Matematika/Vektorius

< Matematika(Nukreipta iš Vektorius)

Vektorius – matematinis dydis, apibūdinamas reikšme ir kryptimi erdvėje. Grafiškai vektoriai vaizduojami tiesių atkarpomis su rodyklėmis.

Bendriausias vektoriaus pavyzdys fizikoje būtų jėga.

Skaitinių dydžių grupė abibūdinanti pasirinktą objektą gali būti užrašyta sugrupuotų skaičių sąrašu arba kitaip -- vektoriumi:

.
kur v yra d skaičių vektorius. Išraiškos su vektoriais yra naudojamos siekiant kompaktiškai užrašyti bei patogiai manipuliuoti ilgomis skaičių grupėmis. Kitas vektorinio užrašymo privalumas yra jo geometrinė interpretacija -- kiekvieną v galima įsivaizduoti kaip vektorių jungiantį n-matės erdvės koordinačių pradžią su tašku, kurio koordinatės nustatytos nariais sudarančiais v.

Vektoriaus daugyba iš skaliaroKeisti

Vienas realaus dydžio skaičius yra vadinamas skaliaru. Vektoriaus daugyba iš skaliaro yra kiekvieno vektoriaus nario daugyba iš skaliaro ir gauta sandauga yra vektorius:

 .

Dviejų vektorių sumaKeisti

Du vektoriai sudedami sudedant kiekvieno iš jų atitinkamus narius:  . Atkreipkite dėmesį, jog vektorinė sudėtis yra komutatyvi, t. y., v+w=w+v.

Skaliarinė vektorių sandaugaKeisti

Išsamesnis straipsnis: Skaliarinė sandauga.

Skaliarinės sandaugos savoka yra glaudžiai susijusi su vektoriaus ilgio bei vektoriaus projekcijos sampratomis.

Norint vektorius sudauginti skaliariškai, abu vektoriai turi atitikti, t. y., abiejų vektorių narių skaičius turi būti vienodas. Skaliarinė dviejų vektorių sandauga yra suma visų kiekvieno iš vektoriaus atitinkamų narių sandaugų:

 
Skaliarinės vektorių sandaugos rezultatas yra ne vektorius, o skaliaras.

Pavyzdžiui, yra vektoriai a(3; 5; 6) ir b(4; 0; 1), tai jų skaliarinė sandauga bus lygi:

 

Vektoriaus ilgisKeisti

Išnagrinėkime atvejį, kai atliekama vektoriaus skaliarinė sandauga su juo pačiu. Plokštumos (2-matės erdvės) bei įprastos koordinačių sistemos atveju turėsime:

 .

Prisiminus Pitagoro teoremą, teigiančią, jog stataus trikampio įstrižainės ilgio kvadratas yra lygus trikampio kraštinių ilgių kvadratų sumai, tampa natūralus toks vektoriaus ilgio apibūdinimas:

 .
Atkreipkite dėmesį, jog jei nors vienas iš vektoriaus narių bus didesnis nei kiti, tai jo pakėlimas kvadratu lems viso vektoriaus ilgį.

Pavyzdžiui, vektoriaus a(3; -2; 4) ilgis (tai yra ilgis nuo taško (0; 0; 0) iki taško (3; -2; 4)):

 

Pavyzdžiui, žinomos vektoriaus pradžios A(3; 2; -4) ir galo B(6; -5; -2) koordinatės. Tada vektoriaus ilgis bus

 

 

Jeigu vektoriaus pradžios koordinatės A(0; 0; 0), o galo koordinatės B(6; -5; -2), tai vektoriaus AB ilgis bus:
 


Vektoriaus sandaugos su skaliaru duos:

||cv||=c ||v||.
  • Pavyzdžiui, vektorius a(3; -2; 4) ir skaliaras c=5. Tada ca=(15; -10; 20).
 
 

Trikampio nelygybė naudojama apibūdinti dviejų vektorių sumos ilgį:

||v+w||<=||v||+||w||.
  • Pavyzdžiui, yra vektoriai v=(3; -2; 4) ir w=(1; 5; 8). z=v+w=(3+1; -2+5; 4+8)=(4; 3; 12).
 
 
 
||v||+||w||=5.385164807+9.486832981=14.87199779.
 

Atstumas tarp vektoriųKeisti

Atstumas tarp vieno vektoriaus galo ir kito vektoriaus galo (atstumas tarp dviejų taškų n-matėje koordinačių sistemoje) matuojamas pagal formulę:

 

Pavyzdžiai

  • Turime vektorius v=[3, 6], w=[7, 4]. Atstumas tarp jų galų:
 


  • Rasime trikampio, esančio trimatėje erdvėje, plotą. Trikampio viršunių koordinates (x; y; z) yra tokios: A(8; 3; -3); B(3; 2; -1); C(4; 0; -3). Dabar reikia surasti tiesių ilgius AB, AC ir BC:
 
 
 

Taikydami Herono formule apskaičiuojame trikampio pusperimetrį p:

 

Ir trikampio plotą S:

 
  • Rasime trikampio plotą, kurio višunės yra taškuose A(1; 3; -2), B(2; -1; 3), C(0; 2; 4).
 
 
 
 

   

Šio trikampio plotą galima apskaičiuoti naudojantis vektorine sandauga. AB=(2-1; -1-3; 3+2)=(1; -4; 5), AC=(0-1; 2-3; 4+2)=(-1; -1; 6).  

 
 

Vektoriaus projekcijos į koordinačių ašisKeisti

Vektoriaus   projekcija į ašį Ox yra:
 
Vektoriaus   projekcija į ašį Oy yra:
 
Vektoriaus   projekcija į ašį Oz yra:
 

Tada  

Vectoriaus   ortas yra:
 

Projekcija vieno vektoriaus į kitą vektoriųKeisti

Vektoriaus a projekcija vektoriuje b yra lygi

 
  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(3; 4), b=(6; 0). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:
 
  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(3; 4), b=(0; 6). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:
 


  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(6; 0), b=(3; 4). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:
 
  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(0; 6), b=(3; 4). Rasime vektoriaus a projekcijos ilgį vektoriuje b. Gauname:
 


  • Randame projekcija vektoriaus AD={4; 4; -6} vektoriuje AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585}, tos projekcijos ilgis yra AE. Gauname:
 
 

Pusiaukampinė tarp vektoriųKeisti

Jei duoti vektoriai a=OA ir b=OB, tai pusiaukampinės ON=c (arba tiesiog, taško N koordinatės, kai taškas O(0; 0; 0)) koordinatės yra:

 
Vektoriaus a ortas yra  
Vektoriaus ON ortas yra:
 
Vektoriaus ortas ir vektorius yra vienakrypčiai, tačiau vektoriaus orto ilgis lygus 1.
 
Vektorių a ir b ortų ilgiai lygus vienam,  
Vektorių padauginus iš skaliaro, vektroriaus ilgis pasikeičia, o kryptis išlieka ta pati.
  • Pavyzdis. Duoti vektoriai a=(5; 3), b=(4; 20). Pusiaukampinė yra:
 
 
 
 
Jei yra taškai O(0; 0), A(5; 3), B(4; 20), tai taškas N(1.053609061; 1.495076431) su tašku O(0; 0) sudaro tiesę ON, kuri yra pusiaukampinė tarp tiesių OA ir OB.
Randame kampą tarp tiesių ON ir OB.
 
 
 
  arba 23.86315547 laipsnio.
Randame kampą tarp tiesių OA ir OB, gauname:
 
  arba 47.72631099 laipsnių. Palyginimui,  


  • Rasime pusiaukampinę kampo tarp vektorių AB ir AC. Sudėję šių vektorių ortus gausime naują vektorių AG, kurio koordinatės yra:
 
 
 
Rasime kampą tarp vektoriaus AG={-0.16178814; 1.49809435; 0.093183585} ir vektoriaus AB={2; 3; 1}. Taigi,
 
 
  radiano arba 40.98844149 laipsnio.
Patikrinimui, rasime kampą tarp vektoriaus AC={-4; 4; -1} ir AB={2; 3; 1}, taigi
 
  radiano arba 81,97688296 laipsnio. Patikriname, kad  

Kampo tarp vektorių radimas su kosinusuKeisti

Kampas tarp dviejų vektorių yra išreiškiamas per jų skaliarinę sandaugą:

 .
 

Remiantis šia formule tampa akivaizdu kodėl yra sakoma, jog skaliarinė vektorių sandauga parodo vektorių atitikimą (panašumą) vienas kitam.

 
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4).
 
 
  arba 109,4712206 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas   surastas teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus
 

Iš kosinusų teoremos žinome, kad  ;

 
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0).
 
 
  arba 63,43494882 laipsnių.
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(3; 5; 11), b=(7; 8; 2).
 
 
  arba 51.95075583 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas   surastas teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(3; 5; 11) iki taško b=(7; 8; 2) yra lygus
 

Iš kosinusų teoremos žinome, kad  ;

 

 


  • Rasti, kampą tarp vektoriaus   ir vektoriaus  
 
 
  arba 83.84541865 laipsniai.


  • Įrodyti, kad kampas tarp vektoriaus   orto   ir vektoriaus   orto išvestinės lygus 90 laipsnių, kai parametras  .
 
Sprendimas.
Vektoriaus   išvestinė yra:
 
 
Randame vektorių reikšmes taške  :
 
 
Randame kampą tarp vektoriaus   ir vektoriaus   taške  :
 
 
  arba 90 laipsnių.


  • Duota kreivė užrašyta parametrinėmis lygtimis
 
Rasti:
a) kreivės liestinės vektorių;
b) normalizuotą kreivės liestinės vektorių (ortą);
c) kreivės normalės vektorių iš normalizuoto liestinės vektoriaus;
d) kampą tarp liestinės orto (vektoriaus) ir normalės vektoriaus, kai parametro t reikšmė lygi 1 (kai  );
e) kampą tarp liestinės vektoriaus ir normalės vektoriaus, kai  , naudojantis normalės vektororiaus formule   kuri šiai kreivei yra   padauginti iš   reikia tą funkciją, kurios rodiklis ant t mažiausias; kadangi   reikia prilyginti t, jei   turi mažiausią rodiklį virš t, tai gaunasi, kad parametro t ir   reikšmė nekinta (funkcijos   kitimo greitis visose taškuose lygus nuliui, nes  ), bet linija vis tiek kyla aukštyn, todėl tą linijos kilimą reikia kompensuoti   (nes trys koordinačių ašys), kad tikrai būtų liestinės normalė, bet taip padaryti galima tik padarius   reikšmę viena trečiąja didesne.
f) kampą tarp liestinės vektoriaus ir normalės vektoriaus, kai  , naudojantis normalės vektororiaus formule  
Sprendimas.
a) Kreivės liestinės vektorius yra
 
b) Vektoriaus   ilgis yra:
 
Kreivės liestinės normalizuotas vektorius yra šis:
 
jo reikšmė, kai   yra
 
 
c) Kreivės normalės vektorius yra liestinės vektoriaus orto išvestinė:
 
 
 
 
 
 
su reikšme   kreivės normalės vektorius statmenas liestienei yra:
 
 
 
 
 
 
normalizuotas kreivės normalės vektorius yra šis:
 
 
 
d) Kampas   tarp kreivės liestinės normalizuoto vektoriaus ir kreivės normalės vektoriaus yra toks:
 
 
 
  arba 90 laipsnių.
e) Kreivės liestinės vektorius yra
 
kreivės liestinės vektorius, kai   yra:
 
kreivės liestinės vektoriaus ortas, kai  , yra:
 
 
kreivės pseudonormalės vektorius yra:
 
kreivės normalės vektorius yra:
 
kreivės pseudonormalės vektorius, kai  , yra:
 
kreivės normalės vektorius, kai  , yra:
 
kreivės pseudonormalės normalizuotas vektorius, kai   yra:
 
 
 
 
kreivės normalės normalizuotas vektorius, kai   yra:
 
 
 
 
kampas tarp pseudonormalės ir liestinės vektorių yra:
 
 
  arba 76.75702383 laipsniai;
kampas tarp liestinės ir normalės vektoriaus yra:
 
 
  arba 90 laipsnių.
f) Kampas tarp pseudonormalės ir liestinės yra   laipsniai;
kreivės normalės vektorius yra:
 
kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
kreivės liestinės vektorius yra
 
kreivės liestinės vektorius, kai   yra
 
Jeigu vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui, tai vektoriai yra statmeni vienas kitam:
 


  • Duota kreivė užrašyta parametrinėmis lygtimis
 
Rasti:
a) kreivės liestinės vektorių;
b) normalizuotą kreivės liestinės vektorių (ortą);
c) kreivės normalės vektorių iš normalizuoto liestinės vektoriaus;
d) kampą tarp liestinės orto (vektoriaus) ir normalės vektoriaus, kai parametro t reikšmė lygi 1;
e) normalizuotą liestinės vektorių naudojantis formule   ir palyginti su normalizuotu liestinės vektoriu   kai   ir kai  ;
f) tikrąjį kreivės normalės vektorių naudojantis formule   kai   ir kai  ; apskaičiuoti kampą tarp šio normalės vektoriaus ir tarp liestinės vektoriaus, kai   ir kai  ;
g) tikrąjį kreivės normalės vektorių naudojantis formule   kai   ir kai  ; apskaičiuoti kampą tarp šio normalės vektoriaus ir tarp liestinės vektoriaus, kai   ir kai  .
Sprendimas.
a) Kreivės liestinės vektorius yra
 
b) Vektoriaus   ilgis yra:
 
Kreivės liestinės normalizuotas vektorius yra šis:
 
jo reikšmė, kai   yra
 
 
c) Kreivės normalės vektorius yra liestinės vektoriaus orto išvestinė:
 
 
 
 
 
 
su reikšme   kreivės normalės vektorius statmenas liestienei yra:
 
 
 
 
normalizuotas kreivės normalės vektorius yra šis:
 
 
d) Kampas   tarp kreivės liestinės normalizuoto vektoriaus ir kreivės normalės vektoriaus yra toks:
 
 
 
  arba 90 laipsnių.
e) Kai   normalizuotas liestinės vektorius yra:
 
kai   liestinės vektorius yra:
 
kai   normalizuotas liestinės vektorius yra:
 
 
 
 
 
 
liestinės vektoriaus b reikšmė, kai   yra:
 
normalizuoto liestinės vektoriaus b reikšmė, kai   yra:
 
 
 
liestinės vektoriaus b reikšmė, kai   yra:
 
normalizuoto vektoriaus b reikšmė, kai   yra tokia pati kaip normalizuoto a vektoriaus:
 
 
 
f) 'Tikrasis' kreivės normalės vektorius yra:
 
 
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
normalizuotas 'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
 
 
 
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
 
normalizuotas 'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
 
kampas tarp liestinės vektoriaus a ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra lygus 90 laipsnių, nes jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:
 
liestinės vektorius, kai   yra:
 
kampas tarp liestinės vektoriaus ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra 90 laipsnių, nes šių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui:
 
g) 'Tikrasis' kreivės normalės vektorius yra:
 
 
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
'tikrasis' kreivės normalės vektorius, kai   yra:
 
kampas tarp liestinės vektoriaus a ir 'tikrojo' normalės vektoriaus m yra lygus 90 laipsnių, nes jų skaliarinė sandauga lygi nuliui:
 
 

Kampo tarp vektorių radimas su sinusuKeisti

 
 

kur   yra kampas tarp vektorių a ir b.

  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 0), b=(3; 0; 0).
 
 
 

 

 
 
  radiano arba 63.43494882 laipsnio.
Pasitikriname:
 
 
  radiano arba 63,43494882 laipsnių.
Taikydami kosinusų toeremą patikrinsime ar kampas   surastas teisingai. Atkarpos t ilgis iš taško a=(1; -2; 0) iki taško b=(3; 0; 0) yra lygus
 

Iš kosinusų teoremos žinome, kad  ;

 
  • Pavyzdžiui, duoti vektoriai a=(1; -2; 2), b=(3; 0; -4). Jų vektorinė sandauga lygi
 

Čia skaičiuodami vektorinę sandaugą panaudojome determinantą. Vektorinės sandaugos modulis yra lygiagretainio plotas, kurį sudaro du vektoriai:

 

Trikampio plotas yra

 

Kampo tarp vektorių sinusas yra

 
  radianų arba   laipsnių, kur
 
 
Taikydami kosinusų toeremą ir Herono formulę patikrinsime ar kampas   ir trikampio plotas S surasti teisingai. Atkarpos f ilgis iš taško a=(1; -2; 2) iki taško b=(3; 0; -4) yra lygus
 

Pagal Herono formulę randame trikampio pusperimetrį      

Iš kosinusų teoremos žinome, kad  ;
 
  radiano arba 109.4712206 laipsnio.

Idomus faktas, jog

  radiano arba 70.52877937 laipsnio.

Dar kitas būdas patikrinti:

 
 
  • Duoti vektoriai a=(1; 2; 3), b=(3; 5; 4).