Matematika/Antrosios eilės tiesinės homogeninės diferencialinės lygtys su pastoviaisiais koeficientais: Skirtumas tarp puslapio versijų
Ištrintas turinys Pridėtas turinys
131 eilutė:
:<math>y=e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x)+C_2 \sin(\beta x)).</math>
:'''Įrodymas'''. Į lygtį <math>y''+py'+qy=0</math> įstatome <
:<math>(e^{kx})''+p(e^{kx})'+q e^{kx}=0,</math>
:<math>k^2 e^{kx}+ k p e^{kx}+q e^{kx}=0,</math>
139 eilutė:
:<math>k_2=\frac{-p-\sqrt{D}}{2}=\frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2}=\frac{-p-\sqrt{i^2(4q-p^2)}}{2}=\frac{-p-i\sqrt{4q-p^2}}{2}=-\frac{p}{2}-i\sqrt{\frac{4q-p^2}{4}}.</math>
:Taigi, gauname du sprendinius <math>k_1=\alpha+i\beta </math> ir <math>k_2=\alpha-i\beta .</math>
:Nesunku suprasti, kad jeigu vieną sprendinį (pavyzdžiui, <math>k_1=\alpha+i\beta </math>) įstatysime į reiškinį <math>y''+py'+qy</math> tai gausime nulį. Taip pat nulį gausime jei įstatysime į reiškinį <math>y''+py'+qy</math> kitą sprendinį (<math>k_2=\alpha-i\beta </math>). Įstatant <math>y=e^{k_1 x}=e^{(\alpha+i\beta)x}</math> į lygtį <math>y''+py'+qy=0,</math> gauname:
:<math>(e^{(\alpha+i\beta)x})''+p(e^{(\alpha+i\beta)x})'+q e^{(\alpha+i\beta)x}=0,</math>
:<math>(\alpha+i\beta)^2 e^{(\alpha+i\beta)x}+(\alpha+i\beta)p e^{(\alpha+i\beta)x}+q e^{(\alpha+i\beta)x}=0,</math>
:<math>(-\frac{p}{2}+i\sqrt{\frac{4q-p^2}{4}})^2 +(-\frac{p}{2}+i\sqrt{\frac{4q-p^2}{4}})p +q=0,</math>
| |||