Kompleksiniai skaičiai

Kompleksinis skaičius yra dviejų realiųjų skaičių pora z:

,

kur a ir brealieji skaičiai, o menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:

Nors priimta, kad , tačiau ši išraiška turi būti taikoma su tam tikromis išlygomis.

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais

keisti

Sudėtis

 

Atimtis

 ,

Daugyba

 
  •  
  •  

Dalyba

 
  •  .
  •  .

Įrodymai

keisti

Sudėtis

 

Atimtis

 ,

Daugyba

 
  •  
  •  

Dalyba

 
  •  .
  •  .

Dalybos:

 
 .
  •  .

Pavyzdys.

   .
 .
Čia gauto vektoriaus z koordinatės (x; y)=(-7, 26).
Gauto vektoriaus z ilgis : .
 ,
 .
 .

Kaip matome naujo vektoriaus z ilgį galima surasti ir be menamojo vieneto i.

 
 
 
 .

Kaip matome praktiškai visiškai tiksliai suradome naujo vektoriaus z koordinates (-7, 26), be panaudojimo menamojo vieneto savybių (i2=-1) ir menamasis vienetas atliko tik žymeklio vaidmenį.

Čia mes sudėjome du kampus per kuriuos buvo pasukti nuo x ašies abu vektoriai ((a, b) ir (c, d)). Pavyzdžiui vektorius (a, b) su x ašimi sudaro  =~68.2 laipsnių kampą, o vektorius (c, d) su x ašimi sudaro  =~36.87 laipsnių kampą. Kai mes sudauginome  , tai kampai susidėjo ir atsirado naujas vektorius kurio ilgis   ir kuris su x ašimi sudaro  =36.87+68.2=~105.07 laipsnių kampą. Kaip matome kampus galima sudėti ir be kompleksinių skaičių, o sudaugintų vektorių ilgius (  ir   bei naujo atsiradusio vektoriaus   ilgį taip pat rasti be kompleksinių skaičių (o tiksliau be menamojo vieneto i ).

Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje

keisti
  • Kompleksinių skaičių daugyba.
Aukščiau nustatėme, kad dviejų kompleksinių skaičių   ir   sandauga yra lygi
 
Sakykime, duoti du bet kokie kompleksiniai skaičiai
 
ir
 
Pagal daugybos apibrėžimą ((7.2) formulė)
 
 
Pasinaudojome trigonometrinėmis formulėmis:
 
 
Vadinasi, sudauginus du kompleksinius skaičius, jų argumentai (pasisukimo nuo ašies Ox kampai) sudedami.
Kai kampai   gauname:
 
Kai kampai   ir   gauname Muavro formulę, kai n=2:
 
Indukcijos metodu galima įrodyti Muavro formulę bet kokiam n:
 
Pastarąją forumulę galima užrašyti ir šitaip:
 


  • Muavro formulės įrodymas indukcijos metodu.
Remdamiesi kompleksinių skaičių sandaugos (7.7) formule, turime
  arba  
  arba  
  arba  
..........
  arba  


  • Kompleksinių skaičių dalyba.
Dviejų kompleksinių skaičių   ir   dalmuo yra lygus
 
Analogiškai remdamiesi (7.4) formule, įsitikiname, kad kompleksinių skaičių   ir   dalmuo   išreiškiamas šitaip (  nelygus nuliui, t. y.  ):
 
 
 
 
 
Čia pasinaudojome trigonometrinėmis formulėmis:
 
 

Muavro formulė

keisti
Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:
 


Didelę reikšmę turi vienetinio ilgio kompleksiniai skaičiai, kai r=1.

  • Kai  , tai
 .
 
 

ir t.t. Vienetinio ilgio vektorius kaskart nuo x ašies pasisuka po 45 laipsnius prieš laikrodžio rodyklę (kai kampas   laipsniai).

  • Pavyzdžiui turime vieno taško   koordinatę 0.6 ir turime   koordinatę 0.8. Tada  , o  . Taigi turime   ir  . Sudauginus turime: (0.6+0.8i)(0.8+0.6i)=0.48+0.36i+0.64i-0.48=i. Taigi gavome, kad x ašis yra 0, o y ašis yra 1. Taigi gavome tą patį tarsi sudėję du kampus, kur pirmas kampas yra   laipsnio, o antras kampas yra   laipnsio.
  • Pavyzdys. Duotas kampas   laipsnių, kas yra lygu  . Ir duotas kampas   laipsnių arba  . Žinome, kad pirmo taško ant vienetinio apskritimo (kurio spindulys r=1, o centras O=(0; 0)) koordinatės yra  , o antro taško koordinatės yra  . Žinome, kad   ir  . Taip pat   ir  .
Įrodysime, kad kosinuso ir sinuso formulės gautos Teiloro eilutės pagalba yra teisingos (nes kalkuliatorius kosinuso ir sinuso reikšmes skaičiuoja naudodamsis Teiloro eilute, bet galima patikrinti ir betarpiškai įstačius   reikšmę į teiloro eilutę kosinuso, tik ilgas tikrinimas gausis).

Sudėsime kampus 60 laispnių ir 15 laipnsių ir tokiu budu gausime kampą 60+15=75 laipsnių. Arba kampus galime sudėti taip:  . Dabar sudauginsime kompleksinius skaičius (sudauginsime du taškus):

 
 
 
 .
 
 
Kampas   taipogi gali būti surastas taip:
 
  • Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra   Antro taško koordinatės yra  .

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

 
 .
 , tai yra lygu 109.4122945 laipsnio.
  tai yra lygu 70.58770545 laipsnio. Ir  .
 , tai yra lygu 72.54239688 laipsnio.
 , tai yra lygu 72.54239688 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
  arba   laipsnio.


  • Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra   Antro taško koordinatės yra  .

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

 
 .
 , tai yra lygu 62.71183043 laipsnio.
  tai yra lygu 62.71183035 laipsnio.
 , tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
 , tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
  arba   laipsnio.
  • Pavyzdys. Pirmo taško koordinatės yra   Antro taško koordinatės yra  .

Rasime trečio taško koordinates, kai susidės šie du kampai.

 
 .
 , tai yra lygu 78,97203515 laipsnio.
  tai yra lygu 78,97203493 laipsnio.
 , tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
 , tai yra lygu 25.84193276 laipsnio.
 , tai yra lygu 53,13010235 laipsnio.
 , tai yra lygu 53,13010235 laipsnio.
  arba   laipsnio.
  • Pavyzdys. Sudėsime 3 kampus   laipsnių. Kampas   taip pat lygus   radiano. Kampo   galai yra taškai   ir   Ir  .
 
 
 , tai yra 30 laipsnių.
 , tai yra 60 laipsnių.
 , tai yra 90 laipsnių.
  • Pavyzdys. Pasinaudodami kompleksinių skaičių dalybos taisykle  , atimsime vieną kampą iš kito. Pirmo taško koordinatės yra  , o antro taško koordinatės yra  . Atimsime antrą kampą iš pirmo.
 
 
 
 .
 , tai yra lygu 16.26020471 laipsnio.
  tai yra lygu 16.26020471 laipsnio.
 , tai yra lygu 53.13010235 laipsnio.
 , tai yra lygu 53.13010235 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
 , tai yra lygu 36.86989765 laipsnio.
  arba   laipsnio.
Pritaikę vektorių formulę dvimatėms koordinatėms, galime patikrinti, kad:
 
 
Šios vektrorių formulės dvimatėms koordinatėms (skirtos kampui atimti) išplaukia iš vektorių formulių, surasti kampui tarp dviejų vektorių:
 
 


Muavro formulės panaudojimas sinuso ir kosinuso n-gubų kampų išreiškimui paprastais (viengubais)

keisti
  ir   su dideliais n patogu nustatynėti, naudojantis Muavro formule kompleksiniams skaičiams:
 
 
iš kur
 
 
Reiškinį   išdėstėme pagal Binomo formulę.


  • Pavyzdys. Išreikšime   ir   sinuso ir kosinuso laipsniais.
Pakėlę   kubu, gauname
 
arba
 
Atskyrę realiąją ir menamąją dalį, turėsime
 
 

Kompleksinių skaičių laukas

keisti

Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

 
 

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:

 

Lauke C mes turime:

  • vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
  • vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
  • atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
  • atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b):  

Kompleksinių skaičių plokštuma

keisti

Kiekvienam kompleksiniam skaičiui z = a + bi galima vienareikšmiškai priskirti plokštumos, kurioje yra Dekarto koordinačių sistema, tašką (a; b). Pagrindiniai kompleksinių skaičių veiksmai gali būti interpretuojami geometriškai: kompleksiniai skaičiai a + ib ir c + id gali būti sumuojami kaip dvimačiai vektoriai (a; b) ir (c; d).

Trigonometrinė forma

keisti
 
Kompleksiniai skaičiai trigonometrijoje.

Greta algebrinės formos ( ) dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:

 ,

Čia

 ,
 
 .

Formulė kai   yra vadinama Oilerio formule:  .

Šiuo atveju kompleksinis skaičius   turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b - y ašimi. Kampas   yra kampas tarp x ašies ir tiesės jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b).   yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).


Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje

keisti

Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:

 

dalyba:

 

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:

 

Šaknies traukimo operacija:

 
  - egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1) visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai   gaunamos reikšmės kartojasi.

Šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje

keisti
Šaknies traukimo iš kompleksinio skaičiaus formulė:
 


  • Pavyzdis. Išskaičiuosime  
Čia   ir  . Iš bendrosios šaknies formulės
 
Todėl
 
 
 
 
Nesunku matyti, kad
  visiems  
 
 
 
 

Tuo patikriname šaknies traukimą.


  • Ištraukti penkto laipsnio šaknį iš kompleksinio skaičiaus  
Sprendimas. Randame spindulį
 
Toliau taikydami formule galime užrašyti
 
Pažymėkime:
 
Dabar žinome, kad   arba   nes   ir   Arba   ir   Bet kadangi realioji dalis neigiama tai   o ne  
Dabar galime rasti visas šaknis:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


  • Ištraukti kubinę šaknį iš   ir   kai   ir  
Gauname
 
 
 
Surandame vektoriaus ilgį r (tiek a tiek b ilgis r vienodas):
 
Padalinę a ir br gausime normalizuotus a ir b [tipo vektorius]:
 
 
Atėjo laikas išsiaiškinti kokiuose vienetinio apskritimo ketvirčiuose guli vektoriai   ir   (kiek laipsnių vektoriai   ir   pasisukę prieš laikrodžio rodyklę nuo ašies Ox).
Vektoriaus   realioji dalis yra su minuso ženklu, o menamoji dalis su pliuso ženklu. Todėl vektoriaus   realioji dalis yra   ir iš to galima pasakyti, kad vektorius   yra arba antrame arba trečiame ketvirtyje. Bet menamoji vektoriaus   dalis yra teigiama, todėl vektorius   guli antrame ketvirtyje.  
  laipsnių.
  laipsnių.
Vektorius   yra antrame ketvirtyje, todėl   laipsnių.
Vektorius   yra trečiame ketvirtyje, nes realioji dalis ir menamoji dalis yra neigiamos. Trečias ketvirtis yra nuo 180 laipsnių iki 270 laipsnių, todėl   negali būti   laipsnių. Tačiau  
  laipsnių (arba 360-19.760326976=340.239673024 laipsnių). Kadangi vektorius   guli trečiame ketvirtyje, tai   laipsnių (arba   radianų).
Pažymėkime
 
 
Tada žinodami, kad   (0, 1, 2) ir   gauname
 
 
 
 
 
 
Radome trys a šaknis. Analogiškai randame trys b šaknis:
 
 
 
 
 
 
Kubinės lygties   sprendinys turėtų būti  , bet kadangi
 
tai mes turime sudėti rastas   ir   reikšmes taip, kad menamosios dalys pasinaikintų ir liktų tik 3 realieji sprendiniai. Tokiu budu gauname trys realiuosius lygties   sprendinius:
 
 
 
Arba tiesiog realiąsias dalis padauginti iš 2, o menamąsias dalis ignoruoti. Nes, pavyzdžiui,   ir   yra jungtiniai kompleksiniai skaičiai, kaip ir kitos dvi poros.
Daugiau apie kubinės lygties sprendimą žiūrėti čia https://lt.wikibooks.org/wiki/Diskriminantas#Kubinės_lygties_sprendimas_Kordano_metodu

Vieneto šaknys

keisti

Jei bet kuris kompleksinis skaičius, pakeltas n-tu laipsniu, lygus 1, tai jis yra to laipsnio vieneto šaknis.

 

  • Pavyzdis. Rasime šaknis ištrauktas iš  
 
 
 
 

Šaknies traukimas iš kompleksinio skaičiaus

keisti
 
 
 
 
 


  •  

Patikriname:

 
 
  •  
 
  •  
 
  •  
 
  • Turime kompleksinio skaičiaus koordinates  . Šis taškas yra ant apskritimo (kurio spindulys r=1) linijos. Žinome, kad   it  . Tada
  radiano arba 36.86989765 laipsnių,
  radiano arba 36.86989765 laipsnių.
Rasime šaknį kompleksinio skaičiaus  . Taigi:
 
 
Patikriname kokį kampą su ašmi Ox sudaro gautos koordinatės esančios ant apskritimo lanko kurio spindulys r=1.
  radiano arba 18.43494883 laipsnio,
  radiano arba 18.43494882 laipsnio.
Naujai gautas kampas yra pusė pradinio kampo, nes

  laipsnio,  

Šaknies traukimo iš kompleksinio skaičiaus įrodymas

keisti

Dabar įrodysime, kad kvadratinė šaknis iš kompleksinio skaičiaus visada yra kompleksinis skaičius.

Tegu iš kompleksinio skaičiaus   turime ištraukti kvadratinę šaknį. Jei ta šaknis yra kompleksinis skaičius, tai, pažymėję jį  , turėsime:
 
 
 
Iš čia gauname lygčių sistemą:
{ 
{ 
Abi puses pakeliame kvadratu:
{ 
{ 
Sudedame dvi lygtis ir gauname:
 
 
 
 
Pridėję prie paskutinės lygties lygtį   gauname:
 
 
iš lygties   atėmę lygtį   gauname:
 
 
Iš to gauname:
 
Šios gautos   ir   reikšmės turi tenkinti pirmos sistemos antrą lygtį   Todėl jei   teigiamas skaičius, tai   ir   reikia imti su tais pačiais ženklais, o jeigu   yra neigiamas skaičius, tai   ir   reikia imti su priešingais ženklais.

Kompleksinio skaičiaus argumentas

keisti
Kompleksinio skaičiaus z argumentas   nusako kiek laipsnių (arba radianų) kompleksinio skaičiaus taškas (arba vektorius) pasisukęs nuo teigiamos Ox ašies prieš laikrodžio rodyklę ir žymimas
 
Pavyzdžiui, jei   tai
 
Jei   tai
 
 
 
Jei duoti du kompleksiniai skaičiai   ir   tai
 
 

Pavyzdžiai

keisti
  • Duoti du normalizuoti kompleksiniai skaičiai:
 
 
(normalizuoti reiškia, kad jų ilgiai lygūs  ; gal reikėtų sakyti, normuoti, arba vienetinio ilgio).
Rasime   ir  
 
 
Taigi, gavome   laipsnių ir   laipsniai.


  • Apskaičiuoti   argumentą  
Sprendimas.
 
 

Jungtiniai kompleksiniai skaičiai

keisti
Kompleksinio skaičiaus   jungtinis kompleksinis skaičius yra   Savaime aišku, kompleksinis skaičius lygus nuliui tada ir tik tada, kai jo jungtinis skaičius lygus nuliui.
Pavyzdžiai
  • Kompleksiniai skaičiai   ir   yra jungtiniai (vienas kito atžvilgiu).
  • Kompleksinio skaičiaus   jungtinis kompleksinis skaičius yra  


Suma ir sandauga jungtinių kompleksinių skaičių yra realieji skaičiai. Iš tiesu,
 
 
Jungtinių kompleksinių skaičių savybės
1)   nes
 
 
2)   nes
 
 
3)   nes
 
 
4)   nes
 
 


Jeigu skaičius   kokiu nors budu išreikštas per kompleksinius skaičius   taikant sudėtį, daugybą, atimtį ir dalybą, tai pakeičiant visus skaičius   į jiems jungtinius (pakeičiant   į  ), mes gausime skaičių jungtinį skaičiui   (gausime  ).


Svarbios nelygybės

keisti
Kompleksinio skaičiaus   modulis yra jo (vektoriaus) ilgis ir lygus
 
Dviejų kompleksinių skaičių sandaugos modulis lygus tų kompleksinių skaičių modulių sandaugai. T. y., jei duoti du kompleksiniai skaičiai   ir   tai
 
Ši lygybė išplaukia iš kompleksinių skaičių daugybos trigonometrinėje formoje. Iš tikro, jei duoti du kompleksiniai skaičiai   ir   tai     ir   nes
 
Iš to, pavzdžiui, seka tokios lygybės:   (čia a ir z yra kompleksiniai skaičiai).
 
1 pav. OB < OA + AB.
Kompleksinių skaičių sumos moduliui yra tokios svarbios nelygybės:
 
t. y. sumos modulis dviejų kompleksinių skaičių mažesnis arba lygus sumai modulių dėmenų, bet didesnis arba lygus skirtumui šitų modulių. (11) nelygybė išplaukia iš žinomos teoremos elementariosios geometrijos apie trikampio kraštines žinant, kad   lygus lygiagretainio įsitrižainei su kraštinėmis   ir  
Iš 1 paveikslėlio matyti, kad   ir   vektorių ilgių suma yra didesnė už vektoriaus   ilgį (t. y.   arba OB < OA + AB).
(11) nelygybėse lygybės ženklas gali būti gautas tik kai     ir 0 guli ant vienos tiesės.
Iš (11), atsižvelgiant į tai, kad   ir
 
išplaukia taip pat nelygybės
 
t. y. skirtumo moduliui tinka tokios pat nelygybės kaip ir sumos moduliui.
Nelygybes (11) galima buvo gauti taip pat štai tokiu budu. Tegu     ir tegu trigonometrinė forma skaičiaus   yra   Sudėdami atskirai realiąsias ir atskirai menamąsias dalis, gauname:
 
 
padaugindami abi dalis pirmos lygybės iš   abi dalis antros lygybės — iš   ir sudedami, gauname:
 
t. y.
 
Iš čia, kadangi kosinusas niekada nebūna daugiau už vientetą, seka nelygybė   t. y.  
Iš kitos pusės,
 
Iš čia, pagal įrodyta ir iš (12),
[   ]
  (  modulyje   mažiau gali sumažint [ ] nei pridėti pats   modulis  )
iš kur  
Tenka pastebėti, kad kompleksiniams skaičiams supratimai "daugiau" ir "mažiau" negali būti protingai nustatyti, nes šitie skaičiai, skirtingai nei realieji skaičiai, yra ne ant tiesios linijos, kurios taškai aiškiu budu sutvarkyti, o ant plokštumos. Todėl pačius kompleksinius skaičius (o ne jų modulius) niekada negalima sujunginėti nelygybės ženklais.


Šios nelygybės reikalingos įrodinėjant pagrindinę algebros teoremą. Pagrindinė algebros teorema kompleksinių skaičių yra tokia:
Bet koks polinomas su bet kokiais skaitiniais koeficientais, laipsnis kurio ne mažesnis už vienetą, turi bent vieną šaknį, bendru atveju kompleksinę.

Nuorodos

keisti