Matematika/Vektorius

Vektorius – matematinis dydis, apibūdinamas reikšme ir kryptimi erdvėje. Grafiškai vektoriai vaizduojami tiesių atkarpomis su rodyklėmis.

Bendriausias vektoriaus pavyzdys fizikoje būtų jėga.

Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip -- vektoriumi:

$v=(v_{1},v_{2},...,v_{n})$.

kur v yra d skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija -- kiekvieną v galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį n-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais v.

Vektoriaus daugyba iš skaliaro

Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas skaliaru. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro ir gauta sandauga yra vektorius:

$cv=(cv_{1},cv_{2},...,cv_{n})$.

Dviejų vektorių suma

Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius: $v+w=(v_{1}+w_{1},v_{2}+w_{2},...,v_{n}+w_{n})$. Atkreipkite dėmesį, jog vektorinė sudėtis yra komutatyvi, t. y., v+w=w+v.

Skaliarinė vektorių sandauga

Išsamesnis straipsnis: Skaliarinė sandauga.

Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.

Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi atitikti, t. y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:

$v\cdot w=\sum _{i=1}^{n}v_{i}\cdot w_{i}=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}+...+v_{n}w_{n}.$

Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.

Pavyzdžiui, yra vektoriai a(3; 5; 6) ir b(4; 0; 1), tai jų skaliarinė sandauga bus lygi:

$a\cdot b=3\cdot 4+5\cdot 0+6\cdot 1=12+0+6=18.$

Vektoriaus ilgis

Išnagrinėkime atvejį, kai atliekama vektoriaus skaliarinė sandauga su juo pačiu. Plokštumos (2-matės erdvės) bei įprastos koordinačių sistemos atveju turėsime:

$v\cdot v=(v_{1})^{2}+(v_{2})^{2}$.

Prisiminus Pitagoro teoremą, teigiančią, jog stataus trikampio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus trikampio kraštinių ilgių kvadratų sumai, tampa natūralus toks vektoriaus ilgio apibūdinimas:

$||v||={\sqrt {v\cdot v}}$.

Atkreipkite dėmesį, jog jei nors vienas iš vektoriaus narių bus didesnis nei kiti, tai jo pakėlimas kvadratu lems viso vektoriaus ilgį.

Pavyzdžiui, vektoriaus a(3; -2; 4) ilgis (tai yra ilgis nuo taško (0; 0; 0) iki taško (3; -2; 4)):

$||a||={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}={\sqrt {3^{2}+(-2)^{2}+4^{2}}}={\sqrt {9+4+16}}={\sqrt {29}}\approx 5.385.$

Pavyzdžiui, žinomos vektoriaus pradžios A(3; 2; -4) ir galo B(6; -5; -2) koordinatės. Tada vektoriaus ilgis bus

$AB={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}={\sqrt {(6-3)^{2}+(-5-2)^{2}+(-2-4)^{2}}}=$

$={\sqrt {9+49+4}}={\sqrt {62}}\approx 7.874.$

Jeigu vektoriaus pradžios koordinatės A(0; 0; 0), o galo koordinatės B(6; -5; -2), tai vektoriaus AB ilgis bus:

$AB={\sqrt {(6-0)^{2}+(-5-0)^{2}+(-2-0)^{2}}}={\sqrt {36+25+4}}={\sqrt {65}}\approx 8.062.$

Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:

||cv||=c ||v||.

• Pavyzdžiui, vektorius a(3; -2; 4) ir skaliaras c=5. Tada ca=(15; -10; 20).

$c||a||=c{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}=5{\sqrt {3^{2}+(-2)^{2}+4^{2}}}=5{\sqrt {9+4+16}}=5{\sqrt {29}}.$

$||ca||={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}={\sqrt {15^{2}+(-10)^{2}+20^{2}}}={\sqrt {225+100+400}}={\sqrt {725}}=5{\sqrt {29}}.$

Trikampio nelygybė naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:

||v+w||<=||v||+||w||.

• Pavyzdžiui, yra vektoriai v=(3; -2; 4) ir w=(1; 5; 8). z=v+w=(3+1; -2+5; 4+8)=(4; 3; 12).

$||z||={\sqrt {4^{2}+3^{2}+12^{2}}}={\sqrt {16+9+144}}={\sqrt {169}}=13.$

$||v||={\sqrt {3^{2}+(-2)^{2}+4^{2}}}={\sqrt {29}}\approx 5.385164807.$

$||w||={\sqrt {1^{2}+5^{2}+8^{2}}}={\sqrt {1+25+64}}={\sqrt {90}}=3{\sqrt {10}}\approx 9.486832981.$

||v||+||w||=5.385164807+9.486832981=14.87199779.

$||z||=||v+w||=13\leq 14.87199779=||v||+||w||.$

Atstumas tarp vektorių

Atstumas tarp vieno vektoriaus galo ir kito vektoriaus galo (atstumas tarp dviejų taškų n-matėje koordinačių sistemoje) matuojamas pagal formulę:

$\|v-w\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(v_{i}-w_{i})^{2}}}={\sqrt {(v_{1}-w_{1})^{2}+(v_{2}-w_{2})^{2}+...+(v_{n}-w_{n})^{2}}}.$

Pavyzdžiai

• Turime vektorius v=[3, 6], w=[7, 4]. Atstumas tarp jų galų:

${\sqrt {(3-7)^{2}+(6-4)^{2}}}={\sqrt {20}}\approx 4,47.$

• Rasime trikampio, esančio trimatėje erdvėje, plotą. Trikampio viršunių koordinates (x; y; z) yra tokios: A(8; 3; -3); B(3; 2; -1); C(4; 0; -3). Dabar reikia surasti tiesių ilgius AB, AC ir BC:

$a=AB={\sqrt {(8-3)^{2}+(3-2)^{2}+(-3-(-1))^{2}}}={\sqrt {30}},$

$b=AC={\sqrt {(8-4)^{2}+(3-0)^{2}+(-3-(-3))^{2}}}=5,$

$c=BC={\sqrt {(3-4)^{2}+(2-0)^{2}+(-1-(-3))^{2}}}=3.$

Taikydami Herono formule apskaičiuojame trikampio pusperimetrį p:

$p={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {{\sqrt {30}}+5+3}{2}}\approx 13.477.$

Ir trikampio plotą S:

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\approx {\sqrt {13.477(13.477-5.477)(13.477-5)(13.477-3)}}\approx 97.855$

• Rasime trikampio plotą, kurio višunės yra taškuose A(1; 3; -2), B(2; -1; 3), C(0; 2; 4).

$a=AB={\sqrt {(1-2)^{2}+(3+1)^{2}+(-2-3)^{2}}}={\sqrt {1+16+25}}={\sqrt {42}}\approx 6.48,$

$b=AC={\sqrt {(1-0)^{2}+(3-2)^{2}+(-2-4)^{2}}}={\sqrt {1+1+36}}={\sqrt {38}}\approx 6.16,$

$c=BC={\sqrt {(2-0)^{2}+(-1-2)^{2}+(3-4)^{2}}}={\sqrt {4+9+1}}={\sqrt {14}}\approx 3.74.$

$p={\frac {{\sqrt {42}}+{\sqrt {38}}+{\sqrt {14}}}{2}}\approx 8.193406044.$

$S\approx {\sqrt {8.193406044(8.193406044-{\sqrt {42}})(8.193406044-{\sqrt {38}})(8.193406044-{\sqrt {14}})}}\approx$ $\approx {\sqrt {8.193406044\cdot 1,712665346\cdot 2,028992041\cdot 4,451748657}}={\sqrt {126,750000}}=11.25833025.$

Šio trikampio plotą galima apskaičiuoti naudojantis vektorine sandauga. AB=(2-1; -1-3; 3+2)=(1; -4; 5), AC=(0-1; 2-3; 4+2)=(-1; -1; 6). $AB\times AC={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-4&5\\-1&-1&6\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-4&5\\-1&6\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}1&5\\-1&6\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}1&-4\\-1&-1\end{vmatrix}}k=-19i-11j-5k=(-19;-11;-5).$

$\|AB\times AC\|={\sqrt {(-19)^{2}+(-11)^{2}+(-5)^{2}}}={\sqrt {507}}.$

$S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}\|AB\times AC\|={\frac {1}{2}}{\sqrt {507}}\approx 11.25833025.$

Vektoriaus projekcijos į koordinačių ašis

Vektoriaus ${\vec {a}}=(a_{x};a_{y};a_{z})$ projekcija į ašį Ox yra:

$\cos \alpha ={\frac {a_{x}}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {a_{x}}{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}}.$

Vektoriaus ${\vec {a}}=(a_{x};a_{y};a_{z})$ projekcija į ašį Oy yra:

$\cos \beta ={\frac {a_{y}}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {a_{y}}{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}}.$

Vektoriaus ${\vec {a}}=(a_{x};a_{y};a_{z})$ projekcija į ašį Oz yra:

$\cos \gamma ={\frac {a_{z}}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {a_{z}}{\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}}.$

Tada $\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1.$

Vectoriaus ${\vec {a}}=(a_{x};a_{y};a_{z})$ ortas yra:

${\vec {a}}^{o}={\frac {\vec {a}}{\|{\vec {a}}\|}}=({\frac {a_{x}}{\|{\vec {a}}\|}};{\frac {a_{y}}{\|{\vec {a}}\|}};{\frac {a_{z}}{\|{\vec {a}}\|}})=(\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma ).$

Projekcija vieno vektoriaus į kitą vektorių

Vektoriaus a projekcija vektoriuje b yra lygi

$pr_{\vec {b}}{\vec {a}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\|{\vec {b}}\|}}.$

• Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(3; 4), b=(6; 0). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:

$pr_{\vec {b}}{\vec {a}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {3\cdot 6+4\cdot 0}{\sqrt {0^{2}+6^{2}}}}={\frac {18}{\sqrt {36}}}={\frac {18}{6}}=3.$

• Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(3; 4), b=(0; 6). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:

$pr_{\vec {b}}{\vec {a}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {3\cdot 0+4\cdot 6}{\sqrt {0^{2}+6^{2}}}}={\frac {24}{\sqrt {36}}}={\frac {24}{6}}=4.$

• Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(6; 0), b=(3; 4). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:

$pr_{\vec {b}}{\vec {a}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {6\cdot 3+0\cdot 4}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}={\frac {18}{\sqrt {25}}}={\frac {18}{5}}=3.6.$

• Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(0; 6), b=(3; 4). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:

$pr_{\vec {b}}{\vec {a}}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {0\cdot 3+6\cdot 4}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}}={\frac {24}{\sqrt {25}}}={\frac {24}{5}}=4.8.$

• Randame projekcija vektoriaus AD={4; 4; -6} vektoriuje AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, tos projekcijos ilgis yra AE. Gauname:

$AE=pr_{\vec {AG}}{\vec {AD}}={\frac {{\vec {AD}}\cdot {\vec {AG}}}{\|{\vec {AG}}\|}}={\frac {4\cdot (-0.16178814)+4\cdot 1.49809435+(-6)\cdot 0.093183585}{\sqrt {(-0.16178814)^{2}+1.49809435^{2}+0.093183585^{2}}}}=$

$={\frac {-0.64715256+5.9923774-0.55910151}{\sqrt {0.026175402+2.244286682+0.00868318}}}={\frac {4.78612333}{\sqrt {2.279145264}}}={\frac {4.78612333}{1.509683829}}=3.170281908.$

Pusiaukampinė tarp vektorių

Jei duoti vektoriai a=OA ir b=OB, tai pusiaukampinės ON=c (arba tiesiog, taško N koordinatės, kai taškas O(0; 0; 0)) koordinatės yra:

${\vec {c}}={\frac {\vec {a}}{\|{\vec {a}}\|}}+{\frac {\vec {b}}{\|{\vec {b}}\|}}.$

Vektoriaus a ortas yra ${\frac {\vec {a}}{\|{\vec {a}}\|}}.$

Vektoriaus ON ortas yra:

${\frac {{\frac {\vec {a}}{\|{\vec {a}}\|}}+{\frac {\vec {b}}{\|{\vec {b}}\|}}}{\|{\frac {\vec {a}}{\|{\vec {a}}\|}}+{\frac {\vec {b}}{\|{\vec {b}}\|}}\|}}.$

Vektoriaus ortas ir vektorius yra vienakrypčiai, tačiau vektoriaus orto ilgis lygus 1.

$\|{\frac {{\frac {\vec {a}}{\|{\vec {a}}\|}}+{\frac {\vec {b}}{\|{\vec {b}}\|}}}{\|{\frac {\vec {a}}{\|{\vec {a}}\|}}+{\frac {\vec {b}}{\|{\vec {b}}\|}}\|}}\|=1.$

Vektorių a ir b ortų ilgiai lygus vienam, $\|{\frac {\vec {a}}{\|{\vec {a}}\|}}\|=1;\,\,\,\|{\frac {\vec {b}}{\|{\vec {b}}\|}}\|=1.$

Vektorių padauginus iš skaliaro, vektroriaus ilgis pasikeičia, o kryptis išlieka ta pati.

• Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(5; 3), b=(4; 20). Pusiaukampinė yra:

${\vec {c}}={\frac {\vec {a}}{\|{\vec {a}}\|}}+{\frac {\vec {b}}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {5i+3j}{\sqrt {5^{2}+3^{2}}}}+{\frac {4i+20j}{\sqrt {4^{2}+20^{2}}}}={\frac {5i+3j}{\sqrt {25+9}}}+{\frac {4i+20j}{\sqrt {16+400}}}={\frac {5i}{\sqrt {34}}}+{\frac {3j}{\sqrt {34}}}+{\frac {4i}{\sqrt {416}}}+{\frac {20j}{\sqrt {416}}}=$

$={\frac {5{\sqrt {416}}+4{\sqrt {34}}}{{\sqrt {34}}\cdot {\sqrt {416}}}}i+{\frac {3{\sqrt {416}}+20{\sqrt {34}}}{{\sqrt {34}}\cdot {\sqrt {416}}}}j={\frac {5\cdot 4{\sqrt {26}}+4{\sqrt {34}}}{{\sqrt {34}}\cdot 4{\sqrt {26}}}}i+{\frac {3\cdot 4{\sqrt {26}}+20{\sqrt {34}}}{{\sqrt {34}}\cdot 4{\sqrt {26}}}}j=$

$={\frac {5{\sqrt {26}}+{\sqrt {34}}}{{\sqrt {34}}\cdot {\sqrt {26}}}}i+{\frac {3{\sqrt {26}}+5{\sqrt {34}}}{{\sqrt {34}}\cdot {\sqrt {26}}}}j={\frac {5{\sqrt {26}}+{\sqrt {34}}}{\sqrt {884}}}i+{\frac {3{\sqrt {26}}+5{\sqrt {34}}}{\sqrt {884}}}j=$

$=0.857492925i+0.514495755j+0.196116135i+0.980580675j=1.053609061i+1.495076431j=(1.053609061;1.495076431).$

Jei yra taškai O(0; 0), A(5; 3), B(4; 20), tai taškas N(1.053609061; 1.495076431) su tašku O(0; 0) sudaro tiesę ON, kuri yra pusiaukampinė tarp tiesių OA ir OB.

Randame kampą tarp tiesių ON ir OB.

$\cos \phi _{1}={\frac {{\vec {c}}\cdot {\vec {b}}}{\|{\vec {c}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|}}={\frac {1.053609061\cdot 4+1.495076431\cdot 20}{{\sqrt {1.05360906^{2}+1.495076431^{2}}}\cdot {\sqrt {4^{2}+20^{2}}}}}={\frac {4.214436243+29.90152862}{{\sqrt {3.345345588}}\cdot {\sqrt {416}}}}=$

$={\frac {34.11596487}{37.30500991}}=0.914514295.$

$={\frac {83}{{\sqrt {155}}\cdot {\sqrt {117}}}}={\frac {83}{\sqrt {18135}}}={\frac {83}{134.6662541}}=0.616338521.$

$\phi _{1}=\arccos(0.912101751)=0.416490632$ arba 23.86315547 laipsnio.

Randame kampą tarp tiesių OA ir OB, gauname:

$\cos \phi _{2}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|}}={\frac {5\cdot 4+3\cdot 20}{{\sqrt {5^{2}+3^{2}}}\cdot {\sqrt {4^{2}+20^{2}}}}}={\frac {20+60}{{\sqrt {34}}\cdot {\sqrt {416}}}}={\frac {80}{\sqrt {14144}}}=0.672672794.$

$\phi _{2}=\arccos {\frac {80}{\sqrt {14144}}}=\arccos(0.672672794)=0.832981266$ arba 47.72631099 laipsnių. Palyginimui, $2\phi _{1}=2\cdot 0.416490632=0.832981265.$

• Rasime pusiaukampinę kampo tarp vektorių AB ir AC. Sudėję šių vektorių ortus gausime naują vektorių AG, kurio koordinatės yra:

${\vec {AG}}={\frac {\vec {AB}}{\|{\vec {AB}}\|}}+{\frac {\vec {AC}}{\|{\vec {AC}}\|}}={\frac {2i+3j+1k}{\sqrt {2^{2}+3^{2}+1^{2}}}}+{\frac {-4i+4j-1k}{\sqrt {(-4)^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}}}={\frac {2i+3j+1k}{\sqrt {4+9+1}}}+{\frac {-4i+4j-1k}{\sqrt {16+16+1}}}=$

$={\frac {2i+3j+1k}{\sqrt {14}}}+{\frac {-4i+4j-1k}{\sqrt {33}}}={\frac {2i}{\sqrt {14}}}+{\frac {-4i}{\sqrt {33}}}+{\frac {3j}{\sqrt {14}}}+{\frac {4j}{\sqrt {33}}}+{\frac {k}{\sqrt {14}}}+{\frac {-k}{\sqrt {33}}}={\frac {2{\sqrt {33}}-4{\sqrt {14}}}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {33}}}}i+{\frac {3{\sqrt {33}}+4{\sqrt {14}}}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {33}}}}j+{\frac {{\sqrt {33}}-{\sqrt {14}}}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {33}}}}k=$

$={\frac {2{\sqrt {33}}-4{\sqrt {14}}}{\sqrt {462}}}i+{\frac {3{\sqrt {33}}+4{\sqrt {14}}}{\sqrt {462}}}j+{\frac {{\sqrt {33}}-{\sqrt {14}}}{\sqrt {462}}}k=-0.16178814i+1.49809435j+0.093183585k.$

Rasime kampą tarp vektoriaus AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir vektoriaus AB={2; 3; 1}. Taigi,

$\cos \phi _{1}={\frac {-0.16178814\cdot 2+1.49809435\cdot 3+0.093183585\cdot 1}{{\sqrt {(-0.16178814)^{2}+1.49809435^{2}+0.093183585^{2}}}\cdot {\sqrt {2^{2}+3^{2}+1^{2}}}}}=$

$={\frac {-0.32357628+4.49428305+0.093183585}{{\sqrt {0.026175402+2.244286682+0.00868318}}\cdot {\sqrt {4+9+1}}}}={\frac {4.263890355}{{\sqrt {2.279145264}}\cdot {\sqrt {14}}}}={\frac {4.263890355}{\sqrt {31.9080337}}}={\frac {4.263890355}{5.648719651}}=0.754841914.$

$\phi _{1}=\arccos(0.754841914)=0.715383259$ radiano arba 40.98844149 laipsnio.

Patikrinimui, rasime kampą tarp vektoriaus AC={-4; 4; -1} ir AB={2; 3; 1}, taigi

$\cos \phi _{2}={\frac {(-4)\cdot 2+4\cdot 3+(-1)\cdot 1}{{\sqrt {(-4)^{2}+4^{2}+(-1)^{2}}}\cdot {\sqrt {2^{2}+3^{2}+1^{2}}}}}={\frac {-8+12-1}{{\sqrt {16+16+1}}\cdot {\sqrt {4+9+1}}}}={\frac {3}{{\sqrt {33}}\cdot {\sqrt {14}}}}={\frac {3}{\sqrt {462}}}=0.139572631.$

$\phi _{2}=\arccos {\frac {3}{\sqrt {462}}}=1.430766518$ radiano arba 81,97688296 laipsnio. Patikriname, kad $\phi _{2}=2\cdot \phi _{1}=2\cdot 40.98844149=81.97688298.$

Kampo tarp vektorių radimas su kosinusu

Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:

$\cos \phi ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{||\mathbf {a} ||\cdot ||\mathbf {b} ||}}$.

$\phi =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{||\mathbf {a} ||\cdot ||\mathbf {b} ||}}.$

Remiantis šia formule tampa akivaizdu kodėl yra sakoma, jog skaliarinė vektorių sandauga parodo vektorių atitikimą (panašumą) vienas kitam.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =||\mathbf {a} ||\cdot ||\mathbf {b} ||\cdot \cos \phi .$

• Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4).

$\cos \phi ={\frac {a\cdot b}{||a||\cdot ||b||}}={\frac {1\cdot 3+(-2)\cdot 0+2\cdot (-4)}{{\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}\cdot {\sqrt {3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}}}}={\frac {3-8}{{\sqrt {1+4+4}}\cdot {\sqrt {9+0+16}}}}=$

$={\frac {-5}{{\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {25}}}}={\frac {-5}{3\cdot 5}}=-{\frac {1}{3}}.$

$\phi =\arccos {\frac {-1}{3}}=1.910633236$ arba 109,4712206 laipsnių.

Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas $\phi$ surastas teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus

$f={\sqrt {(1-3)^{2}+(-2-0)^{2}+(2-(-4))^{2}}}={\sqrt {4+4+36}}={\sqrt {44}}=2{\sqrt {11}}=6.633249581.$

Iš kosinusų teoremos žinome, kad $f^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\phi )$;

$\cos \phi ={f^{2}-a^{2}-b^{2} \over -2ab}={(2{\sqrt {11}})^{2}-3^{2}-5^{2} \over -2\cdot 3\cdot 5}={44-9-25 \over -30}={10 \over -30}=-{1 \over 3}.$

• Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0).

$\cos \phi ={\frac {a\cdot b}{||a||\cdot ||b||}}={\frac {1\cdot 3+(-2)\cdot 0+0\cdot 0}{{\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}}}\cdot {\sqrt {3^{2}+0^{2}}}}}={\frac {3}{{\sqrt {1+4}}\cdot {\sqrt {9+0}}}}=$

$={\frac {3}{{\sqrt {5}}\cdot 3}}={1 \over {\sqrt {5}}}=0,447213595.$

$\phi =\arccos {1 \over {\sqrt {5}}}=1.107148718$ arba 63,43494882 laipsnių.

• Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(3; 5; 11), b=(7; 8; 2).

$\cos \phi ={\frac {a\cdot b}{||a||\cdot ||b||}}={\frac {3\cdot 7+5\cdot 8+11\cdot 2}{{\sqrt {3^{2}+5^{2}+11^{2}}}\cdot {\sqrt {7^{2}+8^{2}+2^{2}}}}}={\frac {21+40+22}{{\sqrt {9+25+121}}\cdot {\sqrt {49+64+4}}}}=$

$={\frac {83}{{\sqrt {155}}\cdot {\sqrt {117}}}}={\frac {83}{\sqrt {18135}}}={\frac {83}{134.6662541}}=0.616338521.$

$\phi =\arccos(0.616338521)=0.906711738$ arba 51.95075583 laipsnių.

Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas $\phi$ surastas teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(3; 5; 11) iki taško b=(7; 8; 2) yra lygus

$f={\sqrt {(3-7)^{2}+(5-8)^{2}+(11-2)^{2}}}={\sqrt {16+9+81}}={\sqrt {106}}=10.29563014.$

Iš kosinusų teoremos žinome, kad $f^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\phi )$;

$\cos \phi ={f^{2}-a^{2}-b^{2} \over -2ab}={({\sqrt {106}})^{2}-({\sqrt {155}})^{2}-({\sqrt {117}})^{2} \over -2\cdot {\sqrt {155}}\cdot {\sqrt {117}}}={106-155-117 \over -2{\sqrt {18135}}}={-166 \over -2{\sqrt {18135}}}=$

$={83 \over {\sqrt {18135}}}=0.616338521.$

• Rasti, kampą tarp vektoriaus ${\vec {a}}=\{1;1;1\}$ ir vektoriaus ${\vec {a}}'=\{2;3;-4\}.$

$\cos \alpha ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}'}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {a}}'\|}}={\frac {1\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot (-4)}{{\sqrt {1^{2}+1^{2}+1^{2}}}\cdot {\sqrt {2^{2}+3^{2}+(-4)^{2}}}}}={\frac {2+3-4}{{\sqrt {1+1+1}}\cdot {\sqrt {4+9+16}}}}=$

$={\frac {1}{{\sqrt {3}}\cdot {\sqrt {29}}}}={\frac {1}{\sqrt {87}}}={\frac {1}{9.327379053}}=0.107211253.$

$\alpha =\arccos {\frac {1}{\sqrt {87}}}=\arccos(0.107211253)=1.463378618$ arba 83.84541865 laipsniai.

• Įrodyti, kad kampas tarp vektoriaus ${\vec {a}}=\{2;2t;-t^{2}\}$ orto ${\vec {a}}^{\circ }=\{{\frac {2}{2+t^{2}}};{\frac {2t}{2+t^{2}}};{\frac {-t^{2}}{2+t^{2}}}\}$ ir vektoriaus ${\vec {a}}$ orto išvestinės lygus 90 laipsnių, kai parametras $t=1$.

$\|{\vec {a}}\|={\sqrt {2^{2}+(2t)^{2}+(-t^{2})^{2}}}={\sqrt {4+4t^{2}+t^{4}}}={\sqrt {(t^{2}+2)^{2}}}=t^{2}+2.$

Sprendimas.

Vektoriaus ${\vec {a}}^{\circ }$ išvestinė yra:

$({\vec {a}}^{\circ })'=\{({\frac {2}{2+t^{2}}})';({\frac {2t}{2+t^{2}}})';({\frac {-t^{2}}{2+t^{2}}})'\}=\{-{\frac {2\cdot 2t}{(2+t^{2})^{2}}};{\frac {2(2+t^{2})-2t\cdot 2t}{(2+t^{2})^{2}}};{\frac {-2t(2+t^{2})-(-t^{2})\cdot 2t}{(2+t^{2})^{2}}}\}=$

$=\{{\frac {-4t}{(2+t^{2})^{2}}};{\frac {4-2t^{2}}{(2+t^{2})^{2}}};{\frac {-4t}{(2+t^{2})^{2}}}\}.$

Randame vektorių reikšmes taške $M_{1}(1;1;1)$:

${\vec {a}}^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {2}{2+1^{2}}};{\frac {2\cdot 1}{2+1^{2}}};{\frac {-1^{2}}{2+1^{2}}}\}=\{{\frac {2}{3}};{\frac {2}{3}};{\frac {-1}{3}}\};$

$({\vec {a}}^{\circ })'|_{t=1}=\{{\frac {-4\cdot 1}{(2+1^{2})^{2}}};{\frac {4-2\cdot 1^{2}}{(2+1^{2})^{2}}};{\frac {-4\cdot 1}{(2+1^{2})^{2}}}\}=\{{\frac {-4}{9}};{\frac {2}{9}};{\frac {-4}{9}}\}.$

Randame kampą tarp vektoriaus ${\vec {a}}^{\circ }$ ir vektoriaus $({\vec {a}}^{\circ })'$ taške $M_{1}(1;1;1)$:

$\cos \alpha ={\frac {{\vec {a}}^{\circ }|_{t=1}\cdot ({\vec {a}}^{\circ })'|_{t=1}}{\|{\vec {a}}^{\circ }|_{t=1}\|\cdot \|({\vec {a}}^{\circ })'|_{t=1}\|}}={\frac {{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {-4}{9}}+{\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{9}}+{\frac {-1}{3}}\cdot {\frac {-4}{9}}}{{\sqrt {({\frac {2}{3}})^{2}+({\frac {2}{3}})^{2}+({\frac {-1}{3}})^{2}}}\cdot {\sqrt {({\frac {-4}{9}})^{2}+({\frac {2}{9}})^{2}+({\frac {-4}{9}})^{2}}}}}={\frac {{\frac {-8}{27}}+{\frac {4}{27}}+{\frac {4}{27}}}{{\sqrt {{\frac {4}{9}}+{\frac {4}{9}}+{\frac {1}{9}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {16}{81}}+{\frac {4}{81}}+{\frac {16}{81}}}}}}=$

$={\frac {0}{{\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {\frac {36}{81}}}}}={\frac {0}{1\cdot {\frac {6}{9}}}}={\frac {0}{\frac {2}{3}}}=0.$

$\alpha =\arccos(0)={\frac {\pi }{2}}=1.570796327$ arba 90 laipsnių.

• Duota kreivė užrašyta parametrinėmis lygtimis

$x=\phi (t)=t,\quad y=\psi (t)=t^{2},\quad z=\omega (t)=t^{3}.$

Rasti:

a) kreivės liestinės vektorių;

b) normalizuotą kreivės liestinės vektorių (ortą);

c) kreivės normalės vektorių iš normalizuoto liestinės vektoriaus;

d) kampą tarp liestinės orto (vektoriaus) ir normalės vektoriaus, kai parametro t reikšmė lygi 1 (kai $t=1$);

e) kampą tarp liestinės vektoriaus ir normalės vektoriaus, kai $t=1$, naudojantis normalės vektororiaus formule $\mathbf {n} =\{{\frac {1}{\pm \phi '(t)}};{\frac {1}{\pm \psi '(t)}};{\frac {1}{\pm \omega '(t)}}\},$ kuri šiai kreivei yra $\mathbf {n} =\{{\frac {2}{-3\phi '(t)}};{\frac {1}{3\psi '(t)}};{\frac {1}{3\omega '(t)}}\};$ padauginti iš ${\frac {2}{3}}$ reikia tą funkciją, kurios rodiklis ant t mažiausias; kadangi $x=\phi (t)$ reikia prilyginti t, jei $\phi (t)$ turi mažiausią rodiklį virš t, tai gaunasi, kad parametro t ir $\phi (t)$ reikšmė nekinta (funkcijos $\phi (t)=t$ kitimo greitis visose taškuose lygus nuliui, nes $\phi '(t)=t'=1$), bet linija vis tiek kyla aukštyn, todėl tą linijos kilimą reikia kompensuoti ${\frac {1}{3}}$ (nes trys koordinačių ašys), kad tikrai būtų liestinės normalė, bet taip padaryti galima tik padarius $1/\phi '(t)$ reikšmę viena trečiąja didesne.

f) kampą tarp liestinės vektoriaus ir normalės vektoriaus, kai $t=5$, naudojantis normalės vektororiaus formule $\mathbf {n} =\{{\frac {2}{-3\phi '(t)}};{\frac {1}{3\psi '(t)}};{\frac {1}{3\omega '(t)}}\}.$

Sprendimas.

a) Kreivės liestinės vektorius yra

$\mathbf {a} =\{t';(t^{2})';(t^{3})'\}=\{1;2t;3t^{2}\}.$

b) Vektoriaus $\mathbf {a}$ ilgis yra:

$\|\mathbf {a} \|={\sqrt {1^{2}+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}}}={\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}.$

Kreivės liestinės normalizuotas vektorius yra šis:

$\mathbf {a} ^{\circ }={\frac {\mathbf {a} }{\|\mathbf {a} \|}}=\{{\frac {1}{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}};{\frac {2t}{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}};{\frac {3t^{2}}{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}}\};$

jo reikšmė, kai $t=1$ yra

$\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {1}{\sqrt {1+4+9}}};{\frac {2}{\sqrt {1+4+9}}};{\frac {3}{\sqrt {1+4+9}}}\},$

$\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {1}{\sqrt {14}}};{\frac {2}{\sqrt {14}}};{\frac {3}{\sqrt {14}}}\}=\{0.267261241;0.534522483;0.801783725\}.$

c) Kreivės normalės vektorius yra liestinės vektoriaus orto išvestinė:

$\mathbf {n} =(\mathbf {a} ^{\circ })'=\{({\frac {1}{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}})';({\frac {2t}{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}})';({\frac {3t^{2}}{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}})'\},$

$\mathbf {n} =\{-{\frac {(1+4t^{2}+9t^{4})'}{2{\sqrt {(1+4t^{2}+9t^{4})^{3}}}}};{\frac {(2t)'{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}-2t({\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}})'}{({\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}})^{2}}};{\frac {(3t^{2})'{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}-3t^{2}({\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}})'}{({\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}})^{2}}}\},$

$\mathbf {n} =\{-{\frac {8t+36t^{3}}{2{\sqrt {(1+4t^{2}+9t^{4})^{3}}}}};{\frac {2{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}-2t\cdot {\frac {(1+4t^{2}+9t^{4})'}{2{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}}}}{1+4t^{2}+9t^{4}}};{\frac {6t{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}-3t^{2}\cdot {\frac {(1+4t^{2}+9t^{4})'}{2{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}}}}{1+4t^{2}+9t^{4}}}\},$

$\mathbf {n} =\{-{\frac {8t+36t^{3}}{2{\sqrt {(1+4t^{2}+9t^{4})^{3}}}}};{\frac {2{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}-2t\cdot {\frac {8t+36t^{3}}{2{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}}}}{1+4t^{2}+9t^{4}}};{\frac {6t{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}-3t^{2}\cdot {\frac {8t+36t^{3}}{2{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}}}}{1+4t^{2}+9t^{4}}}\},$

$\mathbf {n} =\{-{\frac {8t+36t^{3}}{2{\sqrt {(1+4t^{2}+9t^{4})^{3}}}}};{\frac {2}{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}}-2t\cdot {\frac {8t+36t^{3}}{2{\sqrt {(1+4t^{2}+9t^{4})^{3}}}}};{\frac {6t}{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}}-3t^{2}\cdot {\frac {8t+36t^{3}}{2{\sqrt {(1+4t^{2}+9t^{4})^{3}}}}}\},$

$\mathbf {n} =\{-{\frac {4t+18t^{3}}{\sqrt {(1+4t^{2}+9t^{4})^{3}}}};{\frac {2}{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}}-{\frac {2t(4t+18t^{3})}{\sqrt {(1+4t^{2}+9t^{4})^{3}}}};{\frac {6t}{\sqrt {1+4t^{2}+9t^{4}}}}-{\frac {3t^{2}(4t+18t^{3})}{\sqrt {(1+4t^{2}+9t^{4})^{3}}}}\};$

su reikšme $t=1$ kreivės normalės vektorius statmenas liestienei yra:

$\mathbf {n} |_{t=1}=\{-{\frac {4+18}{\sqrt {(1+4+9)^{3}}}};{\frac {2}{\sqrt {1+4+9}}}-{\frac {2(4+18)}{\sqrt {(1+4+9)^{3}}}};{\frac {6}{\sqrt {1+4+9}}}-{\frac {3(4+18)}{\sqrt {(1+4+9)^{3}}}}\},$

$\mathbf {n} |_{t=1}=\{-{\frac {22}{\sqrt {14^{3}}}};{\frac {2}{\sqrt {14}}}-{\frac {2\cdot 22}{\sqrt {14^{3}}}};{\frac {6}{\sqrt {14}}}-{\frac {3\cdot 22}{\sqrt {14^{3}}}}\},$

$\mathbf {n} |_{t=1}=\{-{\frac {22}{\sqrt {2744}}};{\frac {2}{\sqrt {14}}}-{\frac {44}{\sqrt {2744}}};{\frac {6}{\sqrt {14}}}-{\frac {66}{\sqrt {2744}}}\},$

$\mathbf {n} |_{t=1}=\{-{\frac {22}{52.38320341}};{\frac {2}{3.741657387}}-{\frac {44}{52.38320341}};{\frac {6}{3.741657387}}-{\frac {66}{52.38320341}}\},$

$\mathbf {n} |_{t=1}=\{-0.419981951;0.534522483-0.839963903;1.603567451-1.259945855\},$

$\mathbf {n} |_{t=1}=\{-0.419981951;-0.305441419;0.343621596\};$

normalizuotas kreivės normalės vektorius yra šis:

$\mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}={\frac {\mathbf {n} |_{t=1}}{\sqrt {(-0.419981951)^{2}+(-0.305441419)^{2}+(0.343621596)^{2}}}},$

$\mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}={\frac {\mathbf {n} |_{t=1}}{\sqrt {0.17638484+0.093294461+0.118075802}}}={\frac {\mathbf {n} |_{t=1}}{\sqrt {0.387755103}}}={\frac {\mathbf {n} |_{t=1}}{0.62269985}},$

$\mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {-0.419981951}{0.62269985}};{\frac {-0.305441419}{0.62269985}};{\frac {0.343621596}{0.62269985}}\}=\{-0.674453271;-0.49051147;0.551825403\}.$

d) Kampas $\alpha$ tarp kreivės liestinės normalizuoto vektoriaus ir kreivės normalės vektoriaus yra toks:

$\cos \alpha ={\frac {\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=1}\cdot \mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}}{\|\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=1}\|\cdot \|\mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}\|}}=$

$={\frac {0.267261241\cdot (-0.674453271)+0.534522483\cdot (-0.49051147)+0.801783725\cdot 0.551825403}{{\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {1}}}}=$

$=-0.180255218-0.262189408+0.442444627=-0.442444626+0.442444627=0.000000001=0;$

$\alpha =\arccos(0)={\frac {\pi }{2}}=1.570796327$ arba 90 laipsnių.

e) Kreivės liestinės vektorius yra

$\mathbf {a} =\{1;2t;3t^{2}\};$

kreivės liestinės vektorius, kai $t=1$ yra:

$\mathbf {a} |_{t=1}=\{1;2;3\};$

kreivės liestinės vektoriaus ortas, kai $t=1$, yra:

$\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {1}{\sqrt {1+4+9}}};{\frac {2}{\sqrt {1+4+9}}};{\frac {3}{\sqrt {1+4+9}}}\},$

$\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {1}{\sqrt {14}}};{\frac {2}{\sqrt {14}}};{\frac {3}{\sqrt {14}}}\}=\{0.267261241;0.534522483;0.801783725\}.$

kreivės pseudonormalės vektorius yra:

$\mathbf {p} =\{{\frac {1}{-\phi '(t)}};{\frac {1}{\psi '(t)}};{\frac {1}{\omega '(t)}}=\{-1;{\frac {1}{2t}};{\frac {1}{3t}}\};$

kreivės normalės vektorius yra:

$\mathbf {n} =\{{\frac {2}{-3\phi '(t)}};{\frac {1}{3\psi '(t)}};{\frac {1}{3\omega '(t)}}=\{-{\frac {2}{3}};{\frac {1}{6t}};{\frac {1}{9t^{2}}}\};$

kreivės pseudonormalės vektorius, kai $t=1$, yra:

$\mathbf {p} |_{t=1}=\{-1;{\frac {1}{2}};{\frac {1}{3}}\};$

kreivės normalės vektorius, kai $t=1$, yra:

$\mathbf {n} |_{t=1}=\{-{\frac {2}{3}};{\frac {1}{6}};{\frac {1}{9}}\};$

kreivės pseudonormalės normalizuotas vektorius, kai $t=1$ yra:

$\mathbf {p} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {-1}{\sqrt {(-1)^{2}+({1 \over 2})^{2}+({1 \over 3})^{2}}}};{\frac {\frac {1}{2}}{\sqrt {(-1)^{2}+({1 \over 2})^{2}+({1 \over 3})^{2}}}};{\frac {\frac {1}{3}}{\sqrt {(-1)^{2}+({1 \over 2})^{2}+({1 \over 3})^{2}}}}\},$

$\mathbf {p} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {-1}{\sqrt {1+{1 \over 4}+{1 \over 9}}}};{\frac {\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{1 \over 4}+{1 \over 9}}}};{\frac {\frac {1}{3}}{\sqrt {1+{1 \over 4}+{1 \over 9}}}}\}=\{{\frac {-1}{\sqrt {36+9+4 \over 36}}};{\frac {\frac {1}{2}}{\sqrt {36+9+4 \over 36}}};{\frac {\frac {1}{3}}{\sqrt {36+9+4 \over 36}}}\},$

$\mathbf {p} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {-1}{\sqrt {49 \over 36}}};{\frac {\frac {1}{2}}{\sqrt {49 \over 36}}};{\frac {\frac {1}{3}}{\sqrt {49 \over 36}}}\}=\{{\frac {-1}{7 \over 6}};{\frac {\frac {1}{2}}{7 \over 6}};{\frac {\frac {1}{3}}{7 \over 6}}\},$

$\mathbf {p} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {-6}{7}};{\frac {6}{14}};{\frac {6}{21}}\}=\{-0.857142857;0.428571428;0.285714285\};$

kreivės normalės normalizuotas vektorius, kai $t=1$ yra:

$\mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {-{\frac {2}{3}}}{\sqrt {(-{\frac {2}{3}})^{2}+({1 \over 6})^{2}+({1 \over 9})^{2}}}};{\frac {\frac {1}{6}}{\sqrt {(-{\frac {2}{3}})^{2}+({1 \over 6})^{2}+({1 \over 9})^{2}}}};{\frac {\frac {1}{9}}{\sqrt {(-{\frac {2}{3}})^{2}+({1 \over 6})^{2}+({1 \over 9})^{2}}}}\},$

$\mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {-{\frac {2}{3}}}{\sqrt {{4 \over 9}+{1 \over 36}+{1 \over 81}}}};{\frac {\frac {1}{6}}{\sqrt {{4 \over 9}+{1 \over 36}+{1 \over 81}}}};{\frac {\frac {1}{9}}{\sqrt {{4 \over 9}+{1 \over 36}+{1 \over 81}}}}\}=\{{\frac {-{\frac {2}{3}}}{\sqrt {4\cdot 36+9+4 \over 324}}};{\frac {\frac {1}{2}}{\sqrt {144+9+4 \over 324}}};{\frac {\frac {1}{3}}{\sqrt {144+9+4 \over 324}}}\},$

$\mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {-{\frac {2}{3}}}{\sqrt {157 \over 324}}};{\frac {\frac {1}{6}}{\sqrt {157 \over 324}}};{\frac {\frac {1}{9}}{\sqrt {157 \over 324}}}\}=\{-{2\cdot 18 \over 3\cdot {\sqrt {157}}};{\frac {18}{6\cdot {\sqrt {157}}}};{\frac {18}{9\cdot {\sqrt {157}}}}\},$

$\mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {-12}{\sqrt {157}}};{\frac {3}{\sqrt {157}}};{\frac {2}{\sqrt {157}}}\}=\{-0.957704261;0.239426065;0.159617376\};$

kampas tarp pseudonormalės ir liestinės vektorių yra:

$\cos \alpha =0.267261241\cdot (-0.857142857)+0.534522483\cdot 0.428571428+0.801783725\cdot 0.285714285=$

$=-0.229081063+0.229081063+0.229081063=0.229081063;$

$\alpha =\arccos(0.229081063)=1.33966279$ arba 76.75702383 laipsniai;

kampas tarp liestinės ir normalės vektoriaus yra:

$\cos \theta =0.267261241\cdot (-0.957704261)+0.534522483\cdot 0.239426065+0.801783725\cdot 0.159617376=$

$=-0.255957229+0.127978614+0.127978614=-0.255957229+0.255957229=0;$

$\theta =\arccos(0)={\frac {\pi }{2}}$ arba 90 laipsnių.

f) Kampas tarp pseudonormalės ir liestinės yra $\alpha =84.44409162$ laipsniai;

kreivės normalės vektorius yra:

$\mathbf {n} =\{{\frac {2}{-3\phi '(t)}};{\frac {1}{3\psi '(t)}};{\frac {1}{3\omega '(t)}}=\{-{\frac {2}{3}};{\frac {1}{6t}};{\frac {1}{9t^{2}}}\};$

kreivės normalės vektorius, kai $t=5$ yra:

$\mathbf {n} =\{-{\frac {2}{3}};{\frac {1}{6\cdot 5}};{\frac {1}{9\cdot 5^{2}}}\}=\{-{\frac {2}{3}};{\frac {1}{30}};{\frac {1}{225}}\};$

kreivės liestinės vektorius yra

$\mathbf {a} =\{1;2t;3t^{2}\};$

kreivės liestinės vektorius, kai $t=5$ yra

$\mathbf {a} =\{1;2\cdot 5;3\cdot 5^{2}\}=\{1;10;75\};$

Jeigu vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui, tai vektoriai yra statmeni vienas kitam:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} =1\cdot (-{\frac {2}{3}})+10\cdot {\frac {1}{30}}+75\cdot {\frac {1}{225}}=-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}=0.$

• Duota kreivė užrašyta parametrinėmis lygtimis

$x=\phi (t)=t^{2},\quad y=\psi (t)=t^{3},\quad z=\omega (t)=t^{4}.$

Rasti:

a) kreivės liestinės vektorių;

b) normalizuotą kreivės liestinės vektorių (ortą);

c) kreivės normalės vektorių iš normalizuoto liestinės vektoriaus;

d) kampą tarp liestinės orto (vektoriaus) ir normalės vektoriaus, kai parametro t reikšmė lygi 1;

e) normalizuotą liestinės vektorių naudojantis formule $\mathbf {b} =\{1;{\frac {\psi '(t)}{\phi '(t)}};{\frac {\omega '(t)}{\phi '(t)}}\}$ ir palyginti su normalizuotu liestinės vektoriu $\mathbf {a} =\{\phi '(t);\psi '(t);\omega '(t)\},$ kai $t=1$ ir kai $t=5$;

f) tikrąjį kreivės normalės vektorių naudojantis formule $\mathbf {n} =\{{\frac {2}{-3\phi '(t)}};{\frac {1}{3\psi '(t)}};{\frac {1}{3\omega '(t)}}\},$ kai $t=1$ ir kai $t=5$; apskaičiuoti kampą tarp šio normalės vektoriaus ir tarp liestinės vektoriaus, kai $t=1$ ir kai $t=5$;

g) tikrąjį kreivės normalės vektorių naudojantis formule $\mathbf {n} =\{{\frac {2}{-3{\phi '(t) \over \phi '(t)}}};{\frac {1}{3{\psi '(t) \over \phi '(t)}}};{\frac {1}{3{\omega '(t) \over \phi '(t)}}}\}=\{-{\frac {2}{3}};{\frac {\phi '(t)}{3\psi '(t)}};{\frac {\phi '(t)}{3\omega '(t)}}\},$ kai $t=1$ ir kai $t=5$; apskaičiuoti kampą tarp šio normalės vektoriaus ir tarp liestinės vektoriaus, kai $t=1$ ir kai $t=5$.

Sprendimas.

a) Kreivės liestinės vektorius yra

$\mathbf {a} =\{(t^{2})';(t^{3})';(t^{4})'\}=\{2t;3t^{2};4t^{3}\}.$

b) Vektoriaus $\mathbf {a}$ ilgis yra:

$\|\mathbf {a} \|={\sqrt {(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}+(4t^{3})^{2}}}={\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}.$

Kreivės liestinės normalizuotas vektorius yra šis:

$\mathbf {a} ^{\circ }={\frac {\mathbf {a} }{\|\mathbf {a} \|}}=\{{\frac {2t}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}};{\frac {3t^{2}}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}};{\frac {4t^{3}}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}\};$

jo reikšmė, kai $t=1$ yra

$\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {2}{\sqrt {4+9+16}}};{\frac {3}{\sqrt {4+9+16}}};{\frac {4}{\sqrt {4+9+16}}}\},$

$\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {2}{\sqrt {29}}};{\frac {3}{\sqrt {29}}};{\frac {4}{\sqrt {29}}}\}=\{0.371390676;0.557086014;0.742781352\}.$

c) Kreivės normalės vektorius yra liestinės vektoriaus orto išvestinė:

$\mathbf {n} =(\mathbf {a} ^{\circ })'=\{({\frac {2t}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}})';({\frac {3t^{2}}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}})';({\frac {4t^{3}}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}})'\},$

$\mathbf {n} =\{{\frac {(2t)'{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}-2t({\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}})'}{({\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}})^{2}}};{\frac {(3t^{2})'{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}-3t^{2}({\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}})'}{({\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}})^{2}}};{\frac {(4t^{3})'{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}-4t^{3}({\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}})'}{({\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}})^{2}}}\},$

$\mathbf {n} =\{{\frac {2{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}-2t\cdot {\frac {(4t^{2}+9t^{4}+16t^{6})'}{2{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}}}{4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}};{\frac {6t{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}-3t^{2}\cdot {\frac {(4t^{2}+9t^{4}+16t^{6})'}{2{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}}}{4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}};{\frac {12t^{2}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}-4t^{3}\cdot {\frac {(4t^{2}+9t^{4}+16t^{6})'}{2{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}}}{4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}\},$

$\mathbf {n} =\{{\frac {2{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}-2t\cdot {\frac {8t+36t^{3}+96t^{5}}{2{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}}}{4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}};{\frac {6t{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}-3t^{2}\cdot {\frac {8t+36t^{3}+96t^{5}}{2{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}}}{4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}};{\frac {12t^{2}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}-4t^{3}\cdot {\frac {8t+36t^{3}+96t^{5}}{2{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}}}{4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}\},$

$\mathbf {n} =\{{\frac {2}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}-2t\cdot {\frac {8t+36t^{3}+96t^{5}}{2{\sqrt {(4t^{2}+9t^{4}+16t^{6})^{3}}}}};{\frac {6t}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}-3t^{2}\cdot {\frac {8t+36t^{3}+96t^{5}}{2{\sqrt {(4t^{2}+9t^{4}+16t^{6})^{3}}}}};{\frac {12t^{2}}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}-4t^{3}\cdot {\frac {8t+36t^{3}+96t^{5}}{2{\sqrt {(4t^{2}+9t^{4}+16t^{6})^{3}}}}}\},$

$\mathbf {n} =\{{\frac {2}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}-{\frac {2t(4t+18t^{3}+48t^{5})}{\sqrt {(4t^{2}+9t^{4}+16t^{6})^{3}}}};{\frac {6t}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}-{\frac {3t^{2}(4t+18t^{3}+48t^{5})}{\sqrt {(4t^{2}+9t^{4}+16t^{6})^{3}}}};{\frac {12t^{2}}{\sqrt {4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}}}-{\frac {4t^{3}(4t+18t^{3}+48t^{5})}{\sqrt {(4t^{2}+9t^{4}+16t^{6})^{3}}}}\};$

su reikšme $t=1$ kreivės normalės vektorius statmenas liestienei yra:

$\mathbf {n} |_{t=1}=\{{\frac {2}{\sqrt {4+9+16}}}-{\frac {2(4+18+48)}{\sqrt {(4+9+16)^{3}}}};{\frac {6}{\sqrt {4+9+16}}}-{\frac {3(4+18+48)}{\sqrt {(4+9+16)^{3}}}};{\frac {12}{\sqrt {4+9+16}}}-{\frac {4(4+18+48)}{\sqrt {(4+9+16)^{3}}}}\};$

$\mathbf {n} |_{t=1}=\{{\frac {2}{\sqrt {29}}}-{\frac {2\cdot 70}{\sqrt {29^{3}}}};{\frac {6}{\sqrt {29}}}-{\frac {3\cdot 70}{\sqrt {29^{3}}}};{\frac {12}{\sqrt {29}}}-{\frac {4\cdot 70}{\sqrt {29^{3}}}}\};$

$\mathbf {n} |_{t=1}=\{{\frac {2}{\sqrt {29}}}-{\frac {140}{\sqrt {24389}}};{\frac {6}{\sqrt {29}}}-{\frac {210}{\sqrt {24389}}};{\frac {12}{\sqrt {29}}}-{\frac {280}{\sqrt {24389}}}\};$

$\mathbf {n} |_{t=1}=\{-0.525069576;-0.23051835;0.435423551\};$

normalizuotas kreivės normalės vektorius yra šis:

$\mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}={\frac {\mathbf {n} |_{t=1}}{\sqrt {(-0.525069576)^{2}+(-0.23051835)^{2}+(0.435423551)^{2}}}}={\frac {\mathbf {n} |_{t=1}}{\sqrt {0.518430438}}}={\frac {\mathbf {n} |_{t=1}}{0.720021137}},$

$\mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {-0.525069576}{0.720021137}};{\frac {-0.23051835}{0.720021137}};{\frac {0.435423551}{0.720021137}}\}=\{-0.729241891;-0.320154976;0.604737178\}.$

d) Kampas $\alpha$ tarp kreivės liestinės normalizuoto vektoriaus ir kreivės normalės vektoriaus yra toks:

$\cos \alpha ={\frac {\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=1}\cdot \mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}}{\|\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=1}\|\cdot \|\mathbf {n} ^{\circ }|_{t=1}\|}}=$

$={\frac {0.371390676\cdot (-0.729241891)+0.557086014\cdot (-0.320154976)+0.742781352\cdot 0.604737178}{{\sqrt {1}}\cdot {\sqrt {1}}}}=$

$=-0.270833638-0.178353859+0.449187498=-0.449187497+0.449187498=0.000000001=0;$

$\alpha =\arccos(0)={\frac {\pi }{2}}=1.570796327$ arba 90 laipsnių.

e) Kai $t=1$ normalizuotas liestinės vektorius yra:

$\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {2}{\sqrt {29}}};{\frac {3}{\sqrt {29}}};{\frac {4}{\sqrt {29}}}\}=\{0.371390676;0.557086014;0.742781352\};$

kai $t=5$ liestinės vektorius yra:

$\mathbf {a} |_{t=5}=\{2\cdot 5;3\cdot 5^{2};4\cdot 5^{3}\}=\{10;75;500\};$

kai $t=5$ normalizuotas liestinės vektorius yra:

$\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=5}=\{{\frac {10}{\sqrt {10^{2}+75^{2}+500^{2}}}};{\frac {75}{\sqrt {10^{2}+75^{2}+500^{2}}}};{\frac {500}{\sqrt {10^{2}+75^{2}+500^{2}}}}\},$

$\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=5}=\{{\frac {10}{\sqrt {100+5625+250000}}};{\frac {75}{\sqrt {255725}}};{\frac {500}{\sqrt {255725}}}\},$

$\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=5}=\{{\frac {10}{505.6925944}};{\frac {75}{505.6925944}};{\frac {500}{505.6925944}}\},$

$\mathbf {a} ^{\circ }|_{t=5}=\{0.019774859;0.148311446;0.988742974\};$

$\mathbf {b} =\{1;{\frac {\psi '(t)}{\phi '(t)}};{\frac {\omega '(t)}{\phi '(t)}}\}=\{1;{\frac {3t^{2}}{2t}};{\frac {4t^{3}}{2t}}\},$

$\mathbf {b} =\{1;{\frac {3t}{2}};2t^{2}\};$

liestinės vektoriaus b reikšmė, kai $t=1$ yra:

$\mathbf {b} |_{t=1}=\{1;{\frac {3}{2}};2\};$

normalizuoto liestinės vektoriaus b reikšmė, kai $t=1$ yra:

$\mathbf {b} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {1}{\sqrt {1^{2}+1.5^{2}+2^{2}}}};{\frac {1.5}{\sqrt {1^{2}+1.5^{2}+2^{2}}}};{\frac {2}{\sqrt {1^{2}+1.5^{2}+2^{2}}}}\},$

$\mathbf {b} ^{\circ }|_{t=1}=\{{\frac {1}{\sqrt {1+2.25+4}}};{\frac {1.5}{\sqrt {7.25}}};{\frac {2}{\sqrt {7.25}}}\}=\{{\frac {1}{2.692582404}};{\frac {1.5}{2.692582404}};{\frac {2}{2.692582404}}\},$

$\mathbf {b} ^{\circ }|_{t=1}=\{0.371390676;0.557086014;0.742781352\};$

liestinės vektoriaus b reikšmė, kai $t=5$ yra:

$\mathbf {b} |_{t=5}=\{1;{\frac {3\cdot 5}{2}};2\cdot 5^{2}\}=\{1;{\frac {15}{2}};50\};$

normalizuoto vektoriaus b reikšmė, kai $t=5$ yra tokia pati kaip normalizuoto a vektoriaus:

$\mathbf {b} ^{\circ }|_{t=5}=\{{\frac {1}{\sqrt {1^{2}+7.5^{2}+50^{2}}}};{\frac {\frac {15}{2}}{\sqrt {1+56.25+2500}}};{\frac {50}{\sqrt {2557.25}}}\};$

$\mathbf {b} ^{\circ }|_{t=5}=\{{\frac {1}{50.56925944}};{\frac {7.5}{50.56925944}};{\frac {50}{50.56925944}}\};$

$\mathbf {b} ^{\circ }|_{t=5}=\{0.019774859;0.148311446;0.988742974\};$

f) 'Tikrasis' kreivės normalės vektorius yra:

$\mathbf {m} =\{{\frac {2}{-3\phi '(t)}};{\frac {1}{3\psi '(t)}};{\frac {1}{3\omega '(t)}}\}=\{{\frac {2}{-3\cdot 2t}};{\frac {1}{3\cdot 3t^{2}}};{\frac {1}{3\cdot 4t^{3}}}\},$

$\mathbf {m} =\{-{\frac {1}{3t}};{\frac {1}{9t^{2}}};{\frac {1}{12t^{3}}}\};$

'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai $t=1$ yra:

$\mathbf {m} |_{t=1}=\{-{\frac {1}{3}};{\frac {1}{9}};{\frac {1}{12}}\};$

normalizuotas 'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai $t=1$ yra:

$\mathbf {m} ^{\circ }|_{t=1}=\{-{\frac {\frac {1}{3}}{\sqrt {(-{\frac {1}{3}})^{2}+({\frac {1}{9}})^{2}+({\frac {1}{12}})^{2}}}};{\frac {\frac {1}{9}}{\sqrt {(-{\frac {1}{3}})^{2}+({\frac {1}{9}})^{2}+({\frac {1}{12}})^{2}}}};{\frac {\frac {1}{12}}{\sqrt {(-{\frac {1}{3}})^{2}+({\frac {1}{9}})^{2}+({\frac {1}{12}})^{2}}}}\},$

$\mathbf {m} ^{\circ }|_{t=1}=\{-{\frac {\frac {1}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{81}}+{\frac {1}{144}}}}};{\frac {\frac {1}{9}}{\sqrt {\frac {1296+144+81}{81\cdot 144}}}};{\frac {\frac {1}{12}}{\sqrt {\frac {1521}{11664}}}}\},$

$\mathbf {m} ^{\circ }|_{t=1}=\{-{\frac {\frac {1}{3}}{\sqrt {0.130401234}}};{\frac {\frac {1}{9}}{\sqrt {0.130401234}}};{\frac {\frac {1}{12}}{\sqrt {0.130401234}}}\}=\{-{\frac {\frac {1}{3}}{0.361111111}};{\frac {\frac {1}{9}}{0.361111111}};{\frac {\frac {1}{12}}{0.361111111}}\},$

$\mathbf {m} ^{\circ }|_{t=1}=\{-0.923076923;0.307692307;0.23076923\};$

'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai $t=5$ yra:

$\mathbf {m} |_{t=5}=\{-{\frac {1}{3\cdot 5}};{\frac {1}{9\cdot 5^{2}}};{\frac {1}{12\cdot 5^{3}}}\}=\{-{\frac {1}{15}};{\frac {1}{9\cdot 25}};{\frac {1}{12\cdot 125}}\},$

$\mathbf {m} |_{t=5}=\{-{\frac {1}{15}};{\frac {1}{225}};{\frac {1}{1500}}\};$

normalizuotas 'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai $t=5$ yra:

$\mathbf {m} ^{\circ }|_{t=5}=\{{\frac {-{\frac {1}{15}}}{\sqrt {(-{\frac {1}{15}})^{2}+({\frac {1}{225}})^{2}+({\frac {1}{1500}})^{2}}}};{\frac {\frac {1}{225}}{\sqrt {0.004464641}}};{\frac {\frac {1}{500}}{0.066817976}}\},$

$\mathbf {m} ^{\circ }|_{t=5}=\{-0.99735493;0.066515699;0.009977354\};$

kampas tarp liestinės vektoriaus a ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra lygus 90 laipsnių, nes jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:

$\mathbf {a} |_{t=1}\cdot \mathbf {m} |_{t=1}=2\cdot (-{\frac {1}{3}})+3\cdot {\frac {1}{9}}+4\cdot {\frac {1}{12}}=-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}=0;$

liestinės vektorius, kai $t=5$ yra:

$\mathbf {a} |_{t=5}=\{2\cdot 5;3\cdot 5^{2};4\cdot 5^{3}\}=\{10;75;500\};$

kampas tarp liestinės vektoriaus ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra 90 laipsnių, nes šių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui:

$\mathbf {a} |_{t=5}\cdot \mathbf {m} |_{t=5}=10\cdot (-{\frac {1}{15}})+75\cdot {\frac {1}{225}}+500\cdot {\frac {1}{1500}}=-{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}=0.$

g) 'Tikrasis' kreivės normalės vektorius yra:

$\mathbf {m} =\{-{\frac {2}{3}};{\frac {\phi '(t)}{3\psi '(t)}};{\frac {\phi '(t)}{3\omega '(t)}}\}=\{-{\frac {2}{3}};{\frac {2t}{3\cdot 3t^{2}}};{\frac {2t}{3\cdot 4t^{3}}}\},$

$\mathbf {m} =\{-{\frac {2}{3}};{\frac {2t}{9t^{2}}};{\frac {2t}{12t^{3}}}\}=\{-{\frac {2}{3}};{\frac {2t}{9t^{2}}};{\frac {t}{6t^{3}}}\};$

'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai $t=1$ yra:

$\mathbf {m} |_{t=1}=\{-{\frac {2}{3}};{\frac {2}{9}};{\frac {1}{6}}\};$

'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai $t=5$ yra:

$\mathbf {m} |_{t=5}=\{-{\frac {2}{3}};{\frac {2\cdot 5}{9\cdot 5^{2}}};{\frac {5}{6\cdot 5^{3}}}\}=\{-{\frac {2}{3}};{\frac {2}{45}};{\frac {1}{150}}\};$

kampas tarp liestinės vektoriaus a ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra lygus 90 laipsnių, nes jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:

$\mathbf {a} |_{t=1}\cdot \mathbf {m} |_{t=1}=2\cdot (-{\frac {2}{3}})+3\cdot {\frac {2}{9}}+4\cdot {\frac {1}{6}}=-{\frac {4}{3}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {2}{3}}=0;$

$\mathbf {a} |_{t=5}\cdot \mathbf {m} |_{t=5}=10\cdot (-{\frac {2}{3}})+75\cdot {\frac {2}{45}}+500\cdot {\frac {1}{150}}=-{\frac {20}{3}}+{\frac {10}{3}}+{\frac {10}{3}}=0.$

Update 1. Alternatyvus liestinei statmenas vektorius gautas pagal formulę $\mathbf {n} =\{{\frac {2}{-3\phi '(t)}};{\frac {1}{3\psi '(t)}};{\frac {1}{3\omega '(t)}}\}$ yra paprastas triukas. Kadangi liestinės vektorius yra $\mathbf {a} =\{\phi '(t);\psi '(t);\omega '(t)\},$ tai aišku, kad vektorių n ir a skaliarinė sandauga bus lygi nuliui. Todėl normalės vektorius gali būti ir $\mathbf {n} =\{{\frac {1}{\phi '(t)}};{\frac {-2}{\psi '(t)}};{\frac {1}{\omega '(t)}}\}$ ir $\mathbf {n} =\{{\frac {1}{\phi '(t)}};{\frac {1}{\psi '(t)}};{\frac {-2}{\omega '(t)}}\}.$ Taip pat erdvinės kreivės (užrašytos parametriškai) liestinės vektoriui a statmenas vektorius bus ir pavyzdžiui vektorius $\mathbf {m} =\{{\frac {-2}{\phi '(t)}};{\frac {1.5}{\psi '(t)}};{\frac {0.5}{\omega '(t)}}\},$ nes jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {m} =\phi '(t)\cdot {\frac {-2}{\phi '(t)}}+\psi '(t)\cdot {\frac {1.5}{\psi '(t)}}+\omega '(t)\cdot {\frac {0.5}{\omega '(t)}}=-2+1.5+0.5=0.$

Tokiu budu erdvinės kreivės liestinės vektoriui $\mathbf {a} =\{\phi '(t);\psi '(t);\omega '(t)\}$ galima sudaryti begalo daug statmenų normalės vektorių n (kurių ortai skiriasi - normalės vektoriai neguli ant tos pačios tiesės).

Kampo tarp vektorių radimas su sinusu

$\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta ),$

$\sin \theta ={\frac {\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}{\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|}},$

kur $\theta$ yra kampas tarp vektorių a ir b.

• Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0).

$\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+0^{2}}}={\sqrt {5}}\approx 2.236067978.$

$\left\|\mathbf {b} \right\|={\sqrt {3^{2}+0^{2}+0^{2}}}={\sqrt {9}}=3.$

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-2&0\\3&0&0\end{vmatrix}}=$

$=i\cdot (-2)\cdot 0+j\cdot 0\cdot 3+k\cdot 1\cdot 0-i\cdot 0\cdot 0-j\cdot 1\cdot 0-k\cdot (-2)\cdot 3=0i+0j+6k=(0;0;6).$

$\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|={\sqrt {0^{2}+0^{2}+6^{2}}}={\sqrt {36}}=6.$

$\sin \theta ={\frac {\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}{\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|}}={\frac {6}{{\sqrt {5}}\cdot 3}}={\frac {2}{\sqrt {5}}}=0.894427191;$

$\theta =\arcsin {\frac {2}{\sqrt {5}}}=\arcsin 0.894427191=1.107148718$ radiano arba 63.43494882 laipsnio.

Pasitikriname:

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \|\cdot \|\mathbf {b} \|}}={\frac {1\cdot 3+(-2)\cdot 0+0\cdot 0}{{\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+0^{2}}}\cdot {\sqrt {3^{2}+0^{2}+0^{2}}}}}={\frac {3}{{\sqrt {1+4+0}}\cdot {\sqrt {9+0+0}}}}=$

$={\frac {3}{{\sqrt {5}}\cdot 3}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}=0.447213595.$

$\theta =\arccos {\frac {1}{\sqrt {5}}}=\arccos 0.447213595=1.107148718$ radiano arba 63,43494882 laipsnių.

Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas $\theta$ surastas teisingai. Atkarpos t ilgis iš taško a=(1; -2; 0) iki taško b=(3; 0; 0) yra lygus

$t={\sqrt {(1-3)^{2}+(-2-0)^{2}+(0-0)^{2}}}={\sqrt {4+4+0}}={\sqrt {8}}=2{\sqrt {2}}=2.828427125.$

Iš kosinusų teoremos žinome, kad $t^{2}\ =\|\mathbf {a} \|^{2}+\|\mathbf {b} \|^{2}-2\|\mathbf {a} \|\cdot \|\mathbf {b} \|\cos \theta$;

$\cos \theta ={t^{2}-\|\mathbf {a} \|^{2}-\|\mathbf {b} \|^{2} \over -2\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|}={({\sqrt {8}})^{2}-({\sqrt {5}})^{2}-3^{2} \over -2\cdot {\sqrt {5}}\cdot 3}={8-5-9 \over -6{\sqrt {5}}}={-6 \over -6{\sqrt {5}}}={1 \over {\sqrt {5}}}.$

• Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi

$a\times b={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-2&2\\3&0&-4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-2&2\\0&-4\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}1&2\\3&-4\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}1&-2\\3&0\end{vmatrix}}k=8i+10j+6k=(8;10;6).$

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

$S=||a\times b||={\sqrt {8^{2}+10^{2}+6^{2}}}={\sqrt {200}}=10{\sqrt {2}}.$

Trikampio plotas yra

$S_{\Delta }={\frac {1}{2}}||a\times b||=5{\sqrt {2}}.$

Kampo tarp vektorių sinusas yra

$\sin \phi ={\frac {||a\times b||}{||a||\cdot ||b||}}={\frac {10{\sqrt {2}}}{3\cdot 5}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}},$

$\phi =\arcsin {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}=1.230959417$ radianų arba $\phi =70,52877937$ laipsnių, kur

$||a||={\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {9}}=3,$

$||b||={\sqrt {3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}}={\sqrt {25}}=5.$

Taikydami kosinusų toeremą ir Herono formulę patikrinsime ar kampas $\phi$ ir trikampio plotas S surasti teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus

$f={\sqrt {(1-3)^{2}+(-2-0)^{2}+(2-(-4))^{2}}}={\sqrt {4+4+36}}={\sqrt {44}}=2{\sqrt {11}}=6.633249581.$

Pagal Herono formulę randame trikampio pusperimetrį $p={3+5+2{\sqrt {11}} \over 2}=4+{\sqrt {11}}=7.31662479.$ $S_{\Delta }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-f)}}={\sqrt {(4+{\sqrt {11}})(7.31662479-3)(7.31662479-5)(4+{\sqrt {11}}-2{\sqrt {11}})}}=$ $={\sqrt {7.31662479\cdot 4.31662479\cdot 2.31662479\cdot (4-{\sqrt {11}})}}={\sqrt {50}}=5{\sqrt {2}}=7.071067812.$

Iš kosinusų teoremos žinome, kad $f^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\phi )$;

$\cos \phi ={f^{2}-a^{2}-b^{2} \over -2ab}={(2{\sqrt {11}})^{2}-3^{2}-5^{2} \over -2\cdot 3\cdot 5}={44-9-25 \over -30}={10 \over -30}=-{1 \over 3}.$

$\phi =\arccos(-{1 \over 3})=1.910633236$ radiano arba 109.4712206 laipsnio.

Idomus faktas, jog

$\phi =\arccos {1 \over 3}=1.230959417$ radiano arba 70.52877937 laipsnio.

Dar kitas būdas patikrinti:

$\cos \phi ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \|\cdot \|\mathbf {b} \|}}={\frac {1\cdot 3+(-2)\cdot 0+2\cdot (-4)}{{\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}\cdot {\sqrt {3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}}}}={\frac {3+0-8}{{\sqrt {1+4+4}}\cdot {\sqrt {9+0+16}}}}=$

$={\frac {-5}{{\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {25}}}}={\frac {-5}{15}}=-{\frac {1}{3}}.$

• Duoti vektoriai a=(1; 2; 3), b=(3; 5; 4).

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&2&3\\3&5&4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&3\\5&4\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}1&3\\3&4\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}1&2\\3&5\end{vmatrix}}k=$

$=(-1)^{1+1}\cdot (2\cdot 4-3\cdot 5)i+(-1)^{1+2}\cdot (1\cdot 4-3\cdot 3)j+(-1)^{1+3}\cdot (1\cdot 5-2\cdot 3)k=-7i+5j-1k=(-7;5;-1).$

$\sin \theta ={\frac {\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}{\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|}}={\frac {\sqrt {(-7)^{2}+5^{2}+(-1)^{2}}}{{\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}}}\cdot {\sqrt {3^{2}+5^{2}+4^{2}}}}}={\frac {\sqrt {49+25+1}}{{\sqrt {1+4+9}}\cdot {\sqrt {9+25+16}}}}=$

$={\frac {\sqrt {75}}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {50}}}}={\frac {\sqrt {75}}{\sqrt {700}}}={\frac {8.660254038}{26.45751311}}=0.327326835.$

$\theta =\arcsin 0.327326835=0.333473172$ radiano arba 19.10660535 laipsnio.

Patikriname kitu budu:

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{||\mathbf {a} ||\cdot ||\mathbf {b} ||}}={\frac {1\cdot 3+2\cdot 5+3\cdot 4}{{\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}}}\cdot {\sqrt {3^{2}+5^{2}+4^{2}}}}}={\frac {3+10+12}{{\sqrt {14}}\cdot {\sqrt {50}}}}={\frac {25}{\sqrt {700}}}=0.944911182.$

$\theta =\arccos 0.944911182=0.333473172$ radiano arba 19.10660535 laipsnio.

Pagal Pitagoro teoremą patikriname atsakymą. Tiek vektorius a, tiek vektorius b išeina iš taško (x; y; z)=(0; 0; 0). Vadinasi vektorius a ir vektorius b liečiasi tame pačiame taške, kurį pavadiname A. Taškas B turi koordinates (1; 2; 3), o taškas C turi koordinates (3; 5; 4). Tokiu budu ||a||=AB=a, o ||b||=AC=b. Turime trikampį ABC. Iš taško B(1; 2; 3) nuleista aukštinė h į trikampio kraštinę AC, susikirtimo tašką aukštinės h su kraštine AC, pavadinkime D. Kraštine AD=x, o kraštinė DC=||b||-x=b-x. BC=c.

$c={\sqrt {(3-1)^{2}+(5-2)^{2}+(4-3)^{2}}}={\sqrt {2^{2}+3^{2}+1^{2}}}={\sqrt {4+9+1}}={\sqrt {14}}=3.741657387.$

$a=\|\mathbf {a} \|={\sqrt {1^{2}+2^{2}+3^{2}}}={\sqrt {1+4+9}}={\sqrt {14}}=3.741657387.$

$b=\|\mathbf {b} \|={\sqrt {3^{2}+5^{2}+4^{2}}}={\sqrt {9+25+16}}={\sqrt {30}}=5.477225575.$

$h={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {14}})^{2}-x^{2}}}={\sqrt {14-x^{2}}}.$

$h={\sqrt {c^{2}-(b-x)^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {14}})^{2}-({\sqrt {30}}-x)^{2}}}={\sqrt {14-(30-2x{\sqrt {30}}+x^{2})}}.$

${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}={\sqrt {c^{2}-(b-x)^{2}}};$

$a^{2}-x^{2}=c^{2}-(b-x)^{2}$; $a^{2}-x^{2}=c^{2}-(b^{2}-2bx+x^{2});$ $a^{2}-x^{2}=c^{2}-b^{2}+2bx-x^{2};$ $a^{2}=c^{2}-b^{2}+2bx;$ $a^{2}-c^{2}+b^{2}=2bx;$

$x={\frac {a^{2}-c^{2}+b^{2}}{2b}}={\frac {({\sqrt {14}})^{2}-({\sqrt {14}})^{2}+({\sqrt {30}})^{2}}{2{\sqrt {30}}}}={\frac {30}{2{\sqrt {30}}}}={\frac {\sqrt {30}}{2}}=2.738612788.$ $\cos \theta ={\frac {x}{a}}={\frac {2.738612788}{\sqrt {14}}}={\frac {2.738612788}{3.741657387}}=0.731925054.$

$\theta =\arccos 0.731925054=0.749653438$ arba 42.95197812 laipsnio.

$h={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {14}})^{2}-({\frac {\sqrt {30}}{2}})^{2}}}={\sqrt {14-{\frac {30}{4}}}}={\sqrt {14-7.5}}={\sqrt {6.5}}=2.549509757.$

$h={\sqrt {c^{2}-(b-x)^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {14}})^{2}-({\sqrt {30}}-{\frac {\sqrt {30}}{2}})^{2}}}={\sqrt {14-{\frac {30}{4}}}}={\sqrt {14-7.5}}={\sqrt {6.5}}=2.549509757.$

$\sin \theta ={\frac {h}{a}}={\frac {\sqrt {6.5}}{\sqrt {14}}}={\frac {2.549509757}{3.741657387}}=0.681385143.$

$\theta =\arcsin {\frac {\sqrt {6.5}}{\sqrt {14}}}=\arcsin 0.681385143=0.749653438$ arba 42.95197812 laipsnio.

Trikampio ABC plotas yra

$S_{\Delta }={\frac {1}{2}}||a\times b||={\frac {1}{2}}{\sqrt {(-7)^{2}+5^{2}+(-1)^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {75}}=4,330127019.$

Trikampio ABC plotą randame taikydami Herono formulę:

$p={\frac {P}{2}}={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {{\sqrt {14}}+{\sqrt {30}}+{\sqrt {14}}}{2}}=6,480270174.$

$S_{\Delta }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}=$

$={\sqrt {6,480270174\cdot (6,480270174-{\sqrt {14}})(6,480270174-{\sqrt {30}})(6,480270174-{\sqrt {14}})}}=$ $={\sqrt {35,60196623}}=5,966738324.$ Dar budas pasitikrinti trikampio ABC plotą:

$S_{\Delta }={b\cdot h \over 2}={{\sqrt {30}}\cdot {\sqrt {6.5}} \over 2}={{\sqrt {195}} \over 2}=6,982120022.$

Galbūt plotai ir kampai nesutampa skaičiuojant skirtingais būdais, nes trikampis ABC yra lygiašonis ir jam kosinusų teorema ar/ir kitos formulės netinka. Bet pasibraižius grafikus ir patikrinus kampus tarp vektorių įvairiais budais, buvo padaryta išvada, kad jokių budu atsakymas negali buti 42.95197812 laipsniai, o kažkurtai apie 18-20 laipsnių. Todėl kyla išvada, kad kosinusų teorema netinkama skaičiuoti kampams tų trikampių, kurie yra lygiašoniai.

• Duoti vektoriai a=(4; 3; 0), b=(10; 0; 0). Rasime kampą tarp jų.

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}i&j&k\\4&3&0\\10&0&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}3&0\\0&0\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}4&0\\10&0\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}4&3\\10&0\end{vmatrix}}k=0i+0j-30k=(0;0;-30).$

$\sin \theta ={\frac {\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}{\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|}}={\frac {\sqrt {0^{2}+0^{2}+(-30)^{2}}}{{\sqrt {4^{2}+3^{2}+0^{2}}}\cdot {\sqrt {10^{2}+0^{2}+0^{2}}}}}={\frac {\sqrt {900}}{{\sqrt {25}}\cdot {\sqrt {100}}}}={\frac {30}{5\cdot 10}}={\frac {3}{5}}=0,6.$

$\theta =\arcsin 0,6=0.643501108$ radiano arba 36,86989765 laipsnio.

Patikriname kitu budu:

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{||\mathbf {a} ||\cdot ||\mathbf {b} ||}}={\frac {4\cdot 10+3\cdot 0+0\cdot 0}{{\sqrt {4^{2}+3^{2}+0^{2}}}\cdot {\sqrt {10^{2}+0^{2}+0^{2}}}}}={\frac {40}{{\sqrt {25}}\cdot {\sqrt {100}}}}={\frac {40}{5\cdot 10}}={\frac {4}{5}}=0.8.$

$\theta =\arccos 0.8=0.643501108$ radiano arba 36,86989765 laipsnio.

• Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(3; 5; 11), b=(7; 8; 2).

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}i&j&k\\3&5&11\\7&8&2\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}5&11\\8&2\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}3&11\\7&2\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}3&5\\7&8\end{vmatrix}}k=$

$=(-1)^{1+1}\cdot (5\cdot 2-8\cdot 11)i+(-1)^{1+2}\cdot (3\cdot 2-11\cdot 7)j+(-1)^{1+3}\cdot (3\cdot 8-5\cdot 7)k=-7i+5j-1k=(-78;71;-11).$

$\sin \theta ={\frac {\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}{\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|}}={\frac {\sqrt {(-78)^{2}+71^{2}+(-11)^{2}}}{{\sqrt {3^{2}+5^{2}+11^{2}}}\cdot {\sqrt {7^{2}+8^{2}+2^{2}}}}}={\frac {\sqrt {6048+5041+121}}{{\sqrt {9+25+121}}\cdot {\sqrt {49+64+4}}}}=$

$={\frac {\sqrt {11246}}{{\sqrt {155}}\cdot {\sqrt {117}}}}={\frac {\sqrt {11246}}{\sqrt {18135}}}={\frac {106,0471593}{134,6662541}}=0.787481318.$

$\theta =\arcsin 0.786219889=0.906711738$ radiano arba 51,95075583 laipsnio.

Pagal Pitagoro teoremą patikriname atsakymą. Tiek vektorius a, tiek vektorius b išeina iš taško (x; y; z)=(0; 0; 0). Vadinasi vektorius a ir vektorius b liečiasi tame pačiame taške, kurį pavadiname A. Taškas B turi koordinates (3; 5; 11), o taškas C turi koordinates (7; 8; 2). Tokiu budu ||a||=AB=a, o ||b||=AC=b. Turime trikampį ABC. Iš taško C(7; 8; 2) nuleista aukštinė h į trikampio kraštinę AB=a, susikirtimo tašką aukštinės h su kraštine AB, pavadinkime D. Kraštinė AD=x, o kraštinė DB=||a||-x=a-x. BC=c.

$c={\sqrt {(7-3)^{2}+(8-5)^{2}+(2-11)^{2}}}={\sqrt {4^{2}+3^{2}+(-9)^{2}}}={\sqrt {16+9+81}}={\sqrt {106}}=10,29563014.$

$a=\|\mathbf {a} \|={\sqrt {3^{2}+5^{2}+11^{2}}}={\sqrt {9+25+121}}={\sqrt {155}}=12,4498996.$

$b=\|\mathbf {b} \|={\sqrt {7^{2}+8^{2}+2^{2}}}={\sqrt {49+64+4}}={\sqrt {117}}=10,81665383.$

$h={\sqrt {b^{2}-x^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {117}})^{2}-x^{2}}}={\sqrt {117-x^{2}}}.$

$h={\sqrt {c^{2}-(a-x)^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {106}})^{2}-({\sqrt {155}}-x)^{2}}}={\sqrt {14-(155-2x{\sqrt {155}}+x^{2})}}.$

${\sqrt {b^{2}-x^{2}}}={\sqrt {c^{2}-a-x)^{2}}};$

$b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a-x)^{2}$; $b^{2}-x^{2}=c^{2}-(a^{2}-2ax+x^{2});$ $b^{2}-x^{2}=c^{2}-a^{2}+2ax-x^{2};$ $b^{2}=c^{2}-a^{2}+2ax;$ $b^{2}-c^{2}+a^{2}=2ax;$

$x={\frac {b^{2}-c^{2}+a^{2}}{2a}}={\frac {({\sqrt {117}})^{2}-({\sqrt {106}})^{2}+({\sqrt {155}})^{2}}{2{\sqrt {155}}}}={\frac {117-106+155}{2{\sqrt {155}}}}={\frac {166}{2{\sqrt {155}}}}={\frac {83}{\sqrt {155}}}=6.66672043.$ $\cos \theta ={\frac {x}{b}}={\frac {\frac {83}{\sqrt {155}}}{\sqrt {117}}}={\frac {83}{\sqrt {18135}}}=0.616338521.$

$\theta =\arccos 0.616338521=0.906711738$ arba 51.95075583 laipsnio.

$h={\sqrt {b^{2}-x^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {117}})^{2}-({\frac {83}{\sqrt {155}}})^{2}}}=$

$={\sqrt {117-{\frac {6889}{155}}}}={\sqrt {117-44.44516129}}={\sqrt {72.55483871}}=8.517912814.$ $h={\sqrt {c^{2}-(a-x)^{2}}}={\sqrt {({\sqrt {106}})^{2}-({\sqrt {155}}-{\frac {83}{\sqrt {155}}})^{2}}}={\sqrt {106-(12.4498996-6.66672043)^{2}}}=$ ${\sqrt {106-5.783179168^{2}}}={\sqrt {106-33.44516129}}={\sqrt {72.55483871}}=8.517912814.$

$\sin \theta ={\frac {h}{b}}={\frac {8.517912814}{\sqrt {117}}}={\frac {8.517912814}{10.81665383}}=0.787481318.$

$\theta =\arcsin 0.787481318=0.906711738$ arba 51.95075583 laipsnio.

Trikampio ABC plotas yra

$S_{\Delta }={\frac {1}{2}}||a\times b||={\frac {1}{2}}{\sqrt {(-78)^{2}+71^{2}+(-11)^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {11246}}=53.02357966.$

Trikampio ABC plotą randame taikydami Herono formulę:

$p={\frac {P}{2}}={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {{\sqrt {155}}+{\sqrt {117}}+{\sqrt {106}}}{2}}=16.78109178.$

$S_{\Delta }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}=$

$={\sqrt {16.78109178\cdot (16.78109178-{\sqrt {155}})(16.78109178-{\sqrt {117}})(16.78109178-{\sqrt {106}})}}=$ $={\sqrt {16.78109178\cdot 4.331192185\cdot 5.964437956\cdot 6.485461642}}=$ $={\sqrt {2811.5}}=53.02357966.$ Dar budas pasitikrinti trikampio ABC plotą:

$S_{\Delta }={a\cdot h \over 2}={{\sqrt {155}}\cdot 8.517912814 \over 2}=53.02357966.$

Vektorinė vektorių sandauga

Grafinis vektorinės vektorių sandaugos pavaizdavimas

Dviejų vektorių vektorinės sandaugos rezultatas yra vektorius status tiems dviems vektoriams. Jei duoti vektoriai $\mathbf {a} =(a_{1};a_{2};a_{3})$ ir $\mathbf {b} =(b_{1};b_{2};b_{3}),$ tai vektorinė sandauga vektorių a ir b duos trečią vektorių $\mathbf {n} ,$ kuris bus status vektoriui a ir vektoriui b.

$\mathbf {n} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k} =$

$=\mathbf {i} a_{2}b_{3}+\mathbf {j} a_{3}b_{1}+\mathbf {k} a_{1}b_{2}-\mathbf {i} a_{3}b_{2}-\mathbf {j} a_{1}b_{3}-\mathbf {k} a_{2}b_{1}=$

$=\mathbf {i} (a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})+\mathbf {j} (a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})+\mathbf {k} (a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})=$

$=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2};a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3};a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}).$

Vektorinė sandauga a × b gali būti interpretuojamas kaip plotas lygiagretainio, sudaryto iš kraštinių (arba tiesių) ||a|| ir ||b||.

• Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi

$a\times b={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-2&2\\3&0&-4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-2&2\\0&-4\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}1&2\\3&-4\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}1&-2\\3&0\end{vmatrix}}k=8i+10j+6k=(8;10;6).$

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

$S=||a\times b||={\sqrt {8^{2}+10^{2}+6^{2}}}={\sqrt {200}}=10{\sqrt {2}}.$

Trikampio plotas yra

$S_{\Delta }={\frac {1}{2}}||a\times b||=5{\sqrt {2}}.$

Taikydami Herono formulę patikrinsime ar trikampio plotas $S_{\Delta }$ surastas teisingai.

$||a||={\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {9}}=3,$

$||b||={\sqrt {3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}}={\sqrt {25}}=5.$

Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus

$f={\sqrt {(1-3)^{2}+(-2-0)^{2}+(2-(-4))^{2}}}={\sqrt {4+4+36}}={\sqrt {44}}=2{\sqrt {11}}=6.633249581.$

Pagal Herono formulę randame trikampio pusperimetrį $p={3+5+2{\sqrt {11}} \over 2}=4+{\sqrt {11}}=7.31662479.$ $S_{\Delta }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-f)}}={\sqrt {(4+{\sqrt {11}})(7.31662479-3)(7.31662479-5)(4+{\sqrt {11}}-2{\sqrt {11}})}}=$ $={\sqrt {7.31662479\cdot 4.31662479\cdot 2.31662479\cdot (4-{\sqrt {11}})}}={\sqrt {50}}=5{\sqrt {2}}=7.071067812.$

Dedamųjų daugyba:

$i\times j=-(j\times i)=k;$

$j\times k=-(k\times j)=i;$

$k\times i=-(i\times k)=j.$

$i\times i=j\times j=k\times k=0.$

• Rasime $a\times b,$ jei a=2i-3j+5k=(2; -3; 5), b=4i+2j-6k=(4; 2; -6).

$a\times b=(2i-3j+5k)\times (4i+2j-6k)=8ii+4ij-12ik-12jk-6jj+18jk+20ki+10kj-30kk=$

$=4k+12j+12k+18i+20j-10i=8i+32j+16k=(8;32;16).$

$a\times b={\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-3&5\\4&2&-6\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-3&5\\2&-6\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}2&5\\4&-6\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}2&-3\\4&2\end{vmatrix}}k=8i+32j+16k=(8;32;16).$

• Apskaičiuosime trikampio su viršūnėmis taškuose A(-1; 0; 2), B(1; -2; 5), C(3; 0; -4) plotą.

a=AB=(1-(-1); -2-0; 5-2)=(2; -2; 3); b=AC=(3-(-1); 0-0; -4-2)=(4; 0; -6); $a\times b={\begin{vmatrix}i&j&k\\2&-2&3\\4&0&-6\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-2&3\\0&-6\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}2&3\\4&-6\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}2&-2\\4&0\end{vmatrix}}k=12i+24j+8k=(12;24;8).$ $||a\times b||={\sqrt {12^{2}+24^{2}+8^{2}}}={\sqrt {784}}=28.\;S_{\Delta }={\frac {1}{2}}||a\times b||={\frac {1}{2}}\cdot 28=14.$

• Trikampio ABC viršunės yra taškai A(1; -1; 2), B(5; -6; 2) ir C(1; 3; -1). Apskaičiuosime šio trikampio plotą ir aukštinės h, nuleistos iš viršunės B į kraštinę AC, ilgį.

Žinome, kad $S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}||AB\times AC||.$ Randame vektorių AB ir AC koordinates bei vektorinę sandaugą: AB=(4; 5; 0), AC=(0; 4; -3),

$AB\times AC={\begin{vmatrix}i&j&k\\4&-5&0\\0&4&-3\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-5&0\\4&-3\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}4&0\\0&-3\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}4&-5\\0&4\end{vmatrix}}k=15i-(-12)j+16k=(15;12;16).$ Apskaičiuojame lygiagretainio plotą: $||AB\times AC||={\sqrt {15^{2}+12^{2}+16^{2}}}={\sqrt {625}}=25.$ Tada trikampio ABC plotas bus lygus $S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}\cdot 25=12.5.$ Norėdami rasti trikampio aukšinę h, pritaikykime kitą trikampio ploto formulę: $S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}||AC||\cdot h.$ Sulyginę formules, gauname: ${\frac {1}{2}}||AB\times AC||={\frac {1}{2}}||AC||\cdot h.$ Iš čia trikampio ABC aukšinė $h={\frac {||AB\times AC||}{||AC||}}={\frac {25}{5}}=5,$ kadangi $||AC||={\sqrt {0^{2}+4^{2}+(-3)^{2}}}={\sqrt {0+16+9}}=5.$

• Apskaičiuosime trikampio plotą, kai žinomi jo viršunių taškai B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1).

Trikampio kraštinių vektoriai yra šie: BC=(5-(-1); 2-3; 6-4)=(6; -1; 2); BD=(5-7; 2-3; 6-(-1))=(-2; -1; 7); CD=(-1-7; 3-3; 4-(-1))=(-8; 0; 5). Trikampio kraštinių ilgiai yra šie: $||BC||={\sqrt {6^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {36+1+4}}={\sqrt {41}}=6.403124237;$ $||BD||={\sqrt {(-2)^{2}+(-1)^{2}+7^{2}}}={\sqrt {4+1+49}}={\sqrt {54}}=7.348469228;$ $||CD||={\sqrt {(-8)^{2}+0^{2}+5^{2}}}={\sqrt {64+0+25}}={\sqrt {89}}=9.433981132;$ Kadangi

$BC\times BD={\begin{vmatrix}i&j&k\\6&-1&2\\-2&-1&7\end{vmatrix}}=i\cdot (-1)\cdot 7+j\cdot 2\cdot (-2)+k\cdot 6\cdot (-1)-i\cdot 2\cdot (-1)-j\cdot 6\cdot 7-k\cdot (-1)\cdot (-2)=$

$=-7i+2i-4j-42j-6k-2k=-5i-46j-8k=(-5;-46;-8),$ tai trikampio plotas lygus: $S_{\Delta }={1 \over 2}\cdot ||BC\times BD||={1 \over 2}\cdot {\sqrt {(-5)^{2}+(-46)^{2}+(-8)^{2}}}={{\sqrt {25+2116+64}} \over 2}={{\sqrt {2205}} \over 2}=23.47871376.$

Pagal Herono formulę pasitikriname ar trikampio plotas gautas teisingai.

Randame trikampio pusperimetrį $p={||BC||+||BD||+||CD|| \over 2}={{\sqrt {41}}+{\sqrt {54}}+{\sqrt {89}} \over 2}=11.5927873.$ $S_{\Delta }={\sqrt {p(p-||BC||)(p-||BD||)(p-||CD||)}}=$ $={\sqrt {11.5927873(11.5927873-{\sqrt {41}})(11.5927873-{\sqrt {54}})(11.5927873-{\sqrt {89}})}}=$ $={\sqrt {11.5927873\cdot 5.189663062\cdot 4.244318071\cdot 2.158806167}}={\sqrt {551.2500001}}=23.47871377.$

Trikampio plotą galima surasti ir su tokia formule:

$S_{\Delta }={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {(x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1})^{2}+(x_{1}\cdot z_{2}-x_{2}\cdot z_{1})^{2}+(y_{1}\cdot z_{2}-y_{2}\cdot z_{1})^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {(6\cdot (-1)-(-2)\cdot (-1))^{2}+(6\cdot 7-(-2)\cdot 2)^{2}+((-1)\cdot 7-(-1)\cdot 2)^{2}}}=$ $={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {(-6-2)^{2}+(42+4)^{2}+(-7+2)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {(-8)^{2}+46^{2}+(-5)^{2}}}={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {64+2116+25}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2205}}=23.47871376,$

kur $BC=(x_{1};y_{1};z_{1})=(6;-1;2)$, $BD=(x_{2};y_{2};z_{2})=(-2;-1;7)$.

• Apskaičiuosime lygiagretainio plotą, kai turime vektorius OA=a=(5; 3; 0) ir OB=b=(4; 7; 0). Koordinačių pradžios taškas yra O(0; 0; 0).

$a\times b={\begin{vmatrix}i&j&k\\5&3&0\\4&7&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}3&0\\7&0\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}5&0\\4&0\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}5&3\\4&7\end{vmatrix}}k=i(3\cdot 0-0\cdot 7)-j(5\cdot 0-0\cdot 4)+k(5\cdot 7-3\cdot 4)=0i+0j+(35-12)k=0i+0j+23k=(0;0;23).$

$S=\|a\times b\|={\sqrt {0^{2}+0^{2}+23^{2}}}={\sqrt {529}}=23.$

Dvimatėse koordinatėse galima taikyti ir trumpesnę formulę lygiagretainio arba trikampio plotui:

$S=|x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1}|=|5\cdot 7-4\cdot 3|=|35-12|=|23|=23;$

$S_{\Delta }={\frac {|x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1}|}{2}}={\frac {23}{2}}=11.5.$

Trimatėms koordinatėms alternatyvi formulė yra tokia, kad surasti lygiagretainio plotą:

$S={\sqrt {(x_{1}\cdot y_{2}-x_{2}\cdot y_{1})^{2}+(x_{1}\cdot z_{2}-x_{2}\cdot z_{1})^{2}+(y_{1}\cdot z_{2}-y_{2}\cdot z_{1})^{2}}}.$

• Turime dvi tiesių atkarpas: OA ir OB. Taškas O(0; 0; 0) yra koordinačių pradžios taškas. Taškas A(3; 5; 1) yra vektorius a=(3; 5; 1). Taškas B(5; 3; 1) yra vektorius b=(5; 3; 1). Vektorius a yra tiesės atkarpa nuo taško O(0; 0; 0) iki taško A(3; 5; 1). Vektorius b yra tiesės atkarpa nuo taško O(0; 0; 0) iki taško B(5; 3; 1). Sudauginę vektorine vektorių sandauga vektorius a ir b, gausime jiems statų vektorių c. Taigi, taško C, kuris su tašku O sudaro atkarpą statmeną atkarpoms OA ir OB, koordinatės yra:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\3&5&1\\5&3&1\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}5&1\\3&1\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}3&1\\5&1\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}3&5\\5&3\end{vmatrix}}\mathbf {k} =$

$=\mathbf {i} (5\cdot 1-1\cdot 3)-\mathbf {j} (3\cdot 1-1\cdot 5)+\mathbf {k} (3\cdot 3-5\cdot 5)=\mathbf {i} (5-3)-\mathbf {j} (3-5)+\mathbf {k} (9-25)=$

$=2\mathbf {i} +2\mathbf {j} -16\mathbf {k} =(2;2;-16).$

Gavome tašką C(2; 2; -16).

Įsitikiname, kad kampas tarp vektoriaus a=(3; 5; 1) ir vektoriaus c=(2; 2; -16) yra lygus 90 laipsnių:

$\cos \alpha ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \|\cdot \|\mathbf {c} \|}}={\frac {3\cdot 2+5\cdot 2+1\cdot (-16)}{{\sqrt {3^{2}+5^{2}+1^{2}}}\cdot {\sqrt {2^{2}+2^{2}+(-16)^{2}}}}}={\frac {6+10-16}{{\sqrt {9+25+1}}\cdot {\sqrt {4+4+256}}}}=0;$

$\alpha =\arccos(0)={\frac {\pi }{2}}=1,570796327$ radiano arba $\alpha =90^{\circ }.$

• Turime dvi tiesių atkarpas: OA ir OB. Taškas O(0; 0; 0) yra koordinačių pradžios taškas. Taškas A(3; 5; 1) yra vektorius a=(3; 5; 1). Taškas B(4; 3; 2) yra vektorius b=(4; 3; 2). Vektorius a yra tiesės atkarpa nuo taško O(0; 0; 0) iki taško A(3; 5; 1). Vektorius b yra tiesės atkarpa nuo taško O(0; 0; 0) iki taško B(4; 3; 2). Sudauginę vektorine vektorių sandauga vektorius a ir b, gausime jiems statų vektorių c. Taigi, taško C, kuris su tašku O sudaro atkarpą statmeną atkarpoms OA ir OB, koordinatės yra:

$\mathbf {c} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\3&5&1\\4&3&2\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}5&1\\3&2\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}3&1\\4&2\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}3&5\\4&3\end{vmatrix}}\mathbf {k} =$

$=\mathbf {i} (5\cdot 2-1\cdot 3)-\mathbf {j} (3\cdot 2-1\cdot 4)+\mathbf {k} (3\cdot 3-5\cdot 4)=\mathbf {i} (10-3)-\mathbf {j} (6-4)+\mathbf {k} (9-20)=$

$=7\mathbf {i} -2\mathbf {j} -11\mathbf {k} =(7;-2;-11).$

Gavome tašką C(7; -2; -11).

Įsitikiname, kad kampas $\alpha$ tarp vektoriaus a=(3; 5; 1) ir vektoriaus c=(7; -2; -11) yra lygus 90 laipsnių:

$\cos \alpha ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \|\cdot \|\mathbf {c} \|}}={\frac {3\cdot 7+5\cdot (-2)+1\cdot (-11)}{{\sqrt {3^{2}+5^{2}+1^{2}}}\cdot {\sqrt {7^{2}+(-2)^{2}+(-11)^{2}}}}}={\frac {21-10-11}{{\sqrt {9+25+1}}\cdot {\sqrt {49+4+121}}}}=0;$

$\alpha =\arccos(0)={\frac {\pi }{2}}=1,570796327$ radiano arba $\alpha =90^{\circ }.$

Įsitikiname, kad kampas $\beta$ tarp vektoriaus b=(4; 3; 2) ir vektoriaus c=(7; -2; -11) yra lygus 90 laipsnių:

$\cos \beta ={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \|\cdot \|\mathbf {c} \|}}={\frac {4\cdot 7+3\cdot (-2)+2\cdot (-11)}{{\sqrt {4^{2}+3^{2}+2^{2}}}\cdot {\sqrt {7^{2}+(-2)^{2}+(-11)^{2}}}}}={\frac {28-6-22}{{\sqrt {16+9+4}}\cdot {\sqrt {49+4+121}}}}=0;$

$\beta =\arccos(0)={\frac {\pi }{2}}=1,570796327$ radiano arba $\beta =90^{\circ }.$

Mišri vektorių sandauga

Mišri vektorių sandauga (a b c) yra apibrėžiama:

$(\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).$

Mišriają sandaugą taip pat galima užrašyti taip:

$V=|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |$,

čia V yra lygiagretainio gretasienio tūris.

Piramidės tūris yra:

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |.$

Pavyzdžiai

• Duoti vektoriai a=(4; 9; 0), b=(7; 5; 0), c=(2; 3; 10). Rasime piramidės, kurią sudaro šie vektoriai, tūrį.

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{z}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}=a_{x}{\begin{vmatrix}b_{y}&b_{z}\\c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}-a_{y}{\begin{vmatrix}b_{x}&b_{z}\\c_{x}&c_{z}\end{vmatrix}}+a_{z}{\begin{vmatrix}b_{x}&b_{y}\\c_{x}&c_{y}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}4&9&0\\7&5&0\\2&3&10\end{vmatrix}}=4{\begin{vmatrix}5&0\\3&10\end{vmatrix}}-9{\begin{vmatrix}7&0\\2&10\end{vmatrix}}+0\cdot {\begin{vmatrix}7&5\\2&3\end{vmatrix}}=4\cdot 50-9\cdot 70+0=200-630=-430.$

Piramidės su viršūnėmis O(0; 0; 0), A(4; 9; 0), B(7; 5; 0), C(2; 3; 10) tūris yra:

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}\cdot |(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |={\frac {1}{6}}\cdot |-430|={\frac {430}{6}}={\frac {215}{3}}=71.66666667.$

• Duoti vektoriai a=(4; 9; 0), b=(7; 5; 0), c=(0; 0; 10). Rasime piramidės, kurią sudaro šie vektoriai, tūrį.

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{z}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}=a_{x}{\begin{vmatrix}b_{y}&b_{z}\\c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}-a_{y}{\begin{vmatrix}b_{x}&b_{z}\\c_{x}&c_{z}\end{vmatrix}}+a_{z}{\begin{vmatrix}b_{x}&b_{y}\\c_{x}&c_{y}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}4&9&0\\7&5&0\\0&0&10\end{vmatrix}}=4{\begin{vmatrix}5&0\\0&10\end{vmatrix}}-9{\begin{vmatrix}7&0\\0&10\end{vmatrix}}+0\cdot {\begin{vmatrix}7&5\\0&0\end{vmatrix}}=4\cdot 50-9\cdot 70+0=200-630=-430.$

Piramidės su viršūnėmis O(0; 0; 0), A(4; 9; 0), B(7; 5; 0), C(0; 0; 10) tūris yra:

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}\cdot |(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |={\frac {1}{6}}\cdot |-430|={\frac {430}{6}}={\frac {215}{3}}=71.66666667.$

• Duoti vektoriai a=(1; 2; 0), b=(1; -2; 0), c=(0; 0; 3), kurių pradžios koordinatės yra (0; 0; 0). Rasime lygiagretainio gretasienio tūrį:

$V=(a\times b)\cdot c={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{z}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}=c_{x}\cdot (-1)^{3+1}{\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}+c_{y}\cdot (-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{z}\\b_{x}&b_{z}\end{vmatrix}}+c_{z}\cdot (-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}1&2&0\\1&-2&0\\0&0&3\end{vmatrix}}=3\cdot (-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}1&2\\1&-2\end{vmatrix}}=3(1\cdot (-2)-2\cdot 1)=-12.$

Gretasienio tūris yra |-12|=12. Taip pat galima skaičiuot taip: $V={\begin{vmatrix}1&2&0\\1&-2&0\\0&0&3\end{vmatrix}}=1\cdot (-2)\cdot 3+2\cdot 0\cdot 0+0\cdot 1\cdot 0-1\cdot 0\cdot 0-2\cdot 1\cdot 3-0\cdot (-2)\cdot 0=-6+0+0-0-6-0=-12.$

Patikriname ar atsakymas bus toks pat naudojant vektorine sandauga (vektorių a ir b) sudauginta su statmeno vektoriaus c ilgiu:

$a\times b={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&2&0\\1&-2&0\end{vmatrix}}=$

$=i\cdot 2\cdot 0+j\cdot 0\cdot 1+k\cdot 1\cdot (-2)-i\cdot 0\cdot (-2)-j\cdot 1\cdot 0-k\cdot 2\cdot 1=$

$=0i-0i+0j-0j-2k-2k=0i+0j-4k=(0;0;-4).$

$||a\times b||={\sqrt {0^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}}={\sqrt {0+0+16}}={\sqrt {16}}=4.$

$||c||={\sqrt {0^{2}+0^{2}+3^{2}}}={\sqrt {9}}=3.$

$V=||a\times b||\cdot ||c||=4\cdot 3=12.$

Patikriname taikydami Herono formulę.

$||a||={\sqrt {1^{2}+2^{2}+0^{2}}}={\sqrt {5}}=2,236067978.$

$||b||={\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+0}}={\sqrt {5}}=2,236067978.$

Atstumas tarp taškų a=(1; 2; 0) ir b=(1; -2; 0) yra lygus: $f={\sqrt {(1-1)^{2}+(2-(-2))^{2}+(0-0)^{2}}}={\sqrt {16}}=4.$

$p={a+b+f \over 2}={{\sqrt {5}}+{\sqrt {5}}+4 \over 2}={\sqrt {5}}+2=4.236067978.$

$S_{\Delta }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-f)}}={\sqrt {4.236067978({\sqrt {5}}+2-{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+2-{\sqrt {5}})({\sqrt {5}}+2-4)}}=$

$={\sqrt {({\sqrt {5}}+2)\cdot 2\cdot 2\cdot ({\sqrt {5}}-2)}}={\sqrt {(5-4)\cdot 2\cdot 2}}={\sqrt {4}}=2.$

$S=2S_{\Delta }=2\cdot 2=4.$ $V=S\cdot ||c||=4\cdot 3=12.$

• Rasime piramidės su 4 viršunėmis, kurios pagrindas yra trikampis, tūrį:

$V={\frac {1}{6}}|(a\times b)\cdot c|={\frac {12}{6}}=2.$

Piramidės tūris yra ${\frac {1}{6}}|(a\times b)\cdot c|$ todėl, kad piramidės pagrindo plotas yra puse (S=ab/2) lygiagretainio ploto, o kadangi gretasienio tūris yra V=abh=Sh ir piramidės (kurios pagrindas trikampis) tūris yra V=(ab/2)*h/3=abh/6=Sh/3, tai dėl to piramidės tūris yra V=abh/6 arba 1/6 gretasienio tūrio. Piramidės, kurios pagrindas yra keturkampis, tūris yra $V={\frac {1}{3}}|(a\times b)\cdot c|.$

• Pavyzdis. Trikampės piramidės viršūnės yra taškai A(3; -1; 5), B(5; 2; 6), C(-1; 3; 4) ir D(7; 3; -1). Apskaičiuosime šios piramidės tūrį ir aukštinės, nuleistos iš taško D į sieną ABC, ilgį.

Sprendimas. Nubraižykime tris vektorius, išeinančius iš vieno taško, pavyzdžiui, iš taško A: AB, AC, AD. Žinome, kad trikampės piramidės tūris

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}|(AB\times AC)\cdot AD|.$

Randame vektorių AB, AC ir AD koordinates:

AB=B-A=(5-3; 2-(-1); 6-5)={2; 3; 1},

AC=C-A=(-1-3; 3-(-1); 4-5)={-4; 4; -1},

AD=D-A=(7-3; 3-(-1); -1-5)={4; 4; -6}.

Apskaičiuojame mišriąją gautų vektorių sandaugą:

$(AB\times AC)\cdot AD={\begin{vmatrix}2&3&1\\-4&4&-1\\4&4&-6\end{vmatrix}}=2\cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}4&-1\\4&-6\end{vmatrix}}+3\cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}-4&-1\\4&-6\end{vmatrix}}+1\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}-4&4\\4&4\end{vmatrix}}=$

$=2\cdot (-1)^{2}\cdot (4\cdot (-6)-(-1)\cdot 4)+3\cdot (-1)^{3}\cdot ((-4)\cdot (-6)-(-1)\cdot 4)+1\cdot (-1)^{4}\cdot ((-4)\cdot 4-4\cdot 4)=$

$=2\cdot (-24+4)-3\cdot (24+4)+1\cdot (-16-16)=2\cdot (-20)-3\cdot 28-32=-40-84-32=-156.$

Tada trikampės piramidės tūris

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}\cdot |-156|={\frac {156}{6}}=26.$

Norėdami rasti piramidės aukštinę h, pritaikykime kitą piramidės tūrio formulę:

$V_{pir.}={\frac {1}{3}}\cdot S_{\Delta ABC}\cdot h.$

Bet $S_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}\cdot \|AB\times AC\|,$ todėl

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}\cdot \|AB\times AC\|\cdot h.$

Sulygindami šią formulę su ankstesne piramidės formule, gauname:

${\frac {1}{6}}|(AB\times AC)\cdot AD|={\frac {1}{6}}\cdot \|AB\times AC\|\cdot h;$

$h={\frac {|(AB\times AC)\cdot AD|}{\|AB\times AC\|}}={\frac {156}{\sqrt {453}}}=7.329519377,$

kur $AB\times AC={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&3&1\\-4&4&-1\end{vmatrix}}=\mathbf {i} \cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}3&1\\4&-1\end{vmatrix}}+\mathbf {j} \cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}2&1\\-4&-1\end{vmatrix}}+\mathbf {k} \cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}2&3\\-4&4\end{vmatrix}}=$

$=\mathbf {i} \cdot (3\cdot (-1)-1\cdot 4)-\mathbf {j} \cdot (2\cdot (-1)-1\cdot (-4))+\mathbf {k} \cdot (2\cdot 4-3\cdot (-4))=\mathbf {i} \cdot (-3-4)-\mathbf {j} \cdot (-2+4)+\mathbf {k} \cdot (8+12)=-7\mathbf {i} -2\mathbf {j} +20\mathbf {k} =(-7;-2;20);$

$\|AB\times AC\|={\sqrt {(-7)^{2}+(-2)^{2}+20^{2}}}={\sqrt {49+4+400}}={\sqrt {453}}=21.28379665.$

• Pavyzdis. Duoti vektoriai A=a={5; 3; 0}, B=b={4; 11; 0}, C=c={3; 7; 6}. Visi jie išeina iš koordinačių pradžios taško O(0; 0; 0), todėl visi trys vektoriai liečiasi tame pačiame taške (0; 0; 0). Rasime piramidės tūrį ir patikrinsimę jį (žinodami piramidės aukštį $h=c_{z}=6$). Piramidės tūris, kurios pagriną sudaro OAB trikampis, yra:

$V_{pir.}={\frac {1}{6}}\cdot |(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |={\frac {1}{6}}\cdot |258|=43.$

kur $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}5&3&0\\4&11&0\\3&7&6\end{vmatrix}}=5\cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}11&0\\7&6\end{vmatrix}}+3\cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}4&0\\3&6\end{vmatrix}}+0\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}4&11\\3&7\end{vmatrix}}=$

$=5\cdot (-1)^{2}\cdot (11\cdot 6-0\cdot 7)+3\cdot (-1)^{3}\cdot (4\cdot 6-0\cdot 3)+0=5\cdot 66-3\cdot 24=330-72=258.$

Toliau, surandame trikampio OAB plotą:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\5&3&0\\4&11&0\end{vmatrix}}=\mathbf {i} \cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}3&0\\11&0\end{vmatrix}}+\mathbf {j} \cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}5&0\\4&0\end{vmatrix}}+\mathbf {k} \cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}5&3\\4&11\end{vmatrix}}=$ $=\mathbf {i} \cdot (3\cdot 0-0\cdot 11)-\mathbf {j} \cdot (5\cdot 0-0\cdot 4)+\mathbf {k} \cdot (5\cdot 11-3\cdot 4)=0\mathbf {i} -0\mathbf {j} \cdot +\mathbf {k} \cdot (55-12)=0\mathbf {i} +0\mathbf {j} +43\mathbf {k} =(0;0;43);$

$S_{\Delta OAB}={\frac {1}{2}}\cdot \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {0^{2}+0^{2}+43^{2}}}={\frac {43}{2}}=21.5.$

Piramidės OABC tūris yra:

$V_{pir.}={\frac {1}{3}}\cdot S_{\Delta OAB}\cdot h={\frac {21.5\cdot 6}{3}}=43.$

• Pavyzdis. Duoti vektoriai a={8; 6; 2}, b={5; 9; 3}, c={1; 2; 7}. Apskaičiuosime piramidės, kurią sudaro šie vektoriai, tūrį V.

Sprendimas. Piramidės tūris yra lygus 1/6 mišrios vektorių a={8; 6; 2}, b={5; 9; 3}, c={1; 2; 7} sandaugos. Taigi:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{z}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}8&6&2\\5&9&3\\1&2&7\end{vmatrix}}=8\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}9&3\\2&7\end{vmatrix}}+6\cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}5&3\\1&7\end{vmatrix}}+2\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}5&9\\1&2\end{vmatrix}}=$

$=8\cdot (9\cdot 7-3\cdot 2)-6\cdot (5\cdot 7-3\cdot 1)+2\cdot (5\cdot 2-9\cdot 1)=8\cdot (63-6)-6\cdot (35-3)+2\cdot (10-9)=8\cdot 57-6\cdot 32+2\cdot 1=285-192+2=95.$

$V={\frac {1}{6}}\cdot |(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |={\frac {1}{6}}\cdot |95|={\frac {95}{6}}=15.833333333.$

Kolinearūs ir komplanarūs vektoriai

Vektoriai yra kolinearūs, jeigu $a\times b=0.$ Dvimačiai vektoriai yra kolinearūs, kai yra lygiagretūs.

Vektoriai yra komplanarūs, jeigu $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} =0.$

Trimatėje erdvėje vektoriai yra komplanarūs, kai priklauso tai pačiai ploštumai.

• Pavyzdys. Ar gali keturi taškai A(1; 2; 3), B(2; 4; 1), C(1; -3; 6) ir D(4; -2; 3) priklausyti vienai plokštumai?

Sprendimas. Taškai A, B, C ir D priklausys plokštumai g, kai vektoriai AB, AC ir AD bus komplanarūs. Randame šų vektorių koordinates:

a=AB=B-A=(2-1; 4-2; 1-3)={1; 2; -2},

b=AC=C-A=(1-1; -3-2; 6-3)={0; -5; 3},

c=AD=D-A=(4-1; -2-2; 3-3)={3; -4; 0}.

Apskaičiuojame mišriąją jų sandaugą:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} ={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{z}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}=c_{x}\cdot (-1)^{3+1}{\begin{vmatrix}a_{y}&a_{z}\\b_{y}&b_{z}\end{vmatrix}}+c_{y}\cdot (-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{z}\\b_{x}&b_{z}\end{vmatrix}}+c_{z}\cdot (-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}\\b_{x}&b_{y}\end{vmatrix}}=$

$={\begin{vmatrix}1&2&-2\\0&-5&3\\3&-4&0\end{vmatrix}}=3\cdot (-1)^{3+1}{\begin{vmatrix}2&-2\\-5&3\end{vmatrix}}+(-4)\cdot (-1)^{3+2}{\begin{vmatrix}1&-2\\0&3\end{vmatrix}}+0\cdot (-1)^{3+3}{\begin{vmatrix}1&2\\0&-5\end{vmatrix}}=$

$=3\cdot (2\cdot 3-(-2)\cdot (-5))+4\cdot (1\cdot 3-(-2)\cdot 0)+0=3\cdot (6-10)+4\cdot 3+0=3\cdot (-4)+12=-12+12=0.$

Kadangi mišrioji tijų vektorių sandauga lygi nuliui, tai tie vektoriai yra komplanarūs, o taškai A, B, C ir D priklauso vienai plokštumai g.

• Patikrinsime, ar vektoriai AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, AB={2; 3; 1} ir AC={-4; 4; -1} komplanarūs (ar vektoriai guli toje pačioje plokštumoje):

$({\vec {AG}}\times {\vec {AB}})\cdot {\vec {AC}}={\begin{vmatrix}-0.16178814&1.49809435&0.093183585\\2&3&1\\-4&4&-1\end{vmatrix}}=$

$=-0.16178814\cdot (-1)^{1+1}{\begin{vmatrix}3&1\\4&-1\end{vmatrix}}+1.49809435\cdot (-1)^{1+2}{\begin{vmatrix}2&1\\-4&-1\end{vmatrix}}+0.093183585\cdot (-1)^{1+3}{\begin{vmatrix}2&3\\-4&4\end{vmatrix}}=$

$=-0.16178814\cdot (-3-4)-1.49809435\cdot (-2-(-4))+0.093183585\cdot (8-(-12))=$

$=-0.16178814\cdot (-7)-1.49809435\cdot 2+0.093183585\cdot 20=1.13251698-2.9961887+1.8636717=-0.00000002.$

Mišrios vektorių sandaugos rezultatas yra 0, todėl vektoriai AG, AB ir AC priklauso tai pačiai plokštumai.

Lagrandžo tapatumas

$\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.$

Nes tai

${\frac {\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}}{\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}}}={\frac {\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}}{\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}}}-{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}{\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}}},$

${\frac {\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}}{\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}}}=1-{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}}{\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}}}$

yra tai:

$\sin ^{2}\phi =1-\cos ^{2}\phi .$

Erdvėje, kuri turi n matavimų:

$\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}.$

Kai $n=3$:

$\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq 3}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}=(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}\ .$

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\det {\begin{bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{bmatrix}}.$

• Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}i&j&k\\1&-2&2\\3&0&-4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-2&2\\0&-4\end{vmatrix}}i-{\begin{vmatrix}1&2\\3&-4\end{vmatrix}}j+{\begin{vmatrix}1&-2\\3&0\end{vmatrix}}k=8i+10j+6k=(8;10;6).$

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai yra:

$S=||\mathbf {a} \times \mathbf {b} ||={\sqrt {8^{2}+10^{2}+6^{2}}}={\sqrt {200}}=10{\sqrt {2}}.$

$||a||={\sqrt {1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}={\sqrt {9}}=3;$

$||b||={\sqrt {3^{2}+0^{2}+(-4)^{2}}}={\sqrt {25}}=5.$

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =1\cdot 3+(-2)\cdot 0+2\cdot (-4)=3+0-8=-5.$

$\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=3^{2}\cdot 5^{2}-(-5)^{2}=9\cdot 25-25=225-25=200.$

$||\mathbf {a} \times \mathbf {b} ||^{2}=({\sqrt {8^{2}+10^{2}+6^{2}}})^{2}=({\sqrt {200}})^{2}=200.$

Jėga ir vektoriai

Duotos jėgos F projekcijos $F_{x}=4$, $F_{y}=4$, $F_{z}=-4{\sqrt {2}}.$ Rasime jėgos dydį ||F|| ir jos veikimo kryptį. Jėgos dydis yra: $||F||={\sqrt {F_{x}^{2}+F_{y}^{2}+F_{z}^{2}}}={\sqrt {4^{2}+4^{2}+(-4{\sqrt {2}})^{2}}}={\sqrt {16+16+32}}={\sqrt {64}}=8$. Rasime krypties kosinusus: $\cos \alpha ={\frac {F_{x}}{||F||}}={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}$, $\cos \beta ={\frac {F_{y}}{||F||}}={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}$, $\cos \gamma ={\frac {F_{z}}{||F||}}={\frac {-4{\sqrt {2}}}{8}}=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$. Iš čia randame kampus $\alpha =\arccos {\frac {1}{2}}=60^{0},\;\beta =\arccos {\frac {1}{2}}=60^{0}\;$, $\gamma =\arccos {\frac {-{\sqrt {2}}}{2}}=135^{0}.$ Vadinasi, jėga ||F|| veikia vektoriaus, sudarančio su koordinačių ašimis kampus $\alpha =60^{0},\;\beta =60^{0},\;\gamma =135^{0},$ kryptimi.

Vektorius a su ašimis Oy ir Oz sudaro kampus $\beta =\gamma =60^{0}.$ Rasime kampą $\alpha ,$ kurį vektorius a sudaro su Ox ašimi. Kadangi $\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,$ tai $\cos ^{2}\alpha =1-\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma =1-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}.$ Iš čia $\cos \alpha ={\sqrt {\frac {1}{2}}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}.$ Tada $\alpha =\arccos {\frac {\sqrt {2}}{2}}=45^{0}$ arba $\alpha =\arccos {\frac {\sqrt {2}}{-2}}=135^{0}.$

Jėga F veikia vektoriaus, sudarančio su koordinačių ašimis kampus $\alpha =\beta =120^{0},\;\gamma =45^{0},$ kryptimi. Rasime jėgos F projekcijas, jei ||F||=6. $F_{x}=F_{y}=||F||\cos \alpha =\cos \beta =6\cos 120^{0}=-3;\;F_{z}=||F||\cos \gamma =6\cos 45^{0}=3{\sqrt {2}}.$ Jėgos F dedamosios $F_{x}=-3i;\;F_{y}=-3j;\;F_{z}=-3{\sqrt {2}}k.$

Vektorių statmenumo sąlyga

Kampas tarp vektoriaus ${\vec {a}}=(x_{0};y_{0};z_{0})$ ir vektoriaus ${\vec {b}}=(x_{1};y_{1};z_{1})$ yra 90 laipsnių, jeigu jų skaliarinė sandaug lygi nuliui:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{0}x_{1}+y_{0}y_{1}+z_{0}z_{1}=0.$

Vektoriai nebūtinai turi išeiti iš to paties taško. Pasinaudoje šia savybe galime sudaryti plokštumos lygtį. Tarkime žinomas vienas plokštumos taškas $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0}).$ Plokštumos taškas $M_{0}(x_{0};y_{0};z_{0})$ jungiasi su betkuriuo kitu plokštumos tašku kurio koordinatės M(x; y; z). Tuomet galima sudaryti begalybę vektorių gulinčių ant tos pačios plokštumos ir iš to, kad M yra kintantis taškas užrašome tam tikro vektoriaus koordinates ${\vec {M_{0}M}}=(x-x_{0};y-y_{0};z-z_{0})$ gulinčio ant plokštumos. Kad visi gauti vektoriai su bet kokiomis taško M koordinatėmis x, y, z gulėtų ant tos pačios plokštumos, reikia, kad būtų tenkinama sąlyga:

${\vec {M_{0}M}}\cdot {\vec {ON}}=(x-x_{0})\cdot (x_{1}-0)+(y-y_{0})\cdot (y_{1}-0)+(z-z_{0})\cdot (z_{1}-0)=0,$

čia ${\vec {ON}}=(x_{1}-0;y_{1}-0;z_{1}-0)=(x_{1};y_{1};z_{1})$ yra vektorius statmenas vektoriui ${\vec {M_{0}M}}=(x-x_{0};y-y_{0};z-z_{0});$ taškas O(0; 0; 0) yra koordinačių pradžios taškas; taškas $N(x_{1};y_{1};z_{1})$ kartu su koordinačių pradžios tašku O(0; 0; 0) sudaro plokštumos normalės vektorių ${\vec {n}}=(x_{1}-0;y_{1}-0;z_{1}-0)=(x_{1};y_{1};z_{1})$ stameną plokštumai $(x-x_{0})\cdot x_{1}+(y-y_{0})\cdot y_{1}+(z-z_{0})\cdot z_{1}=0.$ Tokiu budu sudauginę vieną žinomą vektorių ${\vec {ON}}$ ir vieną kintamą vektorių ${\vec {M_{0}M}}$ ir prilyginę jų skaliarinę sandaugą nuliui (kad visi galimi vektoriai iš vektoriaus ${\vec {M_{0}M}}$ būtų statūs vektoriui ${\vec {ON}}$), gavome plokštumos lygtį, kurios normalės vektorius yra ${\vec {n}}=(x_{1};y_{1};z_{1}).$