Matematika/Apibrėžtinis integralas: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
Naujas puslapis: == Rymano integralo savybės == Rymano integralas pasižymi tokiomis savybėmis, kurias gana lengva suprasti, laikant integralą plotu. * <math>\int_a^a f(x) \mathsf{d}x = 0.</mat... |
|||
32 eilutė:
==Pavyzdžiai==
* <math>\int_0^1{e^x dx\over 4e^{2x}+12e^x+34} =\int_1^e{dt \over 4t^2+12t+34}=\int_1^e{dt\over(2t+3)^2+25}={1\over 2}\int_5^{2e+3}{du\over u^2+25}=</math>
<math>={1\over 10}\arctan{u\over 5}\vert_5^{2e+3}=\frac{1}{10}\arctan{2e+3\over 5}-{\pi\over 40},</math>
kur <math>t=e^x;</math> <math>dt=e^x dx;</math> <math>a=e^0=1;</math> <math>b=e^1=e;</math> <math>u=2t+3;</math> <math>du=2dt.</math>
Apibrėžtinio integralo integravimas dalimis:
<math>\int_a^b u\;dv=uv\vert_a^b-\int_a^b v\; du.</math>
* <math>\int_0^{{\pi\over 2}}x\sin x\; dx=-x\cos x\vert_0^{{\pi\over 2}}+\int_0^{{\pi\over 2}}\cos x\; dx=\sin x\vert_0^{{\pi\over 2}}=1,</math> kur <math>x=u;</math> <math>\sin x dx=dv;</math> <math>dx=du;</math> <math>-\cos x=v.</math>
* Apskaičiuosime 100 cm ilgio strypo masę, kai jo ilginis tankis <math>\gamma(x)=2+0.001x^2</math> <math>(g/cm).</math>
<math>m=\int_0^{100}(2+0.001x^2)dx=(2x+{0.001\over 3}x^3)|_0^{100}=200+{1000\over 3}=533{1\over 3}\;(g).</math>
* <math>\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx.</math> Keičiame <math>x=\sin t,</math> <math>dx=\cos t dt.</math> Kadangi <math>\sin t=0</math>, kai <math>t=0</math> ir <math>\sin t=1,</math> kai <math>t={\pi\over 2},</math> tai
<math>\int_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\int_0^{\pi\over 2}\sqrt{1-\sin^2 t}\cos t dt=\int_0^{\pi\over 2}\cos^2 dt=\int_0^{\pi\over 2}{1+\cos(2t)\over 2}dt={\pi\over 4}+{1\over 4}\sin(2t)|_0^{\pi\over 2}={\pi\over 4}.</math>
[[Vaizdas:dvint2.PNG|thumb|Parabolės.]]
* Apskaičiuosime figūros, apribotos kreivių <math>y=x^2</math> ir <math>y=x^{1/2}</math> plotą.
:Pirmiausia turime rasti tų kreivių susikirtimo taškų abscises. Tuo tikslu sprendžiame lygtį <math>x^2=x^{1/2}</math> iš čia <math>x_1=0,</math> <math>x_2=1.</math> Tuomet
<math>S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx={2\over 3}x^{3\over 2}|_0^1-{x^3\over 3}|_0^1={2\over 3}-{1\over 3}={1\over 3}.</math>
[[Vaizdas:elipse.PNG|thumb|Elipsė.]]
* Apskaičiuokime figūros, apribotos [[Elipsė|elipse]] <math>{x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1</math> plotą.
:Apskaičiuokime plotą tos figūros dalies, kuri yra pirmajame ketvirtyje, po to gautą rezultatą padauginsime iš 4. Elipsės kanonine lygtį pakeičiame parametrinėmis lygtimis <math>x=a\cos t,</math> <math>y=\sin t.</math> Piramjame ketvirtyje ''x'' kinta nuo 0 iki ''a'', todėl ''t'' kinta nuo <math>{\pi\over 2}</math> iki 0 (tokias ''t'' reikšmes gavome, įrašę į lygtį <math>x=a\cos t</math> vietoje ''x'' jo reikšmes 0 ir ''a''). Į formulę <math>S=\int_a^b ydx</math> vietoje ''y'' įrašykime <math>y=b\sin t,</math> o vietoje <math>dx</math> įrašykime <math>d(a\cos t)=-a\sin t dt,</math> kadangi <math>x=a\cos t.</math> Tuomet
<math>S=-4\int_{\pi/2}^0 b\sin t a\sin t dt=4ab\int_0^{\pi/2}\sin^2 t dt=2ab\int_0^{\pi/2}(1-\cos(2t))dt=</math>
<math>=2ab[{\pi\over 2}-\int_0^{\pi/2}{\cos(2t)\over 2}d(2t)]=2ab[{\pi\over 2}-{\sin(2t)\over 2}|_0^{\pi/2}]=\pi ab.</math>
* Apskaičiuosime kūno, apriboto paraboloido <math>z=x^2+{3\over 2}y^2</math> ir plokštumos <math>z=4</math>, tūrį.
:Jei paraboloidą kirstume plokštuma <math>z=const,</math> tai jo pjūvyje gautume elipsę
<math>x^2+{3\over 2}y^2=z,</math>
kurios kanoninė lygtis
<math>{x^2\over z}+{y^2\over {2\over 3}z}=1.</math>
Tos elipsės pusašės lygios <math>a=\sqrt{z},\;b=\sqrt{{2z\over 3}}.</math> Kadangi <math>Q(z)=\pi ab</math> (iš ankstesnio pavyzdžio), tai <math>Q(z)=\pi\sqrt{z}\cdot\sqrt{{2z\over 3}}=\pi z\sqrt{2\over 3}.</math> Tuomet
<math>V=\int_0^4 \pi\sqrt{2\over 3}z dz=\pi\sqrt{2\over 3}\cdot {z^2\over 2}|_0^4={8\pi\sqrt{6}\over 3}.</math>
[[Vaizdas:partie.PNG|thumb|Plotas apribotas [[parabolė]]s ir [[tiesė]]s.]]
* Apskaičiuosime plotą figūros, apribotos grafikais funkcijų <math>y=f_1(x)=x</math> ir <math>y=f_2(x)=2-x^2.</math>
:Rasime abscises taškų susikirtimo tiesės <math>y=x</math> su [[parabolė|prabole]] <math>y=2-x^2.</math> Išsprendę lygtį
<math>x=2-x^2,</math> <math>-x^2-x+2=0,</math> <math>D=b^2-4ac=(-1)^2-4(-1)2=9,</math> <math>x_{1,2}={-b\pm\sqrt{D}\over 2a}={1\pm 3\over -2}=-2;1,</math> gauname <math>x_1=-2,</math> <math>x_2=1.</math> Tai ir yra integravimo ribos. Ieškomas figūros plotas pagal formulę toks:
<math>s=\int_{-2}^1[f_2(x)-f_1(x)]dx=\int_{-2}^1[(2-x^2)-x]dx=(2x-{x^3\over 3}-{x^2\over 2})|_{-2}^1=</math>
<math>=(2-{1\over 3}-{1\over 2})-(-4+{8\over 3}-2)=8-3-{1\over 2}={9\over 2}.</math>
* Tą patį plotą apribota parabole <math>y=2-x^2</math> ir tiese <math>y=x</math> apskaičiuosime paprastu budu. Surandame su ''x'' ašimi susikirtimo tašką parabolės <math>2-x^2=0,</math> <math>2=x^2,</math> <math>x=\pm\sqrt{2}.</math> Surandame plotą po parabole kai <math>-\sqrt{2}\le x\le 1:</math>
:<math>S_1=\int_{-\sqrt{2}}^1(2-x^2)dx=(2x-{x^3\over 3})|_{-\sqrt{2}}^1=2-{1\over 3}-(-2\sqrt{2}+{2\sqrt{2}\over 3})={5\over 3}+{4\sqrt{2}\over 3};</math>
:Dabar surandame plotą po parabole nuo <math>x=-2</math> iki <math>x=-2^{1/2}:</math>
<math>|S_2|=|\int_{-2}^{-\sqrt{2}}(2-x^2)dx|=|(2x-{x^3\over 3})|_{-2}^{-\sqrt{2}}|=|-2\sqrt{2}+{2\sqrt{2}\over 3}-(-4+{8\over 3})|=|-{4\sqrt{2}\over 3}+{4\over 3}|={4\sqrt{2}\over 3}-{4\over 3};</math>
: Dabar iš pirmo ploto po parabole atimame trikampio plotą:
: <math>S_V=S_1-S_{\Delta_1}={5\over 3}+{4\sqrt{2}\over 3}-{1\over 2}={7\over 6}+{4\sqrt{2}\over 3};</math>
: Apatinį (ieškomą) plotą trečiajame ketvirtyje gauname atėmę <math>|S_2|</math> iš trikampio ploto:
: <math>S_A=S_{\Delta_2}-|S_2|={2^2\over 2}-({4\sqrt{2}\over 3}-{4\over 3})={10\over 3}-{4\sqrt{2}\over 3};</math>
: Susumavę viršutinį (virš ašies ''Ox'') ieškomą plotą <math>S_V</math> ir apatinį (po ašimi ''Ox'') ieškomą plotą <math>S_A</math> gauname visą ieškomą plotą apribotą parabolės ir tiesės:
: <math>S=S_V+S_A=({7\over 6}+{4\sqrt{2}\over 3})+({10\over 3}-{4\sqrt{2}\over 3})={81\over 18}={9\over 2}.</math>
| |||