Matematika/Vektorių sudėtis ir daugyba

Vektorius – matematinis dydis, apibūdinamas reikšme ir kryptimi erdvėje. Grafiškai vektoriai vaizduojami tiesių atkarpomis su rodyklėmis.

Bendriausias vektoriaus pavyzdys fizikoje būtų jėga.

Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip – vektoriumi:

$\mathbf {v} =(v_{1},v_{2},...,v_{n})$.

kur v yra n skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija – kiekvieną v galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį n-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais v.

Vektoriaus daugyba iš skaliaro

Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas skaliaru. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro ir gauta sandauga yra vektorius:

$c\mathbf {v} =(cv_{1},cv_{2},...,cv_{n})$.

Dviejų vektorių suma

Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius: $\mathbf {v} +\mathbf {w} =(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},...,v_{n}+w_{n})$. Atkreipkite dėmesį, jog vektorinė sudėtis yra komutatyvi, t. y. v + w = w + v

Skaliarinė sandauga

Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.

Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi atitikti, t. y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot w_{i}=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}+...+v_{n}w_{n}.$

Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.

Pavyzdžiui, vektorių a=(3, 5, 6) ir b=(4, 0, 1) skaliarinė sandauga lygi:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =3\cdot 4+5\cdot 0+6\cdot 1=12+0+6=18.$

Vektoriaus v ilgis, arba norma, žymimas ||v||, |v| - vektorius absoliutus dydis (vektoriaus normos šaknis).

Vektoriaus v ilgis gali būti paskaičiuotas naudojant Euklido normą:

$\left\|\mathbf {v} \right\|={\sqrt {v_{1}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}$.

Tai yra Pitagoro teoremos pasekmė, kadangi vienetiniai baziniai vektoriai e₁, e₂, e₃ yra statmeni. Tai taip pat yra lygu šakniai iš vektoriaus skaliarinės sandaugos su savimi:

$\left\|\mathbf {v} \right\|={\sqrt {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }}$.

Pavyzdžiui, vektoriaus a=(3, -2, 4) ilgis:

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}={\sqrt {3^{2}+(-2)^{2}+4^{2}}}={\sqrt {29}}\approx 5.385.$

Tas pats gautus ir ${\sqrt {({\sqrt {3^{2}+(-2)^{2}}})^{2}+4^{2}}}={\sqrt {13+16}}={\sqrt {29}}$ pagal Pitagoro teoremą ir ${\sqrt {({\sqrt {3^{2}+4^{2}}})^{2}+(-2)^{2}}}={\sqrt {25+4}}={\sqrt {29}}$. Iprastai šis atsakymas reiškia Stačiakampio gretasienio įžambinės ilgį tarp dviejų jo tolimiausių kampų.

Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:

||cv||=c ||v||.

Trikampio nelygybė naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:

||v+w||≤||v||+||w||.

Kampas tarp vektorių

Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:

$\cos \phi ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}}$.

$\phi =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}}.$

Vektoriaus a projekcija x į vektorių b užrašoma formule:

$x=||a||\cdot \cos \phi =||a||\cdot {a\cdot b \over ||a||\cdot ||b||}={a\cdot b \over ||b||}.$

• Pavyzdžiui, yra vektoriai a=(2; 3; 4) ir b=(5; 6; 7). Tuomet vektorių skaliarinė sandauga lygi $a\cdot b=2\cdot 5+3\cdot 6+4\cdot 7=10+18+28=56$. Vektoriaus a ilgis (iš taško (0; 0; 0) iki taško (2; 3; 4)) yra lygus $||a||={\sqrt {2^{2}+3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {4+9+16}}={\sqrt {29}}\approx 5,3851648$. Vektoriaus b ilgis yra lygus $||b||={\sqrt {5^{2}+6^{2}+7^{2}}}={\sqrt {25+36+49}}={\sqrt {110}}\approx 10,488088$. Tuomet

$\cos \phi ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}}={56 \over {\sqrt {29}}\cdot {\sqrt {110}}}={56 \over {\sqrt {3190}}}={56 \over 56,48008499}=0.991499924$.

$\phi =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}}=\arccos 0.991499924=0.13047716$

arba $\phi =7,47579$ laipsnio.

$x=||a||\cdot \cos \phi =5.385164807\cdot 0.991499924=5.339390497$.

$x=||a||\cdot {a\cdot b \over ||a||\cdot ||b||}={a\cdot b \over ||b||}={56 \over {\sqrt {110}}}=5.3393905.$

Iš kosinusų teoremos žinant atstumą tarp taško a=(2; 3; 4) ir taško b=(5; 6; 7) galima patikrinti ar kampas $\phi$ surastas teisingai. Atstumas tarp taško a ir taško b yra lygus $f={\sqrt {(5-2)^{2}+(6-3)^{2}+(7-4)^{2}}}={\sqrt {3^{2}+3^{2}+3^{2}}}={\sqrt {9+9+9}}={\sqrt {27}}=5.196152423$.

Iš kosinusų teoremos $f^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \phi$, čia $a={\sqrt {29}}$ ir $b={\sqrt {110}}$ yra vektorių a ir b ilgiai. Taigi $2ab\cos \phi =a^{2}+b^{2}-f^{2}$, toliau $\cos \phi ={a^{2}+b^{2}-f^{2} \over 2ab}={({\sqrt {29}})^{2}+({\sqrt {110}})^{2}-({\sqrt {27}})^{2} \over 2{\sqrt {29}}\cdot {\sqrt {110}}}={29+110-27 \over 2{\sqrt {3190}}}={56 \over {\sqrt {3190}}}=0.991499924$.

• Pavyzdis dvimatėje erdvėje su vektoriais a=(3; 4), b=(6; 8) sprendžiamas analogiškai. Vektorių skaliarinė sandauga lygi $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =3\cdot 6+4\cdot 8=50$. Vektorių ilgiai yra $||a||={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5$ ir $||b||={\sqrt {6^{2}+8^{2}}}={\sqrt {100}}=10$. Tuomet $\cos \phi ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}}={50 \over 5\cdot 10}=1$. Gavosi, kad $\phi =\arccos 1=0$ radianų bei laipsnių.

Sprendžiant taikant kosinusų teoremą, randamas ilgis atkarpos f tarp taškų a ir b, taigi $f={\sqrt {(6-3)^{2}+(8-4)^{2}}}={\sqrt {25}}=5$. Toliau $\cos \phi ={a^{2}+b^{2}-f^{2} \over 2ab}={5^{2}+10^{2}-5^{2} \over 2\cdot 5\cdot 10}={100 \over 100}=1$. Išvada jog vektorių linijos šįsyk sutampa ir vektorius b yra 2 kartus ilgesnis už vektorių a.

• Pavyzdis, kai duoti vektoriai a=(3; 4), b=(6; 20). Vektorių skaliarinė sandauga lygi $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =3\cdot 6+4\cdot 20=98$. Vektorių ilgiai yra $||a||={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5$ ir $||b||={\sqrt {6^{2}+20^{2}}}={\sqrt {436}}\approx 20,88061302$. Tuomet $\cos \phi ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\cdot \left\|\mathbf {b} \right\|}}={98 \over 5\cdot {\sqrt {436}}}=0,938669759$. Gavosi, kad $\phi =\arccos {98 \over 5\cdot {\sqrt {436}}}=0.352044314$ arba 20,17065341 laipsnių.

Sprendžiant taikant kosinusų teoremą, randamas ilgis atkarpos f tarp taškų a ir b, taigi $f={\sqrt {(6-3)^{2}+(20-4)^{2}}}={\sqrt {265}}=16,2788206$. Toliau $\cos \phi ={a^{2}+b^{2}-f^{2} \over 2ab}={5^{2}+({\sqrt {436}})^{2}-({\sqrt {265}})^{2} \over 2\cdot 5\cdot {\sqrt {436}}}={25+436-265 \over 10{\sqrt {436}}}={196 \over {\sqrt {43600}}}=0.938669759$. Tada $\phi =\arccos {196 \over {\sqrt {43600}}}=0.352044314$.

Vektorinė vektorių sandauga

Vektorinės sandaugos a × b (vektoriaus) "ilgis" gali būti interpretuojamas kaip plotas lygiagretainio, sudaryto iš kraštinių ||a|| ir ||b||.

• Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1, -2, 2), b=(3, 0, -4). Jų vektorinė sandauga lygi

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\1&-2&2\\3&0&-4\end{vmatrix}}=8\mathbf {i} +10\mathbf {j} +6\mathbf {k} =(8,10,6).$

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą formaliai panaudojome determinanto skaičiavimo taisykles. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

$S=\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|={\sqrt {8^{2}+10^{2}+6^{2}}}={\sqrt {200}}=10{\sqrt {2}}.$

• Pavyzdžiui, rasime lygiagretainio plotą, kuri sudaro vektoriai a=(4; 3; 0), b=(2; 7; 0). Vektoriai išdėstyti xOy plokštumoje.

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\4&3&0\\2&7&0\end{vmatrix}}=\mathbf {i} \cdot 3\cdot 0+\mathbf {j} \cdot 2\cdot 0+\mathbf {k} \cdot 4\cdot 7-\mathbf {i} \cdot 0\cdot 7-\mathbf {j} \cdot 4\cdot 0-\mathbf {k} \cdot 3\cdot 2=0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +22\mathbf {k} =(0,0,22).$

Šie vektoriai sudaro trikampį su viršunėmis A(4; 3; 0), B(2; 7; 0), C(0; 0; 0). Toliau reikia atlikti tokius veiksmus: CA(0-4; 0-3; 0-0)=(-4; -3; 0), CB(0-2; 0-7; 0-0)=(-2; -7; 0). Jų vektorinė sandauga lygi $CA\times CB={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\-4&-3&0\\-2&-7&0\end{vmatrix}}=\mathbf {i} \cdot (-3)\cdot 0+\mathbf {j} \cdot (-2)\cdot 0+\mathbf {k} \cdot (-4)\cdot (-7)-\mathbf {i} \cdot 0\cdot (-7)-\mathbf {j} \cdot (-4)\cdot 0-\mathbf {k} \cdot (-3)\cdot (-2)=$ $=0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +22\mathbf {k} =(0,0,22).$

Galima ir taip: AB(4-2; 3-7; 0-0)=(2; -4; 0), AC(4-0; 3-0; 0-0)=(4; 3; 0). Jų vektorinė sandauga lygi

$AB\times AC={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&-4&0\\4&3&0\end{vmatrix}}=\mathbf {i} \cdot (-4)\cdot 0+\mathbf {j} \cdot 4\cdot 0+\mathbf {k} \cdot 2\cdot 3-\mathbf {i} \cdot 0\cdot 3-\mathbf {j} \cdot 2\cdot 0-\mathbf {k} \cdot (-4)\cdot 4=0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +22\mathbf {k} =(0;0;22).$ Taigi, lygiagretainio plotas yra

$S=\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|={\sqrt {0^{2}+0^{2}+22^{2}}}=22.$

Ar atsakymas gautas taisingai, patikriname radę trikampio plotą, kuri sudaro vektoriai a ir b. Atkarpos ilgis tarp taškų a=(4; 3; 0) ir b=(2; 7; 0) yra lygus

$f={\sqrt {(2-4)^{2}+(3-7)^{2}+(0-0)^{2}}}={\sqrt {4+16}}={\sqrt {20}}=2{\sqrt {5}}=4.472135955.$

Toliau randame vektorių a ir b modulius, t.y. ilgius:

$a={\sqrt {4^{2}+3^{2}+0^{2}}}={\sqrt {16+9}}={\sqrt {25}}=5$;

$b={\sqrt {2^{2}+7^{2}+0^{2}}}={\sqrt {4+49}}={\sqrt {53}}=7.280109889$.

Žinodami visų trijų trikampio kraštinių ilgius ir žinodami, kad lygiagretainis sudarytas iš dviejų tokių trikampių, galime rasti lygiagretainio plotą taikant Herono formulę. $p={\frac {P}{2}}={\frac {a+b+f}{2}}={\frac {5+{\sqrt {53}}+{\sqrt {20}}}{2}}=8.376122922.$

$S=2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-f)}}=$

$=2{\sqrt {8.376122922(8.376122922-5)(8.376122922-{\sqrt {53}})(8.376122922-{\sqrt {20}})}}=$ $=2{\sqrt {8.376122922\cdot 3.376122922\cdot 1.096013033\cdot 3.903986967}}=2{\sqrt {121}}=22.$

Dedamųjų daugyba:

$\mathbf {i} \times \mathbf {j} =-(\mathbf {j} \times \mathbf {i} )=\mathbf {k} ;$

$\mathbf {j} \times \mathbf {k} =-(\mathbf {k} \times \mathbf {j} )=\mathbf {i} ;$

$\mathbf {k} \times \mathbf {i} =-(\mathbf {i} \times \mathbf {k} )=\mathbf {j} .$

$\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} .$

• Rasime $a\times b,$ jei a=2i-3j+5k=(2; -3; 5), b=4i+2j-6k=(4; 2; -6).

$a\times b=(2i-3j+5k)\times (4i+2j-6k)=8ii+4ij-12ik-12jk-6jj+18jk+20ki+10kj-30kk=$

$=4k+12j+12k+18i+20j-10i=8i+32j+16k=(8;32;16).$

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-3&5\\4&2&-6\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-3&5\\2&-6\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}2&5\\4&-6\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}2&-3\\4&2\end{vmatrix}}k=8i+32j+16k=(8;32;16).$

Patikriname taikydami determinantą:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&-3&5\\4&2&-6\end{vmatrix}}=\mathbf {i} \cdot (-3)\cdot (-6)+\mathbf {j} \cdot 5\cdot 4+\mathbf {k} \cdot 2\cdot 2-\mathbf {i} \cdot 5\cdot 2-\mathbf {j} \cdot 2\cdot (-6)-\mathbf {k} \cdot (-3)\cdot 4=$

$=18i-10i+20j+12j+4k+16k=8i+32j+16k=(8;32;16).$

Pažiurime, kas gausis, kai vektoriai po dedamaisiais sukeičiami vietomis:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\4&2&-6\\2&-3&5\end{vmatrix}}=\mathbf {i} \cdot 2\cdot 5+\mathbf {j} \cdot (-6)\cdot 2+\mathbf {k} \cdot 4\cdot (-3)-\mathbf {i} \cdot (-6)\cdot (-3)-\mathbf {j} \cdot 4\cdot 5-\mathbf {k} \cdot 2\cdot 2=$ $=10\mathbf {i} -18\mathbf {i} -12\mathbf {j} -20\mathbf {j} -12\mathbf {k} -4\mathbf {k} =-8\mathbf {i} -32\mathbf {j} -16\mathbf {k} =(-8;-32;-16).$ Vektorius sukeitus vietomis pasikeičia minuso ženklas atsakyme prie dedamųjų.

Mišri vektorių sandauga

Mišri vektorių sandauga (a b c) yra apibrėžiama:

$(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.$

Lygiagretainio gretasienio tūris gali būti skaičiuojamas kaip jį sudarančių 3 vektorių mišri sandauga.

• Pavyzdžiui, turime vektorius a=(4; 3; 0), b=(2; 7; 0), c=(0; 0; 10). Vektorius c yra statmenas tiek vektoriui a, tiek vektoriui b, tiek plokštumai, kurią galima sujungti vektorius a ir b, ant kurios jie "guletų" arba tiksliau pasakius, ant kurios jie būtų nubrėžti.

Taigi lygiagretainio gretasienio tūris, kurį sudaro vektoriai a, b, c yra lygus:

$V=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}4&3&0\\2&7&0\\0&0&10\end{vmatrix}}=$

$=4\cdot 7\cdot 10+3\cdot 0\cdot 0+0\cdot 2\cdot 0-4\cdot 0\cdot 0-3\cdot 2\cdot 10-0\cdot 7\cdot 0=280-60=220.$