Atverti pagrindinį meniu

Kompleksinis skaičius yra dviejų realiųjų skaičių pora z:

,

kur a ir brealieji skaičiai, o menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:

Nors priimta, kad , tačiau ši išraiška turi būti taikoma su tam tikromis išlygomis (žr. menamasis vienetas).

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiaisKeisti

Sudėtis

 

Atimtis

 ,

Daugyba

 
  •  
  •  

Dalyba

 
  •  .
  •  .

ĮrodymaiKeisti

Sudėtis

 

Atimtis

 ,

Daugyba

 
  •  
  •  

Dalyba

 
  •  .
  •  .

Dalybos:

 
 .
  •  .

Pavyzdys.

   .
 .
Čia gauto vektoriaus z koordinatės (x; y)=(-7, 26).
Gauto vektoriaus z ilgis : .
 ,
 .
 .

Kaip matome naujo vektoriaus z ilgį galima surasti ir be menamojo vieneto i.

 
 
 
 .

Kaip matome praktiškai visiškai tiksliai suradome naujo vektoriaus z koordinates (-7, 26), be panaudojimo menamojo vieneto savybių (i2=-1) ir menamasis vienetas atliko tik žymeklio vaidmenį.

Čia mes sudėjome du kampus per kuriuos buvo pasukti nuo x ašies abu vektoriai ((a, b) ir (c, d)). Pavyzdžiui vektorius (a, b) su x ašimi sudaro  =~68.2 laipsnių kampą, o vektorius (c, d) su x ašimi sudaro  =~36.87 laipsnių kampą. Kai mes sudauginome  , tai kampai susidėjo ir atsirado naujas vektorius kurio ilgis   ir kuris su x ašimi sudaro  =36.87+68.2=~105.07 laipsnių kampą. Kaip matome kampus galima sudėti ir be kompleksinių skaičių, o sudaugintų vektorių ilgius (  ir   bei naujo atsiradusio vektoriaus   ilgį taip pat rasti be kompleksinių skaičių (o tiksliau be menamojo vieneto i ).

Muavro formulėKeisti

Didelę reikšmę turi vienetinio ilgio kompleksiniai skaičiai, kai r=1.

  • Kai  , tai
 .
 
 

ir t.t. Vienetinio ilgio vektorius kaskart nuo x ašies pasisuka po 45 laipsnius prieš laikrodžio rodyklę (kai kampas   laipsniai).

  • Pavyzdžiui turime vieno taško   koordinatę 0.6 ir turime   koordinatę 0.8. Tada  , o  . Taigi turime   ir  . Sudauginus turime: (0.6+0.8i)(0.8+0.6i)=0.48+0.36i+0.64i-0.48=i. Taigi gavome, kad x ašis yra 0, o y ašis yra 1. Taigi gavome tą patį tarsi sudėję du kampus, kur pirmas kampas yra   laipsnio, o antras kampas yra   laipnsio.
  • Pavyzdys. Duotas kampas   laipsnių, kas yra lygu  . Ir duotas kampas   laipsnių arba  . Žinome, kad pirmo taško ant vienetinio apskritimo (kurio spindulys r=1, o centras O=(0; 0)) koordinatės yra  , o antro taško koordinatės yra  . Žinome, kad   ir  . Taip pat   ir  .
Įrodysime, kad kosinuso ir sinuso formulės gautos Teiloro eilutės pagalba yra teisingos (nes kalkuliatorius kosinuso ir sinuso reikšmes skaičiuoja naudodamsis Teiloro eilute, bet galima patikrinti ir betarpiškai įstačius   reikšmę į teiloro eilutę kosinuso, tik ilgas tikrinimas gausis).

Sudėsime kampus 60 laispnių ir 15 laipnsių ir tokiu budu gausime kampą 60+15=75 laipsnių. Arba kampus galime sudėti taip:  . Dabar sudauginsime kompleksinius skaičius (sudauginsime du taškus):

 
 
 
 .
 
 
Kampas   taipogi gali būti surastas taip:
 
  • Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra   Antro taško koordinatės yra  .

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

 
 .
 , tai yra lygu 109.4122945 laipsnio.
  tai yra lygu 70.58770545 laipsnio. Ir  .
 , tai yra lygu 72.54239688 laipsnio.
 , tai yra lygu 72.54239688 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
  arba   laipsnio.


  • Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra   Antro taško koordinatės yra  .

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

 
 .
 , tai yra lygu 62.71183043 laipsnio.
  tai yra lygu 62.71183035 laipsnio.
 , tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
 , tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
  arba   laipsnio.
  • Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra   Antro taško koordinatės yra  .

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

 
 .
 , tai yra lygu 78,97203515 laipsnio.
  tai yra lygu 78,97203493 laipsnio.
 , tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
 , tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
 , tai yra lygu 53,13010235 laipsnio.
 , tai yra lygu 53,13010235 laipsnio.
  arba   laipsnio.
  • Pavyzdys. Sudėsime 3 kampus   laipsnių. Kampas   taip pat lygus   radiano. Kampo   galai yra taškai   ir   Ir  .
 
 
 , tai yra 30 laipsnių.
 , tai yra 60 laipsnių.
 , tai yra 90 laipsnių.
  • Pavyzdys. Pasinaudodami kompleksinių skaičių dalybos taisykle  , atimsime vieną kampą iš kito. Pirmo taško koordinatės yra  , o antro taško koordinatės yra  . Atimsime antrą kampą iš pirmo.
 
 
 
 .
 , tai yra lygu 16.26020471 laipsnio.
  tai yra lygu 16.26020471 laipsnio.
 , tai yra lygu 53.13010235 laipsnio.
 , tai yra lygu 53.13010235 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
  arba   laipsnio.
Pritaikę vektorių formulę dvimatėms koordinatėms, galime patikrinti, kad:
 
 
Šios vektrorių formulės dvimatėms koordinatėms (skirtos kampui atimti) išplaukia iš vektorių formulių, surasti kampui tarp dviejų vektorių:
 
 

Kompleksinių skaičių laukasKeisti

Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

 
 

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:

 

Lauke C mes turime:

  • vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
  • vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
  • atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
  • atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b):  

Kompleksinių skaičių plokštumaKeisti

Kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + bi galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačių sistema, tašką (a; b). Pagrindiniai kompleksinių skaičių veiksmai gali būti interpretuojami geometriškai: kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id gali būti sumuojami kaip dvimačiai vektoriai (a; b) ir (c; d).

Trigonometrinė formaKeisti

 
Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje.

Greta algebrinės formos ( ) dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:

 ,

Čia

 ,
 
 .

Formulė kai   yra vadinama Oilerio formule:  .

Šiuo atveju kompleksinis skaičius   turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b - y ašimi. Kampas   yra kampas tarp x ašies ir tiesės jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b).   yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).


Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formojeKeisti

Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:

 

dalyba:

 

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:

 

Šaknies traukimo operacija:

 
  - egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1) visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai   gaunamos reikšmės kartojasi.

Šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formojeKeisti

Šaknies traukimo iš kompleksinio skaičiaus formulė:
 


  • Pavyzdis. Išskaičiuosime  
Čia   ir  . Iš bendrosios šaknies formulės
 
Todėl
 
 
 
 
Nesunku matyti, kad
  visiems  
 
 
 
 

Tuo patikriname šaknies traukimą.


  • Ištraukti penkto laipsnio šaknį iš kompleksinio skaičiaus  
Sprendimas. Randame spindulį
 
Toliau taikydami formule galime užrašyti
 
Pažymėkime:
 
Dabar žinome, kad   arba   nes   ir   Arba   ir  
Dabar galime rasti visas šaknis:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Vieneto šaknysKeisti

Jei bet kuris kompleksinis skaičius, pakeltas n-tu laipsniu, lygus 1, tai jis yra to laipsnio vieneto šaknis.

 

  • Pavyzdis. Rasime šaknis ištrauktas iš  
 
 
 
 

Šaknies traukimas iš kompleksinio skaičiausKeisti

 
 
 
 
 


  •  

Patikriname:

 
 
  •  
 
  •  
 
  •  
 
  • Turime kompleksinio skaičiaus koordinates  . Šis taškas yra ant apskritimo (kurio spindulys r=1) linijos. Žinome, kad   it  . Tada
  radiano arba 36.86989765 laipsnių,
  radiano arba 36.86989765 laipsnių.
Rasime šaknį kompleksinio skaičiaus  . Taigi:
 
 
Patikriname kokį kampą su ašmi Ox sudaro gautos koordinatės esančios ant apskritimo lanko kurio spindulys r=1.
  radiano arba 18.43494883 laipsnio,
  radiano arba 18.43494882 laipsnio.
Naujai gautas kampas yra pusė pradinio kampo, nes

  laipsnio,  

Šaknies traukimo iš kompleksinio skaičiaus įrodymasKeisti

Dabar įrodysime, kad kvadratinė šaknis iš kompleksinio skaičiaus visada yra kompleksinis skaičius.

Tegu iš kompleksinio skaičiaus   turime ištraukti kvadratinę šaknį. Jei ta šaknis yra kompleksinis skaičius, tai, pažymėję jį  , turėsime:
 
 
 
Iš čia gauname lygčių sistemą:
{ 
{ 
Abi puses pakeliame kvadratu:
{ 
{ 
Sudedame dvi lygtis ir gauname:
 
 
 
 
Pridėję prie paskutinės lygties lygtį   gauname:
 
 
iš lygties   atėmę lygtį   gauname:
 
 
Iš to gauname:
 

NuorodosKeisti