Atverti pagrindinį meniu

Dvylipis integralas Dekarto koordinatėseKeisti

Dvilypio integralo skaičiavimo pavyzdžiai.

 
1.
  • Dvilypį integralą   pakeisime kartotiniu, kai sritį D riboja ašis Oy, parabolė   ir tiesė   Pirmiausia randame kreivių   ir   susikirtimo tašką A. Tuo tikslu išsprendžiame lygčių sistemą
{ 
{ 

iš kurios randame: x=1; y=1. Sritį D Gausime, kai x kis nuo 0 iki 1, o y - nuo apatinės kreivės   iki viršutinės   Todėl

 

Kad gautume D srities plotą reikia skaičiuoti šitaip:   Šį plotą galima gauti ir suskaičiavus atskirai trikampio plotą ir po parabolę     nuo 0 iki  .

 
 
 

Tą patį plotą galima gauti dvilypį integralą skaičiuojant šitaip:    

  • Apskaičiuosime srities D plotą, kurį apriboja parabolė   ir parabolė   kai x kinta nuo 0 iki 1.

 

 
2.

Tą patį atsakymą galima gauti iš pradžių apskaičiavus plotą po parabole   ir paskui atėmus iš ploto po parabole   Plotas po parabole   apskaičiuojamas taip:

 

Plotas po parabole   yra:

 

Atėmus plotą po parabole   iš ploto po parabole   gauname ieškomą plotą:  

  • Apskaičiuosime integralą   srityje D, apribota linija       Iš kairės pusės gaunasi trikampis, kurio krašinė a lygiagreti x ašiai ir lygi 1, o kita krašinėb sutampa su y ašimi ir taip pat lygi 1, o trikampio įžambinė lygi  . Iš dešinės pusės viena krašinė lygiagreti x ašiai ir lygi 1 (nes  ), o kita krašinė sutampa su y ašimi ir taip pat lygi 1, šoną riboja parabolė.
 
3.

 

 

Šios dvimatės figuros plotą taip pat galima apskaičiuoti šitaip:      

 
4.
  • Apskaičiuosime ploksčios figuros plotą D apribotą     Sritis D apribota iš kairės parabole   iš kairės - atkrapa   Išsprendę sistemą, randame parabolės ir tiesės susikirtimo taškus
 
 
 
 

  Galima šį dvilypį integralą integruot ir sukeitus funkcijas vietomis, bet reiketų tada dalinti į dvi dalis. Šio uždavinio reikalaujamą plotą galima surasti ir paprastu būdu:        

  • Rasime tūrį kūno V, apriboto paviršiais         Taip kaip šis kūnas yra cilindrinis kūnas su pagrindu D, apribotas iš viršaus paraboloidu   tai turime:

   

  • Rasime tūrį kūno V, išpjauto iš begalines prizmės (stačiakampio gretasienio, kurio plotis ir aukštis  , o ilgis begalinis  ) ribomis     ir paraboloidais (iš viršaus ir apčios atitinkamai)     Tūrį kūno V randame kaip sumą tūrių   ir   jo dalių, gulinčių atitinkamai virš ir po plokštuma XOY. Tokiu budu
 
 

 

 


  • Kūną riboja koordinačių plokštumos       cilindrinis paviršius   ir plokštuma   (13.9 pav., a). Apskaičiuokime to kūno tūrį. Integravimo sritis D yra projekcija plokštumoje xOy. Žinome, kad kūno tūris

   

Apitiksliu budu patikrinsime ar atsakymas teisingas. Ant xOy plokštumos yra pagrindas, kuris yra ligiakraštis trikampis su kraštinėmis a=b=3;  . Šitą liagiakraštį statųjį trikampį padaliname į 30 dalių, tuomet Ox ašis padalinama į 30 dalių. O trikampio plotas gali būti gautas tokiu budu:

 

 

  Nesunkiai galime patikrinti, kad Tikrasis trikampio plotas labai panašus  .

O viso kūno tūrį padaliname į 30 stačiakampių gretasienių:

 

 
 
 
 

Tūrių atsakymai yra panašūs, o padalinus į daugiau dalių atsakymai taptų dar panašesni.

Pagal kai kuriuos samprotavimus, iš esmės čia yra plotas po parabolės šaka atimtas iš stačiakampiom kurio plotas   ir padaugintas iš aukščio h=3 ir tuomet tūris turėtų gautis daugiau:
 
Palyginimui, stačiakampio gretasienio, kurio kraštinės a=3, b=3, c=9, tūris yra  
 
5.
  • Apskaičiuosime tūrį kūno, apriboto paviršiais       ir   Turime   kur D - trikampė integravimo sritis, apribota tiesėmis       Išdestydami integravimo ribas šiame integrale, gauname

     

Šį tūrį galima rasti ir taikant piramidės formulę:

  kur B=1/2 yra piramidės pagrindas, o h=1 yra piramidės aukštis.

 
6.
  • Kūną riboja tiesės   atkarpa ir parabolės   lankas. Randame funkcijų susikirtimo taškus per diskriminantą.
 
 
 
  Randame plotą apribotą šių funkcijų:

   

Šį plotą galimą buvo lengvai apskaičiuoti be dvilypio integralo:

 
 
 

Dvilypis integralas polinėje koordinačių sistemojeKeisti

Polinėje koordinačių sistemoje  

 
 

PavyzdžiaiKeisti

 
Paraboloidas.
  • Kūną riboja plokštuma xOy, cilindrinis paviršius   ir paraboloidas   Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kai D yra skritulio dalis, esanti I ketvirtyje, tai   Tuomet

  Kadangi ketvirčiai yra keturi,   Nepolinėje koordinačių sistemoje sprendimas būtų kur kas sudetingesnis.

  • Kūną riboja plokštuma xOy, cilindrinis paviršius   ir paraboloidas   Apskaičiuokime to kūno tūrį. Kai D yra skritulis ant plokštumos xOy, tai   Tuomet
 
 
Patikrinsime paraboloido   tūrį, kai  ,  , 0<z<16, padalindami parabolės šaką į 10 atkarpų-tiesių, kai 0<x<4. Kiekvienos atkarpos projekcijos į Ox ašį ilgis yra 0,4 (y reikšmės tuomet visada būna 0). Todėl reikiau gauti visas x reikšmes:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dabar toliau reikia surasti visas z reikšmes, įstačius x reikšmes:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dabar sudėsime 10 diskų, kai kiekvieno disko aukštis yra  ,  ,   ir taip toliau. Gauname paraboloido tūrį:
 
 
 
 
 
Na, gavosi daugiau nei integravimo budu   taip ir turėjo gautis. Padalinus į daugiau plonesnių diskų atsakymas gali būti gautas neribotai tikslus, toks pat kaip integruojant.
Palyginimui cilindro tūris lygus dviems paraboloido turiams   O tūris po paraboloidu visada lygus paraboloido tūriui.
 
1.
  • Figūrą riboja kreivės         Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokias kreives apibūdina lygtys     Išskyrę dvinario kvadratus gauname:
  <=>  
  <=>  

Tai apskritimo lygtys. Pirmojo apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2, antrojo centras - taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime tų apskritimų lygtis polinėje koordinačių sistemoje:   ir   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą   o tiesė   - kampą   Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   o   - nuo   iki   Figūros plotas   todėl    

 
  • Figūrą riboja kreivės         Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokias kreives apibūdina lygtys     Išskyrę dvinario kvadratus gauname:
  <=>  
  <=>  

Tai apskritimo lygtys. Pirmojo apskritimo centras yra taškas (0; 0), o spindulys lygus 2, antrojo centras - taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime tų apskritimų lygtis polinėje koordinačių sistemoje:  ,   ir   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą   o tiesė   - kampą   Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   o   - nuo   iki   Figūros plotas   todėl    

 
  • Figūrą riboja kreivės       Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis   Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
  <=>  

Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje:  ,   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą   o tiesė   - kampą   Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   o   - nuo   iki   Figūros plotas   todėl    

 
 
Aoskritimas su spinduliu  .
Dabar rasime šį plotą be integralų. Yra 2 trikampiai, kuriuos sudaro 3 tiesės:  ,  ,  . Tiese   su asimi Ox sudaro kampą 45 laipsniu arba  . Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą,  ,  ,  ,  ,   arba 60 laipsniu. Tiesė   su tiese   kertasi šiuose taškuose  ,  , jie gaunami išsprendus lygčių sistemą:
 
Keitimo butu gauname,
 ;  ;  ;  ;  ;  ,  ;  ,   netinka, nes  , nes Ox asimi dirbama nuo 0 iki 4, taip pat netinka grafike, nes nesikerta tieses kai x=9,4641. Dabar randame koks yra y, kai kertasi šios dvi tiesės; y=x, taigi y=2,535898385, tą patį gauname ir įstačius x į lygtį  .

Dabar galime rasti ilgį tiesės   iki susikirtimo su apskritimo spinduliu, kuris yra tiesė  , taigi   Taip pat randame ilgį tiesės   iki susikirtimo su tiese  . Taigi,   Toliau randame tiesės   ir tiesės   susikirtimo taškus. Keitimo budu išsprendžiame sistemą:

 ;  ;  ;  . Įstačius šią reikšmę į lygtį  , gauname  , kad tiesės kertasi taške, kai   ir  

Pagal pitagoro teorema surandame vienu metu ir tiesės   ir tiesės   ilgius (abiejų tiesių ilgiai vienodi) iki jų susikirtimo taško:  

Dabar galime rasti iškirptą tiesės   dalį kitų dviejų tiesių:   ir  . Taigi,  .
Žinodami kampą tarp tiesės   ir  , kuris yra   laipsnių arba  , pagal formulę   , gauname plotą trikampio iškirptą tiesių  ,   ir iš viršaus tiese  . Tą patį plotą gausime ir taikydami Herono formulę:

 ;       Skaičiuojant dviais būdais plotas sutampa.

Tiesė   su apskritimu   kertasi taške (x; y)=(4; 4). Jei nuleisime nuo susikirtimo vietos žemyn tiesę statmeną Ox ašiai gausime apskritimo spindulį  . Randame y=x tiesės ilgį nuo (0; 0) iki (4; 4):  . Toliau randame y=x tiesės ilgį nuo šios tiesės susikirtimo su tiese   taško iki susikirtimo su apskritimu taško. Taigi,

  Dabar pagal Herono formulę galime rasti trikampio iškirptą tiesių  ,   ir tiesės x=4, kuri turi taškus (4; 0) ir (4; 4):

 ;

      Kampas tarp tiesės   ir   tiesės yra   laipsnių (arba  ) analogiškai kaip iš 90 laipsnių atimti 60 laipsnių kampą, kurį sudaro tiesė   su Ox ašimi. Šios dalies plotą galime apskaičiuoti taip:   Iš šito ploto atėmus ką tik suskaičiuoto trikampio plotą gausime dalį ieškomo ploto:  . Taigi visos ieškomos dalies plotas yra   Visai toks kaip integruojant.

  • Figūrą riboja kreivės     (kad ir kokią x reikšme imtum, y visada yra lygus 0),   (kad ir kokia y reikšmę imtum, x visada yra lygus nuliui). Apskaičiuokime tos figuros plotą (tai yra plotas pusė apskritimo, kurio spindulys lygus 4, o greitai skaičiuojant jo plotas yra  ). Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis   Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
  <=>  

Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje:  ,   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą  , o tiesė   - kampą   Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   o   - nuo   iki   Figūros plotas   todėl    

 
  • Figūrą riboja kreivės     (kad ir kokią x reikšme imtum, y visada yra lygus 0),   (kad ir kokia y reikšmę imtum, x visada yra lygus nuliui). Apskaičiuokime tos figuros plotą (tai yra plotas pusė apskritimo, kurio spindulys lygus 4, o greitai skaičiuojant jo plotas yra  ). Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis   Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
  <=>  

Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (4; 0), o spindulys lygus 4. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje:  ,   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą  , o tiesė   - kampą   (60 laipsnių kampą). Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   o   - nuo   iki   Figūros plotas   todėl    

 
Sprendžiant tokio tipo uždavinius (kitokio tipo ir negali būti, turiu galvoje, ne su apskritimais, o su parabolėmis ir kad būtų polinėse koordinatėse), formulę galima supaprastint iki tokio lygio:
 
kur apskritimo kairys šonas visada liečiasi su koordinačių sistemos O tašku ir ašis Ox visada apskrimą (arba skritulį, jei manyti, kad ten yra ieškomas plotas) dalina į dvi dalis. Visada! Kitaip neįmanoma užrašyti apskritimo lygties, kuri tiktų polinėms koordinatėms, dėl to polinių koordinačių pritaikymas dvilypiams integralams yra labai ribotas. Taigi, apskritimas visada būna koordinačių sistemos pirmame ketvirtyje, kai kampas   kinta nuo 0 iki 90 laipsnių ir didesnės kampo   reikšmės negali būti (tik kampas   turi būti išreikštas radianais).
  • Figura riboja kreivės     ir Ox ašis. Tiesė   su ašimi Ox sudaro 30 laipsnių kampą,   nes  

Kreivė   yra apskritimas, kurį pusiau dalina ašis Ox. Apskritimo centro koordinatės yra (x; y)=(4; 0). Pereidami į polines koordinates apskritimo lygtį perašome   Integruojame, kai   kinta nuo 0 iki   o   kinta nuo 0 iki   taigi:

 
 
 
Patikrinimui, rasime šį plotą elementariosios matematikos metodais. Visu pirma reikia surasti kuriame taške kertasi tiesė   su apskritimu  . Tai mes padarysime išsprendę lygčių sistemą:
 
Tada:
 
Toliau:
 
 
 
 
 
 
 
 
Reikšmė   netinka, nes ieškomas plotas yra pirmame Dekarto koordinačių sistemos ketvirtyje, kai y ir x reikšmės negali būti neigiamos.
Įstatę   reikšmę į bet kurią iš lygčių gausime x koordinate susikirtimo tiesės ir apskritimo taško:
 
Taigi, turime tiesės   ir apskritimo susikirtimo tašką  .
Toliau iš taško   nuleidžiame tiesę statmeną Ox ašiai, kuri susikerta taške B=(2.744562647; 0). Tiesės AB ilgis yra   Tiesės OB ilgis yra  . Randame tiesės OA ilgį:
 
Žinodami visų trikampio OAB kraštinių ilgius, randame pagal Herono formulę trikampio OAB plotą:
 
 
kur  
 
Toliau sujungiame tašką A su apskritimo centro tašku C=(4; 0). Gauname tiesės atkarpą AC, kurią pavadiname f. Iš atkarpos OB=b atimame atimame tiesę OC=d, kurios ilgis yra OC=d=4 ir gauname   Akivaizdžiai kažkas čia ne taip. Iš taško A nuleista tiesė statmena ašiai Ox ir susikirtusi su ašim Ox taške B turėjo sudaryti tiesę OB, kurios ilgis būtų daugiau nei 4. Vadinasi lygčių sistema išspręsta neteisingai. Ši anomalija gali padėti nekartoti klaidų, kai atrodo viskas padaryta teisingai. Todėl nebus trinamas blogas lygčių sistemos išsprendimas ir diskriminanto radimas.

Taigi, iš naujo sprendžiame lygčių sistemą:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matyt, negalima patikrinti integravimo budu gauto ploto, nes nepavyksta rasti susikritimo taško tiesės   su apskritimu   Grafiškai jų susikirtimo taškas apytiksliai yra (x; y)=(6; 3,5). Panašu, kad y surastas teisingai, o prie x, dėl kažkokių priežasčių, dar reikia pridėti spindulį r=4. Todėl galima tęsti ieškoti ploto, kurį riboja apskritimas  , tiesė   ir ašis Ox. Iš naujo nuleidžiamę statmenį iš taško   į tašką B=(6; 0) ir   Atkarpa  . Trikampio OAB plotas yra   Apskritimo centro tašką pavadinkime C=(4; 0). Atkarpos CB ilgis yra d=b-r=6-4=2. Trikampio CBA plotas yra  
Sukūriame naują tašką D=(8; 0). Atkarpos CD ilgis yra 4. Kampas ACD turi būti surastas. Žinome, kad tiesė CA yra spindulys r=4. Todėl     arba   laipsnių. Žinome, kad skritulio plotas yra   tuomet ieškomos išpjovos ACD plotas yra  
Visas ieškomas plotas yra lygus:
 
  • Figūrą riboja kreivės       Apskaičiuokime tos figuros plotą. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokią kreivę apibūdina lygtis   Išskyrę dvinario kvadratą gauname:
  <=>  

Tai apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (2; 0), o spindulys lygus 2. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje:  ,   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą   o tiesė   - kampą   Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   o   - nuo   iki   Figūros plotas   todėl    

 
Be kita ko,   Taip pat,   Padauginus iš 4 gauname išpjovos plotą iš apskritimo, kurio spindulys r=4, plotas padidėja   (R yra didžiojo apskritimo spindulys, o r - mažojo), kai mažojo apskritimo spindulio ilgis tik padvigubėjo; jei spindulys pailgės 3 kartus, plotas padidės   kartus, todėl išpjovos skiriasi tik didžiu.
  • Figūrą riboja kreivės       Apskaičiuokime tos figuros plotą.
  apskritimo lygtis. Apskritimo centras yra taškas (0; 0), o spindulys lygus 2. Parašykime to apskritimo lygtį polinėje koordinačių sistemoje:  ,   Tiesė   su ašimi Ox sudaro kampą   o tiesė   - kampą  

Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo   iki   Žinodami, kad skritulio plotas yra   suprantame, kad reikia vesti (tarkim, skriestuvu) pusė (apskritimo) ilgio, o ne  , todėl

  Ir  


 
2.
  • Apskaičiuosime tūrį kūno, apriboto paviršiais       Taip kaip šis kūnas yra cilindrinis kūnas, apribotas iš viršaus paviršiumi  , tai turime:

  kur D - kūno pagrindas - apskritimas   plkštumoje XOY. Perėję į poliarines koordinates gauname:    

Šio kūno tūrį galima rasti gerokai greičiau. Cilindro pjuvis tesiasi nuo   iki kai  , nes iš lygties  , z yra žemiausiame taške 2, kai  , o  , taigi  . Todėl iš pradžių apskaičiuosime cilindro tūrį, kai 0<z<2, kitaip tariant, kai cilindro spindulys  , o aukštis  :
 
Aukščiau esančią cilindro dalį, kurios aukštis yra  , projectuojame į plokštumą zOy ir matome, kad gaunasi 2 vienodi trikampiai (vienas iš jų nepriklauso tai daliai). Taigi tiesiog aukštesnės dalies tūrį gauname padalinę cilindrą pusiau:
 
 .
 
3.
  • Apskaičiuosime paviršiaus dalį paraboloido   išpjautą cilindro   Paviršiaus ploto formulė yra   Taip kaip   tai  

kur D - apskritimas   plokštumoje XOY. Pereidami į poliarines koordinates gauname:       kur  

Palyginimui paviršiaus plotas cilindro be dviejų pagrindų, kurio spindulys r=1 ir aukštis h=1, yra lygus:
 
 
13.14.
  • Ritinys   (a>0) išpjauna iš rutulio   kūną (13.14 pav, a). Apskaičiuokime jo tūrį V. Apskaičiuokime 1/4 ieškomo tūrio, nes kūnas simetriškas plokštumų xOz ir xOy atžvilgiu. Integravimo sritis D yra duotojo ritinio pagrindas. Kūną iš viršaus riboja paviršius

  todėl   Šį dvilypį integralą apskaičiuosime pakeisdami kartotiniu integralu polinėje koordinačių sistemoje. Tuomet   Rasime kintamųjų   ir   kitimo rėžius. Iš apskritimo lygties   turime:   Taigi sritį D gauname, kai   kinta nuo 0 iki   o   - nuo 0 iki   Todėl

 
 
 
  kur

pasinaudojom dvigubu faktorialu trigonometrijoje.

Pasinaudodami trigonometrijos formule   iš kur   randame integralą:
 
 
 
Čia a yra rutulio spindulys ir ritinio pagrindo skersmuo. Kai a=1, tai cilindru iš rutulio išpjautas tūris yra lygus:

  Palyginimui, viso ritinio, kurio pagrindas yra skritulys su spinduliu r=a/2 ir kurio aukštis yra h=2*a, tūris yra:  

  • Rasime tūrį V kūno, gauto iš rutulio išpjovus du cilindrus   ir   Dėl išpjauto kūno   simetriškumo jį sudaro 8 lygiatūrės dalys. Rutulio formulė:  

    Kadangi kūno V tūris yra lygus rutulio ir išpjautojo kūno   tūrių skirtumui, tai  


  • Rasime kūno tūrį V, išpjauto iš cilindro, kurio pagrindas yra apskritimas   ir kuris apribotas paraboloidais (iš viršaus ir apčios atitinkamai)     Tūrį kūno V randame kaip sumą tūrių   ir   jo dalių, gulinčių atitinkamai virš ir po plokštuma XOY. Tokiu budu pereinant į polinę koordinačių sistemą apskritimo lygtis tampa  , praboloidų lygtys tampa  ,   ir