tada, kai išpildytos šios sąlygos:
 
Įrodymas. 1. Būtinumas. Sakykime, a yra polinomo   kartotinumo šaknis. Tada pagal 1 lemą tas pats skaičius a yra polinomo   kartotinumo šaknis, polinomo   kartotinumo šaknis, ..., polinomo   kartotinumo 1 (paprasta) šaknis, t. y.
 
2. Pakankamumas. Sakykime, (7.21) sąlygos yra išpildytos. Reikia įrodyti, kad skaičius a yra polinomo   kartotinumo   šaknis. Kadangi   tai a yra polinomo   šaknis, kurios kartotinumas ne mažesnis kaip 1. Todėl pagal 1 lemą skaičius a yra polinomo   šaknis, kurios kartotinumas ne mažesnis kaip 2, polinomo   šaknis, kurios kartotinumas ne mažesnis kaip 3, ..., polinomo   šaknis, kurios kartotinumas ne mažesnis kaip  
Lieka įrodyti, kad polinomo   šaknies   kartotinumas nėra didesnis kaip   Jei tas kartotinumas būtų didesnis kaip   tai pagal 1 lemą polinomo   šaknies   kartotinumas būtų didesnis už vienetą. Iš to išplauktų, kad   yra polinomo   šaknis, t. y.   bet tai prieštarauja paskutinei iš (7.21) sąlygų. Teorema įrodyta.

______________

* Polinomas   diferencijuojamas z atžvilgiu, lyg z būtų realus kintamasis.

4. Kartotinių šaknų atskyrimas. Euklido algoritmas keisti

1. Kartotinių šaknų atskyrimas. keisti

Mūsų tikslas - iš polinomo   turinčio kartotinių šaknų, sudaryti tokį polinomą   kuris turėtų tas pačias šaknis, kaip ir   bet visų šaknų kartotinumas būtų lygus vienetui. Apibrėšime keletą naujų sąvokų.
1 apibrėžimas. Dviejų polinomų   ir   bendru dalikliu vadinamas bet koks polinomas, iš kurio dalijasi abu polinomai   ir  
2 apibrėžimas. Dviejų polinomų   ir   bendru didžiausiu dalikliu vadinamas toks jų daliklis, kuris dalijasi iš kiekvieno kito tų polinomų daliklio.
Polinomų   ir   bendrą didžiausią daliklį susitarsime žymėti simboliu  
Iš bendro didžiausio daliklio apibrėžimo išplaukia, jog jis yra apibrėžtas tik laisvo pastovaus daugiklio tikslumu.
Spręsdami uždavinį, suformuluotą šio paragrafo pradžioje, galime lengvai įsitikinti, kad ieškomasis polinomas F(z) yra šitoks:
 
Sakykime,
 
o skaičiai a, b, ..., c — skirtingos šaknys. Tada pagal 7.2 teoremą polinomas   išreiškiamas sandauga
 
o   neturi daugiklių  
Palyginę (7.23) ir (7.24) formules, įsitikiname, kad
 
Iš (7.23) ir (7.25) formulių savo ruožtu matyti, kad polinomas F(z), apibrėžtas (7.22) formule, yra šitoks:
 
Taigi įrodėme, kad polinomas F(z), apibrėžtas (7.22) formule, turi tas pačias šaknis, kaip ir polinomas f(z), bet visų jo šaknų kartotinumas lygus vienetui.
Vadinasi, norint atskirti kartotines šaknis, reikia iš duotojo polinomo   sudaryti polinomą   apibrėžiamą (7.22) formule.
Kadangi (7.22) formulės vardiklis yra polinomų   ir   bendras didžiausias daliklis, tai reikia išmokti jį rasti.

2. Dviejų polinomų bendro didžiausio daliklio ieškojimas (Euklido algoritmas) keisti

Sakykime,   ir   yra bet kokie polinomai ir reikia rasti jų bendrą didžiausią daliklį. Nesiaurindami uždavinio, galime tarti, kad polinomo   laipsnis ne didesnis už polinomo   laipsnį. Tada,   padaliję iš   gauname (7.13) formulę (žr. 2 paragrafą):
 
Liekanos   laipsnis, kaip sakėme 2 paragrafe, yra mažesnis už daliklio   laipsnį. Todėl   vėl galime dalyti iš   Padaliję gauname formulę, analogiška (7.13):
 
Liekanos   laipsnis yra mažesnis už daliklio   laipsnį.
Toliau polinomą   dalijame iš liekanos   ir t. t. Tokiu budu gausime
 
 
 
 
 
Kadangi, kiekvieną kartą padalijus, liekanos laipsnis sumažėja bent vienu vienetu, tai pakartojus aprašytąjį procesą pakankamą skaičių k kartų, po (k + 1)-ojo žingsnio gauta liekana bus lygi nuliui*, t. y.
 
Įrodysime, kad paskuitnė nelygi nuliui liekana   yra polinomų   ir   bendras didžiausias daliklis.
Užtenka įrodyti du teiginius:
1) polinomai   ir   dalijasi iš   t. y.   yra polinomų   ir   daliklis;
2) polinomas   dalijasi iš bet kurio polinomų   ir   daliklio   t. y.   yra tų polinomų bendras didžiausias daliklis.
Įrodinėdami 1 teiginį, pastebėsime, jog iš   lygybės išplaukia, kad liekana   dalijasi iš   o iš   lygybės — kad   dalijasi iš   ... Nagrinėdami    lygybių grandinę, galų gale įsitikinsime, kad   ir   dalijasi iš  
Dar įrodysime 2 teiginį. Sakykime,   yra bet kuris polinomų   ir   daliklis. Iš   lygybės aišku, kad   dalijasi iš   (nes   dalijasi iš  ), o iš   lygybės, — kad   dalijasi iš   paskui iš   lygyybės, — kad   dalijasi iš   ... Iš    lygybių grandinės galų gale įsitikiname, kad   dalijasi iš  
Taigi visiškai pagrindėme aprašytąjį procesą dviejų polinomų bendram didžiausiam dalikliui rasti. Tas procesas paprastai vadinamas Euklido algoritmu.
 
4.1 pav.
Pavyzdys. Rasime polinomų   ir   bendrą didžiausią daliklį**. Polinomą   padaliję iš   stulpeliu, gauname (žr. 4.1 paveiksliuką)
 
čia  
Toliau turėtume dalyti polinomą   iš polinomo   Kadangi bendras didžiausias daliklis apibrėžtas tik bet kokio pastovaus daugiklio tikslumu, tai bus patogu   liekaną dauginti iš   ir   dalyti iš polinomo   Gausime (žr. 4.2 paveiksliuką)
 
4.2 pav.
 
čia   Liekana lygi nuliui.
Vadinasi, polinomų   ir   bendras didžiausias daliklis yra   t. y.
 
1 pastaba. Pateiktajame pavyzdyje, kad būtų paprasčiau, nagrinėjome polinomus   ir   su realiais koeficientais. Tas pats metodas tinka ir polinomams su bet kokiais kompleksiniais koeficientais.


___________________

* Jei tarpiniame aprašytojo proceso etape negausime liekanos, lygios nuliui, tai kada nors gausime nulinio laipsnio polinomą   Tada liekana   tikrai bus lygi nuliui (nes kiekvienas polinomas dalijasi iš nulinio laipsnio polinomo).
** Lengva pastebėti, kad  

5. Taisiklingos racionaliosios trupmenos su kompleksiniais koeficientais reiškimas paprasčiausių trupmenų suma keisti

Racionaliąją trupmena vadinamas dviejų algebrinių polinomų santykis. Racionalioji trupmena vadinama taisyklinga, kai skaityklyje esančio polinomo laipsnis yra mažesnis už vardiklyje esančio polinomo laipsnį. Priešingu atveju racionalioji trupmena vadinama netaisyklinga. Racionaliąją trupmeną dažniausiai žymėsime simboliu   P(z) ir Q(z) laikydami algebriniais polinomais.
2 lema. Sakykime,   yra taisyklinga racionalioji trupmena, kurios vardiklis turi   kartotinumo šaknį a, t. y.
  ir  
Tada tą trupmeną galima išreikšti tokia suma:
 
čia A - kompleksinė konstanta, lygi   k - natūrinis skaičius, o   - atitinkamas polinomas, be to, paskutinė trupmena, parašyta (7.29) lygybės dešinėje pusėje, yra taisyklinga.
Įrodymas. Skaičių*   pažymėkime raide A ir išnagrinėkime skirtumą
 
Apskaičiavę šį skirtumą, gausime
 
jei polinomą   pažymėsime   Kadangi
 
tai kompleksinis skaičius a yra polinomo   šaknis, kurios kartotinumas lygus kokiam nors natūriniam skaičiui k   t. y.
  ir  
(7.31) reiškinį įrašę į (7.30) lygybę, gausime
 
 
Įrodėme, kad (7.29) lygybė yra teisinga. Reikia tik įsitikinti, kad trupmena, parašyta dešinėje (7.32) lygybės pusėje, yra taisiklinga. Tai tiesiog išplaukia iš teiginio, kad dviejų taisyklingų trumpenų skirtumas yra taisyklinga trupmena**.
Lema įrodyta.
Iš ką tik įrodytos lemos išplaukia nuostabi teorema, išreiškianti faktą, kad kiekvieną taisyklingą racionaliąją trupmeną galima išreikšti paprasčiausių trupmenų suma.
7.3 teorema. Jei   yra taisiklinga racionalioji trupmena, kurios vardiklis išreiškiamas sandauga
 
tai šią trupmeną galima išreikšti šitaip:
 
 
 
 
čia   - tam tikri pastovūs kompleksiniai skaičiai (kai kurie iš jų gali būti nuliai).
Įrodymas. Iš pradžių 2 lemą pritaikysime trupmenai   turėdami mintyje, kad kompleksinis skaičius a yra polinomo   kartotinumo šaknis. Gausime (7.32) lygybę
 
 
Dešinei tos lygybės pusei vėl pritaikysime 2 lemą, turėdami mintyje, kad arba kompleksinis skaičius a yra dešiniosios pusės vardiklio   kartotinumo šaknis (jei  ), arba kaip matyti iš (7.33) skaidinio, kompleksinis skaičius b yra to vardiklio   kartotinumo šaknis (jei  ).
(Jei   tai (7.32) lygybė pavirsta tokia:
  ir   t. y.   neturi kompleksinės šaknies a ir 2 lemos reiškiniui   skaičiaus a atžvilgiu, toliau taikyti negalime.
Jei   tai (7.32) lygybė pavirsta tokia:
  ir vardiklis   neturi kartotinės arba paprastos šaknies a. Todėl toliau 2 lemos reiškiniui
 
taikyti negalime ir reikia griebti kitą polinomo Q(z) šaknį (pavyzdžiui, kompleksinę šaknį b).)
Tokiu budu gausime į (7.32) panašią lygybę, kurios dešiniajai pusei vėl galima taikyti 2 lemą. Taip samprotaudami toliau (t. y. paeiliui taikydami 2 lemą visoms polinomo Q(z) šaknims), trupmeną   išreikšime (7.34) suma. Teorema įrodyta.
Pastaba. Kadangi 2 lemoje nurodytas skaičius k gali būti didesnis už vienetą, o polinomas P(z) gali turėti šaknis, sutampančias su polinomo Q(z) šaknimis, tai kai kurie (7.34) formulės koeficientai   gali būti lygūs nuliui.


__________________

* Skaičius A egzistuoja, nes (7.28) sąlygoje pasakyta, kad  
** Tuo lengva įsitikinti, taisiklingų trupmenų skirtumą išreiškus trupmena su bendru vardikliu.

6. Algebrinio polinomo su realiaisiais koeficientais reiškimas neskaidžių realių dauginamųjų sandauga keisti

Anksčiau ieškojome racionaliosios trupmenos su kompleksiniais koeficientais išraiškos paprasčiausių trupmenų suma. Galutinis mūsų tikslas - išreikšti racionaliąją trupmeną su realiais koeficientais paprasčiausių trupmenų su realiais koeficientais suma.
Norint tą tikslą pasiekti, pirmiausia reikia algebrinį polinomą su realiais koeficientais išreikšti neskaidžių realių dauginamųjų sandauga. Tam ir skirtas šis paragrafas.
Sakykime,
 
yra redukuotas algebrinis polinomas su realiais koeficientais  
Pirmiausia įrodysime šitokią teoremą.
7.4 teorema. Jei kompleksinis skaičius a yra (7.35) algebrinio polinomo su realiais koeficientais šaknis, tai ir jam jungtinis kompleksinis skaičius*   irgi yra (7.35) polinomo šaknis. Be to, jei šaknies a kartotinumas lygus   tai ir šaknies   kartotinumas lygus  
Įrodymas. Iš pradžių įrodysime pagalbinį teiginį: jei   yra polinomas su realiais koeficientais, tai kompleksinis dydis   yra jungtinis dydžiui  . Užtenka įrodyti, kad laipsnis   kai n - natūrinis skaičius, yra jungtinis laipsniui   Tai išplaukia tiesiog iš kompleksinio skaičiaus trigonometrinės išraiškos. Iš tikrųjų, jei
 
tai
 
Pagal Muavro formulę
 
 
Iš dviejų paskutinių lygybių aišku, kad   yra dydis, jungtinis laipsniui   Pagalbinį teiginį įrodėme.
Dabar sakykime, kad kompleksinis skaičius a yra polinomo f(z) šaknis, t.y.   Šio skyriaus 1 paragrafe įsitikinome, kad kompleksinis skaičius lygus nuliui tada ir tik tada, kai lygus nuliui jam jungtinis skaičius. Todėl iš lygybės   ir iš įrodytojo pagalbinio teiginio išplaukia, kad   t.y. skaičius   yra polinomo f(z) šaknis.
Sakykime, šaknies a kartotinumas lygus   Tada pagal 7.2 teoremą
 
Kadangi kompleksinis skaičius lygus nuliui tada ir tik tada, kai lygus nuliui jam jungtinis skaičius, tai iš anksčiau įrodyto pagalbinio teiginio ir iš (7.36) sąryšių išplaukia**:
 
Pagal 7.2 teoremą šie sąryšiai reiškia, kad skaičius   yra polinomo f(z)   kartotinumo šaknis. Teorema įrodyta.
Remdamiesi (7.4) teorema, sužinosime, kaip polinomas***   su realiais koeficientais išreiškiamas neskaidžių realių dauginamųjų sandauga. Sakykime, polinomas   turi realias šaknis   kurių kartotinumas atitinkamai lygus   ir menamas šaknis, sudarančias jungtinių skaičių poras   ir     ir     ir   kurių kartotinumas atitinkamai lygus  
Tada, remiantis 3 paragrafo rezultatais, polinomas   suskaidomas šitaip:
 
Šaknies   ( ) realiąją ir menamąją komponentes pažymėkime   ir   t.y.   Tada   Su bet kuriuo   pertvarkykime reiškinį
 
 
 
Gautąją (7.39) išraišką įrašę į (7.38) skaidinį, gauname polinomo f(x) skaidinį realiais neskaidžiais dauginamaisiais:
 
Matome, kad polinomas   su realiais koeficientais išskaidomas neskaidžių realių dauginamųjų sandauga: dauginamieji, atitinkantys realiąsias šaknis, yra dvinarių laipsniai su rodikliais, lygiais šaknų kartotinumams, o dauginamieji, atitinkantys menamų jungtinių šaknų poras, yra kvadratinių trinarių laipsniai su rodikliais, lygiais tų porų kartotinumams.


____________

* Kompleksinį skaičių, jungtinį duotajam skaičiui, žymėsime tuo pačiu simboliu, kaip ir duotąjį skaičių, tik su brūkšneliu virš jo.
** Be to, atsižvelgiama į tai, kad polinomo su realiais koeficientais išvestinė yra polinomas su realiais koeficientais.
*** Toliau nagrinėsime polinomus, kurių kintamasis įgyja tik realiąsias reikšmes. Todėl tą kintamąjį bus patogiau žymėti ne raide z, bet raide x.


7. Taisyklingos racionaliosios trupmenos su realiaisiais koeficientais reiškimas paprasčiausių trupmenų su realiaisiais koeficientais suma keisti

Įrodysime du pagalbinius teiginius.
3 lema. Sakykime,   yra taisiklinga racionalioji trupmena su realiais koeficientais, kurios vardiklio viena   kartotinumo šaknis yra realusis skaičius a, t. y.
   
Tada šią trupmeną galima išreikšti suma:
 
čia A - realusis skaičius, lygus   k - natūrinis skaičius, o   - atitinkamas polinomas su realiais koeficientais. Be to, paskutinė trupmena, parašyta (7.41) lygybės dešinėje pusėje, yra taisiklinga.
Šios lemos įrodyti nereikia, nes ji tiesiog išplaukia iš 2 lemos. Reikia tik turėti mintyje štai ką: kadangi P(x) ir Q(x) yra polinomai su realiais koeficientais, o a - realusis skaičius, tai polinomai   ir   turi realius koeficientus, todėl ir konstanta   - realusis skaičius.
4 lema. Sakykime,   yra taisyklinga racionalioji trupmena su realiais koeficientais, kurios vardiklio dvi kartotinumo   šaknys yra kompleksiniai jungtiniai skaičiai   ir   t. y.
 
 
Tada šią trupmeną galima išreikšti suma:
 
čia M ir N - realieji skaičiai, k - natūrinis skaičius, o   - atitinkamas polinomas su realiais koeficientais. Be to, paskutinė trupmena, parašyta (7.43) lygybės dešinėje pusėje, yra taisiklinga.
Įrodymas. Kompleksinio skaičiaus A realiąją komponentę susitarsime žymėti simboliu   o menamąją - simboliu   Tarsime, kad*
 
Lengva patikrinti, kad realiųjų skaičių pora (M, N) yra šios lygties sprendinys:
 
 
 
 
 
 
Iš tikrųjų, padaliję (7.44) lygtį panariui iš   ir prilyginę nuliui realiąsias ir menamąsias komponentes, gauname dviejų lygčių sistemą
 
iš kurios randame anksčiau parašytąsias M ir N išraiškas. Dabar išnagrinėkime skirtumą
 
Šį skirtumą išreiškę trupmena su bendruoju abiejų trupmenų vardikliu Q(x), gausime
 
čia simboliu   pažymėjome polinomą   su realiais koeficientais. Iš (7.44) lygybės aišku, kad kompleksinis skaičius a yra polinomo   šaknis, kurios kartotinumą žymėsime   Jo jungtinis skaičius   pagal 7.4 teoremą irgi yra polinomo   kartotinumo k šaknis. Todėl polinomą   galima išreikšti sandauga:
 
kurioje   - atitinkamas polinomas su realiais koeficientais, neturintis šaknų   ir   (7.46) išraišką įrašę į (7.45) formulę, gausime (7.43) lygybę. Tas faktas, kad paskutinė trupmena, esanti (7.43) lygybės dešinėje pusėje, yra taisiklinga, išplaukia iš to, jog ta trupmena yra dviejų taisiklingų trupmenų skirtumas.
Lema įrodyta.
Paeiliui taikydami 3 ir 4 lemas visoms trupmenos   vardiklio šaknims, galime įrodyti šitokį teiginį.
7.5 teorema. Jei   yra taisiklinga racionalioji trupmena su realiais koeficientais, kurios vardiklis išreiškiamas šitaip:
 
tai ją galima išreikšti paprasčiausių trupmenų suma:
 
 
 
 
 
čia   - realieji skaičiai (kai kurie iš jų gali būti nuliai).
Pastaba. Norint konkrečiai nustatyti ką tik minėtus koeficientus, reikia sudėti trupmenas, parašytas dešinėje (7.47) lygybės pusėje ir po to palyginti skaitiklių koeficientus prie vienodų x laipsnių.


______________

* Kadangi   tai santykis   egzistuoja.

Pavyzdžiai ir paaiškinimai keisti

  Išreikšime paprasčiausių trupmenų suma taisyklingą trupmeną
 
Įsitikinę, kad kvadratinis trinaris   turi menamas šaknis, rašome lygybę, laikydamiesi 7.5 teoremos nurodymų:
 
Sudėję dešinėje tos lygybės pusėje parašytas trupmenas, gauname
 
 
Palyginę skaitiklių koeficientus prie   ir   sudarome lygčių sistemą
 
Ją išsprendę, gauname   Galutinai
 
Ką tik pailiustruotas taisiklingos racionaliosios trupmenos dėstinio ieškojimo metodas vadinamas neapibrėžtųjų koeficientų metodu. Jis visada pritaikomas; kad, tą metodą taikant, gautoji lygčių sistema yra išsprendžiama, įrodinėti nereikia - tai išplaukia iš 7.5 teoremos.
  Neapibrėžtųjų koeficientų metodą pailiustruosime dar vienu pavyzdžiu. Reikia išdėstyti taisiklingą trupmeną
 
Kadangi kvadratinis trinaris   turi menamas šaknis, tai, laikydamiesi 7.5 teoremos nurodymų, rašome
 
Sudėję dešinėje lygybės pusėje parašytas trupmenas ir palyginę skaitiklius, turime
 
 
Palyginę koeficientus prie   ir   sudarome lygčių sistemą
 
Ją išsprendę, randame   Galutinai
 
  Neapibrėžtųjų koeficientų metodas, kaip matyti iš spręstųjų pavyzdžių, yra gana griozdiškas. Todėl natūralu tais atvejais, kai galima, ieškoti kito, paprastesnio metodo taisiklingos racionaliosios trupmenos dėstinio koeficientams apskaičiuoti. Sakykime, taisyklingos racionaliosios trupmenos   vardiklis Q(x) turi realią   kartotinumo šaknį a. Tada viena iš paprasčiausių trupmenų, kurių suma išreiškiama trupmena   yra
 
Aprašysime visiškai paprastą būda tos trupmenos skaitikliui A apskaičiuoti. Iš 3 lemos ir (7.41) formulės aišku, kad tas koeficientas apskaičiuojamas pagal formulę
  kurioje  
Taigi, apskaičiuojant (7.51) paprasčiausios trupmenos koeficientą A, atitinkantį polinomo   kartotinumo šaknį a, reikia trupmenos   vardiklyje išbraukti dauginamąjį   ir į likusį reiškinį įrašyti  
Aprašytasis koeficiento A ieškojimo būdas paprastai vadinamas išbraukimo metodu. Pabrėžiame, kad jis pritaikomas tik paprasčiausių trupmenų, atitinkančių realiąsias polinomo Q(x) šaknis, aukščiausiųjų laipsnių koeficientams skaičiuoti.
Išbraukimo metodas labai efektyvus tuo atveju, kai vardiklis Q(x) turi tik paprastas realias šaknis, t.y.   Tada, kaip žinome, trupmena išdėstoma suma
 
kurios visus koeficientus galima rasti išbraukimo metodu. Ieškant koeficiento   reikia trupmenos   vardiklyje išbraukti dauginamąjį   ir į likusį reiškinį įrašyti  
Pavyzdys. Išreikšime paprasčiausių trupmenų suma trupmeną
 
Remdamiesi (7.5) teorema, rašome
 
Ieškodami koeficiento   (7.52) reiškinyje išbraukiame dauginamąjį   ir likusiame reiškinyje rašome   Gauname   Panašiai randame   ir  
Galutinai
 
Detaliau, koeficientus     ir   randame taip:
 
 
 
Patikriname:
 
 


8. Racionaliosios trupmenos integravimas keisti

Dabar jau esame pasiruošę spręsti racionaliosios trupmenos su realiaisiais koeficientais integravimo problemą bendruoju atveju.
Pirmiausia atkreipsime dėmesį į tai, kad ši problema pakeičiama taisiklingos racionaliosios trupmenos integravimo problema, nes kiekvieną netaisiklingą racionaliąją trupmeną, skaitiklį padalijus iš vardiklio, galima išreikšti algebrinio polinomo ir taisiklingos racionaliosios trupmenos suma.
 
8.1 pav.
Pavyzdys.
 
nes (žr. 8.1 paveksliuką)
Polinomą jau mokame integruoti (primename, kad polinomo neapibrėžtinis integralas yra koks nors polinomas, kurio laipsnis vienetu didesnis už integruojamojo polinomo laipsnį). Reikia tik išmokti integruoti taisiklingąją racionaliąją trupmeną. Iš (7.5) teoremos aišku, kad integruojant taisiklingąją racionaliąją trupmeną, užtenka mokėti integruoti keturių tipų paprasčiausias trupmenas:
I.   II.   III.   IV.  
čia   B, M, N, b, p ir q - kokie nors realūs skaičiai; be to, trinaris   neturi realių šaknų, t.y.  
Įrodysime, kad visų keturių nurodytųjų trupmenų neapibrėžtiniai integralai yra elementariosios funkcijos.
I ir II tipo trupmenos integruojamos elementariai pakeitus kintamąjį:   Gauname
 
 
Integruodami III tipo trupmeną, kvadratinį trinarį išreiškiame šitaip   ir, atsižvelgę į tai, kad   tą skaičių laikome teigiamo skaičiaus   kvadratu. Pakeitę kintamąjį   gauname
 
 
 
 
 
Liko apskaičiuoti IV tipo trupmenos integralą. Pavartoję anksčiau įvestus žymėjimus     turėsime
 
 
Įvesime žymėjimus:
 
 
Nagrinėjamas integralas bus apskaičiuotas, kai apskaičiuosime integralus I ir   Integralas I skaičiuojamas paprastai:
 
Integralą   nagrinėjome Integravimo dalimis skyriuje. Ten išvedėme (6.12) rekurentinę formulę, pagal kurią galime paeiliui apskaičiuoti   kai   nes žinome, kad
 
Taigi apskaičiavome visų keturių paprasčiausių trupmenų integralus ir įrodėme, kad visi jie yra elementariosios funkcijos (tiksliau kalbant, tie integralai išreiškiami racionaliąja funkcija, logaritmu ir arktangentu). Tokiu budu įrodėme teoremą, išsprendžiančią racionaliosios trupmenos integravimo problemą.
7.6 teorema. Bet kokios racionaliosios funkcijos integralas yra elementarioji funkcija.
Baigdami šį paragrafą, pateiksime racionaliosios trupmenos integravimo pavyzdžių. Apskaičiuosime neapibrėžtinius integralus tų trijų trupmenų, kurias nagrinėjome šiame paragrafe ir išreiškėme (7.49), (7.50) ir (7.53) lygybėmis. Pasinaudoję tomis trimis lygybėmis ir (7.55), (7.56) bei (7.57) formulėmis, gauname
1.  
 
2.  
 
3.  

9. Ostrogradskio metodas keisti

M. Ostrogradskis (M. Ostrogradskis (1801 - 1861) - rusų matematikas) pasiūlė metodą taisyklingos racionaliosios trupmenos integralo racionaliajai daliai nustatyti.
Išanalizavę keturių paprasčiausių (7.54) trupmenų integralus, galime padaryti šias išvadas:
1) I ir III tipo trupmenų, kurių vardikliai yra dvinario arba trinario pirmieji laipsniai, integralai nėra racionaliosios funkcijos (jie išreiškiami logaritmu arba arktangentu);
2) II tipo trupmenos, kurios vardiklis yra dvinario laipsnis su rodikliu   integralas yra taisyklinga racionalioji trupmena, kurios vardiklis yra to paties dvinario laipsnis su rodikliu  
3) IV tipo integralas, kurio pointegralinė funkcija yra trinario laipsnis su rodikliu   lygus sumai*, kurios vienas dėmuo - taisyklinga racionalioji trupmena su vardikliu, lygiu tam trinariui pakeltu   laipsniu, o kitas dėmuo - arktangentu išreiškiamas integralas  
Iš 1, 2 ir 3 išvadų galima spręsti, kam lygi taisiklingos trupmenos   integralo racionalioji dalis. Trupmeną   laikysime nesuprastinama ir tarsime, kad jos vardiklis Q(x) yra šitoks:
 
Tada taisiklingos racionaliosios trupmenos   integralo racionalioji dalis lygi sumai taisiklingų racionaliųjų trupmenų, kurių vardikliai atitinkamai lygūs
 
Ši suma**, savaime aišku yra taisyklinga racionalioji trupmena   kurios vardiklis   yra šitoks:
 
Dabar apskaičiuosime sumą paprasčiausių trupmenų, kurių integralai nėra racionaliosios funkcijos. Iš 1 ir 3 išvadų aišku, kad ta suma yra taisyklinga racionalioji trupmena   kurios vardiklis
 
Gauname formulę, kurią pirmą kartą išvedė M. Ostrogradskis:
 
Polinomai   ir   aprašomi (7.59) ir (7.60) formulėmis; jie gali būti sudaryti neskaidant polinomo Q(x) neskaidžiaisiais dauginamaisiais.
Tikrai taip: iš 4 paragrafo rezultatų (žr. (7.25) formulę) išplaukia, kad   yra polinomų   ir   bendras didžiausias daliklis, todėl jį galima apskaičiuoti, pritaikius Euklido algoritmą (žr. 4 paragrafą).
Polinomas   kaip matyt iš (7.58), (7.59) ir (7.60) formulių, yra dalmuo   todėl jį galima rasti, polinomą   padalijus iš polinomo  
Lieka apskaičiuoti polinomus   ir   Kadangi trupmenos   ir   yra taisyklingos, tai   galima laikyti polinomu su neapibrėžtais koeficientais, kurio laipsnis yra vienetu mažesnis už   laipsnį, o   - polinomu su neapibrėžtais koeficientais, kurio laipsnis yra vienetu mažesnis už   laipsnį. Norint apskaičiuoti tuos neapibrėžtuosius koeficientus, reikia išdiferencijuoti (7.61) Ostrogradskio formulę, gautąsias trupmenas užrašyti su bendru vardikliu ir palyginti skaitiklių koeficientus prie vienodų x laipsnių.
Taigi Ostrogradskio metodas yra puikus būdas racionaliajai trupmenai integruoti, neišdėsčius jos paprasčiausių trupmenų suma. Tas būdas ypač efektyvus tada, kai polinomo   šaknys daugiausia yra kartotinės arba kai sunku jas rasti.
Pavyzdys. Ostrogradskio metodu apskaičiuosime integralą
 
Šiuo atveju
 
 
Ieškome polinomų   ir   bendro didžiausio daliklio   Pastebėsime, kad kaip tik tų polinomų bendrą didžiausią daliklį radome, spręsdami pavyzdį 4 paragrafo pabaigoje. Taigi
 
Polinomą   padaliję iš   gauname
 
( ).
  ir   laikysime pirmojo laipsnio polinomais su neapibrėžtais koeficientais.
Šiuo atveju (7.61) Ostrogradskio formulė užrašoma šitaip:
 
Ieškosime koeficientų A, B, C ir D. Išdiferencijavę abi (7.62) lygybės puses, gausime
 
Visas gautąsias trupmenas užrašome su bendru vardikliu   ir palyginame skaitiklius:
 
Palyginę koeficientus prie   ir   gauname lygčių sistemą
 
Ją išsprendę, randame   Vadinasi, (7.62) formulė yra šitokia:
 
Integralą   apskaičiuosime pasinaudoję 8 paragrafo įvestais pakeitimais
 
 
Tada
 
 
 
Apskaičiavus dešinėje lygybės (7.63) pusėje parašytąjį integralą, galutinai gauname
 

_____________

* Atsižvelgiame į (6.12) rekurentinę formulę, kurią išvedėmę Integravimo dalimis skyriuje.
** T. y. trupmenos   integralo racionalioji dalis.